福建省龙海市高二数学下学期期中试题 文(无答案)
福建省龙海市程溪中学高二期中文理科数学试卷
福建省龙海市程溪中学高二期中文理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.如果它是一个虚单位和复数单位，那么||=a.1b.c.d.2以下三段可以构成“三段论”，那么“小前提”就是因为函数是增函数;所以是增函数;而是函数.a、不列颠哥伦比亚省。
3.用反证法证明命题“三角形中至多一个内角是钝角”时，结论的否定是a、没有内角是钝角。
B.两个内角为钝角c.有三个内角是钝角d.至少有两个内角是钝角如果AB+C.B+>A+D<5.下列结论正确的是.a、当x>0和x≠ 1，lgx+≥ 2.b.当x>0时，+≥2c、当x≥ 2，X+的最小值为2d.当0压力曲线+=1φ：转换曲线的参数方程为a.θ为参数b.θ为参数c、θ是参数Dθ作为参数.将参数方程θ为参数化为普通方程为a、 y=x-2b、 y=x+2c.y=x-22≤x≤3d.y=x+20≤y≤1已知直线L1的极坐标方程为ρSin=2022，直线L2的参数方程为t，则L1和L2之间的位置关系为a.垂直b.平行c、相交但不垂直D.重合9函数y=+xx>3的最小值是.a、 5b。
4c。
3d。
二.已知椭圆的参数方程为φ为参数，点m在椭圆上，其对应的参数φ=，点o为原点，则直线om的斜率为a、 1b。
2c d.2.在极坐标系中，点a的极坐标是1，π，点p是曲线c：ρ=2sinθ上的动点，则|pa|的最小值是a、 0b。
c.+1d.-1假设a、B和C是非零实数，A2+B2+C2++的最小值为a.7b.9c、 12天。
十八13.若复数是纯虚数，则实数的值为14.在平面直角坐标系xoy中，若直线l：t为参数过椭圆c：φ为参数的右顶点，则常数a的值为__________.15.找到函数FX=x5-2x2的最大值，如下所示：16.观察下列不等式，根据这条定律，第二个不等式是$一家工厂建造了一个容积为4800m3、深度为3M的无盖长方体储罐。
福建省2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文
福建省福清市龙西中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是A3．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的小前提是A ．增函数的定义B ．函数3y x =满足增函数的定义C ．若12x x <，则12()()f x f x < D ．若12x x >，则12()()f x f x >4. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（ ）A ．,sin 1x R x ∃∈≥B ．,sin 1x R x ∀∈≥C ．,sin 1x R x ∃∈>D ．,sin 1x R x ∀∈>5. 设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UPC Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 6. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( )A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病8. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A.假设三内角都不大于60度； B.假设三内角都大于60度； C.假设三内角至多有一个大于60度； D.假设三内角至多有两个大于60度。
福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。
2023-2024学年福州市高二数学下学期期中联考试卷附答案解析
2023-2024学年福州市高二数学下学期期中联考试卷【完卷时间:120分钟;满分:150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．22444!A C ++=（）A ．6B ．12C ．24D ．422．42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A ．81B ．32C ．24D ．83．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.15．邻居浇水的概率为0.8．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（）A ．0.785B ．0.72C ．0.765D ．0.674．已知函数()e x f x ax =+的导函数为()f x '，若(0)0f '=，则(1)(0)f f +=（）A ．1-B ．eC ．1D ．e 1-5．已知随机变量X 的概率分布如下表x 124P0.4a0.3则()54E X +=（）A ．1B ．2.2C ．11D ．156．吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（）种排列方式.A ．6B ．8C ．10D ．127．正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有%x 、%y 、()%x y +的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（）A ．3x =、2y =B ．3x =、3y =C ．3x =、4y =D ．3x =、5y =8．若曲线1e xax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A ．14B ．24C ．13D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布且1(0)4P X ==，则3()8E X =B ．若随机变量2(,)X N μσ 满足(1)0.22P X <=，(3)0.78P X <=，则2μ=C ．若随机变量1(6,2X B ，则1(2)4P X ==D ．设随机变量(,)X B n p ，若()3D X ≤恒成立，则n 的最大值为1210．关于函数()f x 及其导函数()f x '，下列说法正确的是（）A ．若()ln f x x x =，则(e)2f '=B ．若()sin f x x =，则π(())12f f '=C ．若函数()f x 为奇函数，则()()f x f x ''=-D ．若()()0f x f x '->，则()()20242023ef f >11．2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E 处，陈同学家在如图所示的F 处，人民广场在如图所示的G 处.下列说法正确的是（）A ．张同学到陈同学家的最短路径条数为6条B ．在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F 处和陈同学汇合并一同前往的概率为1835C ．张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条D ．张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A ：张同学经过陈同学家；事件B ：从F 到人民广场两人的路径没有重叠部分（路口除外），则.()5|12P B A =三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12．雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有种13．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X ，则次品件数X 的期望为．14．若函数1()ln ef x x x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法?（用数字作答）.(1)既有内科医生，又有外科医生；(2)至少有1名主任参加；(3)既有主任，又有外科医生.16．在822x ⎫⎪⎭的展开式中，(1)求展开式中所有项的系数和；(2)求二项式系数最大的项；(3)系数的绝对值最大的项是第几项?17．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值;(2)以频率估计概率，完成下列问题.(i )若从所有花卉中随机抽4株，记高度在[)19,21内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(ii )若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多1株高度低于23cm 的概率.18．某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．(1)据往年统计，顾客消费额X （单位：元）服从正态分布()2130,25N ．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额X 在[]105,180内的人数；附：若()2,X N μσ ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈．(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为34，刮出乙奖品的概率为14．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．19．已知函数()2e 2,xf x ax a =-∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若不等式()22f x x a ≥+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.1．D【分析】利用排列数，组合数的计算公式计算.【详解】2244434!A C 432143422⨯++=⨯⨯⨯+⨯+=.故选：D.2．C【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解..【详解】42()x x+展开式的通项公式为4421442C ()2C r r r r r r r T x x x --+==，令420r -=，解得2r =，则4222442C 2C 24r r r x -==，即展开式的常数项为24.故选：C 3．B【分析】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得()P A 的值，再利用对立事件的概率公式可求得()P A 的值.【详解】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得()0.8P W =，()0.2P W =，()0.8P A W =，()0.15P A W =，由全概率公式可得()()()()()0.80.150.20.80.28P A P W P A W P W P A W =+=⨯+⨯=,由对立事件的概率公式可得()()110.280.72P A P A =-=-=，故选：B.4．B【分析】根据求导公式和运算计算法则求出a ，进而直接得出结果.【详解】由()e x f x ax =+，得()e x f x a '=+，所以(0)10f a '=+=，解得1a =-，所以e ()x x f x =-，所以(1)(0)e 11e f f +=-+=.故选：B 5．D【分析】由概率和为1可得a ，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.【详解】由0.40.31a ++=，故0.3a =，则()()()5454510.420.340.3415E X E X +=+=⨯⨯+⨯+⨯+=.故选：D.6．C【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，列式计算即得.【详解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有35C 种方法，所以香烟和口香糖的不同排列方式有35C 10=（种）.故选：C 7．D【分析】设事件,,A B C 分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D 表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出()()()|,|,|P A D P B D P C D ，根据题中条件可得出关于,x y 的不等式，解出,x y 之间的大小关系，分别对选项进行比较即可.【详解】设事件,,A B C 分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D 表示此人感冒，则()()()312111,,321232133216P A P B P C ======++++++,()()()()|%,|%,|%P D A x P D B y P D C x y ===+，则()()()()()()()()11143|||%%%236600x yP D P A P D A P B P D B P C P D C x y x y +=++=⋅+⋅+⋅+=，因为来自高二年级概率最大，所以()()()()||,||P B D P A D P B D P C D ≥≥,即()()()()()()()(),P BD P AD P BD P CD P D P D P D P D ≥≥,即300200300600,43434343600600600600y x y x yx y x y x y x y +≥≥++++，即23,y x y x ≥≥，即32y x ≥，故选：D.8．A【分析】设切点0001(,)ex ax x +，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得2010ax x ++=，结合Δ0=计算即可求解.【详解】设1()exax y f x +==，则1()e x ax a f x -+-'=，设切点为0001(,)e x ax x +，则0001()e x ax a f x -+-'=，所以切线方程为0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-，又该切线过原点，所以00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-，整理得20010ax x ++=①，因为曲线()y f x =只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故140a ∆=-=，解得14a =.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.9．BD【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从两点分布且1(0)4P X ==，所以3(1)4P X ==，所以133()0+1=444E X =⨯⨯，故A 错误；对于B ，因为随机变量2(,)X N μσ 满足(1)0.22P X <=，(3)0.78P X <=，所以(3)(1)0.22P X P X ≥=<=，所以1322μ+==，故B 正确；对于C ，因为随机变量1(6,2X B ，所以22461115(2)C ((12264P X ==-=，故C 错误；对于D ，因为随机变量(,)X B n p ，()3D X ≤恒成立，所以()(1)3D X np p =-≤恒成立，所以221(1)()()3244n n np p n p p n p -=-=--+≤≤，所以12n ≤，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC ；构造函数()()e xf xg x =，利用导数证明()g x 为增函数，即可判断D.【详解】A ：由()ln f x x x =，得()ln 1(0)f x x x '=+>，所以(e)ln e 12f '=+=，故A 正确；B ：由()sin f x x =，得()cos f x x '=，所以π(02f '=，则π(())(0)sin 002f f f '===，故B 错误；C ：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，等式两边同时取导数，得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，故C 正确；D ：由()()0f x f x '->，且定义域为R ，可构造函数()()e x f x g x =，则()()()0e xf x f xg x -''=>，所以()g x 为R 上的增函数，则()()()()202420232024202320242023e e f f g g =>=，则()()20242023ef f >，故D 正确.