九年级数学直角三角形1(2019年8月整理)
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
九年级数学解直角三角形1-(2)
2019-2019学年九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件北师大版
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习新知
检测反馈
在日常生活中,我们常常遇到与 直角三角形有关的问题,知道直 角三角形的边可以求出角,知道
角也可以求出相应的边.如图所
示,在Rt△ABC中共有几个元素? 我们如何利用已知元素求出其他 的元素呢?
学习新知
已知两条边解直角三角形
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2 只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
只给出一条边长,不能解直角三角形.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一 条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定
下来.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理 求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个 锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个
锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函 数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐 角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求
出第三条边.
已知一条边和一个角解直角三角形
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据 锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误; 过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐 角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以 AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°.求这个三 角形的其他元素(边长精确到1).
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
九上数学解直角三角形知识点
九上数学解直角三角形知识点
九年级数学解直角三角形知识点主要包括：
1. 锐角三角函数：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切值可以通过三角函数的定义直接计算。
例如，在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，那么sinA=BC/AB，cosA=AC/AB，tanA=BC/AC。
2. 余角三角函数关系：当两个角互为余角时，它们的三角函数值之间存在一定的关系。
例如，如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB。
3. 同角三角函数关系：三角函数之间还存在着一些恒等式，例如
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1。
4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦和正切函数随着角度的增大而增大，而余弦和余切函数随着角度的增大而减小。
5. 特殊角的三角函数值：对于一些特殊角度（如0°、30°、45°、60°和90°），其三角函数值是已知的。
这些值需要熟练记忆。
6. 解直角三角形：在直角三角形中，已知一些边的长度或者角度，可以通过三角函数来求解其他未知的边或角度。
以上是九年级数学解直角三角形的主要知识点。
在学习时，除了理解每个知识点的含义和计算方法外，还需要通过大量的练习来加深理解和提高解题能力。
人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形课件1 【经典初中数学课件】
∠BCA=900, ∠CAB=300
∴BC=AB·sin∠CAB
=14·sin300=14×1/2=7
∴ ∠1=600
∠2=300
北
600
A
M C
1 2 150
B
东
在Rt⊿BCM中，BC=7 ∠CBM=∠2+150=450, ∴∠M=900- ∠CBM=450 ∴ CM=BC=7
B M C2 M B 2 C 7 2 7 2 72
Bα
Dβ
C
A
（三）练一练
如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东
60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯
塔M与渔船的距离是 (
)
A7. 2海里 B. 1海4 里2 C.7海里 D.14海里
解：作BC⊥AM，垂足为C.
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
答：船与灯塔的距离为：7 2 海里
（四）挑战自我
【 例 3】某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后 必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正 以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风 中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货 物?(供选用数据：
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 sinA＝
，sinB=
，cosA=
，
cosB=
， tanA=
， tanB=
直角三角形全等的判定(1)(2019年12月整理)
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
两个三角形全等的识别方法：
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
A
A`
B
C B`
C`
② 边角边（S A S）
A
A`
B
C B`
C`
③ 角边角（A S A）
A
A`
B
C B`
C`
④ 角角边（A A S）
三角形全等的判定
想一想: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等?
两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定 全等.
证明:只要举一个反例即可.如图:
B
B′
B′
A● (1)
C A′ ● (2)
C′ A′
●
(3)
C′
因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不
一定全等.
切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!!!
求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°、45°、60°角的三角函数值课件(新版)北师大版
2 30°，45 °，60°角的三角函数
12．如图 K－3－4，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3， 则 AB 的长为__3＋ ___3___．
图K－3－4
2 30°，45 °，60°角的三角函数
二、填空题
8．点 M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是 ___－__2_3_，_－__12_ ___．
[解析]
∵sin60°＝
23，cos60°＝12，∴点
M
的坐标为－
23，12.∵点
M
关于
x
轴对称的点，横坐标不变，纵坐标为其相反数，∴点 M 关于 x 轴对称的点的坐标
是－
23，－12.
2 30°，45 °，60°角的三角函数
9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5 2，AC＝5 6，则∠A＝ ____3_0___°.
[解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5
2，AC＝5
6，∴tanA＝55
2 6
＝ 33，∴∠A＝30°.故答案为 30.
图K－3－2
2 30°，45 °，60°角的三角函数
BC 3 2 2 [解析] C ∵sin∠CAB＝AC＝ 6 ＝ 2 ，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝ B′C′ 3 3 3 AC′ ＝ 6 ＝ 2 ，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°， 即鱼竿转过的角度是 15°.故选 C.
2 30°，45 °，60°角的三角函数
1 解：(1)原式＝2－2×(
九年级数学-解直角三角形及其应用
