完整版等差数列公开课
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等差数列复习课课件(公开课)
详细描述
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
=2n
当n=1时，a1=0
0
(n 1)
an 2n (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
an
0 (n 1) 2n 1 (n 2)
an＝4n 5
第15页
在某个活动中，学校为衬托节日气氛， 在200米长校园主干道一侧，从起点开始， 每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列， 迎风飘扬。问最终一面旗子会插在终点处 吗？一共应插多少面旗子？
?
03 6 9
…
200
…
第16页
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面 彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？ 若是，是第几面旗子？
?
2 5 8 11 … 80
第17页
12
3
4 n
↓↓ ↓ ↓
↓
25
8
11
↓↓ ↓ ↓
↓
3 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3n 1
an 3n 2. 令 3n 1 80 ，得n 27
第8页
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们和为12，首尾二数 积为12，求此三数.
第9页
例.已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项
解：a1=1,
1
a2
1 1
2
a4
1
2 3
5 3
13 a3 1 2 2
第7页
例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
等差数列求和公式讲义PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
观察公式旳形式，回忆我们所学过旳知识，你 是否发觉了什么？它旳形式是不是跟我们学过 旳梯形面积公式相同？
学以致用
例1： 2023年11月14日教育部下发了《有关小学 “校校通”工程旳告知.某市据此提出了实施 “校校通”工程旳总目旳：从2023年起用23年旳 时间，在全市中小学建成不同原则旳校园网. 据测算，2023年该市用于“校校通”工程旳经费 为500万元. 为了确保工程旳顺利实施，计划 每年投入旳资金都比上一年增长50万元. 那么 从2023年起旳将来23年内，该市在“校校通”工 程旳总投入是多少？
+)sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2 + 1
∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
—— 倒序相加法
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思索：这种措施能否推广到求一般等
差数列前n项求和呢？
探究发觉
倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学旳观点 处理问题，然后再回归问题实际
解：根据题意，从2001-2023年，该市每年投入“校校通” 工程旳经费都比上一年增长50万元，所以，能够建立一种等 差数列｛ an ｝，表达从2023年起各年投入旳资金，其中，
a1 =500，d=50 那么，到2023年（n=10）,投入旳资金总额为
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她 宏伟壮观，纯白大理石砌建而成旳主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵 寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一种三角形图案，以相同大小旳圆 宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你懂得这个图案一共花 费了多少宝石吗？
《等差数列》PPT课件(公开课)
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
解：（1）由a1=8,
d=5-8=-3, n=20,得
a20= 8 + (20-1) ×（－3） =-49
(2) 由a1=5
d=－9－(－5)=－4,
所以数列的通项公式为
an=－5－4（n－1）
由题意知，问是否存在正整数n，使得
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12.
解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
a4=a3+3d
……
由此得到 an= a1+（n-1）d , n∈N+,d是常数
一个重要结论：
H
16
课后作业
课本P19页，A组第7题
H
17
谢谢!
H
18
3840424446匡威运动鞋女的尺码鞋底长单位是cm引例二2全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码由大到小可排列为252424232322222138404244462524242323222221寻找规律请问以上数列有什么共同特征
解：（1）由a1=8,
d=5-8=-3, n=20,得
a20= 8 + (20-1) ×（－3） =-49
(2) 由a1=5
d=－9－(－5)=－4,
所以数列的通项公式为
an=－5－4（n－1）
由题意知，问是否存在正整数n，使得
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12.
解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d 解得: a9=3＝a1+8d
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
a4=a3+3d
……
由此得到 an= a1+（n-1）d , n∈N+,d是常数
一个重要结论：
H
16
课后作业
课本P19页，A组第7题
H
17
谢谢!
H
18
3840424446匡威运动鞋女的尺码鞋底长单位是cm引例二2全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码由大到小可排列为252424232322222138404244462524242323222221寻找规律请问以上数列有什么共同特征
小学奥数等差数列省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
例题
• 1、求等差数列3，5，7，9…..旳第10 项和第100项。
例题
例、电影院旳座位排列成扇形，第一排有60 个座位，后来每一排都比前一排多两个座位，共 有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个 座位？
第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最终一排即第50排：60+2X(50-1)=158
+1 +1 +1 +1 +1 +1
(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,(128 ) …等比数列
×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2
(3)1, 4， 9， 16,（ 25 ），36，平…方数列
1×1 2×2 3×3
4×4
(4) 1,2，3 ,5，8, 13，21 ，（ 34 ）…斐波拉
契数列
第50项与倒数第50项旳和：50＋51＝101，
于是所求旳和是：
101 100 5050. 2
一、定义：
一般地，假如一种数列从第2项起，后一项与它旳前一项旳
差等于同一种常数，那麽这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列旳公差，公差一般用字母d表达。
公差 = 第二项－首项
例 1： 观察下列数列是否是等差数列：
2
例题
例、求首项为5，末项为155，项数是51旳等差数列旳和。 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2
解：（5＋155）×51÷2 =160×51÷2 =80×51 =4080
例题
例、1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2 解：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99
等差数列名师大课堂获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
8844.43米
高度(km) 1
2
3
45
…
减少6.5
9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2
…
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在（ ） 内填上适宜的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）. ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. (3) 1，4，7，10，（13 ），16，… (4) 2， 0， -2， -4， -6，（-8 ）…
在过去的三百 数年里，人们 分别在下列时 间里观察到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
主持人问: 近来的时间什么时 候能够看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左 右。
普通状况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表预计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
练一练
1.课本第39页 1 2.-2与10的等差中项为—————— 3.在等差数列{an}中,已知a3=21 ，a8=36 ,求通项公
式an 。
课堂小结
本节课学习的重要内容： 1.等差数列的定义； 2.等差中项的定义； 3.求等差数列通项公式。
课外作业
课本第40页A组 第1题
解得 n 100
例2 在等差数列an中，已知a5 10, a12 31,求： 数列an 的通项公式。
解：由题意得：
a1 4d 10 a1 11d 来自1解得：a1 2, d 3
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
公式2
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
等差数列课件公开课
an=a1+(n-1)d=4n-1 ∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得
n=107/7 N
∴102不是这个数列的项。
∴a10=33
数学建模思想
课时小结
• 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定
义及数学表达式： an+1-an=d(n∈N*);
• 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n ∈N*)
• 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中 任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
解得：a1=-4，a2=-1， a3=2，a4=5， a5=8
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3 求前五项
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3
解得： a1=3，
a5=a4+1=7
a2=a1+1=3+1=4，
连州市第二中学 高一(5)班 刘望
复习回顾
数列的定义及简单表示法： 按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
数列有哪几种表示方法？ 通项公式法、列表法、图象法、递推公式.
