等差数列的概念公开课
等差数列复习课课件(公开课)
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列的性质课件(公开课)
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费。
由题意得，
a1=11.2, d=1.2, n=11,
∴a11=11.2+(11－1) ×1.2 =23.2(元)
答:需要支付车费23.2元.
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
你能得出一般结论吗？
性质二、两项和相等关系 数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 推广：若m+n=2p，则am+an=2ap.
思考4.性质二反过来是否成立？
练习：判断对错：
(1)a3 + a5 = a1 + a7
(2)a1 + a4 + a6 = a3 + a8
53 2
an a3 (n 3)d
2 3(n 3)
3n 7
∴{an}的通项公式为an=3n-7
思考5. 在等差数列{an}中，若ap=q, aq=p,其中p,q
为正整数，求ap+q
例3. 某市出租车的计价标准是1.2元/km,起步价 为10元，即最初的4km（不含4km)计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目 的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付 多少车费？
等差数列(二)
知识回顾
1.等差数列 的定义： （1）.文字语言：如果一个数列从第2项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数.
（2）.数学语言 ： an1 an d, n N *
2.等差数列 的通项公式： an a1 (n 1)d, n N *
等差数列的概念公开课ppt课件
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列概念公开课
做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常
用字母d表示。
an1 an d 或an an 1 d
an1 an an an1 (n 2)
n 2
定义理解:
判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出公差
1、数列4，7，10，13，16，…. 公差d=3
2、数列6，4，2，0，-2，-4； 3、数列 1, 1, 1, 1, 1； 公差d=-2 公差d=0
4、数列 -3，-2，-1，1，2，3 ； 不是 思考：你会求它 们的通项公式吗？
通项公式推导: 如果一个数列 a1 , a 2 , a3 , … an , …，
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
今天你学到了什么？ 课后小结
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d n N ） （
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
个量就可以求余下的一个 量.
an a1 (n 1)d ，n N
由此得到：
an a1 (n 1)d.
（通项公式）
等差数列的通项公式
结论：若一个等差数列{an}，它的首项为 公差是d，那么这个数列的通项公式是： 1
，
a
an a1 (n 1)d
a1、d、n、an中
§2.2等差数列公开课教案
公开课课题：§ 2.2等差数列（第一课时）授课时间：2012. 9.18上午第3节授课班级：高二（6）班授课教师：邱丹三维目标知识与技能：1. 通过实例，理解等差数列的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式，及通项公式的简单应用。
3. 了解等差数列的函数特征。
过程与方法：1. 让学生对生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念。
2. 通过探索，推导等差数列的通项公，并解决相应的问题。
3. 通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
教学重点、难点1. 重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。
2. 难点：等差数列通项公式推导教学过程一.创设情境，课题导入上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法一一列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。
下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：①0, 5, 10, 15, 20, 25,…②48, 53, 58, 63③18, 15.5 , 13, 10.5 , 8, 5.5④10072, 10144, 10216, 10288, 10366思考1:请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等--- 应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字----- 等差数列二•探究新知1 •等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴.公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵.对于数列{ a n},若a n—a n 1=d （与n无关的数或字母），n>2, n€ N，则此数列是等差数列，d为公差。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
等差数列市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案小班
等差数列教案小班一、教学目标1. 理解等差数列的概念和特点。
2. 学会求等差数列的通项公式。
3. 能够利用等差数列的性质解决实际问题。
二、教学准备1. 教学课件。
