苏教版选修1-2高中数学第1章《统计案例》word章末总结
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第1章统计案例§1.1独立性检验课时目标1.了解独立性检验的基本思想.2.体会由实际问题建模的过程，了解独立性检验的基本方法．1．独立性检验：用______________研究两个对象是否有关的方法称为独立性检验．2．对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B，Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：Ⅱ合计类1类2Ⅰ类A a b a＋b类B c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d则χ2的计算公式是________________．3．独立性检验的一般步骤：(1)提出假设H0：两个研究对象没有关系；(2)根据2×2列联表计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．一、填空题1．下面是一个2×2列联表：y1y2总计x1 a 2173x282533总计 b 46则表中a、b处的值分别为________，________.2．为了检验两个事件A，B是否相关，经过计算得χ2＝8.283，则说明事件A和事件B________(填“相关”或“无关”)．3．为了考察高一年级学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在高一年级随机抽取了300名，得到如下2×2列联表．判断学生性别与是否喜欢数学________(填“有”或“无”)关系.喜欢不喜欢合计男3785122女35143178合计722283004．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2＝99.9，根据这一数据分析，下列说法正确的是________(只填序号)．①有99.9%的人认为该栏目优秀；②有99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系；③有99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；④以上说法都不对．5．某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示．从表中数据分析，学生学习积极性与对待班级工作的态度之间有关系的把握有________.积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650 6．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有______．7．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现χ2＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过____________________________________________________．二、解答题9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；(2)检验性别与休闲方式是否有关系．10．有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品．为了考察这两个工厂的产品质量的水平是否一致，从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件．(1)根据以上数据，建立2×2列联表；(2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于99%)能力提升11．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若χ2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．12．下表是对某市8所中学学生是否吸烟进行调查所得的结果：吸烟学生不吸烟学生父母中至少有一人吸烟816 3 203父母均不吸烟188 1 168(1)在父母至少有一人吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？(2)在父母均不吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？(3)学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗？请简要说明理由．(4)有多大的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关？1．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．2．在解题时，可以根据列联表计算χ2的值，然后参考临界值对两个变量是否独立做出判断．第1章统计案例§1.1独立性检验答案知识梳理1．χ2统计量2．χ2＝n(ad－bc)2(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d)作业设计1．5260解析由列联表知，a＝73－21＝52，b ＝a ＋8＝52＋8＝60. 2．相关 3．有解析 由列联表可得χ2＝4.514>3.841，∴有95%的把握认为学生性别与是否喜欢数学有关． 4．③ 5．99.9%解析 χ2＝50×(18×19－7×6)224×26×25×25≈11.5>10.828. 6．②④⑤ 7．②解析 对于①，事件A 与B 的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生B 一定发生，故④错．8．0.0259．解 (1)2×2的列联表：休闲方式 性别看电视 运动 合计 女 43 27 70 男 21 33 54 合计6460124(2)根据列联表中的数据得到 χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为χ2>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系． 10．解 (1)甲工厂 乙工厂 合计 一等品 58 70 128 二等品 51 121 172 合计109191300(2)提出假设H 0：甲、乙两个工厂的产品质量无显著差别． 根据列联表中的数据可以求得χ2＝300×(58×121－70×51)2109×191×128×172≈7.781 4>6.635.因为当H 0成立时，P (χ2>6.635)≈0.01，所以我们有99%以上的把握认为甲、乙两个工厂的产品质量有显著差别．11．③解析 χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．12．解 (1)816816＋3 203×100%≈20.3%.(2)188188＋1 168×100%≈13.86%. (3)有关，因为父母吸烟与不吸烟，其子女吸烟的比例有较大的差异． (4)提出假设H 0：学生的吸烟习惯和父母是否吸烟无关． 根据列联表中的数据可以求得 χ2≈27.677>10.828.因为当H 0成立时，P (χ2>10.828)≈0.001，所以我们有99.9%以上的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关．。
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 第一章统计案例2
宁县五中导学案归纳专题专题二独立性检验独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用等高条形图来映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K2的值能更精确地判断两个分类变量关关系．独立性检验的思想类似于数学上的反证法，在假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理．例2 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表．(2)判断40岁以上的人患胃病与否和生活规律是否有关．【思路点拨】分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k 观测值分析，得出结论．【规范解答】(1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：患胃病未患胃病总计生活规律20 200 220生活不规律60 260 320总计80 460 540(2)根据列联表得K2的观测值为：k＝540×20×260－200×60280×460×220×320≈9.638.因为9.638>6.635，因此，我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关专题三转化与化归思想在回归分析中的应用回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．作业布置课本19页第2,3题。
高中数学 第1章 统计案例本章概览素材 苏教版选修1-2
第1章 统计案例
本单概览
内容提要
1.回归分析
回归分析是对有相关关系的两个变量进行统计分析，用相关“系数对两个变量的线性相关程度进行较为精确的刻画”.
