安徽省百校论坛2011级高三第一次联合考试-数学理

安徽省百校论坛2011级高三第一次联合考试数学试题（理科）考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容：集合与简易逻辑、函数与导数共占90%，三角函数占10%。

第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数23log(21)y x=-（）A．[1，2] B．[1,2)C．1(,1]2D．1[,1]22．集合{|2},{1,0,1}xA y R y B=∈==-，则下列结论正确的是（）A．{0,1}A B⋂=B．(0,)A B⋃=+∞C．()(,0)RC A B⋃=-∞D．(){1,0}RC A B⋂=-3．函数2()2(,)f x x x m x m R=++∈的最小值为1-，则21()f x dx⎰等于（）A．2 B．163C．6 D．74．已知,,a b∈R则“33log loga b>”是“11()()22a b<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数2()(2)()f x x x c=-+处有极值，则函数()1f x x=的图象处的切线的斜率为（）A．1 B．—3 C．—5 D．—126．函数1()()sin2xf x xπ=-在区间[0,2]上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．要得到函数2c o s ()s i n ()163y x x ππ=+--的图象，只需将函数13sin 222y x x =+的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向左平移4π个单位8．设偶函数()log ||(,0)a f x xb =--∞在上递增，则(1)(2)f a f b ++与的大小关系是（ ）A ．(1)(2)f a f b +=+B ．(1)(2)f a f b +>+C ．(1)(2)f a f b +<+D ．(1)(2)f a f b +≥+9．已知函数()()y f x y g x ==和的定义域及值域均为[,](0)a a a ->常数，其图象如图所示，则方程[()]0f g x =根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．610．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11．定义集合运算：{|(),,}.{0,1},{2,3}AB z z xy x y x A y B A B ==+∈∈==设集合，则集合A B 的所有元素之和为 。

12．若命题“存在实数x ，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为 。

13．区间[0，m]在映射:2f x x m →+所得的对应区间为[,],[,]a b a b 若区间的长度比区间[0，m]的长度大5，则m= 。

（定义区间[,]a b b a -的长度为）14．设函数()y f x =满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1,)+∞上为增函数，则(1)f -与(2)f 的大小关系是 。

15．设曲线2cos 2y x =与x 轴、y 轴、直线12x π=围成的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是 。

三、解答题;本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）函数2()1x f x x +=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式21()2()2x a x a -->∈R 的解集为B ，求使AB B a =的实数的取值范围。

17．（本小题满分12分）已知函数22()2sin ()23 3.4f x x x π=--+（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求()f x 2[0,]6m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分13分）已知函数32()(,0)f x x ax bx c=-+++-∞在上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数()f x在R上有三个零点，且1是其中一个零点。

（1）求b的值；（2）求a的取值范围。

19．（本小题满分13分）设函数()(01)x xf x ka a a a-=->≠且是定义域为R上的奇函数。

（1）若2(1)0,(2)(4)0f f x x f x>++->试求不等式的解集；（2）若223(1),()2()[1,)2x xf g x a a mf x-==+-+∞且在上的最小值为—2，求m的值。

20．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形空地，正方形的边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 的距离分别为9m 、3m 。

某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ：NE=16：9。

线段MN 必须过点P ，满足M 、N 分别在边AD 、AB 上，设()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2().S m （1）求S 关于x 的函数关系式，并与出该函数的定义域；（2）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？21．（本小题满分13分）已知,()ln 1,()(ln 1)x aa f x x g x x e x x ∈=+-=-+R 函数（其中e 为自然对数的底数）。

（1）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值； （2）是否存在实数00(0,],()x e y g x x x ∈==使曲线在点处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由。