故选：ACD 11．AB【分析】对于A ：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B ：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C ：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D ：求出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式求解.【详解】对于A ：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为24C 6=，A 正确；对于B ：在张同学去人民广场选择的最短路径中，总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有37C 35=种走法，到F 处和陈同学汇合并一同前往，首先到F 处，有6种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有13C 3=种走法，则到F 处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有6318⨯=种，则概率为1835，B 正确；对于C ：在张同学去人民广场选择的最短路径共35种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，①先从E 走到F 有3种走法，再从F 走到G 有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有326⨯=种走法，②先从E 走到A 有14C 4=种走法，再从A 走到G 有13C 3=种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有3412⨯=种走法，③先从E 走到B ，再B 走到G 有1种走法，综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有612119++=种走法，则欣赏灯光秀有351916-=种走法，C错误；对于D ：()()()622353|18935P AB P B A P A ⨯⨯===，D 错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为n 格中，有m 格向上，n m -向右的问题来解答.12．240【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案.故答案为：240.13．1.2【分析】确定随机变量X 服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，其中10N =，4M =，3n =，于是次品件数X 的期望() 1.2nME X N==，故答案为：1.214．[)0,∞+【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需()max 0f x ≥，即可求出参数的取值范围.【详解】函数1()ln ef x x x a =-+的定义域为()0,∞+，又11e ()e e x f x x x-'=-=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max e f x f a ==，又0x →时()f x →-∞，x →+∞时()f x →-∞，又函数1()ln ef x x x a =-+有零点，所以()max 0f x ≥，即0a ≥，所以实数a 的取值范围是[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+15．(1)246(2)196(3)191【分析】（1）分内科医生去1,2,3,4人四种情况计算；（2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解；（3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可；【详解】（1）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去1,2,3,4人，得选派方法为：6661423324144446C C C C C C C C 246+++=；（2）分两类：一是选1名主任有1428C C 140=种方法；二是选2名主任有2328C C 56=种方法；故至少有1名主任参加的选派方法共14056196+=种；（3）若选外科主任，则其余可任意选，共有49C 126=种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有4485C C 65-=种选法；.（也可以直接法：13223535C C C C ++3135C C =65）故既有主任，又有外科医生的选派种数为12665191+=.16．(1)1(2)651120T x -=(3)第6项和第7项【分析】（1）借助赋值法令1x =即可得；（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；（3）解不等式组118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩即可得.【详解】（1）令1x =，可得展开式中所有项的系数和为()811-=；（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，822x的展开式的通项为：()584218822C 2C ,8,N rrr r r rr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭，故()4466582C 1120T xx --=-=；（3）由822)x的展开式的通项为：()584218822C 2C ,8,N rrr r rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭，设第1r +项系数的绝对值最大，显然08r <<，则118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩，整理得8!8!2!(8)!(1)!(7)!8!8!2!(8)!(1)!(9)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥⎪---⎩，即1162182r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩，解得56r ≤≤，而N r ∈，则=5r 或6r =，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.17．(1)0.125(2)(i )分布列见解析，()1E X =；(ii )26125【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）(i )依题意可得()4,0.25X B ，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii )利用条件概率的概率公式计算可得.【详解】（1）依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；（2）(i )由（1）可得高度在[)19,21的频率为0.12520.25⨯=，所以()4,0.25X B ，所以()438104256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()222413272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯，()31341333C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⨯，()444114C 4256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X01234P 812562764271283641256所以()1414E X =⨯=；(ii )在欧阳花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[]21,25为事件M ，至多1株高度低于23cm 为事件N ，则()3313111C 222P M ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22322331113113C C 525105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()1326125|11252P NM P N M P M ===.18．(1)16372(2)①37384；②2137【分析】（1）由题意()()()1051802P X P X P x μσμμμσ≤≤=-≤≤+≤≤+，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有()()()112171,|,|8164P A P B A P B A ===，进一步分3大种情况求得()216P A =，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【详解】（1）由题意()()()105180105130130180P X P X P x ≤≤=≤≤+≤≤()()()120.68270.95450.81862P X P x μσμμμσ=-≤≤+≤≤+≈+≈，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额X 在[]105,180内的人数为0.81862000016372⨯=；（2）设事件1A =“顾客中龙腾奖”，事件2A =“顾客中旺旺奖”，事件B =“顾客获得乙奖品”，由题意知()()()23112331371,|1,|684164P A P B A P B A ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，事件2A 包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，则（i ）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2点”，三类情况，共有213313C C A 136110++=++=种；（ii ）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”，“2点，5点，5点”，“2点，4点，6点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4点，4点，4点”，六类情况，共有31233213323331A C C A A C C 163663125+++++=+++++=种；（iii ）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有()23310251361666P A ++===，①由全概率公式可得()()()()()1122171137||81664384P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，即顾客获得乙奖品的概率为37384；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是()()()()()()111117|21816|3737384P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是2137.19．(1)答案见解析(2)2ln2⎡⎤-⎣⎦【分析】（1）求导得()2e 2x f x a =-'，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）原问题等价于222e 20x ax x a --≥-对任意()0,x ∈+∞恒成立，令()222e 2x g x ax x a =---，不断求导得()g x '在()0,∞+上单调递增，注意到()()021g a '=-，由此结合导数与最值的关系分a 是否大于1进行讨论即可.【详解】（1）()2e 2x f x a =-'.当0a ≤时，()0f x ¢>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.当0a >时，令()0f x '<，得ln x a <，令()0f x ¢>，得ln x a >，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.（2）不等式()22f x x a ≥+对任意()0,x ∈+∞恒成立，即222e 20x ax x a --≥-对任意()0,x ∈+∞恒成立.令()222e 2x g x ax x a =---，则()2e 22x g x x a '=--.设()()2e 22x x g x x a ϕ'==--，则()2e 2x x ϕ'=-.当0x >时，()2e 20x x ϕ'=->，所以()g x '在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()()()02221g x g a a ''>=-=-.①若10a -≥，当0x >时，()()0,g x g x '>在()0,∞+上单调递增，则()2020g a =-≥，所以a ≤≤1a ≤≤，②若10a -<，则()00g '<，又当x →+∞时，()g x '→+∞，所以00x ∃>，使得()0002e 220x g x x a =--='，即00e x a x =-.当00x x <<时，()()0,g x g x '<在()00,x 上单调递减，当0x x >时，()()0,g x g x '>在()0,x +∞上单调递增，则()()()()0000022min 00()2e 2e e e 2e 0x x x x x g x g x x a ==-+=-=-≥，所以0e 2x ≤，所以00ln2x <≤.由00e x a x =-，令函数()e x h x x =-，则当0ln2x <≤时，()e 10x h x '=->，所以()12ln2h x <≤-，所以12ln2a <≤-.综上，实数a 的取值范围是2ln2⎡⎤-⎣⎦.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出()g x '在()0,∞+上单调递增，且注意到()()021g a '=-，由此即可顺利得解.。
福建省龙海市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