2.独立性检验
判断两个分类变量之间是否有关系的方有三种：三维柱形图、二维条形图和独立性检验.其中三维柱形图和二维条形图只能粗略地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论.
学法指导
1.回归分析的方法：回归模型法.
基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确变量是解释变量还是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；
（3）由经验确定回归方程的类型；
（4）估计回归方程中的参数；
（5）得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
2.检验两个分类变量是否相关的方法主要是三维柱形图和二维条形图法及独立性检验法.
基本步骤为：
（1）找相关数据，作列联表；
（2）求d)
d)(b b)(c (a dc)-n(ad 2
+++的值； （3）判断可能性.。
苏教版高中数学必修+选修知识点归纳总结(精编版)
高中数学必修+选修知识点归纳恒则成人生一连串的奋斗 追求理想要奋战不懈坚持到底有恒则成引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。
不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
选修课程有3个系列：选修系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图选修系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数的引入选修2—3：计数原理、概率，统计案例。
选修系列4：由4个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。
2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
近年高中数学第1章统计案例章末检测苏教版选修1-2(2021年整理)
2018高中数学第1章统计案例章末检测苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第1章统计案例章末检测苏教版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1章统计案例章末检测一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．为了调查色弱与性别是否有必然联系，我们对一批人进行了检测，结果发现表中数据(人数):统计量χ2的计算公式为χ2＝错误!，χ2的值越大,表明判定色弱与性别有关的可靠性越________（填“大”或“小”）．答案大2．若线性回归方程中的回归系数错误!＝0，则相关系数r＝________。
答案0解析错误!＝错误!,r＝错误!.若错误!＝0，则r＝0.3．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!＋e（单位：亿元)．其中，错误!＝0。
8，错误!＝2，|e｜≤0。
5.若今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过________亿元．答案10。
5解析回归方程为错误!＝0。
8x＋2＋e,当x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e≤10＋0。
5＝10。
5. 4．已知x与y之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性线性回归方程y，＝错误!x＋错误!，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是________．①错误!>b′，错误!>a′;②错误!〉b′，错误!〈a′；③错误!〈b′，错误!>a′；④错误!<b′，错误!〈a′。
高中数学(苏教版选修1-2)课件第1章 统计案例 1.1
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并计算是否有99%
的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲厂 优质品 乙厂 合计
非优质品
合计
解
优质品
甲厂
360
乙厂
320
合计
680
非优质品 合计
140 500
180 500
320 1 000
2 1 000 × 360 × 180 － 320 × 140 χ2＝ ≈7.353 ＞ 6.635 ， 所 以 500×500×680×320
解 假设H0：海上航行和性别没有关系，χ2＝
71×12×24－25×102 ≈0.08. 22×49×37×34
因为χ2<2.706，所以我们没有理由认为男人比女人更容易晕船 .
要点三 独立性检验的应用 例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸 (单
位： mm) 的值落在 (29.94,30.06) 的零件为优质品 . 从两个分厂 生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：
规律方法 利用χ2＝a＋bc＋da＋cb＋d ，准确代数与 计算，求出χ2的值.