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列·的通项公式。
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000···
n
a -a =d（n=2，3, 22 1 , 23, 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26...
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（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？ 如果是，是第几项？
解：（1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
a20= 8 + (20-1) ×（－3）=-49
(2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 所以数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得
课后作业
课本P19页，A组第7题
方法二
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
累差迭加法
a 2-a 1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
(1) 式+(2) 式+…+(n-1) 式得：
（1） （2） （3）
（n-1）
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
(1) 已知a4=10, a 7=19,求a1与d.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为 1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d a9=3＝a1+8d
解得:
a1=11 d=-1
（第一课时）
引入
请同学们仔细观察一下，看看以下 数列有什么共同特征？
引例一
1.一个剧场设置了 20 排座位，这个剧场从第 1 排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，…
引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是 cm ）
（2）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码 由大到小可排列为
可得: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
当n=1时，等式也成立 。
例题讲解 例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项
25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
2
2
2
2
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式： an－an－1=d （d是常数，n≥2 ，n∈N*）
所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
新概念
在等差数列 a,A,b中,A与a,b有什么关系？
解: 依题得, A-a=b-A
所以, A=(a+b)/2
A为a,b的 等差中项
课堂小结
本节课主要学习：
一个定义 ： an-an-1=d（d是常数 ，n≥2 ， n ∈N* ） 一个公式 ：an=a1+（n-1）d 一种思想 ：方程思想 一个概念 ： A=a+b/2
－401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程，得n＝100
即－401是这个数列的第100项。
例2 在等差数列 {an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差 d. 解：由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3
即等差数列的首项为 -2,公差为3
多少?若不是，说明理由 公差是 0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由
不是
公差d是每一项（第 2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为 0
通项公式
已知等差数列｛a n ｝的首项是a 1，公差是d
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
点评： 利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件 列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称 方程思想 。 这是数学中的常用思想方法之一。
练一练
在等差数列{an}中，
①38，40，42，44，46，…
公差d=2
② 25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
2
2
2
2
公差d= 1
2
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，
则公差是多少?若不是，说明理由
公差是 -2
2 、常数列a ，a ，a ，…是否为等差数列? 若是，则公差是
解：（1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得
a20= 8 + (20-1) ×（－3）=-49
(2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 所以数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得
课后作业
课本P19页，A组第7题
方法二
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
累差迭加法
a 2-a 1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
(1) 式+(2) 式+…+(n-1) 式得：
（1） （2） （3）
（n-1）
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
(1) 已知a4=10, a 7=19,求a1与d.
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解：(1)由题意知，
a4=10＝a1+3d 解得:
a1=1
a7=19＝a1+6d
d=3
即等差数列的首项为 1,公差为3 (2)由题意知，
a3=9＝a1+2d a9=3＝a1+8d
解得:
a1=11 d=-1
（第一课时）
引入
请同学们仔细观察一下，看看以下 数列有什么共同特征？
引例一
1.一个剧场设置了 20 排座位，这个剧场从第 1 排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，…
引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是 cm ）
（2）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码 由大到小可排列为
可得: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
当n=1时，等式也成立 。
例题讲解 例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项
25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
2
2
2
2
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列。这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
递推公式： an－an－1=d （d是常数，n≥2 ，n∈N*）
所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
新概念
在等差数列 a,A,b中,A与a,b有什么关系？
解: 依题得, A-a=b-A
所以, A=(a+b)/2
A为a,b的 等差中项
课堂小结
本节课主要学习：
一个定义 ： an-an-1=d（d是常数 ，n≥2 ， n ∈N* ） 一个公式 ：an=a1+（n-1）d 一种思想 ：方程思想 一个概念 ： A=a+b/2
－401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程，得n＝100
即－401是这个数列的第100项。
例2 在等差数列 {an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差 d. 解：由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3
即等差数列的首项为 -2,公差为3
多少?若不是，说明理由 公差是 0
3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是
多少?若不是，说明理由
不是
公差d是每一项（第 2项起）与它的前一项 的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可 以是正数，负数，也可以为 0
通项公式
已知等差数列｛a n ｝的首项是a 1，公差是d
由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
点评： 利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件 列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称 方程思想 。 这是数学中的常用思想方法之一。
练一练
在等差数列{an}中，
①38，40，42，44，46，…
公差d=2
② 25, 24 1 , 24, 23 1 , 23, 22 1 , 22, 21 1 , 21
2
2
2
2
公差d= 1
2
想一想
1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，
则公差是多少?若不是，说明理由
公差是 -2
2 、常数列a ，a ，a ，…是否为等差数列? 若是，则公差是