2. 黑板、粉笔。
3. 教材及练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）老师将黑板上的标题写出来：“等差数列教案小班”。
引导学生思考什么是等差数列，并提问：你们在生活中遇到过什么样的等差数列的实例？引导学生回答。
2. 概念讲解（15分钟）通过课件呈现等差数列的定义：等差数列是指一个数列，其任意相邻两项之差相等。
也可以说，一个数列，如果从第二项开始，每一项减去前一项得到的差相等，则该数列是等差数列。
然后通过一个具体的实例，如1, 4, 7, 10, ...，引导学生找出其中的规律，即每一项都比前一项大3。
通过这个实例，教师可以进一步解释等差数列的特点。
3. 等差数列的通项公式（20分钟）教师通过课件向学生介绍等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
然后，教师通过具体的例子解释如何利用通项公式求解等差数列的某一项。
例如对于等差数列1, 4, 7, 10, ...，要求第10项的值，可以利用通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=3，n=10，得到an= 1 + (10-1)3 = 1 + 9*3 = 28。
接着，教师通过一些练习题让学生巩固掌握等差数列的通项公式的运用。
4. 实际问题应用（15分钟）教师通过实际问题的应用，让学生将等差数列的概念和求解方法应用到实际生活中。
例如：小明每天从家里到学校的路上，每走100米就会看到一棵树。
已知第一棵树距离家500米，第二棵树距离家600米，求第10棵树距离家的距离。
通过引导，学生可以找到题目中的等差数列，并利用等差数列的通项公式解决问题。
5. 拓展练习（15分钟）教师提供一些拓展练习，让学生进一步巩固和扩展在等差数列方面的知识和技巧。
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-13 -21 ），… （2）等差数列－5，－9，（ ），－17，（
（1）等差数列 8，5，2 ，（ -1），－4，（ -7），－10… ①求此等差数列的通项公式 解 因为 a1＝8，d ＝5－8＝－3， 所以这个数列的通项公式是 an = 8＋(n－1)×(－3) ， 即 an ＝－3 n＋11．
本节课主要学习： 一个定义： an an1 d , n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
探究一中的4个等差数列的公差依次是多少？ (4) 1, 1, 1, 1, 1, …… 公差为0的数列
想一想
d 0
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
1, 1, 1, 1, 1, ……
(1) (2) (3) (4)
1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
从第二项起，后一项与前一项的差是4。
15，13， 11，9，7，5 从第二项起，后一项与前一项的差是 -2。 2, 4, 6, 8, 10…… 从第二项起，后一项与前一项的差是 2。 1, 1, 1, 1, 1, …… 从第二项起，后一项与前一项的差是 0。
根据等差数列的定义填空 a2 ＝a1＋d， a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d， a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， …… an ＝ a1 ＋ （ n – 1 ） d． 等差数列的通项公式
填空（1）等差数列 8，5，2 ，（-1 ），－4，（-7 ），－10…
抢答：下列数列是否为等差数列？ 1，2，4，6，8，10，12，… 0，1，2，3，4，5，6，… 3，3，3，3，3，3，3，… 2，4，7，11，16，… －8，－6，－4，-2 ， 0，2，4，… 3，0，－3，－6，－9，… ① ② √
√ ③
④ ⑤ √ ⑥ √
思考：在数列 (1)1 =？ a8=？ a100 (2) 15，13，11，9，7，5 d = 2？我 们该如何求解 d 2 (3) 2, 4, 6, 8, 10， …… 呢？
观察这些数列有什么共同特点？
从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个常数.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项
的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个 常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示.
递推公式：
an an1 d , n 2, n N (d是常数)
数 列
数列 数列
数列
2.1
等差数列的概念
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一 个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
即这个数列的第 100 401 ． 即 a项是－ ＝－ 3 n ＋ 11． n 所以 a20＝－3×20＋11＝－49.
在等差数列{an}中：
1 （1）d＝－ ，a7 ＝8，求 a1 ； 3
（2）a1 ＝12，a6 ＝27，求 d ．
（1）求等差数列 3，7，11，… 的第 4，7，10 项；
（2）求等差数列 10，8，6，… 的第 20 项．
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008 (2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。 15 13 11 9 7 5
(3)所有正偶数排成一列组成的数列 2, 4, 6, 8, 10…… (4)无穷个1排成一列组成的数列
例2 等差数列－5，－9，－13，… 的第多少项是－401？ 解 因为 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， an＝－401， 解 因为 a1＝8，d ＝5－8＝－3， 所以 所以这个数列的通项公式是 －401＝－5＋(n－1)×(－4)．
解得 n＝100．
an = 8＋(n－1)×(－3) ，