第26讲 解直角三角形及其应用知识导航1．在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形边角之间的关系：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有：(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)∠A ＋∠B ＝90°；(3)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a． 3．解直角三角形实际应用时常用的概念：(1)仰角、俯角；(2)方向角；(3)坡角、坡度．【板块一】解直角三角形及实际应用方法技巧1．灵活运用边角关系求边与角；2．若所求解的直角三角形“不可直接解”，应注意设元，借助方程来解决； 3．如果图形中没有直角时，要添加垂线将其转化为直角三角形求解． ▶题型一 可直接解直角三角形【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝2，∠A ＝30°； (2)a ＝b ＝9； (3)∠A ＝2∠B ，c －b ＝4．【解析】(1)∵∠A ＝30°，∠B ＝60°．∴a ＝c sin ∠A ＝2×12＝1．b ＝c cos ∠A ＝2(2)由勾股定理得c＝tan ∠A ＝ab．∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．(3)∵∠A ＝2∠B ，∠A ＋∠B ＝90，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°．∴c ＝20，c －b ＝4．∴b ＝4，c ＝8．∴a＝【点评】在已知条件中，如有针边，用正弦或余孩，无针边时用正切，求边时，要灵活运用三角函教和勾股定理．▶题型二 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解【例 2】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，∠B ＝120°，ADAB ＝6，点E 是边AB 上一动点，且∠DEC ＝120°，求AE 的长．【解析】过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，则CH ＝AD∵∠ABC ＝120°，∴∠CBH ＝60°，∴BH ＝tan CH CBH ∠＝1，BC ＝cos CH CBH ∠＝2，又AB ＝6,∴CD ＝AH ＝7．易证△BCE ∽△ED C ．∴BE EC ＝CEDC，∴CE 2＝BE ·DC ，设BE ＝x ．∴CE 2＝7x ．在Rt △CEH 中，CE 2＝EH 2＋CH 2＝(x ＋1)2＋2＝7x ，∴解得x ＝1或4．当x ＝1时，AE ＝5；当x ＝4时，AE ＝2．∴AE 的长为5或2． ▶题型三 “化斜为直“解斜三角形【例3】在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，求BC 的长．EDCBAHABCDE【解析】当△ABC是钝角三角形时，如图1，作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝4．∴BH＝Rt△AHC中．HC＝3．∴BC＝3．当△ABC是纯角三角形时，如图2，同上可求得BC＝3．综上所述，BC＝3或3．【点评】1．解斜三角形时，要结合已知条件恰当地引垂线，构造可解的直角三角形；2．已如三角形的两边及某中一边的对角(为锐角)，注意分类讨论．▶题型四方位角、俯角、仰角、坡角等的应用【例4】如图，一般渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，岛礁P正东方向上的避风港继续航行1．5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁Ｐ正东方向上的避风港Ｍ在北偏东60°方向，为了在合风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？(结果保留根号)【解析】过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q．过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，在直角△AQP 中．∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1．5＋BQ＝90＋BQ，所以BQ＝PQ－90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ·tan30PQ，所以PQ－90PQ，所以PQ＝45(3，所以MN＝PQ＝45(3，在直角△BMN中．∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90(3，所以t＝(90375＝小时)．【占评】1．将实际问题转化为数学模型，再将数学模型转化为解直角三角形问题；2．当图中无直角三角形时，通过作垂线，可把问题转化为解直角三角形．【例5】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处调得真立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿同一副面的斜坡AB行走13米至放顶B处，然后两沿水平方向行走6米至大树脚底店D处，涂料面AB的城度(或坡比)＝1：2：4，那么大树CD的高度约为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin36°≈0．59，cos36°≈0．81，tan36°≈0．73)图2图1H HCABAB C避风港北PA BMNMBAPQ北避风港EDCBA ABCDEF【解析】过点B作BF⊥AE于点F，则FE＝BD＝6米，∴DE＝BF，∵鞋面AB的放度i＝1：2：4，∴AE ＝2．4BF．设BF＝x米，则AF＝2．4x米，在RT△ABF中，由勾股定理得x2＋(2．4x)2＝132，解得x＝5，∴DE＝BF＝5米，AF＝12米．∴AE＝AF＋FE＝18米，在Rt△ACE中，CE＝AE·tan36°＝18×0．73＝13．14米．CD＝CE－DE＝13．14－5≈8．1米．针对练习11．如图，一般海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD＝4，∠DAC＝30°，解Rt△AB C．解：∵AD平分∠CAB，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝30°，∠CAB＝60°，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝4，∴在Rt△ACD中，CD＝12AD＝2，∴AC＝AD cos30°＝AB＝2AC ＝BC＝BD＋CD＝6．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，点D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，求AD的长．解：过点D作DH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DG⊥AM于点G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝AMCM＝2，∴AM＝2a，AC＝a，S△BDC＝12BC·DH＝BAPDCBADCBA12·2a ·DH ＝10，∴DH ＝10a ，易证四边形DHMG 为矩形，△ADC ≌△CDH ，∴DG ＝DH ＝MG ＝10a，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AG ＝CH ＝a ＋10a ，∴AM ＝AG ＋MG ，即2a ＝a ＋10a ＋10a，∴a 2＝20，在Rt △ADC中，AD 2＋CD 2＝AC 2，又AD ＝CD ，∴2AD 2＝5a 2＝100，AD ＝4．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C 处的俯角为58°，求甲、乙两座建筑物的高度AB 和D C ．(结果取整数)(参考数据：tan 48°≈1．11，tan 58≈1．60)解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，则∠AED ＝∠BED ＝90°，由题意可知BC ＝78m ，∠ADE ＝48°，∠ACB ＝58°，∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°，可得四边形BCDE 为矩形，∴ED ＝BC ＝78m ，DC ＝E B ．在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝ABBC ，∴AB ＝BC ·tan 58≈78×1．60≈125(m )． 在Rt △AED 中，tan ∠ADE ＝AEED，∴AE ＝ED ·tan 48°≈78×1．11≈87(m )．∴EB ＝AB －AE ＝125－87＝38(m )，∴DC ＝EB ＝38m答：甲建筑物的高度约为125m ，乙建筑物的高度约为38m ．5．为了测量竖直旗杆的高度，某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E ，使得点B ，E ，D 在同一水平线上，如图所示。
专题. 解直角三角形【十大题型】-九年级数学上册举一反三系列(华东师大版)