参考答案1—5CDBAC 6—10BDBDA 11．1812．22a a <->或 13．514．(1)(2)f f -> 15．[0,)+∞16．解：由201xx +≥-解得21x x ≤->或于是(,2](1,)A =-∞-⋃+∞…………4分22111()2()()2222x a x x a x x a x x a --+>⇔>⇔<+⇔<所以(,)B a =-∞…………8分因为,A B B B A ⋂=⊆所以，所以2a ≤-，即a 的取值范围是(,2]-∞-…………12分17．解：（1）2()1cos(2)3(2cos 1)1(sin 232)2f x x x x x π=----=-+2sin(2)13x π=-++…………2分∴最小正周期.T π=…………3分5222()().2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤+≤+∈⇒-≤≤+∈()f x ∴的单调递减区间为5[,]().1212k k k Z ππππ-+∈…………6分（2）2[0,],2[,]6333x x ππππ∈∴+∈2sin(2)[2,3]3x π∴-+∈--即有2sin(2)1[1,13]3x π-++∈--…………10分 ()[1,13],213f x m ∴∈--∴+>- 得13m >--m ∴的取值范围是(13,).--+∞…………12分18．解：（1）32()f x x ax bx c =-+++2()32.f x x ax b '∴=-++())f x ∞在(-,0上是减函数，在（0，1）上是增函数，0x ∴=当时，()f x 取到极小值，即(0)0f '=0.b ∴=…………5分（2）由（1）知，32()f x x ax c =-++1是函数()f x 的一个零点，即(1)0,1f c a =∴=-…………8分2()320f x x ax '=-+=的两个根分别为1220,.3ax x ==又()f x 在（0，1）上是增函数，且函数()f x 在R 上有三个零点，2213a x ∴=>，即3.2a >…………13分 19．解：（1）()f x 是定义域为R 上的奇函数，(0)0,10,1f k k ∴=∴-=∴=1(1)0,0f a a >∴->，又0a >且1, 1.a a ≠∴>易知()f x 在R 上单调递增原不等式化为：2(2)(4)f x x f x +>- 224x x x ∴+>-，即2340x x +->14,x x ∴><-∴或不等式的解集为{|14}x x x ><-或…………6分（2）313(1),22f a a =∴-=即212320,22a a a a --=∴==-或（舍去）222()222(22)(22)2(22) 2.x x x x x x x x g x m m ----∴=+--=---+…………8分令()22x xt f x -==-22231,(1),()22()22x t f g t t mt t m m ≥∴≥=∴=-+=-+-…………9分 当32m ≥时，当t m =时，2min ()22,2g t m m =-=-∴=当32m <时，当32t =时，min 17()324g t m =-=-， 解得253122m =>，舍去…………12分综上可知 2.m =…………13分20．解：（1）如图，建立直角坐标系，设(0,)M t ，由已知有(9,3),(,0)P N x3033,999t xt x x --∴=∴=--又MN 过点D 时，x 最小值为103(1030)9xAM x x ∴=≤≤-…………2分2222229(9)x MN AN AM x x =+=+-9:16:9,16MN NE NE MN=∴=2222999[].1616(9)x S MN NE MN x x ∴=⋅==+-…………5分定义域为[10，30]…………6分（2）22343918(9)9(218)9[(9)81][2]16(9)8(9)x x x x x x S x x x -----'=+=⨯--…………7分令0S '=，得0x =（舍去），3933x =+ 当310933x ≤≤+0,S S '<关于x 为减函数； 当393330x +<≤时，0,S S '>关于x 为增函数 3933x ∴=+当时，S 取得最小值…………11分答：当AN 长为3933+（m ）时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小…………12分21．解：（1）221()ln 1,().a a x af x x f x x x x x -'=+-∴=-+=令()0f x '=，得x a =…………1分①若0a ≤，则()0,()f x f x '>在区间(0,]e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值 ……2分 ②若0,(0,)a e x a <<∈当时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减当(,]x a e 时，()0f x '>，函数()f x 在区间(,]a e 上单调递增∴当x=a 时，函数()f x 取得最小值ln a …………4分③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减x e ∴=当时，函数()f x 取得最小值ae …………5分综上可知，当0a ≤时，函数()f x 在区间(0,]e 上无最小值；当0a e <<时，函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为ln a ；当a e ≥时，函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为.a e …………6分（2）()(ln 1),(0,]x g x x e x x e =-+∈1()(ln 1)(ln 1)()1(ln 1)1(ln 1)1x xxx x e g x x e x e x e x e x x '∴=-+-+=+-+=+-+……7分由（1）可知，当11,()ln 1a f x x x ==+-时此时()f x 在区间(0,]e 上的最小值为ln10=即1ln 10x x +-≥…………9分 当0(0,]x e ∈，00010,ln 10x e x x >+-≥00001()(ln 1)110x g x x e x '∴=+-+≥>…………11分曲线()g x =Y 在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解而0()0g x '>，即方程0()0g x '=无实数解故不存在0(0,]x e ∈，使曲线()y g x x x ==在点处的切线与y 轴垂直…………13分。