山西省2012届高三年级第四次四校联考(文科数学)

2012届高三年级第四次四校联考数学（文）试卷（满分150分，考试时间120分钟）命题：长治二中 康杰中学 忻州一中 临汾一中第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，若复数i z -=11，i z +=22，则=⋅21z zA ．i -3B ．i -2C ．i -1D ．i 22+ 2．已知集合B A 、，{}22<≤-=x x A ，A B A = ，则集合B 不可能．．．为 A ． ∅ B ．{}20≤≤x x C ．{}20<<x x D ．{}20<≤x x 3．为了得到函数xy )31(3⋅=的图象，可以把函数xy )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．下列函数中，周期为π，且图像关于直线3π=x 对称的函数是A ．)32sin(2)(π+=x x f B ．)32sin(2)(π+=x x fC ．)62sin(2)(π-=x x f D ．)62sin(2)(π-=x x f5．双曲线)0(13222>=-a yax 有一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为A ．y =x 21±B ．y =x 2±C ．y =x 33±D ．y =x 3±6．执行如下图所示的程序框图输出的结果是A ．-3B ．-2C ．2D ．37．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于A ．13B ．23C ．6D ．248．已知等比数列{}n a 的公比0>q 且1≠q ，又06<a ，则A ．5748a a a a +<+B ．5748a a a a +>+C ．5748a a a a +=+D ．5748||||a a a a +>+9．下列各命题中正确的命题是 ① “若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是“若b a +不是偶数，则b a ,都不是奇数”； ② 命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀” ；③ “函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π” 是“1=a ”的必要不充分条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ” ． A ．②③ B ．①②③ C ．①②④D ．③④10．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，若目标函数y x z -=的最小值是-1，则此目标函数的最大值是A ．1B ． 2C ． 3D ． 511．设曲线)(*1N n x y n ∈=+在点)1,1(处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则++2201212012loglogx x (20112012)logx +的值为A ．2011log2012- B ．1- C ．2011log 12012+- D ．112．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B ．⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知向量()1,2,5,||a a b a b =⋅=-= ||b等于14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若22a b -=，sin C B =，则角A= 15．等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为16．已知P 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =1，BC，PA，则球O 的表面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),1,(x x b m a =-=，()f x a b =⋅且满足()12f π=．（1）求函数()y f x =的最大值及其对应的x 值；（2）若51)(=αf ，求αααtan 1sin 22sin 2--的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝4， G 为PD 的中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ． （1）求证：AG ∥平面PEC ；（2）求点G 到平面PEC 的距离．19． (本小题满分12分) 某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：n m ,n m ,（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天．．．的数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆniii ni i x yn x ybx n x==-=-∑∑，x b y a ˆˆ-=）（参考数据：97731=∑=i i i y x ，434312=∑=i i x ）20． (本小题满分12分) 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为21，且过点)23,1(．（1）求椭圆C 的方程；（2） 过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于BA ,两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．21．（本小题满分12分）已知函数1ln ()x f x x+=．（1）设a ＞0，若函数)(x f 在区间1(,)2a a +上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当x ≥1时，不等式2()1k k f x x -≥+恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. (本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲如图，ABC ∆为直角三角形， 90=∠ABC ，以AB 为直径的圆交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M . （1）求证：E D B O ,,,四点共圆； （2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22. 23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 541531(t 为参数）.若以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 所截得的弦长. 24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 函数|2||1|)(-+-=x x x f（1）画出函数)(x f y =的图象；（2）若不等式),,0)((||||||R b a a x f a b a b a ∈≠≥-++恒成立，求实数x 的范围.2012届高三年级第四次四校联考数学（文）参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．D ⒋C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D 二、填空题13．5 14．030 15．16 16．9π 三、解答题17．解：（1） x x m b a x f cos sin )(-=⋅=，()12f π=，∴12cos2sin=-ππm ，即1=m ．……………………………3分则x x x f cos sin )(-= )4sin(2π-=x ，当)(224Z k k x ∈+=-πππ，即)(432Z k k x ∈+=ππ时，2)(max =x f ……6分（2）51)(=αf ，即51cos sin =-αα …………………………………………8分两边平方得：251)cos (sin 2=-αα，所以2524cos sin 2=αα ………………9分2524cos sin 2cos sin 1)sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2==--=--αααααααααα………………12分18．