跟踪演练1 已知列联表：药物效果与动物试验列联表 患病 服用药 未服药 10 20 未患病 45 30 合计 55 50
合计
30
75
105
则χ2≈________.(结果保留3位小数)
2 105 × 10 × 30 － 20 × 45 解析 χ2＝ 30×75×55×50
Ⅱ
类1 类A Ⅰ a 类2 b 合计 a＋b
类B 合计
c
a ＋c
d
b＋d
高中数学选修1-2第一章课后习题解答
新课程标准数学选修1—2第一章课后习题解答第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用练习（P8）1、画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据.说明：学生在对常用的函数图象比较了解的情况下，通过观察散点图可以判断两个变量的关系更近似于哪种函数.2、分析残差可以帮助我们解决以下两个问题：（1）寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错.（2）分析残差图可以发现模型选择是否合适.说明：分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适，是否有其他变量需要加入到模型中，模型的假设是否正确等. 本题只要求学生能回答上面两点即可，主要让学生体会残差和残差图可以用于判断模型的拟合效果.3、（1）解释变量和预报变量的关系式线性函数关系.R=.（2）21说明：如果所有的样本点都在一条直线上，建立的线性回归模型一定是该直线，所以每个=+，没有随机误差项，是严样本点的残差均为0，残差平方和也为0，即此时的模型为y bx aR=.格的一次函数关系. 通过计算可得21习题1.1 （P9）1、（1）由表中数据制作的散点图如下：从散点图中可以看出GDP值与年份近似呈线性关系.y表示GDP值，t表示年份. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得（2）用tˆ14292537.729a≈-，ˆ7191.969b≈从而得线性回归方程ˆ7191.96914292537.729=-.y t残差计算结果见下表.GDP 值与年份线性拟合残差表（年实际GDP 值为117251.9，所以预报与实际相差4275.540-.（4）上面建立的回归方程的20.974R =，说明年份能够解释约97％的GDP 值变化，因此所建立的模型能够很好地刻画GDP 和年份的关系.说明：关于2003年的GDP 值的来源，不同的渠道可能会有所不同.2、说明：本题的结果与具体的数据有关，所以答案不唯一.3、由表中数据得散点图如下：从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震数N 之间不呈线性相关关系，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长. 做变换lg y N =，得到的数据如下表所示.x 和y 的散点图如下：从这个散点图中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得ˆ 6.704a≈，ˆ0.741b ≈-， 故线性回归方程为 ˆ0.741 6.704y x =-+. 20.997R ≈，说明x 可以解释y 的99.7％的变化.因此，可以用回归方程 0.741 6.704ˆ10x N-+= 描述x 和N 之间的关系. 1．2独立性检验的基本思想及其初步应用练习（P15）列联表的条形图如图所示.由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为2K 的观测值0.653 6.635k ≈<，由教科书中表1-11克重，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”.说明：（1）教师应要求学生画出等高条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错.（2）本题与例题不同，本题计算得到的2K 的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”. 这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立. 在独立性检验中，没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.习题1.2 （P16）1、假设“服药与患病之间没有关系”，则2K 的值应该比较小；如果2K 的值很大，则说明很可能“服药与患病之间没有关系”. 由列联表中数据可得2K 的观测值 6.110 5.024k ≈>，而由教科书表1-11，得2( 5.024)0.025P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“服药与患病之间有关系”. 又因为服药群体中患病的频率0.182小于没有服药群体中患病的频率0.400，所以“服药与患病之间关系”可以解释为药物对于疾病有预防作用. 因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为药物有效.说明：仿照例1，学生很容易完成此题，但希望学生能理解独立性检验在这里的具体含义，即“服药与患病之间关系”可以解释为“药物对于疾病有预防作用”.2、如果“性别与读营养说明之间没有关系”，由题目中所给数据计算，得2K 的观测值为8.416k ≈，而由教科书中表1-11知2(7.879)0.005P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.3、说明：需要收集数据，所有没有统一答案. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.4、说明：需要从媒体上收集数据，学生关心的问题不同，收集的数据会不同. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.第一章 复习参考题A 组（P19）根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程.由最小二乘法的计算公式，得 2095141.503a ≈-，1110.903b ≈，则线性回归方程为 ˆ1110.9032095141.503yx =-. 由2R 的计算公式，得 20.994R ≈，明线性回归模型对数据的拟合效果很好.根据回归方程，，预计2003年末中国人口总数约为129997万人，而实际情况为129227万人，预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131108万人，而实际情况为129988万人，预测误差为1120万人.说明：数据来源为《中国统计年鉴》（2003）. 由于人数为整数，所以预测的数据经过四舍五入的取整运算.2、（1）将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系.（2）由最小二乘法的计算公式，得 ˆ1334.5a≈，ˆ0.026b ≈， 则线性回归方程为 ˆ0.0261334.5yx =+ 其残差值计算结果见下表：（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，20.457R ≈，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46％，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系. 说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确.3、由所给数据计算得2K 的观测值为 3.689k ≈，而由教科书中表1-11知2( 2.706)0.10P K ≥=所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”.第一章 复习参考题B 组（P19）1、因为 21(,)()ni i i Q a b y a bx ==--∑21(()())n i i i y bx y bx a y bx ==--+--+∑ 2211()()n n i i i i y bx y bx a y bx ===--++-+∑∑12()()ni i i y bx y bx a y bx =---+-+∑ 并且221()()n i a y bx n a y bx =-+=-+∑，12()()n i i i y bx y bx a y bx =--+-+∑ 1()(())ni i i a y bx y bx ny nbx ==-+--+∑ ()()0a y b x n y n b xn y n b x=-+--+= 所以 221(,)()()ni i i Q a b y bx y bx n a y bx ==--++-+∑.考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含a ，而另外一项非负，所以ˆa和ˆb 必然使得等号右边的最后一项达到最小值，即 ˆˆ0ay bx -+=， 即ˆˆy a bx =+. 2、总偏差平方和21()n i i y y =-∑表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方和21ˆ()ni i y y =-∑表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应；回归平方和21ˆ()ni yy =-∑表示表示变量的效应，即自变量的变化效应. 等式 222111ˆˆ()()()n n n i ii i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑ 表示因变量的变化总效应等于随机误差的变化效应与自变量的变化效应之和.3、说明：该题主要是考察学生应用回归分析模型解决实际问题的能力，解答应该包括如何获取数据，如何根据散点图寻找合适的模型去拟合数据，以及所得结果的解释三方面的内容.。
【教育课件】苏教版选修1-2高中数学第1章《统计案例》ppt复习课件.ppt
解 (1)散点图如图：
5
(2)由已知可得 x ＝5， y ＝50，x2i ＝145，
i＝1 5
xiyi＝1 380，
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
则b^ ＝
5
x2i －5 x 2
i＝1
＝1 318405－－55××55×2 50＝6.5，a^＝ y －b^ x ＝50－6.5×5＝17.5，于是所
本章归纳整合
知识网络
要点归纳
1．独立性检验
(1)给出2×2列联表时，直接利用公式，查表判断；若没有给出2×2列联表， 应先根据样本数据列出2×2列联表，再利用公式进行计算并判断，一般要 求2×2列联表中的a、b、c、d的值均不小于5.
(2)在独立性检验中，两个变量是否有关，在多大程度上有关，是一种统计 关系，不能认为是因果关系．由于抽样的随机性，用χ2进行独立性检验时， 样本容量n越大，估计越准确．
^
^
a＝ y －b x ＝20.771－12.541×0.543≈13.961，
∴电阻 y 关于含碳量 x 之间的线性回归方程是
^
y＝12.541x＋13.961.