福建省龙海市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=06．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[] B．[] C．[] D．[]7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2] B．C．[2）D．[0，4]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ= ．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为．15．已知双曲线的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2，将坐标系的右半平面沿y 轴折起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A 1，且直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为，则a= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．如图所示，设A 为△ABC 所在平面外一点，HD=2CH ，G 为BH 的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||17．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，E 为面A 1D 1DA 的中心， CF=3FC 1，AH=3HD ，（1）求异面直线EB 1与HF 之间的距离 （2）求二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值．18．已知椭圆C ：的左右焦点为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l 向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C 截得的弦长为，则求椭圆C 的方程．19．已知中心在原点的双曲线C 的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C 的标准方程（2）若直线l ：y=kx+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且（其中O 为原点），求k的取值范围．20．如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）．（I ）若动点M 满足，求点M 的轨迹C ；（Ⅱ）若过点B 的直线l′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值福建省龙海市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间点、线、面的位置；向量的共线定理．【专题】证明题．【分析】本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线、共面的定义和性质对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C 一定共面；这是正确的．②如果=，则与不一定共线，所以②错误；③不正确，如都是零向量，而为非零向量时，此等式不成立．④若=x +y，则共面，故四点 P、M、A、B共面，故④正确．所以①④正确．故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先求出方程表示双曲线时k的取值范围，然后根据根据若p⇒q与q⇒p的真假命题，进行判定即可．【解答】解：∵方程表示双曲线∴（k﹣4）（k+4）＞0解得：k＞4或k＜﹣4∵k≤﹣5⇒k＞4或k＜﹣4是真命题，反之是假命题∴p是q的充分非必要条件故选A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．【考点】向量的几何表示；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．【解答】解：∵ ======故选A．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】计算题．【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直 故选B【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）A ．x+4y=0B ．x+4y ﹣10=0C ．x+4y ﹣6=0D ．x ﹣4y ﹣10=0【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【专题】计算题．【分析】设这条弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点坐标公式知x 1+x 2=4，y 1+y 2=4，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得，4（x 1﹣x 2）+16（y 1﹣y 2）=0，，由此能求出这条弦所在的直线的方程．【解答】解：设这条弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点坐标公式知x 1+x 2=4，y 1+y 2=4， 把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得，①﹣②，得4（x 1﹣x 2）+16（y 1﹣y 2）=0，∴，∴这条弦所在的直线的方程，即x+4y ﹣10=0．故选B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．6．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[] B．[] C．[] D．[]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求．【解答】解：二次曲线为双曲线，则，∴，故选C．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系．7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】设圆心为（x，y），则动圆的半径为x，因为与已知圆内切，还要与y轴相切，所以可知x的范围为0＜x≤1．再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为P（x，y），由动圆切于y轴，故r=|x|．又由动圆与已知圆内切可知=2﹣|x|，整理得y2=﹣4|x|+4．由于半圆需满足0≤x≤2的条件，∴y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）．故选A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件．8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0，①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线，结合选项可判定【解答】解：若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，A，C的方程没有意义B：由于2q+p＞q＞0，表示焦点在x轴上的椭圆，D：由于2p+q＞p＞0，表示焦点在x轴上的椭圆则此情况不符合题意，舍去②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线A：由于﹣（2q+p）＞﹣p＞0，表示曲线是焦点在x轴上的椭圆B：由于2q+p＜q＜0，方程没有意义C：由于﹣2p﹣q＞﹣p＞0，表示焦点在x轴上上的椭圆D：由于2p+q＜p＜0，方程没有意义综合可得C符合题意故选C【点评】本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查9．已知定点N （0，1），动点A ，B 分别在抛物线及曲线上，若B 在A的上方，且AB ∥y 轴，则△ABN 的周长l 的取值范围是（ ）A ．（，2）B ．（）C ．（） D ．（）【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质． 【专题】计算题．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A ，B 点的纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B 点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的B 点纵坐标范围计算即可．【解答】解：由得，抛物线及曲线在第二象限的交点纵坐标为，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则0≤y 1≤，≤y 2≤2，由可得，三角形ABN 的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=y 1++y 2﹣y 1+a ﹣ey 2=+a+y 2=3+y 2，∵，≤y 2≤2，∴≤3+y 2≤4故选C ．【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．10．已知点P 是椭圆上的动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．C ．[2） D ．[0，4]【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】计算题．【分析】结合椭圆的图象，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM|取最小值0；当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点M 与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2，由此能够得到|OM|的取值范围．【解答】解：由题意得c=2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与 O重合，|OM|取得最小值等于0．重合，|OM|取得最大值等于c=2．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1由于xy≠0，故|OM|的取值范围是，故选B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ= 0 ．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】根据向量的夹角公式即可求出答案．【解答】解：向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），∴=2×3+2λ﹣1×4=2+2λ，||==3，||==，∵、的夹角的余弦值为，∴==，解得λ=0，故答案为：0．【点评】考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】先求出的坐标，利用向量的知识，点P（﹣2，1，2）到α的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值．【解答】解： =（﹣1，﹣2，2），在法向量方向上的投影等于=，∴则点P（﹣2，1，2）到α的距离为故答案为：【点评】本题考查点面距离的计算．利用向量的方法降低思维难度，使问题更容易解决．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，设线段AB的中点为M（3，y过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8【点评】本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．14．椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为2π，A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1）和（x 2，y 2），则|y 2﹣y 1|的值为 3 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得a 和c ，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2﹣y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2﹣y1|的值．【解答】解：椭圆：，a=3，b=，∴c=2，左、右焦点F 1（﹣2，0）、F2（2，0），△ABF2的内切圆周长为2π，则内切圆的半径为r=1，而△ABF 2的面积=△AF 1F 2的面积+△BF 1F 2的面积=×|y 1|×|F 1F 2|+×|y 2|×|F 1F 2|=×（|y 1|+|y 2|）×|F 1F 2|=2|y 2﹣y 1|（A 、B 在x 轴的上下两侧）又△ABF 2的面积═×|r（|AB|+|BF 2|+|F 2A|=×1×（2a+2a ）=2a=6． 所以 2|y 2﹣y 1|=6，|y 2﹣y 1|=3． 故答案为3．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF 2的面积，属于中档题．15．已知双曲线的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2，将坐标系的右半平面沿y 轴折起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A 1，且直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为，则a= 1 ．【考点】双曲线的简单性质；直线与平面所成的角． 【专题】计算题．【分析】由题意可得直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角为∠FB 1A 1，可得==，求得 FA 1 的值，直角三角形FA 1O 中，由勾股定理可得 FO 2=A 1O 2+FA 12，由此求出a 的值．【解答】解：如图所示：由题意可得 实轴A 1A 2 =4，B 1B 2，=2，FA 1⊥面A 1B 1B 2，直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角为∠FB 1A 1．∴==，∴FA 1=．又FO=c=，A 1O=2．直角三角形FA 1O 中，由勾股定理可得 FO 2=A 1O 2+FA 12，即4+a=4+，解得 a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于 中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．如图所示，设A 为△ABC 所在平面外一点，HD=2CH ，G 为BH 的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的三角形法则及向量的运算律得出═即可；（2）利用（1）得出的结论，先将向量平方，再将等式求模即得．【解答】解：（1）====（2）==×4+×4++++2×2×3cos45°=+，【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则及向量的运算律．17．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，E 为面A 1D 1DA 的中心， CF=3FC 1，AH=3HD ，（1）求异面直线EB 1与HF 之间的距离 （2）求二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算． 【专题】计算题．【分析】（1）求出异面直线EB 1与HF 的方向向量，以及与它们垂直的向量，异面直线EB 1与HF 之间的距离等于．（2）求出平面HB 1E 的法向量为，平面A 1B 1E 的法向量为，二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值的绝对值等于夹角的余弦绝对值．【解答】解：如图建立直角坐标系D 1﹣xyz ，则E （2，0，2），B 1（4，4，0），H （1，0，4）（1）=（2，4，﹣2），=（﹣1，4，﹣3）=（﹣1，0，2），设=（x ，y ，z ）即，取x=1，则z=﹣3，y=﹣2，则=（1，﹣2，﹣3）异面直线EB 1与HF 之间的距离为=（2））=（2，4，﹣2），=（2，0，﹣2），=（﹣1，0，2），设平面HB 1E 的法向量为=（x ，y ，z ）则即取x=2，则y=，z=1．∴ =（2，，1）令平面A 1B 1E 的法向量为=（x ，y ，z ）则取x=1，y=0，z=1，则为=（1，0，1）∴|cos |==．∵二面角H ﹣B 1E ﹣A 为钝二面角．∴二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．18．已知椭圆C ：的左右焦点为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l 向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C 截得的弦长为，则求椭圆C 的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 【专题】综合题．【分析】（1）直线l 方程与椭圆方程联立，求出交点M 的坐标，利用得到e 值．（2）由（1）中求得的e 值，可求出直线l 方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C 截得的弦长，令其等于，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）y=ex+a ，∴A （﹣，0），B （0，a ）由，∴∴M （﹣c ，），由，得（﹣c+，）=（，a ），即∴e 2=1﹣=，∴e=（2）∵e=，设椭圆的方程为3x 2+4y 2=3a 2，l ：y=x ﹣+a即消y ，得4x 2+（4a ﹣2）x+a 2﹣4a+1=0．设l 交椭圆于B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=∴l===∴a=∴椭圆的方程为【点评】本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．19．