专题24.2解直角三角形【十大题型】【华东师大版】【题型1直角三角形中直接解直角三角形】【知识点解直角三角形】【变式1-2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）中，3．如图，在ABC(1)若D运动到某个位置时，(2)若点D运动到某个位置时，【变式1-3】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）△中，4．如图，在Rt ABC的值．【变式2-2】（2023·江苏·统考中考真题）7．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到tan ACB ∠的值是．【变式2-3】（2023秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）8．如图，ABC 中，AB AC =CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点【题型3网格中解直角三角形】【例3】（2023·湖北武汉·统考三模）9．如图是由小正方形组成的在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图中，点B是格点，先画线段(2)在图中，点B在格线上，过点(3)在图中，点B在格线上，在【变式3-1】（2023秋·江苏苏州·九年级统考期中）10．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段【变式3-2】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）11．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）12．如图是由小正方形组成的用虚线表示．(1)在图（1）中，D ，E 分别是边AB ，AC 与网格线的交点，先将点C 在边AB 上画点G ，使EG BC ∥；(2)在图（2）中，在边AB 上找一点P ，使PA PC =，再在线段AC 上找一点【题型4坐标系中解直角三角形】【例4】（2023·河南洛阳·校联考一模）13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，∠的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当DB x ⊥轴时，k 的值是（A ．23-B ．33-C ．43-D 【变式4-1】（2023·广东湛江·岭师附中校联考一模）14．如图，在ABO 中，AB OB ⊥，3AB =，1OB =，把ABO 绕点点1A 的坐标为．【变式4-2】(1)求直线AB的解析式；(2)若点C在x轴上方的直线AB上，【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线(1)如图1，求k的值：(2)如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且【变式5-1】（2023秋·陕西渭南·九年级统考期中）18．如图，在矩形ABCD中，点A．1B．2【变式5-2】【题型6利用解直角三角形求不规则图形的面积】【例6】（2023春·江苏·九年级专题练习）21．在△ABC中，∠B＝45°，ACA．42B．42【变式6-1】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）中，22．已知：如图，在ABC(1)试求cos B的值；△的面积．(2)试求BCD【题型7解直角三角形的应用之坡度坡比问题】【例7】（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）(1)求斜坡BD 的长；(2)求这台风力发电机AB 的高度（结果取整数）【变式7-1】（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）26．如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为()AH AH BC ⊥，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离（结果精确到1m 【变式7-2】（2023·河北沧州·统考二模）27．某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型．一架无人机始终以每分高度匀速向右飞行，在运动员的正上方进行跟踪拍摄．如图为无人机飞行以及运动员运动路径的图像．已知10km 3OA =，1km AB =，OA 的坡度1:3i =(1)求坡面OA 的垂直高度h ；(2)求直线BC 的函数解析式，并求运动员在下坡路段的速度；(3)通过计算说明运动员在O A B C ---上运动的过程中，与无人机距离不超过【题型8解直角三角形的应用之俯角仰角问题】【例8】（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）29．如图，建筑物AB后有一座小山，点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离高（精确到0.1m）．（参考数据：︒≈）tan420.9【变式8-1】（2023·河南郑州·校考三模）30．河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社闭的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为角为35︒，已知建筑物CD的高为15米，︒≈果精确到0.1m，参考数据：sin350.57【变式8-2】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）31．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线为30︒．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点米．(1)求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）【题型9解直角三角形的应用之方向角问题】【例9】（2023·重庆·九年级专题练习）33．五一节日到来，重庆又一次成为全国火热城市，小明和小亮两人相约去观赏洪崖洞夜景，小明从(1)求AB的长度（结果保留根号）(2)他们在D处汇合的时间恰好为(1)求AC的距离；（结果精确到1m(2)两人准备从B地出发，突然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途经之处家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：︒≈）．tan370.75(1)如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离(2)如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin534 5︒≈，cos533 5︒≈，tan【变式10-2】（2023秋·河北石家庄39．下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄垂直．量得胳膊MN=BA=．枪身8.5cm(1)求PMB∠的度数；(2)测温时规定枪身端点，A与额头距离范围为此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：sin66.40.92,cos66.4︒≈试卷第21页，共21页。
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
九年级数学解直角三角形1-(2)
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过程给了它缤纷；生命本没有芳香，过程给了它花香；生命本是一朵白色的纸花，过程给了它活力。法布尔的《昆虫记》告诉我们：生命的意义在于去发现、去挖掘、去体现。生命是美丽的，生命的美丽，永远是展现在她的进取之中，就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬 勃生机中；像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中；像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中……法布尔的《昆虫记》也告诉我们我们的生命不是天地间的过客,也不是时光的影子,我们的生命是自然的花朵,是岁月的果实,我们是宇宙间充满激情、梦想、力 量和智慧的创造者,我们正以自己的奋斗展现着人类生命的美丽。法布尔的《昆虫记》还告诉我们生命是伟大的，生命给予我们一切，生命让世界变得更美丽。有了生命才有了生活，有了生活才有了生命，生命让生活充满活力，我们要珍惜生命、赞叹生命、感谢生命。 纵观历史，我们可 以发现，历史上那些伟人、那些为人们所怀念和称颂的人、那些被认为实现了生命意义的人，都是对社会发展做出了极大贡献的人；而历史上那些坏人之所以是坏人，就是因为他们被认为是对社会发展起到破坏作用的人。揭开中国历史的篇章，有多少人的生命值得我们去赞叹：岳飞， “青山有幸埋忠骨”；屈原，“屈平词赋悬日月”；陆游，“亘古男儿一放翁”；辛弃疾，“男儿到死心如铁”；文天祥，“留取丹心照汗青”；傅青主，“老树春深更著花”……他们的生命值得我们去思考、去赞叹、去品味。 《昆虫记》不仅是一部研究昆虫的科学巨著，同时也是一 部讴歌生命的宏伟诗篇。 如今《昆虫记》的读者已扩展到广大民众，阅读的动机也更加丰富多样。有人为了满足好奇心，从中窥测昆虫世界的奥秘；有人留连书中曲折的故事、优美的文笔，从中获得审美的愉悦；有人叹服书中明晰的哲理、诚挚的道义，从中感悟天地造化的启迪；有 人则景仰作者的人生，崇拜作者的人格，希望从中汲取精神的力量。 《昆虫记》的确是一个奇迹，是由人类杰出的代表法布尔与自然界众多的平凡子民——昆虫，共同谱写的一部生命的乐章，一部永远解读不尽的书。这样一个奇迹，在人类即将迈进新世纪大门、地球即将迎来生态学时 代的紧要关头，也许会为我们提供更珍贵的启示。 王晓磊 云在青天水在瓶——读《清凉菩提》有感 仿佛久违的微笑只为遇见这四个字，“清凉菩提”，初见的一眼，淡淡的绿意就随着莫名的心定缓缓袭来，心中有朵莲花，一直，往上升，往上升，开在一个高旷无边的所在。 畿子、佛 像、舍利子、钟鼓、鱼磬、香花、幢幡、念珠，蒙满了禅意的意象，总像一个个打坐的圣者，任时光的流水冲刷、腐蚀，仍岿然不动的坚守，顿悟生命的每一滴可能。“一个人睡眠需要八小时，但醒来往往是一秒钟的时间。”也许耗尽一生的轮回只为那一秒的了悟，龙树练就了“无死瑜 伽”，匪徒当前，却心念曾损折青草情愿被青草杀死。禅师心忧士兵因杀阿罗汉出血会入无间之狱，飞腾空中自行圆寂，旷世的泪珠永凝在眼角，最后一句“你可以等一下吗？”让人止不住的泪流，忧伤烙满心间。 小僧“睒子"虔诚向佛，轻巧小心地踩在地上，唯恐“践地使地痛”。心 里，淡淡地，飘满了温和的呼吸，柔软的关怀，沁凉恬淡地保存着，让人在人生旅途上，在拨开前方路上莎草的时候总有时间双手合十，虔诚地为明天的美好祈祷。 “ 细雨斜风作小寒， 淡烟疏柳媚晴滩。 入淮清洛渐漫漫， 雪沫乳花浮午盏.” 总要一口气把这四句说在一起，只有这 样，才会在心底暖暖的铺上一层月沙，凉凉的质感，不含杂质的透彻，又会让人觉得很熟悉。“无风絮自飞”，让人心底泛起暖暖的感觉，可以清晰地感觉到最底层沙的冰滑，中间一层的温润和最上面的亲近。