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2005年11月7日7时33分
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专题归纳
解读高考
10
50
80
试说明：在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
总 计 25
20
65
110
解 对于三种心理障碍分别有 χ21，χ22与 χ23，则由表中数据可得： χ21＝110×30×5×806×0－252×5×85202≈0.863； χ22＝110×30×108×0×702－0×209×0 102≈6.366； χ23＝110×30×158×0×306－5×154×5 502≈1.410. 所以没有充分的理由认为焦虑与性别有关，有 95%的把握认为说 谎与性别有关，没有充分的理由说明懒惰与性别有关．
2019高中数学 第1章 统计案例章末小结与测评学案 苏教版选修1-2
第1章统计案例1．独立性检验所谓的独立性检验，就是根据采集的数据，利用公式求出χ2的值，比较χ2与临界值的大小关系，来判断两个变量是否相关的问题，是一种假设检验．独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表；(2)求统计量χ2；(3)判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的确信度．若χ2>10.828，则有99.9%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>7.879，则有99.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>6.635，则有99%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>5.024，则有97.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>3.841，则有95%的把握认为“x与y有关系”；若χ2≥2.706，则有90%的把握认为“x与y有关系”；如果χ2<2.706，就认为没有充分的证据显示“x与y有关系”．2．回归分析对于两个变量之间是否存在线性关系，可根据得到的数据，作散点图．如果这些点在一条直线附近，则两变量呈线性相关关系，再列表，计算，它们之间的相关程度可由相关系数进行判断，我们可以根据所得的线性回归方程进行有效的预测．若两变量之间存在线性关系，设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y－－b ^x －，从而求出线性回归方程．其线性相关程度可用计算两个随机变量间的相关系数r 来判断，r ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2·∑i ＝1ny 2i －n y －2，|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强；|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列现象属于相关关系的序号是________． ①家庭收入越多，消费也越多 ②圆的半径越大，圆的面积越大③气体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而减小 ④在价格不变的条件下，商品销售量越多销售额也越多 解析：根据相关关系的概念可知①属于相关关系． 答案：①2．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x －相同，y －也相同，则l 1与l 2的位置关系是________．解析：每条回归直线都过样本中心(x －，y －)，故l 1与l 2有公共点(x －，y －)．答案：l 1与l 2有公共点(x －，y －)3．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.194．在2014年1月1日，某市场价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2x ＋a ^(参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，a ^＝y －－b ^x －)，则a ^＝________．解析：价格的平均数是x －＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数是y －＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y ^＝－3.2x ＋a ^知b ^＝－3.2， 所以a ^＝y －－b ^x －＝8＋3.2×10＝40. 答案：405．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ^，纵截距是a ^，则b ^与r 的符号________．(相同或相反)解析：当变量x 和y 之间是正相关时，r >0且b ^>0； 当变量x 和y 之间是负相关时，r <0且b ^<0. 答案：相同6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作试验并用回归分析方法分别求出相关系数r .如表：试验结果体现变量A ，B 的线性相关性最强的是________．解析：根据线性相关的检验方法知，当|r |越趋近于1，两个变量的线性相关程度越强．故丁正确．答案：丁7．(重庆高考改编)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为________．①y ^＝0.4x ＋2.3 ②y ^＝2x －2.4 ③y ^＝－2x ＋9.5 ④y ^＝－0.3x ＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除③，④.且直线必过点(3，3.5)代入①，②得①正确．答案：① 8.以下关于线性回归的判断，正确的序号是________． ①散点图中所有点都在一条直线附近，这条直线为回归直线②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 解析：①不正确，②③④均正确． 答案：②③④9．如图所示，有5组数据，去掉________后，剩下的4组数据的线性相关性更强了．解析：由散点图可见：点A 、B 、C 、E 近似地在一条直线上，所以去掉点D 以后，线性相关性就更好了．答案：D (3，10)10．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________(填序号)．①y 与x 具有正的线性相关关系 ②回归直线过样本点的中心(x －，y －)③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：①由于回归直线斜率为正值，故y 与x 是有正的线性相关关系；②回归直线过样本中心点(x －，y －)；③根据回归直线斜率意义正确；④由于回归分析得出的是估计值．答案：④11．下表是性别与喜欢足球与否的统计列联表，依据表中的数据，得到χ2＝________.解析：由χ2＝（－）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝85×（40×12－28×5）268×17×45×40≈4.722.答案：4.72212．下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系.小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：平均命中率y －＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，x －＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝55， 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝0.01， a ^＝y －－b ^x －＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ^＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ^＝0.53. 答案：0.5 0.5313．某化工厂为了预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的线性相关关系，现取了8对观测数据，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 对x 的回归方程为________．