已知中心在原点的双曲线C 的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C 的标准方程（2）若直线l ：y=kx+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且（其中O 为原点），求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质． 【专题】综合题．【分析】（1）由，得，由此能求出双曲线方程．（2）由，知．由直线l 与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k 2）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．【解答】解：（1）∵，∴a=，c=2，∴双曲线方程为=1．（2），∴（1﹣3k 2）x 2﹣6kx ﹣9=0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k 2）=0，即k 2≠，且k 2＜1①x 1+x 2=，由＞2，得x 1x 2+y 1y 2＞2，而=（k 2+1）x 1x 2+=．于是＞2，即，∴＜3，②由①②得＜1，．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．20．如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）．（I ）若动点M 满足，求点M 的轨迹C ；（Ⅱ）若过点B 的直线l′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I ）对抛物线方程进行求导，求得直线l 的斜率，设出M 的坐标，利用求得x 和y 的关系．（II ）设l'方程代入椭圆的方程，消去y ，利用判别式大于0求得k 的范围，设出E ，F 的坐标，利用韦达定理表示出x 1+x 2和x 1x 2，令，则可推断出，进而表示出（x 1﹣2）•（x 2﹣2）和（x 1﹣2）+（x 2﹣2），最后求得k 和λ的关系，利用k 的范围求得λ的范围．【解答】解：（I ）由x 2=4y 得， ∴． ∴直线l 的斜率为y'|x=2=1，故l 的方程为y=x ﹣1，∴点A 的坐标为（1，0）．设M （x ，y ），则=（1，0），，，由得，整理，得．∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆． （II ）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，设l'方程为y=k （x ﹣2）（k≠0）=1 ①，将 ①代入，整理，得（2k 2+1）x 2﹣8k 2•x+（8k 2﹣2）=0，由△＞0得．设E （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），则，②令，则，由此可得，，且0＜λ＜1．由 ②知，．∴，即．∵，∴，解得．又∵0＜λ＜1，∴，∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（，1）．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与抛物线交于C ，D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O ，F 1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值． 【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c 的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a ，b 关系式，椭圆方程可解．（Ⅱ）由圆过点O ，F 1可得圆心横坐标值，再根据圆与椭圆的左准线相切，可求出半径．（Ⅲ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 方程与椭圆方程联立，得x 1x 2与x 1+x 2，再代入，化简，即可得到关于k 的式子，其范围也就是的范围．进而求出最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，∴c=1∵过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与抛物线交于C ，D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，∴AB 为椭圆通径，CD 为抛物线通经，∵，∴ =，b 2=a ，∵a 2=b 2+c 2，得a=，b=1，∴所求椭圆方程为（Ⅱ）∵所求圆过点O，F1，可设坐标为（﹣，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=﹣﹣（﹣2）=∴，n=，∴所求圆方程为．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，∴x1x2=，x1+x2=..=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2==﹣﹣∵k2∈[0，+∞），∴∈[﹣1，）②当直线l斜率不存在时，可得啊（﹣1，）B（﹣1，﹣），此时， =．综上，∈[1，]．∴最大值为，最小值为﹣1．【点评】本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．。
福建省龙海市程溪中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题
2018--2019高二年下学期数学期中考试卷、选择题（本大题共12小题，共60.0分）7. 已知小］「-心门i，则::A. 1B. 2C. 4D. 88. 若函数' 一「川的导函数一：；.-■ ■■的图象如图所示的图象可能是1.111111A. - -—?B.——-kC.-22222'2. 函数在点；= 处的切线方程为「；A. -1 V ■/ 一2 0B. -1 V 丫0C.1 '■I〕D. 1 '■ ■ ?'/ I：1.33. 复数—:_____ .为虚数单位「的共轭复数是I；:2i-V4.5.6.A. 一一 +—i5 52 1C.；3 3•a若(2x += 3 + 1訂2,则a的值是A. 6已知订二从A. 2B. 4；为虚数单位，若flB. 1函数C. 3D. 2'的图象大致为i：:X1 / 11= 13 + 15 + 17 + 19,则哄i ：i 从左到右第一个数是 1 ：A. 91B. 89C. 55D. 45 尤fG) - fO)10. 设■「是定义在R 上的奇函数,：〔宀一'、；，当1「时，有 恒xfO)成立，则.•的解集为| ； A. '■ ' 11 ■■■ '「B. '■二」’C. '： —1 ! U. I 宀D.'：厂、 m 小.11. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多 有几种栽种方案 1 :A. 180 种B. 240 种C. 360 种D. 420 种12. 已知函数「满足d — 7 心，且当U —山时，< 仆成立，若2 1:::■ ■ -■::，则"，’的大小关系是':A. a> b > c B . c>b> a C . a> o b D . o a> b二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分)2)9.■ I5 2 斗513. 若'：I ■ -■ ■:. I ■■- I ■:i 「 I ，则’■ H - ■■- !14.在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是 ______________ •■14 / 1116. 已知边长分别为0 门一厂的三角形ABC 面积为S,内切圆O 的半径为r ，连接.则三角形^的面积分别为1111112S-由＞■: -； ■'得；.，类比得四222 22 2 a + b + c面体的体积为 V 四个面的面积分别为\ . V .，则内切球的半径R - 三、解答题（本大题共 6小题，共72.0分）17. 某次文艺晚会上共演出 8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分 别满足下列条件的排节目单的方法种数：一个唱歌节目开头，另一个压台；⑵ 两个唱歌节目不相邻；|两个唱歌节目相邻且 3个舞蹈节目不相邻.18・已知函数\ ] — ■，- - ffY /； 口" i'f ）若函数门:在，一1处有极值 I •小求m 的单调递减区间；求函数f I 厂在上的最大值和最小值.119.已知展开式前三项的二项式系数和为 22•♦ I 「求n 的值；-n :求展开式中的常数项；|:: /:求展开式中二项式系数最大的项.20. 在直三棱柱■' 'J -中，底面八.1 /V 是直角 三角形• i.l - :1门为侧棱的 中占I 八、、•i 1 :•求异面直线厂所成角的余弦值； [I •求二面角「的平面角的余弦值. 21.某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示•其中成绩分组区间是：■. .■■■■.■..规定90分及其以上为合格.■: I :求图中a 的值■. n 「根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；-sinx)dx =15.计算:-1；川「若三个人参加交通法规考试，用X表示这三人中考试合格的人数，求X的分布列与数学期望.22. 已知函数门工）2匚卜：、H ：讥］•：I .「当「_ .时，求曲线「在点i I、打］门处切线的方程；:n i求函数「的单调区间；:川.「当：：三二. ■时，若-I恒成立，求a的取值范围.答案和解析【答案】1. B2. B3.A4. D5. D6. B7. A8 .C9. A10.B11. D 12. B1 31211 4丄21 5JT3V1 6+ +片+目斗17解 ::先排歌曲节目有-种排法，再排其他节目有'种排法，所以共有1 !, 1 1 ：r-种排法.'先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有’种排法，再从其中7个空包括两端中选2 个排歌曲节目有’种插入方法，所以共有止;—种排法.；两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有'J：匸址门种.18. 解：; •「:：：、,依题意有■'■- "■' I 1Q H■加+ B = 0 t a = 2即.：，■ ••得所以：.:- /：■ ■-：:1由」，得：• I ,7所以函数；.的单调递减区间:.5 / 11'由：知：.一J ■二厂—廿 厂；「一 •■:厂；飞—？一门―一 J ; 7 令― ，解得• . I ...-■ ： \C ：'. ：.■■'■■,!■；随x 的变化情况如下表：X7(-14)0- 2)2/W—It-+L/W8\ 1「扱小值斗—由上表知，函数•：在 「上单调递减，在I 上单调递增.故可得小；1 一丄「. .' -1.::.1 n19.解：由题意，^ 展开式前三项的二项式系数和为22.I 二项式定理展开：前三项系数为：；.；•「=—•」：「"： ' -解得：沪=：\或；；- r ；舍去.即n 的值为6.:认令，:■', 可得：芒二：.12二展开式中的常数项为30 丁胞是偶数，展开式共有 7项•则第四项最大即异面直线，•与所成角的余弦值为’..CA因为::.：■： - :：- ■■CH CACB £C 1所以： ■,1n 由通项公式；...•'3k-；；；「：*「"，■-展开式中二项式系数最大的项为 .13 +120.解：:如图所示，以C 为原点，CA 标轴，建立空间直角坐标系C-xy2.则c （0, 0, 0）,职乙所以■. I.w ,c—2,DC t B 2C所以-DC^BjCTlo-2叫¥二花X 禍 10^iri160xCB 匚5为坐。
福建省龙海市程溪中学高二下学期期中文科数学试卷
高二文科数学试卷1．下列说法正确的是（ ） A 、若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB 、若ba 11>，则a ＜b C 、若b ＞c ，则|a|·b ≥|a|·c D 、若a ＞b ，c ＞d ，则a-c ＞b-d2．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是5-，则z 是（ ） （A ）5-+2i （B ）5--2i （C ）5+2i （D ）5-2i3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =4下面表示同一集合的是（ ）A M={(1,2)} ,N={ (2,1) }B M={ 1,2} ,N={ (2,1) }C M=Φ, N={Φ}D M={X ︳x2-3x+2=0}N={1,2}5．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线6．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 7．曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、 8．数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（） A ．n2B ．12+nC ．12-nD ．12+n9．对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0． 其中真命题的个数是 （ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 10. 设有一个直线回归方程为 ^^2 1.5y x =- ,则变量x 增加一个单位时 ( ) A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 11．若0n >,则232n n+的最小值为 ( ) (A) 2(B) 4(C) 6(D) 812．不等式125x x -++≥的解集为( ) (A)(][)+∞-∞-,22, (B)(][)+∞-∞-,21, (C)(][)+∞-∞-,32, (D)(][)+∞-∞-,23,二 填空题13．直线3()14x att y t =+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。
福建省龙海市程溪中学2017-2018学年高二下学期期中考
2017-2018下学期高二数学（文科）期中考试卷总分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. ，B. ，C. ，D. ，2.设，则“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.命题“，，”的否定是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，4.若函数，，则A. B. 2 C. D. 45.函数的单调递增区间是A. ，B. ，C. ，D. ，6.下列函数中既是偶函数，又在区间，上单调递增的是A. B. C. D.7.已知是定义在R上的偶函数，并满足：，当，，则A. B. C. D.8.幂函数在，上为增函数，则实数m的值为A. 0B. 1C. 2D. 1或29.若，，，则，，大小关系为A. B. C. D.10.复数z满足，则复数z的虚部是A. B. C. D.11.圆的极坐标方程为，则该圆的圆心极坐标是A. ，B. ，C. ，D. ，12.函数的大致图象是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，，若函数的图象恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是______ ．14.已知是奇函数，且，若，则______．15.命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：指数函数是增函数，若为真，则实数a的取值范围为______．16.不等式的解集是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数解不等式：；若，求证：．18.已知函数．Ⅰ在图中画出的图象；Ⅱ求不等式的解集．19.已知曲线在平面直角坐标系中的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线：将的方程化为普通方程，并求出的平面直角坐标方程求曲线和两交点之间的距离．20.在平面直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于，两点；求曲线C的直角坐标方程；若，求直线l的倾斜角的值．21.已知二次函数，其图象过点，，且．Ⅰ求，的值；Ⅱ设函数，求曲线在处的切线方程．22.已知函数是自然对数的底数．求证：；若不等式在，上恒成立，求正数a的取值范围．。
