等差数列PPT课件公开课
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等差数列复习课课件(公开课)
详细描述
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
《等差数列》(公开课)ppt课件
①38，40，42，44，46，…
公差d=2
② 2 5 ,2 4 1 ,2 4 ,2 3 1 ,2 3 ,2 2 1 ,2 2 ,2 1 1 ,2 1
2
2
2
2
公差d= 1
2最新课件
5
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，
则公差是多少?若不是，说明理由
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得: a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
a1=11 d=-1
2 5 ,2 4 1 ,2 4 ,2 3 1 ,2 3 ,2 2 1 ,2 2 ,2 1 1 ,2 1
2
2
2
2
最新课件
4
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
=2n
当n=1时，a1=0
0
(n 1)
an 2n (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
an
0 (n 1) 2n 1 (n 2)
an＝4n 5
第15页
在某个活动中，学校为衬托节日气氛， 在200米长校园主干道一侧，从起点开始， 每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列， 迎风飘扬。问最终一面旗子会插在终点处 吗？一共应插多少面旗子？
?
03 6 9
…
200
…
第16页
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面 彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？ 若是，是第几面旗子？
?
2 5 8 11 … 80
第17页
12
3
4 n
↓↓ ↓ ↓
↓
25
8
11
↓↓ ↓ ↓
↓
3 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3n 1
an 3n 2. 令 3n 1 80 ，得n 27
第8页
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们和为12，首尾二数 积为12，求此三数.
第9页
例.已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项
解：a1=1,
1
a2
1 1
2
a4
1
2 3
5 3
13 a3 1 2 2
第7页
例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
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实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
《等差数列》课件(公开课)
等差数列的性质
前n项和
等差数列的前n项和可以通过求 和公式来计算。
通项公式
等差数列的通项公式可以帮助 我们快速计算任意项的值。
逆向思维
通过逆向思维，我们可以利用 等差数列的性质解决一些复杂 的问题。
等差数列的应用
1
数学中的应用
等差数列可以用于数学模型和方程的推导和解决。
2
物理中的应用
在物理学中，等差数列可以用于描述物体在等时间间隔内的运动。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
《等差数列》PPT课件(公 开课)
欢迎来到《等差数列》的公开课！今天我们将深入探讨等差数列的定义、性 质、应用以及解题技巧，让我们一起开启这个数学世界的探索之旅吧！
什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
如何求解等差数列
求和公式的推导
我们将讲解等差数列求和公式 的推导过程，帮助你理解其原 理。
求出第n项
通过已知的首项和公差计算任 意项的值，我们将演示具体的 计算方法。
求出一般项
通过已知的首项和公差计算通 项公式，帮助你快速计算数列 的任意项。
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所以, A=(a+b)/2
A为a,b的 等差中项
课堂小结
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
课后作业
课本P19页，A组第7题
方法二
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
（第一课时）
引入
请同学们仔细观察一下，看看以下 数列有什么共同特征？
引例一
1.一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第1 排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，…
引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
（2）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码 由大到小可排列为
25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解：(1)由题意知，22 Nhomakorabea2
2
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
①38，40，42，44，46，…
公差d=2
② 25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
累差迭加法
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
（1） （2） （3）
（n-1）
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
解：（1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
a20= 8 + (20-1) ×（－3）=-49
(2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 所以数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得
－401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程，得n＝100
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
新概念
在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？
解: 依题得, A-a=b-A
2
2
2
2
公差d=
1 2
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，
则公差是多少?若不是，说明理由
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由 公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由
不是
a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
当n=1时，等式也成立。
例题讲解 例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？ 如果是，是第几项？
即－401是这个数列的第100项。
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解：由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3
即等差数列的首项为-2,公差为3
点评：利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解
题后点评
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为0
通项公式
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
A为a,b的 等差中项
课堂小结
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2
课后作业
课本P19页，A组第7题
方法二
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
（第一课时）
引入
请同学们仔细观察一下，看看以下 数列有什么共同特征？
引例一
1.一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第1 排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，…
引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
（2）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码 由大到小可排列为
25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解：(1)由题意知，22 Nhomakorabea2
2
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
①38，40，42，44，46，…
公差d=2
② 25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
累差迭加法
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
（1） （2） （3）
（n-1）
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
解：（1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
a20= 8 + (20-1) ×（－3）=-49
(2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 所以数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得
－401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程，得n＝100
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
新概念
在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？
解: 依题得, A-a=b-A
2
2
2
2
公差d=
1 2
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，
则公差是多少?若不是，说明理由
公差是-2
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由 公差是0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由
不是
a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
当n=1时，等式也成立。
例题讲解 例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？ 如果是，是第几项？
即－401是这个数列的第100项。
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解：由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3
即等差数列的首项为-2,公差为3
点评：利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解
题后点评
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为0
通项公式
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
可得: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d