解析：据已知b ^＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x －2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62. a ^＝y －－b ^x －＝11.47.∴y ^＝11.47＋2.62x .答案：y ^＝11.47＋2.62x14．(福建高考改编)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则b ^与b ′的关系为________，a ^与a ′的关系为________．解析：x －＝216＝72，y －＝136，∑i ＝16x i y i ＝58，∑i ＝16x 2i ＝91，代入公式求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x － y－∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，而b ′＝2，a ′＝－2，∴b ^＜b ′，a ^＞a ′. 答案：b ^＜b ′ a ^＞a ′二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：试问：新措施对防治猪白痢是否有效？解：提出假设H 0：防治猪白痢与是否采取新措施无关．由χ2公式，得χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝300×（114×18－36×132）2150×150×246×54≈7.317>6.635.因为H 0成立时，χ2≥6.635的概率为0.01，因此我们有99%的把握认为新措施对防治猪白痢是有效的．16．(本小题满分14分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程． 解：设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝∑i ＝1nx i y i －10x －·y－∑i ＝1nx 2i －10x －2＝55 950－50 43538 500－30 250≈0.668， a ^＝y －－b ^x －－0.668＝54.96.因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96.17．(本小题满分14分)为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了调查，得到了如下2×2列联表：已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关？”说明你的理由；(参考公式：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)补充如下：(2)∵χ2＝50×（20×15－10×5）30×20×25×25≈8.333>7.879.∴有99.5%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．18．(本小题满分16分)为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量y (单位：千件)对于价格x (单位：千元)的反应，得数据如下：(1)若y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若成本x ＝y ＋500，试求：①在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格； ②在利润为最大的条件下，定价为多少？解：(1)b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2≈－1.286 6，a ^＝y －－b ^x －≈169.772 4，∴线性回归方程为y ^＝－1.286 6x ＋169.772 4. (2)①在盈亏平衡条件下， y ^x ＝y ^＋500，即－1.286 6x 2＋169.772 4x ＝－1.286 6x ＋169.772 4＋500，1．286 6x 2－171.059x ＋669.772 4＝0， 解得x 1＝128.916 2，x 2＝4.038 1(舍去)， ∴此时新产品的价格为128.916 2千元． ②在利润最大的条件下，Q ＝y ^x －x＝－1.286 6x 2＋169.772 4x ＋1.286 6x －169.772 4－500 ＝－1.286 6x 2＋171.059x －669.772 4.要使Q 取得最大值，x ＝66.477 1，即此时新产品应定价为66.477 1千元．19．(本小题满分16分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得χ2＝300×（－2 250）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．20．(本小题满分16分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响炼钢时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间Y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：(1)Y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果Y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？ 解：(1)由已知数据列成下表：由上表知：x －＝159.8，y －＝172，∑i ＝110x 2i ＝265 448，∑i ＝110y 2i ＝312 350，∑i ＝110x i y i ＝287 640.于是r ＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x －2∑i ＝110y 2i －10y －2≈0.990 6.由于|r |＝0.990 6>r 0.05，可知x 与Y 具有很强的线性相关关系． (2)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y －∑i ＝110x 2i －10x －2≈1.267，a ^＝y －－b ^x －≈－30.467.所以所求的线性回归方程为y ^＝1.267x －30.467. (3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.467≈172(min)． 即大约冶炼172 min.。
苏教版高中数学选修1-1第2章章末总结.docx
章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读 例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1 (a >0，b >0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义， 得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60° ＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)， 即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123， 即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)． 把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16， 而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵OM → (x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0.∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－xk，进而可求A ⎝⎛⎭⎫4p k2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )． 