福建高二下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ） A ． B ．()'sin cos x x =-()'1e ln3e 3x x+=+C ．D ．'=()'1x x a xa -=【答案】C【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可 【详解】对于A ：，故A 不正确； ()'sin cos x x =对于B ：，故B 不正确； ()'e ln3e x x +=对于C ：C 正确；11'1221122x x --===对于D ：，故D 不正确， ()'ln x x a a a =故选：C.2．导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（ ） A ．90 B ．15 C ．60 D ．180【答案】A【分析】本题考查的为分组分配问题.先分为3组，在分配给3位科任教师即可得出答案.【详解】先将6名同学平均分为3组，不同的分组方式为， 22264233C C C 15A =然后再将分好的3组，分配给3位科任教师，不同的分配方式为.33A 6=所以，不同的分配方法的种数为. 15690⨯=故选：A.3．设P 是双曲线上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|=9，则|PF 2|等2211620x y -=于（ ） A ．1 B ．17C ．1或17D ．8【答案】B【分析】先求出P 点的位置，再根据双曲线的定义求解.【详解】对于 ，22222221,16,20,36,4,61620x y a b c a b a c -===∴=+===，所以P 点在双曲线的左支，则有 ；19PF =<a c +21228,17PF PF a PF -==∴=故选：B.4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开()f x (),a b ()f x '(),a b ()f x 区间内有极小值点（ ）(),a bA ．个B ．个C ．个D ．个1234【答案】A【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解. ()f x '(),a b x 【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个()f x '(),a b ()f x '(),a b x 公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个. ()f x (),a b 1故选：A.5．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆()5,3-x 222230x y x y +---=周，则反射光线所在的直线方程为（ ）A ．B ． 2310x y -+=2310x y --=C ．D ．3210x y -+=3210x y --=【答案】A【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两()5,3-x 点式整理得到所求直线方程.【详解】由圆的方程得：圆心为，()1,1反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；222230x y x y +---=∴()1,1关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，()5,3- x ()5,3--∴()5,3--反射光线所在直线方程为，即. ∴113151y x --=----2310x y -+=故选：A.6．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（ ）A ．58.5尺B ．59.5尺C ．60尺D ．60.5尺【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.n 【详解】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为， 1a 2a 12a 因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为， 113.5a =12 2.5a =d 所以有，立春日晷长为， ()2.513.51211d d =+-⇒=-()413.53110.5a =+⨯-=夏至的日晷长为， ()1313.5121 1.5a =+⨯-=所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，()10.5 1.510602+⨯=故选：C7．已知在处有极值，则（ ）()3223f x x ax bx a =+++1x =-0a b +=A ．11或4 B ．-4或-11 C ．11 D ．4【答案】C【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.【详解】根据题意，()236f x x ax b =++'函数在处有极值0()f x 1x =-且()1360f a b ∴-=-+='()21130f a b a -=-+-+=或1,3a b ∴==2,9a b ==时恒成立，此时函数无极值点 1,3a b ==()23630f x x x =++≥'2,9a b ∴==.11a b ∴+=故选：C.8．已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点1F 2F ()2222:10,0x yC a b a b-=>>A C P在过点为等腰三角形，，则双曲线的离心率为A 12PF F △12120F F P ∠=︒C （ ） A ．B ．C ．D ．32234【答案】B【分析】由为等腰三角形, 且，可得==2c ，P 点坐标(2c )，由12PF F ∆012120F F P ∠=2PF 12F F点在过点，可得e 的值. P A 【详解】解：由题意可得双曲线焦点在x 轴上,设=2c.2222:1x y C a b-=12F F 为等腰三角形, 且，==2c ，12PF F ∆012120F F P ∠=∴2PF 12F F，可得P 点的坐标为（c+2ccos ，2csin ），即P(2c )， 2c OF =o 60o 60点在过点，即e=2， P A ∴c =2a 故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及应用，得出P 点坐标(2c )是解题的关键.二、多选题9．已知向量则下列命题中，正确的是（ ）(2,1,3),(1,3,2),(2,1,),a b d x =--=-=A ．若⊥，⊥，B ．以，为邻边的平行四边形的面积是a cbc c = (1,1,1)c = a bC ．若，则，之间的夹角为钝角D ．若，则，之间的夹角为锐角53x <a d 53x >a d 【答案】BD【分析】利用空间向量的垂直的坐标表示可判断A ，利用平行四边形的面积与向量之间的关系可求面积判断B ，根据向量的夹角与数量积之间的关系可判断CD.【详解】选项A ，设，由⊥，⊥，(,,)c a b c = a c b c得，化简得，230320a bc a b c --+=⎧⎨-+=⎩a b c ==因为或，即A 错误；c = (1,1,1)c = (1,1,1)c =---选项B ，由，，()2,1,3a =-- ()1,3,2b =-知，2367a b ⋅=-++=b = 所以， 1cos ,2a b a b a b⋅===即，所以，π,3a b =sin ,ab = 所以以，为邻边的平行四边形的面积a b，即B 正确；sin ,14S a b a b =⋅== 选项C ，若，则， 3x =-d()()2,1,32,1,3a =-=---=- 即，共线反向，故C 错误；a d选项D ，若，则，53x >413530a d x x ⋅=--+=-+> 此时，之间的夹角为锐角，故D 正确，a d故选:BD.10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称()f x D ()f x '()f x 'D 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为()f x D ()()()f x f x ''''=()0f x ''<D ()f x D 凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）π0,2⎛⎫⎪⎝⎭A ． B ．()sin cos f x x x =-()ln 3f x x x =-C ．D ．()331f x x x =-+-()e xf x x -=【答案】BCD【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.【详解】对于A ，，()()πcos sin ,sin cos sin()4f x x x f x x x x '''=+=-+=--当时，，，故A 错误；π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πsin(04x -<()πsin()04f x x ''=-->对于B ，在恒成立，故B 正确；()()2113,0f x f x x x'''=-=-<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，在恒成立，故C 正确；()()233,60f x x f x x '''=-+=-<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D ，，()()e e (1)e ,e (1)e (2)e x x x x x xf x x x x x x f ------'=-=-=---=--''因为，所以，所以恒成立，故D 正确.π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20x ->()(2)e 0xx f x -=--'<'故选：BCD.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）22:143x y C +=12,F F P C A ．B ．的周长为C 12PF F △5C ．D ．1290F PF ∠<113PF ≤≤【答案】CD【分析】由椭圆方程可确定，根据离心率，焦点三角形周长为可确定AB 错误； ,a c ce a=22a c +当为椭圆短轴端点时最大，由此可确定，知C 正确；P 12F PF ∠()12max 60F PF ∠=根据可知D 正确.1a c PF a c -≤≤+【详解】对于A ，由椭圆方程知：，，离心率，A 错误； 2a =1c ==∴12c e a ==对于B ，由椭圆定义知：，，1224PF PF a +==1222F F c ==的周长为，B 错误； 12PF F∴△426+=对于C ，当为椭圆短轴端点时， P 12tan2F PF c b∠==，即，12122122tan2tan 1tan 2F PF F PF F PF ∠∴∠===∠-1260F PF ∴∠= ()12max 60F PF ∠= ，C 正确；1290F PF ∴∠<对于D ，，，，D 正确. 1min 1PF a c =-= 1max 3PF a c =+=113PF ∴≤≤故选：CD.12．已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足1111ABCD A B C D -E O ､1111A B A C ､P ，则下列说法正确的是（ ）1312423AP AB AD AA =++A ．点到直线 A BEB ．点到平面 O 11ABC DC ．平面与平面1A BD 11B CD D ．点到直线的距离为 P AB 2536【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，()()0,0,0,1,0,0A B ，()()()()11110,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,,0,12D A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭所以. ()11,0,0,,0,12BA BE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u r u u r设，则ABE θ∠=cos BA BE BA BEθ=⋅⋅=sin θ==故到直线的距离，故A 对. ABE 1sin 1d BA θ===u u r 易知，111111,,0222C O C A ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭平面的一个法向量，11ABC D ()10,1,1DA =-则点到平面的距离，故B 对. O 11ABCD 1121DA C O d DA ⋅===.()()()11111,0,1,0,1,1,0,1,0A B A D A D =-=-=u u u r u u u r u u u u r设平面的法向量为， 1A BD (),,n x y z =则，所以 1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0,0x z y z -=⎧⎨-=⎩令，得，1z =1,1y x ==所以.()1,1,1n =所以点到平面的距离1D 1A BD 113||A D n d n ⋅===因为平面平面，1A BD A 11B CD 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 1A BD 11B CD 1D 1ABD 所以平面与平面C 错. 1A BD 11B CD 因为，131242 3AP AB AD AA =++ 所以312,,423AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭又，则， ()1,0,0AB = 34AP AB AB⋅=所以点到的距离，故D 错. P AB 456d =故选：AB.三、填空题13．已知为数列的前项和，若，且，则________.n S {}n a n 112a =122n n a a +=-100S =【答案】4256【解析】求得数列的周期，由此求得.100S 【详解】由题意，，，，2241322a ==-33a =42a =-512a =∴数列是周期数列，且周期为4.{}n a ．()100123414425252532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭故答案为： 4256【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.14．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为80x +=222(0)x y r r +=>,A B ||6AB =r _________． 【答案】5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，d 进而利用弦长公式．||AB =r 【详解】因为圆心到直线的距离， ()0,080x+=4d ==由，解得． ||AB =6==5r 故答案为：．5【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 15．已知空间中三点，则点A 到直线的距离为__________． (1,1,2),(0,0,0)A B C -BC 【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.【详解】， (1,1,2),(0,0,0)A B C -(1,1,2)CA CB ∴==-==cos ,CA CB CA CB CA CB ⋅∴<>===sin ,CA CB ∴<>=设点A 到直线的距离为，则 BC dsin ,d CA CA CB =<>==16．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有____种. 【答案】1008种【分析】利用特殊位置优先原则分类讨论计算即可.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；1545C A 480=若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；124224C A A 96=若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种.11243324C C A A 432=故总的站法有1008种. 故答案为：1008四、解答题17．设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为3x =-()323f x ax bx x c =+-+()y f x =1x =8.