（1）证明：∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG ， 又PD ⊥AG ， ∴AG ⊥平面PCD …………3分作EF ⊥PC 于F ，因面PEC ⊥面PCD ，∴EF ⊥平面PCD ，又由（1）知AG ⊥平面PCD ∴EF ∥AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴AG ∥平面PEC ． ………6分 （2）由AG ∥平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等 由（1）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE ∥CD ∴ AE ∥平面PCD ∴ AE ∥GF ，∴ 四边形AEFG 为平行四边形，∴ AE ＝GF ，PA ＝AB ＝4， G 为PD 中点，2CD ， ∴FG ＝2 ∴ AE ＝FG ＝2……………9分∴ 1116(24)4323P A ECV -=⋅⋅⋅=， 又EF ⊥PC ，EF ＝AG = ∴ 1122E P C S P C EF =⋅=⋅= 又 P AEC A PEC V V --=，∴11633EPC S h ⋅=，即16=， ∴3h =，∴ G 点到平面PEC 的距离为3．………………………12分19．解：（1）n m ,的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30）（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个………2分 设“n m ,均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有（25，30），（25，26）（30，26），所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103．………………6分（2）由数据得27,12==y x ，9723=y x ，43232=x ，又97731=∑=i i i y x ，434312=∑=i i x ， ∴25432434972977ˆ=--=b ，3122527ˆ-=⨯-=a ． 所以y 关于x 的线性回归方程为325ˆ-=x y．……………………………10分（3）当10=x 时，22ˆ=y ，|22-23|2<，当8=x 时，,17ˆ=y |17-16|2< 所以得到的线性回归方程是可靠的．……………………………12分 20．解： (1) 设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意可得21==ac e ，又222c b a +=，所以2243a b =．……………2分又椭圆C 经过点)23,1(，所以14349122=+aa，解得2=a ．……………4分所以1=c ，3=b ，则椭圆C 的方程为13422=+yx．……………6分(2) 解法一：当直线x l ⊥轴时，经过计算可以得到：)23,1(--A ，)23,1(-B 或)23,1(-A ，)23,1(--B ，231321||||211=⨯⨯=⋅⋅=∆OF AB S AOB ，不符合题意． ……………7分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为0),1(≠+=k x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134)1(22y x x k y ，消去y ，得01248)43(2222=-+++k x k x k ． ……………8分 显然0>∆恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ， 则2221222143124,438kk x x kkx x +-=⋅+-=+．……………9分 又2122122212214)(1)()(||x x x x k y y x x AB ⋅-+⋅+=-+-=2222224243)1(1243)124(4)43(641kk kk k kk ++=+--+⋅+=．又圆O 的半径221||1|00|kk kk k r +=++-⨯=，所以726431||6||2122=++=⋅⋅=∆kk k r AB S AOB ，……………10分化简，得0181724=-+k k ，解得1718,12221-==k k (舍去)，所以221||2=+=kk r …11分故圆O 的方程为2122=+y x ．…………………12分解法二：设直线l 的方程为1-=ty x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ty x ，消去x ，得096)34(22=--+ty y t ，显然0>∆恒成立，……8分 设),(),,(2211y x B y x A ，则221221349,346ty y tt y y +-=⋅+=+，……………9分所以222122121341124)(||tt y y y y y y ++=-+=-，所以||||21211y y O F S AOB -⋅⋅=∆726341622=++=tt ．……………10分化简，得0171824=--t t ，解得121=t ，181722-=t (舍去)．又圆O 的半径22111|100|ttt r +=++⨯-=，所以22=r ．……………11分故圆O 的方程为2122=+y x ．…………………12分21．解：（1）因为xxx f ln 1)(+=，则)0(ln )(2>-='x xx x f …………………1分当10<<x 时，0)(>'x f ；当1>x 时，0)(<'x f ． 所以)(x f 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减． 所以)(x f 在1=x 处取得极大值．…………………3分 因为)(x f 在区间1(,)2a a +（其中0>a ）上存在极值，所以⎪⎩⎪⎨⎧>+<1211a a ，解得121<<a ．…………………6分 （2）不等式2()1k k f x x -≥+，即k k xx x -≥++2)ln 1)(1(．设xx x x g )ln 1)(1()(++=，则22ln )(xx x x g -='． 令x x x h ln )(2-=，则xx h 11)(-='．因为1≥x ，所以0)(≥'x h ，则)(x h 在),1[+∞上单调递增．…………………9分 所以)(x h 得最小值为01)1(>=h ，从而0)(>'x g ，故)(x g 在),1[+∞上单调递增，所以)(x g 得最小值为2)1(=g ，所以22≤-k k ，解得21≤≤-k ．…………………12分22． 解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥ ----------------1分 又D 是BC 的中点，所以BD DE = ----------------3分 又OD OD OB OE ==,，所以ODB ODE ∆≅∆，所以 90=∠=∠OED OBD故B O E D ,,,四点共圆． -------------5分 (2) 延长DO 交圆于点H ，+⋅=+⋅=⋅=DO DM OH DO DM DH DM DE )(2OH DM ⋅------------8分)21()21(2AB DM AC DM DE⋅+⋅=∴，即AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22--------10分23． 解：解：(1) 由)4sin(2πθρ+=得：θθρsin cos +=两边同乘以ρ得：θρθρρsin cos 2+= -------------3分 ∴022=--+y x y x 即 21)21()21(22=-+-y x -----------5分（2）将直线参数方程代入圆C 的方程得：0202152=+-t t ------------6分 4,5212121==+∴t t t t ------------8分5414)(||2122121=-+=-=∴t t t t t t MN ------------10分24．解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<≥-=)1( 23)2(1 1)2( 32)(x x x x x x f(2) 由)(x f a b a b a ≥-++ 得)(||||||x f a b a b a ≥-++又因为2||||||||||=-++≥-++a b a b a a b a b a 则有)(2x f ≥--------8分 解不等式212-+-≥x x ， 得2521≤≤x--------10分。