于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k 2，从而k OM ＝k 2－1k，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－kk 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)， 即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③ 又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简， 得(x －2p )2＋y 2＝4p 2. 当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上． ∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点． 例4证明 设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎨⎧Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.即⎩⎨⎧3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0， ∴直线l 过定点．例5 解 因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋MA ′＝10.如图所示，则MA ＋MB ＝MA ＋MA ′＋MB －MA ′＝10＋MB －MA ′≤10＋A ′B . 当点M 在BA ′的延长线上时取等号． 所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时， (MA ＋MB )max ＝10＋A ′B ＝10＋210.又如图所示，MA ＋MB ＝MA ＋MA ′－MA ′＋MB ＝10－(MA ′－MB ) ≥10－A ′B ，当M 在A ′B 的延长线上时取等号． 所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时， (MA ＋MB )min ＝10－A ′B ＝10－210. 例6 解 由题意，F 1F 2＝2. 设直线AB 方程为y ＝kx ＋1， 代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2， 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2，∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2.S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，S △ABF 2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋MB 的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读 例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义， 得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60° ＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123， 即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解 过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)． 把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16， 而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.（2）证明 ∵OM → (x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0. ∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解 设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－xk，进而可求A ⎝⎛⎭⎫4p k2，4p k 、B (4pk 2，－4pk )． 于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k 2，从而k OM ＝k 2－1k， ∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1kx ，① 直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．② 将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 则⎩⎨⎧ Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.即⎩⎨⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0， ∴直线l 过定点．例5 解 因为A (4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋MA ′＝10.如图所示，则MA ＋MB ＝MA ＋MA ′＋MB －MA ′＝10＋MB －MA ′≤10＋A ′B . 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(MA ＋MB )max ＝10＋A ′B ＝10＋210.又如图所示，MA ＋MB ＝MA ＋MA ′－MA ′＋MB＝10－(MA ′－MB )≥10－A ′B ，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(MA ＋MB )min ＝10－A ′B ＝10－210.例6 解 由题意，F 1F 2＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2， ∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2. S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2. 当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时， S △ABF 2有最大面积为 2.。
苏教版高中数学高二选修1-2课件 第1章《统计案例》章末复习
题型三 非线性回归分析 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出 已经数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、 指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点 拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化 为线性回归分析问题，使之得到解决.
例3 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示 轿车的使用年数，y是表示相应的年均价格，求y关于x的回 归方程.
章末复习提升
43
2.回归分析 (1)分析两个变量相关关系常用：散点图或相关系数r进行 判断.在确认具有线性相关关系后，再求线性回归方程，进 行预测. (2)对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转化，把非线 性回归转化为线性回归，再进行研究.
题型一 独立性检验思想的应用 独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数 学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的 可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量 没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很 小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定 程度上说明假设不合理.
第1章——
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
1.独立性检验
nad－bc2
利用 χ2＝ a＋cb＋da＋bc＋d
( 其 中 n ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d)
来确定在多大程度上认为“两个变量有相关关系”.应记熟
χ2的几个临界值的概率.