(1)求的单调区间；()f x (2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.()f x []1,1-c 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是(),3-∞-1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)4【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；()()3018f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩,a b （2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果. 【详解】（1），由已知得，()2323f x ax bx '=+-()()3018f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩得，解得．276303238a b a b --=⎧⎨+-=⎩1,4a b ==于是，()()()2383331f x x x x x =+-=+-'由，得或，由，得， ()0f x ¢>3x <-13x >()0f x '<133x -<<可知是函数的极大值点，符合题意，3x =-()f x 1,4a b ==所以的单调递增区间是和，单调递减区间是. ()f x (),3-∞-1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由（1）知，()3243f x x x x c =+-+因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数， ()f x 11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦又，()()1216f c f c =+<-=+所以的最大值为，解得.()f x ()1610f c -=+=4c =18．已知直线：，.l ()()231370a x a y a +--++=a ∈R (1)证明直线过定点，并求出点的坐标；l A A (2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方l 'A y x 12l '程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.l a 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为A ()2,1--(2)或 20x y -=240x y ++=(3) [)7,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决. 1a =32a =-1a ≠32a ≠-【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，l ()23370x y a x y -++++=所以直线过直线与的交点，l 230x y -+=370x y ++=联立方程组， 230370x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得， 21x y =-⎧⎨=-⎩所以直线过定点，点的坐标为.l A A ()2,1--（2）当截距为0时，直线的方程为，即， l '12y x =20x y -=当截距不为0时，设直线的方程为， l '1x y a b +=则，2112a b a b --⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得， 42a b =-⎧⎨=-⎩直线的方程为，即， l '142x y +=--240x y ++=故直线的方程为或.l '20x y -=240x y ++=（3）当时，直线的方程为，符合题意；1a =l 2x =-当时，直线的方程为，不符合题意； 32a =-l 1y =-当，且时，， 1a ≠32a ≠-233711a a y x a a ++=+--所以 ()()()()232310013710370101a a a a a a a a a +⎧⎧+-≥≥⎪⎪⎪-⇒+-≥⎨⎨+⎪⎪≥-≠⎩⎪-⎩解得或， 1a >73a ≤-综上所述，当直线不经过第四象限时，l 的取值范围是：. a [)7,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦19．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E ，M ，N 分1111ABCD A B C D -18AA =4AB =60BAD ∠=︒别是BC ，，的中点．1BB 1A D(1)证明：平面；//MN 1C DE (2)求二面角的正弦值．1A MA N --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接ME ，，证明四边形MNDE 为平行四边形，可得，再根据线面平1B C //MN DE 行的判定定理即可得证；（2）连接，，设，，以O 为原点，可建立如图所,AC BD 1111,A C B D AC BD O = 11111A C B D O ⋂=示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接ME ，，1B C ∵M ，E 分别为，BC 中点，1BB ∴ME 为的中位线，1B BC A ∴且， 1//ME B C 112ME B C =因为且，11//A B CD 11A B CD =所以四边形为平行四边形，所以且，11A B CD 11//AD B C 11AD B C =又N 为中点，∴且， 1A D 1//ND B C 112ND B C =∴，，//ME ND ME ND =∴四边形MNDE 为平行四边形，∴，又平面，平面，//MN DE MN ⊄1C DE DE ⊂1C DE ∴平面；//MN 1C DE （2）连接，，设，，,AC BD 1111,A C B D AC BD O = 11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：平面ABCD ，1OO ⊥∵四边形ABCD 为菱形，∴，AC BD ⊥则以O 为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，，，，()A ()0,2,4M ()1A ()0,2,0D-)1,4N-取AB 中点F ，连接DF ，则，)F ∵四边形ABCD 为菱形且，60BAD ∠=︒∴为等边三角形，ABD △∴，DF AB ⊥又平面ABCD ，平面ABCD ，1AA ⊥DF ⊂∴，1DF AA ⊥又平面，11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂11ABB A ∴平面，即DF ⊥平面，DF ⊥11ABB A 1AMA ∴为平面的一个法向量，且， DF 1AMA )DF =设平面的一个法向量为，1MA N (),,n x y z = 又，，()12,4MA =-)3,0MN =- ∴，令，， 124030n MA y z n MN y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩x 1y =1z =-∴平面的一个法向量为 1MA N )1n =- ∴，cos ,DF nDF n DF n⋅===⋅ ∴ sin ,DF n = ∴二面角 1A MA N --20．在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一359,25S S ==2d =124,,S S S 232n S n n =-个，补充在下面问题中，并解答该问题.记等差数列的公差为，前项和为，已知__________.{}n a d n n S (1)求的通项公式；{}n a (2)令，求数列的前项和. 12n n n b a a +={}n b n n T 【答案】(1)选条件①：；选条件②：；选条件③：21n a n =-21n a n =-65n a n =-(2)选条件①：；选条件②：；选条件③： 221=+n n T n 221=+n n T n 261n n T n =+【分析】（1）若选条件①，即可得到关于、的方程组，从而求出、，即可得解；1a d 1a d 若选条件②，依题意可得，即可求出，即可得解； 2214S S S =⋅1a 若选条件③，根据，作差计算可得； 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）由（1）得到的通项公式，再利用裂项相消法计算可得.{}n b 【详解】（1）解：若选条件①，（1）由题意得，解得， 1133955225a d a d +⨯=⎧⎨+⨯=⎩112a d =⎧⎨=⎩得，所以数列的通项公式为.()11221n a n n =+-⨯=-{}n a 21n a n =-若选条件②，依题意，由，得，解得， 2214S S S =⋅()()211122412a a a +=⋅+11a =又因为，所以，2d =()11221n a n n =+-⨯=-所以数列的通项公式为.{}n a 21n a n =-若选条件③，当时，；1n =111a S ==当时，.2n ≥()()221323(1)2165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦因为满足上式，所以数列的通项公式为.11a ={}n a 65n a n =-（2）解：选条件①②，由（1）知， ()()21121212121n b n n n n ==--+-+则， 11111121133521212121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列的前项和.. {}n b n 221=+n n T n 若选条件③，由（1）知， ()()2111656136561n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭则， 1111111121137713656136161n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列的前项和 {}n b n 261n n T n =+21．在平面直角坐标系中，抛物线上一点P 的横坐标为4，且点P 到焦点F 的xOy 22(0)y px p =>距离为5．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于A ，B 两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l 必:l x my t =+94OA OB ⋅= 过定点．【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程；p （2）设出坐标，联立直线与抛物线方程，求得，根据，建立等式求出,A B 1212,y y x x ⋅⋅94OA OB ⋅= t ，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，点P 到抛物线准线的距离为5，因为抛物线的准线方程为，点P 的横坐标为4， 2p x =-所以，解得，所以抛物线的方程为； 452p +=2p =24y x =（2）证明：设，且， 221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭120y y <联立消去x 可得， 2,4,x my t y x =+⎧⎨=⎩2440y my t --=则，且，即，2Δ16160m t =+>12124,40y y m y y t +==-<0t >所以， ()22222121214416y x x t y y y ⋅=⋅==由，得，即， 94OA OB ⋅= 121294x x y y +=2944t t -=解得（舍）或，故直线l 的方程为， 102t =-<92t =92x my =+所以直线l 必过定点． 902,⎛⎫ ⎪⎝⎭22．已知函数.()2ln f x ax x =-(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.()2g x x =-31,e x ⎡⎤∈⎣⎦()()f x g x ≥a 【答案】(1)见解析；(2) 22e 2,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解；()f x （2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可()2ln 2x x F x x +-=()F x 31,e ⎡⎤⎣⎦求解.【详解】（1）函数的定义域为，求导得， ()f x ()0,∞+()2f x a x'=-若，，函数在上单调递减； 0a ≤()0f x '<()f x ()0,∞+若，当时，，当时，， 0a >2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x ¢>因此，函数在上单调递减，在上单调递增， ()f x 2(0,)a2(,)a +∞综上：当时，函数在上单调递减；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的减区间为，增区间为. 0a >()f x 2(0,)a2(,)a +∞（2）令，()()()()12ln 2h x f x g x a x x =-=--+(0)x >于是恒成立，即恒成立， ()31,e ,0x h x ⎡⎤∀∈≥⎣⎦2ln 2x x a x+-≥令，求导得， ()2ln 2x x F x x +-=()()222ln x F x x -'=当时，，当时，， )21,e x ⎡∈⎣()0F x '>(23e ,e x ⎤∈⎦()0F x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()F x )21,e ⎡⎣(23e ,e ⎤⎦因此，，则有， ()()222max e 2e e F x F +==22e 2e a +≥所以的取值范围是. a 22e 2[,)e++∞【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利()f x a ≥()g x a ≤min ()f x a ≥max ()g x a ≤用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；()f x ()g x (2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.。
龙海程溪中学高二年级下学期期中考试数学Word版含答案
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龙海市程溪中学高二下学期期中考试数学 Word 版含答案
10. 设 是定义在 R 上的奇函数，
，当 时，有
恒成
立，则
的解集为
A.
B.
C.
D.
11. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供
栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色
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龙海市程溪中学高二下学期期中考试数学 Word 版含答案 率； Ⅲ 若三个人参加交通法规考试，用 X 表示这三人中考试合格的
人数，求 X 的分布列与数学期望．教育精品
22. 已知函数
．
Ⅰ 当 时，求曲线 在点
处切线的方程；
Ⅱ 求函数 的单调区间；
Ⅲ当
时，若
恒成立，求 a 的取值范围．教育精品
不同，则最多有几种栽种方案 教育精品
A. 180 种 B. 240 种 C. 360 种 D. 420 种
12. 已知函数 满足
，且当
时，
立，若
成 ，则
的大小关系是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若
，则
______ ．
14. 在口袋中有不同编号的 5 个白球和 4 个黑球，如果不放回地依次取两个
5. 已知
为虚数单位，若
为纯虚数，则 a 的值为
A. 2B. 1C. D.
1/1
龙海市程溪中学高二下学期期中考试数学 Word 版含答案
6. 函数
的图象大致为
A.
B.
C.
D.
7. 已知
福建省高二数学下学期期中试题文
所以首项 的所有可能取值是 …………………………………………12分
男性
女性
合计
做不到“光盘”
18
能做到“光盘”
14
合计
50
（Ⅰ）补全相应的2×2列联表；
（Ⅱ）运用独立性检验的思想方法分析：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在学校食堂用餐的学生能做到“光盘”与性别有关？并说明理由.
19、（本小题满分12分）
已知 复数 （其中 为虚数单位）.