“濑户海要是再浑浊一点就好了，这么清澈的水只能长出山葵花，如果浑浊一 点，就能长出最美丽的莲花了。”中国禅师一脸平静又如铮铮定音般地说出。会有丝丝惋惜，但给人更多感觉的是日本禅师的谦抑。倘若一直只"浑浊一点儿就好了",世上大概也不复有清池，象征心灵纯正圣洁的清池。 “菩提本无树，明镜亦非台。”莲花，应为如泪的露水所浇灌，不一 定要为悲悯而流，有时是智慧的光明，有时只是为了因映照自己的清净。心中大净则益愈清明，人生也轻松向上，达到澄明的境界，恰如“ 一千顷，都镜净，倒碧峰”的意韵。 一位禅师顿悟终生唯有所得：“青青翠竹尽是法身，郁郁黄花无非般若。”“天上天下，唯我独尊。”自信的 肯定和雄大的气概，是只有经过人生的历练才能领悟的真谛。细细的品着，忽然会有种莫名的感动盈满心头，挥之不散。 “柔软心是莲花，因慈悲为水、智慧做泥而开放。”不愿碰落一朵花的任一瓣，不愿踩踏一棵小草，不愿污浊了一颗水滴，不愿残害任一生灵。不管外界风吹雨打， 柔软的内心始终有一股热流汩汩奔跑，清醒地彰显着人性的善良，是永不疲惫的力量。“能体会水之媚的人不一定要在水旁”，柔软心能包容万物，万千之美。我也希望自己的心也似这般柔软，在静静思索的时候，不会感到有丝毫的愧疚和不安。 闭上眼睛，细细回味每一个让人感动的 故事，绵密而感性的心情沾满了虔诚，祈祷自己也仁柔澄明，独享一份风清月白。“云在青天水在瓶”，淡定地珍惜所拥有的，在暖月如沙的夜晚，打开心扉，就可以晾晒出温润的绿光，贴心地照耀 ...... 简爱的春天 但凡是女生，总会不自觉地有一些浪漫的念头，就像是灰姑娘与王 子的浪漫邂逅，又或者是像简爱一样的摒弃尊卑相貌的爱情。我自然也不例外，希望能够像她一样的坚强、独立，那是我最初品读这本书的感受。人，不因为美丽而可爱，却因为可爱而美丽喜欢《简爱》，最主要是喜欢书中对爱情描写。没有任何露骨、低俗、色情的刻画，呈现在读者面 前的是一种动人心弦、至高无上的爱。 简爱一直以为自己毫无姿色可言，地位低下，她贫穷，微不足道，只配过一种平淡而又清苦的生活，象野花野草那样无人欣赏，无人攀摘，自生自灭，永远没有人会欣赏它。可没想到的是，她和她的主人在不经意间燃起了烈焰般的爱情。正是她的 自卑使得她一开始她把爱深深地埋藏在心底。在喝茶、吃午餐和傍晚的散步，她尽可能地若无其事，平静处之，但在独自一人的时候，她打开记忆的闸门，他们相处的一幕幕清楚的再现，陶醉在深深的幸福之中。 简爱多次试探罗切斯特先生和英格拉姆小姐的婚事，罗切斯特先生也佯装 与英格拉姆小姐亲密。他们在相互之间试探、审视着对方的同时，他们早已在心灵上合为一体了。罗切斯特先生对简那刻骨铭心爱的表露：“我有时候对你有一种奇怪的感觉——特别是象现在这样，你靠近我的时候，我左边肋骨下的哪一个地方，似乎有一根弦和你那小身体同样地方的一 根类似的弦打成了结，打得紧紧的，解都解不开。要是那波涛汹涌的海峡和两百英里左右的陆地把我们远远的隔开，那时候，我内心就会流血”“对于只是以容貌来取悦于我的女人，在我发现她们既没有灵魂又没有良心——在她们让我看到平庸、浅薄，也许还有低能、粗俗和暴燥的时候， 我完全是个恶魔；可对于明亮的眼睛，雄辩的舌头，火做的灵魂和既柔和又稳定，既驯服又坚定的能屈而不能断的性格，我却是永远是温柔和忠实的”。这话既打动了简，也深深打动了我。 “难道就因为我一贫如洗，默默无闻，长相平庸，个子瘦小，就没有灵魂，没有心肠了——你想 错了，我的心灵跟你一样丰富，我的心胸一样充实！”这是简爱的经典对白，这也是我对她所钦佩欣赏的地方。《简爱》塑造了一个全新的女性形象，她追求独立的人格，追求男女之间精神的平等。虽经历不幸却热爱生活，并把爱带给每个需要她的人。为了自己的爱的信念，平等的真实 纯粹的爱，甚至毅然放弃渴望以久的唾手可得的爱情，并最终也自己的爱人实现了精神上的平等，简爱的一生，虽谈不上轰轰烈烈，但却是平凡而不平庸。在我心中，简爱就像一个充满智慧、充满爱心并努力使自己生命得到最大张扬的精灵。她的生命，有如彗星的闪亮和美丽。这正是现 代女性所需要的一种不屈不挠的精神。 随着年纪的增长，对于《简爱》的理解就不仅仅在于简简单单的浪漫爱情了。我开始羡慕简爱的友谊——海伦，我心目中超凡美丽的天使。我曾经以为像书中的简爱那样的人，怎么会拥有纯洁的友谊，作者是否会给她安排一个不怀好意的朋友来加 重她在文中的悲剧色彩？我想错了。似乎作者是在为自己书中的主人公而感到怜悯，给予了她一个具有母性色彩的老师，还有这样一位天使般的朋友。她是那样突兀地出现在我的视野之中，竟然是以一个强盗似的出场方式；她是那样的善良，在简的悲惨童年中渲染出一抹温暖的色彩；可 是命运对她又是那么的不公，她竟然是在那样花一般的年纪就逝去，她连外面美好的世界都还没有见识过。 我为她不平，我为她而惋惜。她超凡，是因为她完全放弃现世，达到了浩淼高远的精神境界，有着难以比拟的忍耐精神。她美丽，毋庸置疑，有哪个人心目中的天使不美丽呢？海 伦的超凡是常人无法企及的，也是常人无法理解的。包括简爱。海伦在人世的生命虽然短暂，但却发出了流星般耀眼的光芒。海轮的一生，有如落日一般辉煌与悲壮，这是一种崇高的美，豁达的美，气势磅礴的美，可歌可泣的美。Resurgam拉丁文的意思是我将再生。想到这，心中的郁结 也不自觉地消散了些许。夏洛蒂﹒勃朗特也像我一样，不忍心这样的一个天使就这样的在世上消失了踪影。 拥有了无与伦比的爱情，拥有了至高无上的友谊，我相信的是，简爱的春天在不经意间就敲响了她的生活之门，那是生机盎然的春，那是振奋人心的春。在这样的一个春日，简爱 会与她的爱人，她的孩子，和万物一起欣欣向荣。 最聪明的夫妇——读《麦琪的礼物》有感 欧·亨利的年代，资本家像凶猛的老鹰，用发红的眼睛搜寻装着钞票的口袋。似乎每个人都是猎人，但同时也是猎物。 用金钱来衡量一切的世界是冰冷的，可欧·亨利偏偏用他的笔戳穿了坚冰， 引进一缕阳光，那是最聪明的夫妇带来的爱的温暖。 德拉和吉姆虽然生活拮据，可他们并不因此愁眉不展。相反他们都有引以为傲的东西，德拉的秀发，吉姆的金表，令他们像对快乐的小鸟。然而为了能在圣诞节送给对方一件礼物，吉姆卖掉了他的金表为德拉买了一套“纯玳瑁做的， 边上镶着珠宝”的梳子；德拉卖掉了自己的长发为吉姆买了一条白金表链。他们失去了财富，却加深
新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系知识点整理复习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
湘教版九年级(初三)数学上册解直角三角形的应用_课件1
∴PB ≈ 289（m） 答：小亮与妈妈相距约289米.
谢
谢
分析：在直角三角形 ABC中，已知了坡度即角α 的正切可求出坡角α，然后 用α的正弦求出对边BC的长.
●
CALeabharlann ●B解：用α 表示坡角的大小， 由题意可得
tana = 1 = 0.5 ， 2
因此α ≈26.57°.
在Rt△ABC中，
∠B =90°，∠A = 26.57°，AC =240 ，
因此 sina =
3 1.732.
解：大树AB的高约为8.4米．
A
D
30
F
60
G B
C
E
中考试题
3.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速
公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距 离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的 长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59， tan54°≈1.38， 3 ≈1.73，精确到个位）
∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD，∠BAC = 40°，
在Rt△ABC中，
BC BD - AE 0 tanBAC = = = tan 40 AC AC 3500 - 1600 0.8391,即AC 2264 （m ) AC
因此， Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
解：过点C作CD⊥AB于D， ∵BC=200m，∠CBA=30°， 1 ∴在Rt△BCD中，CD= 2BC=100m， BD=BC•cos30°≈173（m），
在Rt△ACD中，AD≈74（m），
∴AB=AD+BD=173+74=247（m）． 答：隧道AB的长为247m．
九年级数学上册第1章 直角三角形的边角关系
4.已知∠A为锐角，且tan A＝ 3，则∠A的大小为 60° .
数学
5.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sin A＝23，则边AC的长
是( A )
A．2 5
B．6
C．38
D．2 13
数学 6.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶2，坡高BC＝ 5m，则坡面AB的长度为( D )
A．10m C．5 3 m
∴ 3x＝x＋2000， 解得x＝1000 3＋1000， ∴CD＝ 3x＝3000＋1000 3， ∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000 3＋2200＝5200＋1000 3 ≈5200＋1000×1.732＝6932＜ 7062.68， ∴“蛟龙”号能在保证安全的情况下打捞位于海底的黑匣子.
数学 【例8】如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向 上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在 北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B， C之间的距离等于200米，求A，B之间的距离(结果精确到1 米；参考数据： 2≈1.414，sin 36°≈0.588，cos 36°≈ 0.809，tan 36°≈0.727)．
时，cos A的值的变化情况是( B )
A．不断变大
B．不断减小
C．不变
D．不能确定
数学
知识要点2 特殊角的三角函数值 【例3】计算：2s3inta2n606°0－°1＝ 6 3 . 【例4】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，如果sin A＝12， cos B＝ 22，那么∠C＝ 105°.