（Ⅰ）当实数 取何值时，复数 是纯虚数；
70
90
（Ⅰ）若该演员的粉丝数量 与上春晚次数 满足线性回归方程，试求回归方程 ;
（Ⅱ）根据以上数据分析，估计该演员上春晚12次时的粉丝数量.
21、（本小题满分12分）已知 ， ( )
（Ⅰ）分别就 和 判断A与B的大小关系，并由此猜想:对于任意的正数 ，
A与B的大小关系及等号成立的条件；
（Ⅱ）请证明你的猜想.
（1）由题意得 ，………………………………………………….4分
解得 .
时，复数 为纯虚数..………………………………………6分
（2）由题意得 ,………………………………………………………….8分
解得 ，
时，复数 对应的点位于第四象限..…………………………….12分
20、解：（1）由题意可知， ， ………………………………2分
高中二年数学（文）科参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
B
C
A
2020-2021学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期中数学试卷(理科)Word版含解析
2022-2021学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2021春•龙海市校级期中）设复数z 的共轭复数是，z=3+i ，则等于（）A．3+i B．3﹣i C．i+D．+i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知求出，代入化简计算．解答：解：z=3+i ，所以=3﹣i ，则；故选：D．点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数的除法运算；属于基础题．2．（5分）（2021春•龙海市校级期中）若a∈{1，2，3，5}，b∈{1，2，3，5}，则方程y=x表示的不同直线条数为（）A．11 B．12 C．13 D．14考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先不考虑重复状况，有16种状况，再减去其中斜率为1时重复三次，故可得答案．解答：解：由题意，不考虑重复状况，有4×4=16种状况，其中斜率为1时重复三次，故方程y=x表不同的直线有16﹣3=13条，故选：C点评：本题以直线为载体，考查排列问题，留意排解重复状况．3．（5分）（2022秋•崇义县校级期末）以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A．∪B．[0，π）C．D．∪考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．解答：解：y'=cosx∵cosx∈[﹣1，1]∴切线的斜率范围是[﹣1，1]∴倾斜角的范围是[0，]∪故选A点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，导函数的基本学问．考查了同学对基础学问的机敏运用．4．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：依据题意，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=C n+18，再结合组合数的性质，分析可得答案．解答：解：依据题意，C n+17﹣C n7=C n8，变形可得，C n+17=C n8+C n7，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=C n+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．点评：本题考查组合数的性质，C n m+C n m﹣1=C n+1m是一个常用的性质．5．（5分）（2021春•龙海市校级期中）函数y=x2e x的单调递减区间是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）与（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）与（0，+∞）D．（﹣2，0）考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由y′=2xe x+x2e x≤0，解得x的取值范围即可．解答：解：由y′=2xe x+x2e x＜0，解得﹣2＜x＜0．∴函数y=x2e x的单调递减区间是（﹣2，0）．故选D．点评：娴熟把握原理导数争辩函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）“可导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据函数极值的定义以及充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：函数y=f（x）在一点的导数值是0，则函数y=f（x）在这点不愿定取极值，比如函数f（x）=x3，满足f'（0）=0，但x=0不是极值．若函数y=f（x）在这点取极值，则依据极值的定义可知，y=f（x）在一点的导数值是0成立，∴“函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”必要不充分条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用函数极值的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）（2021春•龙海市校级期中）函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：先求导函数，令导数等于0 求出满足条件的x，然后争辩导数符号，从而求出何时函数取最大值．解答：解：y′=1﹣2sinx=0 x∈[0，]解得：x=当x∈（0，）时，y′＞0，∴函数在（0，）上单调递增当x∈（，）时，y′＜0，∴函数在（，）上单调递减，∴函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时x=故选B．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数争辩函数的最值，属于中档题．8．（5分）（2022•昌邑区校级三模）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．B．个C．个D．个考点：排列、组合及简洁计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由此可得结论．解答：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为∴由分步计数原理可得不相同的牌照号码共个故选A．点评：本题考查排列学问的运用，考查同学分析解决问题的力气，属于基础题．9．（5分）（2021春•祁县校级期中）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．解答：解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x ﹣）|=；故选C．点评：本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．10．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，由于对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又由于，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（2021春•龙海市校级期中）dx=+．。
福建省龙海市高二下学期第二次月考试题(6月)数学(文)Word版含答案
龙海二中2017-2018学年下学期第二次月考高二数学（文科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知幂函数的图象经过点，的值等于（）A. 16B. D.2．）A. B. C. D.3）A. B. C. D.4）A. B. C. D.5是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．）A. B. C. D.7）A. B. 11 C. D. 28．已知定义在上的减函数满足条件：对任意，总有）A. B. C. D.9（）A. B. 2 C. -1 D. 110）A. B.C.D. 11．设函数f (x )为偶函数，且∀x ∈R，x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝（ ）A. |x ＋4|B. |2－x |C. 2＋|x ＋1|D. 3－|x ＋1|12．设是定义在R 上的偶函数，且f （x+2）=f （2﹣x ）时，当x ∈[﹣2，0]若（﹣2，6）在区间内关于x 的方程xf （x ）﹣log a （x+2）=0（a ＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a 的范围是（ ）A. B. （1，4） C. （1，8） D. （8，+∞） 二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）13__________．14．已知下列命题，其中真命题的是__________．15．．16.值域如果函闭函数，取值范围是__________．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10（1（C U A；（218．（12的取值范围.19．（12（1（2m的取值范围．20．（12分）已知立；为真，值范围.21．（12（1（2（3.22．（12..龙海二中2017-2018学年下学期第二次月考高二数学（文科）答案一、选择题（每题5分共60分）1-5：DCADA 6-10：BACBB 11-12：DD二、填空题（每题5分共20分）1314．②1516【解析】若函数f（x）=[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]∴a，b是方程x=即a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x≥k）的两个不相等的实数根，当(21124k⎡=-+⎣⎛⎫-=⎪⎝⎭(()22kk k⎡=-+⎣=-综上，可得-1＜三、解答题17．解：（1）{1B x=……………………2分}8x>或{1B x=5分（2）A C⋂≠∅10分18．分4分{2B x =6分{2x x =+8分10分12分19．试题解析：（12分由f （x+2）-f （x ）4分又f （x+2）-f （x ）=16x ，得4ax+4a+2b=16x6分（28分10分12分204分.8分为真，综上所述，12分21．试题解析：（1……………………………3分（25分7分（3……………………8分10分当且仅当时，不等式在区间上恒成立，因此…………………………………………………………12分22．试题解析：3分6分8分10分12分。
福建省高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年福建高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．12．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣14．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．198．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=010．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣111．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= ，f（n）= ．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．2016-2017学年福建师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=4x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．4 B．0 C．﹣1﹣i D．1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为1，得出结果【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在一条直线y=4x+1上，那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为1．故选：D．2．i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】A1：虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．3．复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由纯虚数的定义可得：m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m．【解答】解：复数z=m2+2m+（m2+3m+2）i是纯虚数，∴m2+2m=0，m2+3m+2≠0，解得m=0．故选：A．4．给出下面类比推理：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”；③“a，b∈R，若a﹣b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b=0，则a=b”；④“a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b”类比推出“a，b∈C，若a﹣b＞0，则a＞b（C为复数集）”．其中结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】F3：类比推理．【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．【解答】解：①“若2a＜2b，则a＜b”类比推出“若a2＜b2，则a＜b”，不正确，比如a=1，b=﹣2；②“（a+b）c=ac+bc（c≠0）”类比推出“=+（c≠0）”，正确；③在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故正确；④若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故错误．故选：B．5．满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程；A3：复数相等的充要条件．【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．【解答】解：|3+4i|=5满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆．故应选C．6．下列推理是演绎推理的是（）A．由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想椭圆=1（a＞b＞0）的面积S=πabB．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C．猜想数列，，的通项公式为a n=（n∈N*）D．半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．【解答】解：选项A：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项B：是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，C是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；选项D：半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，半径为r圆的面积S=πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提，单位圆的面积S=π为结论；故选：D．7．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=153，b=119，则输出的a值是（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】EF：程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：第一次循环得：a=153﹣119=34；第二次循环得：b=119﹣34=85；第三次循环得：b=85﹣34=51；同理，第四次循环b=51﹣34=17；第五次循环a=34﹣17=17，此时a=b，输出a=17，故选：B．8．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，圆心为C点A（，），则线段AC 的长为（）A．B．5 C．D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），利用两点之间的距离公式可得线段|AC|．【解答】解：圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，即ρ2=ρ（4cosθ﹣2sinθ），利用互化公式化为直角坐标方程：x2+y2=4x﹣2y，配方为：（x﹣2）2+（y+1）2=5．可得圆心C（2，﹣1）．点A（，）化为直角坐标：A（1，1），则线段|AC|==．故选：A．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 + f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，=，∵+f（x）=，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．10．已知函数f（x）=f′（）sinx+x，则f′（π）=（）A．B．﹣ C．1 D．﹣1【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的求导公式，即可得到结论．【解答】解：f′（x）=f′（）cosx+1，∴f′（）=f′（）cos+1，∴f′（）=2，∴f′（π）=2cosπ+1=﹣2+1=﹣1，故选：D．11．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a 分类讨论：①当a＜0时，由题意可得；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：，即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共20分）13． = ﹣1﹣i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．14．已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先分析题目关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实根，可把实根设出来，然后根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设方程的实根为x0，则，∵x0、m∈R，∴方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得．则实数m为．故答案为：．15．某少数民族刺绣有着悠久历史，下图中的（1）（2）（3）（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（5）= 41 ，f（n）= 2n2﹣2n+1 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=5时，f（5）=41．故答案为：41；2n2﹣2n+1．16．