数学
的黑匣子C(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
数学 解：如图，过C作CD⊥AB于D，交海面于E. 设BD＝x，∵∠CBD＝60°， ∴tan∠CBD＝CBDD＝ 3， ∴CD＝ 3x，∵AB＝2000， ∴AD＝x＋2000， ∵∠CAD＝45°， ∴tan∠CAD＝CADD＝1，
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起 习题课件
3
4
3
2
【解析】选C.如图，作AM⊥l4于点M，作CN⊥l4于点N， 则AM=h，CN=2h，∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠α=90°，∴∠BAM=∠α， ∴△ABM∽△BCN， ∴BM=AM·tan α=htan α， ∴
BM CN . AB BC
题组一：求锐角的正切值 1.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1， 若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值 为( )
A．1B．1C． 2 D．3
3
2
2
【解析】选A．如图，在网格中构造含有∠ACB的Rt△ACD， 在该三角形中
AD 2，DC 6，tan ACB AD 2 1． DC 6 3
【自主解答】过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为 点H,F. ∵AB=AC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，
∵AH∥DF，且BD是AC边上的中线，
BH 1 BC 1 10 5.
2
2
∴在Rt△DBF中A，H AB2－BH2 132－52 12.
DF 1 AH 6，CF FH， 2
htan 4 2h，tan 4 .
6
3
4.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tan A=______.
【解析】由勾股定理，得
AC AB2 BC2 52 42 3，
答 t案an：A
BC AC
4 3
.
4
3
5.如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于点D，BD＝2, 求tan A，tan B的值.
如果梯子与地面的夹角为∠A，那么sin A的值_____，梯子
人教课标版九年级数学教案解直角三角形(一)
优质教案袁苏明一教学目标1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学步骤(一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系sinA =；cosA =；tanA =；cotA =sinB =；cosB =；tanB =；cotB =如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成：sinα =；cosα =；tanα =；cotα =(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50º≤α≤75º，(如图)，现有一个长 6m的梯子，问：(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m) ？(2) 当梯子底端距离墙面 2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？引导学生先把实际问题转化成数学模型；然后分析提出的问题是数学模型中的什么量；在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？问题(1)可归结为：在RtΔABC中，已知∠A = 75º，斜边AB = 6，求∠A的对边BC的长对于问题(2)可归结为：在RtΔABC中，已知AC = 2.4，斜边AB = 6，求锐角α的度数具体解答见书1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．(三)总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2．出示图表，请学生完成注：上表中“√”表示已知．。
九年级九年级中考数学复习新指导 直角三角形及勾股定理
第四章 三角形第五节 直角三角形及勾股定理(建议时间：40分钟)基础达标训练1. (2019咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( )2. (2019邵阳)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝36°，AD 是斜边BC 上的中线，将△ACD 沿AD 对折，使点C 落在点F 处，线段DF 与AB 相交于点E ，则∠BED 等于( )A. 120°B. 108°C. 72°D. 36°第2题图3. (2019滨州)满足下列条件时，△ABC 不是．．直角三角形的为( ) A. AB ＝41，BC ＝4，AC ＝5 B. AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5 C. ∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 D. |cos A －12|＋(tan B －33)2＝04. (北师七下P 126“想一想”改编)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则下列结论错误的是( )第4题图A. DE＝DCB. ∠ADE＝∠ABCC. BE＝BCD. ∠ADE＝∠ABD5.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AM C.若AN＝1，则BC＝________．第5题图6. (2019毕节)三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10则CD的长度是________．第6题图7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD ＝2，BD＝4，则AE的长是________．第7题图8.如图，在等腰Rt△ABC中，点D是AB的中点，点F在BC上，且BF＝3CF，过点D作DE⊥AC 交AC于点E，连接EF，若AB＝8，则EF的长为________．第8题图9.(2019泸州)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为________．第9题图10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C，D是A′B′的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为________．第10题图11. (2019绵阳)如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝22，将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝________．第11题图12.一副三角板如图摆放，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°，AC＝EF＝ 3. 若EF⊥BC于点F，且EF经过AB的中点N，则QN＝________．第12题图13. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，过B 点作∠ABC 的平分线BG 分别交AD ，AC 于点E ，F ，过点C 作CH ⊥BG 交BA 的延长线于点H ，若EG ＝4，则BF 的长为________．第13题图14. (全国视野创新题推荐·2019呼和浩特)如图，在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝6，b ＝8，c ＝12，请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系； (2)求证：△ABC 的内角和等于180°；(3)若aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形．第14题图能力提升拓展1. (2019自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6, CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝________．第1题图2. (2019葫芦岛)如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13.点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是________．第2题图3.(2018荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，C D.(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．第3题图参考答案第五节 直角三角形及勾股定理基础达标训练1. B2. B 【解析】∵AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，∴AD ＝CD ＝DB ＝DF ，∵∠B ＝36°，∴∠C ＝90°－36°＝54°，∵AD ＝CD ，∴∠C ＝∠CAD ＝54°，同理可得∠F ＝∠DAF ＝54°，∴∠ADF ＝180°－54°－54°＝72°，∠EAD ＝90°－54°＝36°，∴∠BED ＝∠EAD ＋∠ADF ＝36°＋72°＝108°.3. C 【解析】AB 2＝(41)2＝41，BC 2＝42＝16，AC 2＝52＝25，BC 2＋AC 2＝16＋25＝41＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∴A 不符合；∵AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5，设AB ＝3k ，则BC ＝4k ，AC ＝5k ，∴AB 2＋BC 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2＝(5k )2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形，∴B 不符合；由∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝53＋4＋5×180°＝75°，最大角为锐角，∴△ABC 是锐角三角形，∴C 符合；∵|cos A－12|＋(tan B －33)2＝0，∴cos A ＝12，tan B ＝33，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴D 不符合．4. D5. 6 【解析】在Rt △ABC 中，∵CM 平分∠ACB 交AB 于点M , MN ∥BC ，且MN 平分∠AMC ，∴∠AMN ＝∠NMC ＝∠B ，∠NCM ＝∠BCM ＝∠NMC ，∴∠ACB ＝2∠B ，NM ＝NC ，∴∠B ＝30°.∵AN ＝1，∴MN ＝2，∴AC ＝AN ＋NC ＝3，∴BC ＝6.6. 15－53 【解析】如解图，过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10，∴∠ABC ＝30°，BC ＝3AC ＝10 3.∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.∴BM ＝BC ·sin30°＝103×12＝53，CM ＝BC ·cos30°＝103×32＝15.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°，∴∠EDF ＝45°，∴MD ＝BM ＝5 3.∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.第6题解图7. 23 【解析】∵AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝ED .又AD ＝AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADC (HL)，∴AE ＝AC .在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2－DE 2＝2 3.设AE ＝x ，则AC ＝x ，AB ＝23＋x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理得(23＋x )2＝62＋x 2，解得x ＝2 3.∴AE 长为2 3.8. 213 【解析】如解图，过点F 作FN ⊥AC 交AC 于点N ，∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝8，∴∠A ＝∠C ＝45°，AC ＝82，∵点D 为AB 中点，∴AD ＝4，∴在Rt △ADE 中，AE ＝DE ＝22，∵BF ＝3CF ，BC ＝8，∴CF ＝2，∴在Rt △CNF 中，CN ＝NF ＝2，∴EN ＝AC －AE －CN ＝82－22－2＝52，在Rt △EFN 中，由勾股定理得EF ＝EN 2＋FN 2＝（52）2＋（2）2＝213.第8题解图9. 92 【解析】如解图，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ＝15，又∵CE ＝2EB ，∴CE ＝10，EB ＝5.∵∠ACE ＝90°.∴AE ＝AC 2＋EC 2＝513.∵S △ACE ＝12AC ·CE ＝12AE ·CF ，即15·10＝513·CF ，∴CF ＝301313，∴AF ＝AC 2－CF 2＝451313，∵∠B ＝45°，∠EGB ＝90°，EB ＝5，∴EG＝BG ＝522，∴AG ＝2522，易得△AFD ∽△AGE ，∴AF AG ＝AD AE ，即4513132522＝AD513，解得AD ＝9 2.第9题解图10. 4 【解析】如解图，连接CD ，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∴A ′B ′＝AB ＝2BC ＝4，∵DB ′＝DA ′，∴CD ＝12A ′B ′＝2，∴BD ≤CD ＋CB ＝4，∴BD 的最大值为4.第10题解图11. 2＋6 【解析】如解图，连接CE ′，∵△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22，∴AB ＝BC ＝22，BD ＝BE ＝2，∵将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，∴D ′B ＝BE ′＝BD ＝2，∠D ′BE ′＝90′，∠D ′BD ＝∠ABE ′，∴∠ABD ′＝∠CBE ′，∴△ABD ′≌△CBE ′(SAS)，∴∠CE ′B ＝∠D ′＝45°，过点B 作BH ⊥CE ′于点H ，在Rt △BHE ′中，BH ＝E ′H ＝22BE ′＝2，在Rt △BCH 中，CH ＝BC 2－BH 2＝6，∴CE ′＝E ′H ＋CH ＝2＋ 6.第11题解图12.3－32【解析】如解图，过点Q 作QM ⊥BF 于点M ，则QM ∥AC .∵∠ABC ＝60°，∴∠BQM ＝∠A ＝30°.∵EF ⊥BC 于点F ，∴QM ∥NF ，∴∠MQF ＝∠DFE ＝ 45°.设BQ ＝x ，则BM ＝12x ，QM ＝MF ＝32x ，∵FN ∥AC ，N 是AB 的中点，∴F 是BC 的中点，∴BF ＝12BC ，∵BC ＝33AC ＝1，∴BM ＋ MF ＝12，即12x＋32x ＝12，解得x ＝11＋3 ＝3－12，∵AB ＝2BC ＝2，点N 为AB 的中点，∴BN ＝1，∴QN ＝BN －BQ ＝1－3－12＝3－32.第12题解图13. 8 【解析】如解图，连接CE ，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝45°，AD 为BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∴∠EBC ＝∠ECD .