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数为f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜f（）sinx的解集是．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．可得函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，利用单调性即可解出；x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，利用单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=，x∈（﹣π，0）∪（0，π），g′（x）=＜0，0＜x＜π．∴函数g（x）在（0，π）上单调递减．奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），因此函数g（x）为偶函数．x∈（0，π），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＜，∴π＞x∈（﹣π，0），不等式f（x）＜f（）sinx化为：＞=，∴．综上可得：x∈：．故答案为：．三、解答题：（本大题共2小题，共70分）17．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万元） 1 2 3 4销售收入y（单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？（线性回归方程系数公式： ==， =﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（I）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．（Ⅱ）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．【解答】解：（Ⅰ）列出下列表格，x i 1 2 3 4y i12 28 42 561 4 9 16x i y i12 56 126 224x i y i=418，=30， =， =…代入公式得：b==，…a=﹣b=﹣×=﹣2．…故y与x的线性回归方程为y=x﹣2．…（Ⅱ）当x=9万元时，y=×9﹣2=129.4（万元）．…所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．…．18．某机构随机调查了某市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：次数人数年龄[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”．根据以上数据，用样本估计总体，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据题意，填写列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：根据题意，得出2×2列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700 100 800^非青年人800 200 1000总计300 1500 1800…计算K2==18＞7.879，…根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．…[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|•|FB|的值．（也可以利用参数的几何意义做）．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），可得答案．【解答】解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，可得x2+3y2=12，即．其左焦点为（﹣2，0）．直线l消去参数t可得：x﹣y=m，∵左焦点F在直线l上，∴直线l方程为：x﹣y=﹣2．联立，解得A（，），B（，）那么|FA|•|FB|=2．法二：几何法：∵左焦点为（﹣2，0）．左焦点F在直线l上，带入参数方程可得：，将直线参数方程带入椭圆x2+3y2=12，可得：t2﹣2t﹣2=0．那么|FA|•|FB|=|t1t2|=2（2）设椭圆在第一象限上一点P（2cosθ，2sinθ），（）内接矩形周长为：L=8cosθ+8sinθ）=16sin（θ+），∴当时，周长取得最大值为为16．∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）当m＞1时，若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，且关于x的不等式f（x）＜a 有解，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；（II）判断f（x）的单调性，利用单调性列方程组解出m．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，由不等式f（x）＞4得|x﹣1|+|x﹣2|＞4，∴或或，解得或，∴原不等式的解集为．（Ⅱ）当m＞1时，，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，m）上为常数函数，在（m，+∞）上单调递增，∵f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}，∴，即，解得m=3．解答题21．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax+b+a）﹣2x﹣4因为曲线y=f（x）在x=﹣2和x=﹣ln2处有极值，所以，即，解得a=b=4，经检验a=b=4符合题意，所以a=b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ln2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣ln2，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，﹣ln2）递减，在（﹣ln2，+∞）递增，故x=﹣2时，函数f（x）取极大值，极大值是f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．22．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0（ I）求b；（II）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（ I），由题设知 f'（1）=0，解得b=1．…（Ⅱ） f （x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知，，…（i）若，则，故当x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上单调递增．…所以，存在x0≥1，使得 a，b的充要条件为，…即，所以，满足，所以符合题意…（ii）若，则，故当x∈（1，）时，f'（x）＜0，x∈（）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，）上单调递减，f （x）在（）单调递增．…所以，存在x0≥1，使得的充要条件为，而，所以不合题意．…（ⅲ）若a＞1，则．所以a＞1符合题意．…综上，a的取值范围为：…21。
2019-2020学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 方程在复数集内的解集是( ) A. B. {0} C. {0,} D. {0,，−}2. 已知f(x)=sinx +lnx ，则f′(1)的值为( )A. 1−cos 1B. 1+cos 1C. cos 1−1D. −1−cos 1 3. 已知i 为虚数单位，则5i 1−2i =( )A. 2+iB. −2+iC. 2−iD. −2−i4. 如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0,−1)，B(π,−1)，C(π,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=sinx 和余弦曲线g(x)=cosx 在矩形ABCD 内交于点F ，则图中阴影部分的面积为( )A. √2+1B. √2−1C. √22D. √2 5. 当复数(1−ai 1+ai )2021=i 时，实数a 的值可以为( )A. 0B. 1C. −1D. ±16. 定义运算a ⊙b ={a(a ≤b)b(a >b)，则函数f(x)=1⊙(12)x 的图象是( )A. B.C. D.7.若f(x)=xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)等于()A. 1−sinxB. x−sinxC. sinx+xcosxD. cosx−xsinx8.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则当时，不等式的解集为()A. B. C. D.9.小王、小张、小赵、小李四个人比赛，赛前甲说小王第一，小张第三；乙说小李第一，小赵第四；丙说小赵第二，小王第三．比赛结果没有人并列且三人各猜对一半，则小王名次是()A. 第一B. 第二C. 第三D. 第四10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[−3,−2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是()A. f(sinα)>f(cosβ)B. f(sinα)<f(cosβ)C. f(sinα)=f(cosβ)D. f(sinα)≥f(cosβ)11.将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A、B两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有()A. 36种B. 32种C. 24种D. 20种12.0<a<1，0<b<1，且a≠b，则下式中最大的是()A. a2+b2B. a+bC. 2abD. 2√ab二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在(1+x)5(1−x)4的展开式中，x3的系数是______．14. 某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率是______ ．15. 定积分∫(1−12x +sinx)dx 的值为______．16. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D −ABC 的体积是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 由1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的五位数．(1)将所有的五位数从小到大依次排列，42351是第几个数？(2)所有的五位数的和为多少？18. 已知函数f(x)=lnx −ax ．(1)当a =1时，求f(x)的最大值；(2)试讨论函数y =f(x)的零点情况；(3)设a k ，b k ，…(k =1,2，…，n)均为正数，若a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ≤b 1+b 2+⋯+b n ，求证：a 1b 1⋅a 1b 2…a n b n ≤1．19.在二项式(ax m+bx n)12(a>0,b>0,m、n≠0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求a的范围．b20.四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F是AB，SC的中点(1)求证：EF//平面SAD；(2)设SD=2CD，求二面角A−EF−D的余弦值．21.某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5，的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；(I)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；(II)已知该厂生产一件产品的利润y(单位：元)与产品的等级系数ζ的关系式为y={1,ξ<32,3≤ξ<5 3,ξ≥5，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为z，求z的分布列和均值．22.已知a为实数，函数f(x)=(1+ax)e x，函数g(x)=11−ax，令函数F(x)=f(x)⋅g(x)．(1)若a=1，求函数f(x)的极小值；(2)当a=−12时，解不等式F(x)<1；(3)当a<0时，求函数F(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：因为，所以，所以，或，所以．考点：复数复数的运算 点评：本题考查复数形式的运算，关键是要熟练运用复数的定义，属基础题． 2.答案：B解析：本题主要考查导数加、减法的运算法则，属于简单题.求函数在某点处的导数值，先求导函数。
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福建省龙海市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文（无答案）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设i 是虚数单位，复数21i
z i
=
+，则｜z ｜＝（ ）
A ．1
B
C
D ．2
2．下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是( )
①因为对数函数)1(log >=a x y a 是增函数；② 所以x y 2log =是增函数；③而x y 2log =是对数函数．
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．③
3．用反证法证明命题“三角形中至多一个内角是钝角”时，结论的否定是( )
A ．没有一个内角是钝角
B ．有两个内角是钝角
C ．有三个内角是钝角 D.至少有两个内角是钝角 4．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( )
A.1a <1b B ．a ＋1b >b ＋1a C ．b ＋1a >a ＋1b D.b a <b ＋1a ＋1 5.下列结论正确的是( )．
A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x
≥2
B ．当x ＞0时，x ＋1
x
≥2
C ．当x ≥2时，x ＋1
x
的最小值为2
D ．当0＜x ≤2时， x －1
x
无最大值
6．将曲线x 23＋y 2
2＝1按φ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ′＝1
3
x ，
y ′＝1
2y
变换后的曲线的参数方程为( )
A.⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数) B.⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)
C.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13
cos θ，
y ＝1
2sin θ
(θ
为参数) D.⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
3
cos θ，y ＝22sin θ
(θ为参数)
7．将参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ(θ为参数)化为普通方程为( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)
8．已知直线l 1的极坐标方程为2ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 012，直线l 2的参数方程为
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2 012＋t cos 3
4
π，
y ＝2 012＋t sin 34
π(t 为参数)，则l 1与l 2的位置关系为( )
A ．垂直
B ．平行
C ．相交但不垂直
D ．重合
9函数y ＝
1
x －3
＋x (x ＞3)的最小值是( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
10．已知椭圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，其对应的参数φ＝π
3，
点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )
A ．1
B ．2 C. 3 D ．2 3
11．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA |的最小值是( )
A ．0 B. 2 C.2＋1
D.2－1
12．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2
)(1a 2＋1b 2＋1c
2)最小值为( )
A ．7
B ．9
C ．12
D ．18
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．
13．若复数
i a a a )2()232
-++-（是纯虚数，则实数a 的值为 14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．
15.求函数f (x )＝x (5－2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52的最大值为
16．观察下列不等式
213122+
< ,353
121122<++
4
7
4131211222<+++，……
照此规律，第n 个不等式为 ． 三、解答题（共6题，满分70分）解答应写演算步骤。
17．（本小题满分10分）
.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m 3
, 深度为3m , 如果池底每1m 2
的造价为150元, 池壁每1m 2
的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元?
18．(12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝
⎛⎭⎪⎫
233
，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数)．
(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
19．(12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π
2)，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
20．(12分)已知:不等式x x <--142
(I)求该不等式的解集M ； (II ）设a a ∈≠R 且
a 的大小．
21．(12分) 设函数f (x )＝|x |＋|x －2|－m .
(1)当m ＝4时，求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的定义域为R ，求m 的取值范围
22．(12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－2
2
t y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在
极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.。