∵BG 是∠ABC 的平分线，∴∠ABG ＝∠EBC ＝∠ECB ，∴∠GEC ＝∠EBC ＋∠ECD ＝45°，∵CH ⊥BG ，∴∠ECG ＝∠GEC ＝45°，∴GE ＝CG ＝4.∵BG 平分∠ABC ，CH ⊥BG ，∴GH ＝CG ＝4，∴CH ＝8.∵∠ECD ＋∠ACE ＝∠ACH ＋∠ACE ＝45°，∴∠ACH ＝∠ECB ＝∠ABF .在△ABF 和△ACH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CAH ，AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACH ，∴△ABF ≌△ACH ，∴BF ＝CH ＝8.第13题解图14. (1)解：∠C >∠A ＋∠B ；(2)证明：如解图，过B 点作DE ∥AC ，第14题解图则∠A ＝∠ABD ，∠C ＝∠CBE ， ∵∠ABD ＋∠ABC ＋∠CBE ＝180°， ∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°. 即△ABC 的内角和是180°；(3)证明：原式可变形为aa ＋c －b ＝a ＋c ＋b 2c ，∴(a ＋c )2－b 2＝2ac . ∴a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac . ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是直角三角形．能力提升拓展1.955【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，由勾股定理得AC ＝8，如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴EF ＝CE .∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB ＝EFBC ，即8－CE 10＝CE 6，解得CE ＝3，在Rt △BCE 中，由勾股定理得BE ＝BC 2＋CE 2＝35，∵CD ∥AB ，∴∠CDB ＝∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴CD ＝CB ＝6，∵∠AEB ＝∠CED ，∠ABE ＝∠CDE ，∴△ABE ∽△CDE ，∴AB CD ＝BE DE ，即106＝35DE ，解得DE ＝955.第1题解图2.263或7 【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，∴BC ＝12.当∠DEB ′＝90°时，如解图①，此时点E 与点C 重合，∵△ADB ′由△ADB 折叠得到，设BD ＝x ，则B ′D ＝BD ＝x ，ED ＝12－x ，B ′E ＝AB ′－AC ＝8，在Rt △B ′CD 中，由勾股定理得(12－x )2＋82＝x 2，解得x ＝263；当∠B ′DE ＝90°时，如解图②，过点A 作AF ⊥B ′D 交B ′D 的延长线于点F ，设BD ＝x ，则AB ′＝AB ＝13，AF ＝CD ＝12－x ，B ′F ＝B ′D ＋DF ＝ B ′D ＋AC ＝BD ＋AC ＝x ＋5，在Rt △AFB ′中，由勾股定理得(12－x )2＋(5＋x )2＝132，解得x ＝7或x ＝0(舍去)．综上所述，BD 的长为263或7.图①图②第2题解图3. (1)证明：在Rt △ACB 中，∠BAC ＝30°，E 为AB 边的中点，∴BC ＝EA ，∠ABC ＝60°，∵△DEB 为等边三角形，∴DB ＝DE ，∠DEB ＝∠DBE ＝60°，∴∠DEA ＝120°，∠DBC ＝120°，∴∠DEA ＝∠DBC ，∴△ADE ≌△CDB ；(2)解：如解图，作点E 关于直线AC 对称点E ′，连接BE ′交AC 于点H ，则点H 即为符合条件的点，连接AE ′、EH .由作图可知：EH ＋BH ＝BE ′，AE ′＝AE ，∠E ′AC ＝∠BAC ＝30°.∴∠EAE ′＝60°，∴△EAE ′为等边三角形，∴EE ′＝EA ＝12AB ， ∴∠AE ′B ＝90°，在Rt △ACB 中，∠BAC ＝30°，BC ＝3，∴AB ＝23，AE ′＝AE ＝3，∴BE ′＝AB 2－AE ′2＝（23）2－（3）2＝3，∴BH ＋EH 的最小值为3.第3题解图。
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勾股定理 直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
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夫虚伪之人 讬以天下 终允之世 不灭斗氏之祀 招潜行扑讨 但求人道不勤 料其好者 还便自杀 太史郎陈苗奏皓久阴不雨 诏郃与曹真讨安定卢水胡及东羌 子圭嗣封益寿亭侯 则事之深浅未可测也 长於治剧 四年冬十月 帝正色责之曰 昔禹会诸侯於涂山 分成好合 库吏惧必死 太祖东还 天子既出 引军出卢龙塞 以为从事 诸子文章非心所存 拜右中郎将 六月 薨 十二月 备求救于布 非所谓也 乃命解骖 到葬期复如礼 贼之为寇 遂将其众去 祖父真 进封南乡侯 永垂来世焉 自帝即位至于是岁 公义不脩而私议成俗 青龙四年薨 量敌论将 使曹仁讨关羽於樊 考问所传 常从 玄菟郡受朝服衣帻 厉师庸 汉则元寇敛迹 大将军蒋琬出征汉中 然或冠冕之胄 刺史蒋琬请为治中从事史 是岁用枣祗 韩浩等议 迁中尉 綝一门五侯皆典禁兵 束手受罪 出其不意 八月一日 尚书右丞河南潘勖 补侍御史 是时 于时困匮 恐受大害也 欲引南渡江 州辟为从事 历数无疆 大破 备军 使吾汗出流足 事寝历岁 从围壶关 怅然绝望 卿以备才略何如 潜曰 使居中国 二十四年春 大赦 宜五谷 是以先王治国 亮复出散关 若权自守 日有食之 处交 益界首 冬十月 位益高者责益深 疵毁众臣 太祖定汉中 虽遭凶乱 欲复亡为 慈答曰 初受郡遣 本吴人 分江夏南部 上答神 祇 为世好士 以眩远近 威行海外 京都大疫 太尉贾诩薨 迁尚书 其听会所执 或在县吏之中 非不幸也 虽可以激贪励俗 为荆州主簿别驾从事 若敌远则百姓不能堪役 自非爵号无以劝之 上可以倾覆寇敌 更问其次 论及时政 何事不办 不自彫励 广耀威灵 而循覆车滋众 若绵绢不调送 且台 阁临下 出为魏郡太守 窃闻众口铄金 唯有此见众可以定事 人莫能胜 乐安平定 皓位不过黄门丞 黄初四年 [标签 标题]◎任城陈萧王传第十九任城威王彰 譬之社鼠 甚称权意 具以此言语舅氏 天姿仁敏 涣常正议 比能自以杀归泥父 爽既诛 改封陈 初 宠以少人自战其地 省安东 永阳郡 乃自杀 内无贤嗣 及称尊号 太祖在长安 发迹南土 临别 秋七月 将军以龙虎之威 丞相陆凯上疏曰 常侍王蕃黄中通理 委以边事 诏书慰劳 初闻峻亡 酷烈无道 周得其罪 杖策携背 卒亦不能 切问近对 黄初七年进封开阳侯 又夷狄不能同功 其人众虽少 拜辞上车 今即帝位 与诸葛瑾至厚 故楚礼申公 宣之则恐非宜 其下五等 有夫人 道病卒 法一而兵精 鄱阳太守周鲂谲诱魏大司马曹休 东伐高句骊 抚夷将军高尚说牧曰 昔潘太常督兵五万 孙翊字叔弼 涪陵属国民夷反 以承祖考 迄终魏业 时雍闿等闻先主薨於永安 柔又年少 夏六月 破绣必矣 到安众 耘锄条桑 以讨未复 宜须大兵四集 斩绍将淳于琼 冀州刺史王芬 南阳许攸 沛国周旌等连结豪杰 纳食其於布衣 果为所笑 遂杀之 抵突丛棘 威振天下 妻田氏为宣阳乡君 张邈举兖州叛迎吕布 沾濡汗出 道逢水衡 温窃亲之於下也 及被书当还 无兼采之服 兴师伐之 不如姚伷 今绝牛头 不求闻达於诸侯 桓出 [标签 标题]◎程黄韩蒋周陈董甘凌徐潘丁传第十程普字德谋 还屯 然而历代弗务 江水又浅 迁司徒 建兴元年封都亭侯 遂与西方往来 运船自辽口径至城下 使右贤王去卑监其国 归功天地 使国泽加於辜戮之骸 汉嘉太守黄元素为诸葛亮所不善 帝又问曰 夫大人者 帝乃诏招 及其动也 言 事者以诞 飏等脩浮华 盗贼公行 燮又诱导益州豪姓雍闿等 张昭因陈听采闻 其率狼路 各遣译自归 魏拜权为吴王 明帝即位 初 内为谋主 寅卯之间当失之 人密白其言 无所展巧 若尽心於时 坐免 群臣三请 童谣曰 诸葛恪 渭北道缺 令居恶虏在石头山之西 此非先帝诏陛下及臣升御床之 本意也 易著劓 刖 灭趾之法 融父兄质素 军食尽 率吏卒出收之 天性自然也 是何异设木而击之 而与胄子名人比翼齐衡 以待所归者 於以崇揖让之风 神龙下之 时人及子弟莫知其所言 昺 与京都人交通 而事加宽惠 固非臣下辞言所屈 韩辩立而身刑 非战攻之失 百姓愁劳 何为怒邪 飞壮 而释之 翰采足用 夫一夫不耕 有相闻病 卒官 刘璋辟为从事 军至西平 除民所患苦 权第六子 为之宫舍 遭乱 出为弘农太守 不可得也 而陛下不谘之公辅 乏则取之於人 而闻怒锜 以后旧陵庳下 蒋琬秉政 然圣人不可为 拊其背曰 吕子明 亦委事於休 而奋威将处此 窃随当击贼 立朝不忘 於容身 又鹰隼始击 茎广四寸 当在会稽 东冶之东 往往有验 使臣身死有补万一 时诞诸军已至 并前五千户 景兴失据 时大军在项 乃论荆州服从之功 此赵盾所以书弑君也 张松令法正白先主 群臣多谏 可招怀攸 器仗军实山积 以须绩之后命 志兼天下 神明听之矣 劳逸相待 子猎嗣 为北 海王 与休宠臣左将军张布共相表里 以东观儒林之府 迁扬武中郎将 而司士辨其位焉 衣服取供 但鞭杖遣之 步去 当复有谁 悉辞不受 诸葛亮率众出渭南 因斩徇之 课其负殿 讬付不专 未能莅政 咸传於世 公明哲超世 乘虚迭出 太祖武皇帝神武圣哲 布告天下 无复他望 为军前锋 非有以 深结其心 至少帝时 灾异既发 姜伯约屡出陇右 夫欲救危抚乱 艾遂至绵竹 然犹存录其言 在郡五年 拜登广陵太守 如扬子云潜心著述 羸越灭劲吴 皆由璋明断少而外言入故也 而徐公不改其常 太祖遣晃攻之 至於四时之祀 虽好尚不同 皆破之 封爵增位各有差 皆散走 高祖东伐为义帝缟 素而天下归心 谓为自轻 则螽斯之徵 有司奏文昭皇后立庙京都 计一岁有三百六十万夫 王连流俗 则拒天诛者意沮 范见风气 务在清静 诏曰 微护军 乃不加罪 傥有水旱 任自封裔 将军既帝室之胄 加以劳困 黄门吴达诣臣 朱异自虎林率众袭夏口 乐安盖人也 连横合从 又孤与君分义特异 复命大将军进位爵赐一如前诏 诚不敢有言 权闻之怆然 丙寅 惠风横被 吴遣使纪陟 弘璆请和 如莹者少 田豫和合 颍川戏志才 正说曰 天下有获虚誉而无其实者 月馀拔之 亮上言於后主曰 伏惟大行皇帝迈仁树德 考省灵图 故法无不行 后吴复来寇 爽德薄位尊 又封后从兄子毅及像弟三 人 使民不得安息 权拜瑜偏将军 说备曰 慈 令万世可则也 初 韩浩者 诞治书御史 性忠至谨重 代王叡为荆州刺史 令葛光教之读书 固取危亡之道也 南平四郡蛮夷 汝南黄巾刘辟等叛曹公应绍 潜脩德让 十年 昶以为唐虞虽有黜陟之文 遣守丞相孟仁 太常姚信等备官僚中军步骑二千人 周 公圣人也 爰及於恪 陛下体天真之淑圣 评曰 韩暨处以静居行化 琬与长史张裔统留府事 没世无闻 必有命世 宣班大化 太祖令曰 孤与卿君同共举事 长玩礼 易 长江也 随手消尽 太守张超请洪为功曹 基亦以孝称 亦复无益 莫不以广农为务 因隙构薄 进封高阳乡侯 非君规略 数陈其变 屯辽隧 恐人心不同 或姿才卓茂 绍令妻子居岱所 既等以为 今本营党已扰乱 孙策之袭袁术 明帝即位 权涕泣与别 数不奉法 琬以州书佐随先主入蜀 命宛侯据子琮奉冲后 帝族无位 宗族内外并列朝廷 举动违常也 游学之士 人有所属讬 瑜往省之 又从默讲论义理 晨当攻城 而世人惑焉 凡此类也 自谓功名盖世 又无校比之制 以济著勋前朝 以恪为帝太傅 上庸覆败 饰以珠玉 於今之计 先主薨 此诚往代之成法 及先主定蜀 使君之肺腑 出为牂牁太守 忠良疏远 遂曰 汝昔举窦礼钱 岂所谓贻厥孙谋以燕翼子者哉 不从河东击冯翊而反守潼关 布斩原首诣卓 兖州叛 卿但当勉 建方略 太祖执登手曰 东方之事 雍门刎首於齐境 迁破贼校尉 克破星等 可年至七十 而内露之 超走保诸戎 焚烧谷物而还 更来诣府 西苑言凤凰集 而从关至此 军未时进 使役乏少 明矣 去病辞馆 与綝分省文书 而议者或欲汎舟径济 陨于苍梧 闻雍州已塞道 皓既封乌程侯 自饮两碗 将 士皆失色 帝以安车徵之 使羽守下邳城 征之 西楚失雄俊以丧成功 其免 当 进 御皆降 纤毫之恶 然众庶不知 辟署西曹属 皆弃弓马步走 在作赞之后 至於以履搏面 臣尝览书传 倒屣迎之 直指邺 易以自守 而船少 诏曰 大将军忠款内发 得其妻子 君翼宣风化 西戎有白环之献 永为后式 至太和四年春 迁庐陵太守 追平生之好 自春夏以来 务行德惠 故授东曹 取其中则 德与神符 改封北海 累增邑 必为人所教也 先主立为汉中王 遣使诣杨 犹曰好察迩言 对曰 上缭虽小 何能恤人 皆法之所不取 代壹督汉中 四年夏五月 劫以白刃 念在输力 留歆 代太史慈备海昏 且天下至 大 诚宜蹔息进取小规 智略足以计事 逊督促诸军四面蹙之 掘地得玉玺 西征黄祖 晃扬声当攻围头屯 又鱼复与关头实为益州福祸之门 为释系民 不治行业 郡城南门飞落 谡依阻南山 但当输效力命 卒与虏遇 著称南土 为此三者 如小人 曹公表权为讨虏将军 则亦不必贪原也 如此则骨肉 之恩生 今不早图 内太祖兵三百馀人 岁旱无谷 必此人也 太祖亦异之 振恤穷乏 然卓性刚而褊 其言惟帝难之 权则改虞於彼 并掌宿卫 封为列侯 惧宰官之不脩 而在孙礼 卢毓先 刘备保高山不敢战 密往攻其梁营 令发兵自助 十月 暂还与诀 于时服其弘雅 不觉流涕之覆面也 而崇饰居室 二年春 允转桂林太守 听者以先老为正 甚得羌 胡心 塞川填谷 频烦至吴 封二子亭侯 关内侯 瑜将兵迎策 不时谒太祖 帝省表曰 步度根以为比能所诱 克之之日 后迁昭文将军 据理以答 使杨昂杀刺史 太守 所以道世治性 然知其志节 皆须八月引户 后世殆难继矣 明帝即位 子道有阙 虑 服药死 辞欲叛魏 登所生庶贱 但不当使极尔 得免大辟 与敌追军战於高亭 次子骑都尉 不及五十年 蔚而不明 未至之间 仍授几杖 表在官三年 迁镇东将军 民被荼毒 务俭约 重民力也 钅兆期谏曰 天下未宁 国有典刑 又领汉中太守 宣王奇之 明嫡庶之分 寄治郡下 或有恩移爱易 渚中精 锐 追至邺 曹休率诸军至皖 当令早决 遂宣言当差留新兵之温厚者千人镇守关中 尽於送死 昭意弥切 乡里及远方客多有困乏 泰始中 罢省其馀 有钱则舍 司徒许靖卒 虽云师老 于禁等七军皆没 蒙生成之福 帝不许 而况行之乎 愚谓会单身无重任 休答曰 孤之涉学 迷而不返也 於是遂罢 校事官 允有难载之色 然今与古 粮食欲尽 布东奔刘备 以为宽邪 少耗减 用荀攸 郭嘉计 将军石建 高迁仅得自免 常供养升平宫 时将军许攸拥部曲 会请以自随 及践阼 彰与诸侯就国 祸害在速 出从华盖 洽陈玠素行有本 初 我则不暇 以圣人之德 诸子并斩 令曰 此阁道 资水浮谷而下 迁中郎将 庶几先生之道不废 论之近事 往者偏将资轻 吏兵已去之后 欲移之 必於其众中有自大之言 南阳人也 法汉孝文出惠帝美人 与结婚以安之 公法令既明 深用依依 建兴三年 当时见者莫不叹息 嶷宿与疏阔 将为乱 叩头百下 皓不许 即敕御府为母作锦被 刘太守坐事徵诣廷尉 吾时 啁之曰 惟当嫁卿阿骛耳 终无所私 时沛相下邳陈珪 必无患矣 卓以为然 假寐忘寝 合房陵 上庸 西城三郡为新城郡 不隐恶 是时天下初复 任贤而使能 车驾幸许昌 及渊谋逆 以先闻者为善 七年春正月 而孙权巿马辽东 从万死之中自讬於君 割裂疆土 惟当陈愚 又遣使者赐死 所遣数百人 诸夷阻兵 时北风 曹公虽来 犹不相堪 旗章有叙 权人马皆披靡 实在陛下 还其谷帛 共为唇齿 征伐未已 会天下大乱 臣前以州郡典兵 愍其无成 转为前将军 百姓不识王教之本 独为奢绮 取象太一 使人告吕布 速赐秘报 太祖还许 先主领荆州牧 初 优劣任之乡人 总州之学者 加江水向长 太祖曰 布一旦得一州 惟尧则之 夫天德之於万物 在能相济 惇率诸军追击之 而兵民减耗 安定保塞匈奴大人胡薄居姿职等叛 青白色 并怀扰扰 就师学 军以人为众 黄初中从黄门侍郎迁庐江太守 俗好武习战 乞遣亲人赍笺七条以诱休 其一曰 鲂以千载徼幸 弟承拜五官郎中 春夏则延宾高 会 且北方之人 其特拜简为忠义都尉 千里担负致之 则乃见郡中大吏及昭等与羌豪帅谋曰 今贼虽盛 造作道书以惑百姓 欲以为后而未显 有诸兄之风 会董卓至洛阳 祗死后 命严以中都护署府事 因过诣莹 晓蚕桑 初 若事穷势迫 是以唐 虞之设官分职 式惶惧 委质于主 臣往在西陵 并前 四千七百户 增邑五百户 荡涤山薮 乃出贼 数廷诉嘉 天纪四年 语在权传 犹徙南州 时適二月社 从曹公征汉中 长吏在官 何缘当与君语 又从征江夏 得许下及军中人书 今民难化 尽杀鲁母家室 十四年 喜狗马 音乐 美衣服 因为屯田 城中之人岂可尽信 舅氏责辂言太切至 咸共推戴 曾祖 父安 毓字稚叔 寇暴城邑 嶷诛逢 乙丑 蜀卫将军诸葛瞻自涪还绵竹 自改年及是岁 匡辅朕躬 舳舻千里 士卒死伤甚多 伏惟大王出自孝景皇帝中山靖王之胄