表3：
疱疹面积 小于70 mm2
注射药物A a＝
注射药物B c＝ 合计
疱疹面积不 小于70 mm2
b＝
d＝
合计 n＝
苏教版数学高二-2014版苏教数学选修1-2练习第1章《统计案例》解读高考
命题趋势独立性检验与回归分析的基本思想属于统计问题的实际应用对统计案例的考 查形式，在内容上越来越全面，对审题理解要求可能会提高．对独立性检验、相关性、回归方程都可能单独命题．考查独立性检验，回归分析的基本思想及应用，数据处理的基本方法和能力．高考真题1．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析 由线性回归直线斜率的几何意义可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元． 答案 0.2542．(2011·广东)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 解析 儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高 173 170 176 儿子身高170176182由表中数据得b ＝1，a ＝3，故回归直线为y ＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子身高为185 cm. 答案 1853．(2011·湖南)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好402060由χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×30)260×50×60×50≈7.8附表：①有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ②有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”；③在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；④在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”。
(完整word版)高中数学选修1-2知识点总结
知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
苏教版选修1-2高中数学第1章《统计案例》ppt复习课件
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思)b＝i＝17
∑xi2－7 x 2
i＝1
＝85.621.－5975×－07.×5403.×542302.711≈12.541，
^
^
a＝ y －b x ＝20.771－12.541×0.543≈13.961，
∴电阻 y 关于含碳量 x 之间的线性回归方程是
^
y＝12.541x＋13.961.
本章归纳整合
知识网络
要点归纳
1．独立性检验
(1)给出2×2列联表时，直接利用公式，查表判断；若 没有给出2×2列联表，应先根据样本数据列出2×2列 联表，再利用公式进行计算并判断，一般要求2×2列 联表中的a、b、c、d的值均不小于5.
(2)在独立性检验中，两个变量是否有关，在多大程 度上有关，是一种统计关系，不能认为是因果关 系．由于抽样的随机性，用χ2进行独立性检验时，样 本容量n越大，估计越准确．
大？ 男
20 10 50 80 生
总 25 20 65 110
解 对于三种心理障碍分别有 χ21，χ22与 χ23，则由表中数据可得： χ21＝110×30×5×806×0－252×5×85202≈0.863； χ22＝110×30×108×0×702－0×209×0 102≈6.366； χ23＝110×30×158×0×306－5×154×5 502≈1.410. 所以没有充分的理由认为焦虑与性别有关，有 95%的把握认为说 谎与性别有关，没有充分的理由说明懒惰与性别有关．
高中数学第1章统计案例章末总结苏教版选修1_2
统计案例章末总结知识点一独立性检验独立性检验是对两个变量之间是否存在相关关系的一种案例分析方法：由题意列出2×2列联表．根据公式计算出χ2.要熟记χ2与三个临界值：2.706,6.635,10.828之间的关系与变量X与Y相关与否的意义．例1调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表，试问婴儿的性别与出生的时间是否有关系？例2研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50个患者服用此药，给另外50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：知识点二 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．在求变量x 与y 之间的回归方程之前先进行线性相关检验．由公式计算出相关系数r ，|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越近0，线性相关程度越弱，回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x ．其中a ^，b ^可由公式求出；可利用相关系数r 进行显著性检验．例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下对应数据：(1)(方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？例4 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x (g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．(1)(2)求y 对x 的线性回归方程；(3)求相关系数r ，并判断x 与y 之间是否有线性相关关系．章末总结 答案重点解读例1 解 χ2＝80× 15×26－31×8246×34×23×57≈0.787<2.706.所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关”． 例2 解 由题意，问题可以归纳为独立检验． 假设H 1：服该药物(A )与恶心(B )独立，为了检验假设， 计算统计量χ2＝100× 15×46－4×35250×50×19×81≈7.86>6.635，故拒绝H 1，即不能认为药物无恶心副作用，也可以说，我们有99%的把握说，该药物与副作用(恶心)有关．例3 解(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x ＝42.5，y ＝34，则求得b ^＝∑4i ＝1x i －x y i －y ∑4i ＝1x i －x 2＝－370125≈－3. a ^ ＝y －b ^x ＝34－(－3)×42.5＝161.5.∴y ^＝－3x ＋161.5.(2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3(x －251.56)2＋251.5212－4 845，∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润． 例4 解 (1)(2)x ＝1687＝24，y ＝202.947，∑7i ＝1x i y i ＝4 900.16， ∑7i ＝1x 2i ＝4 144.b ^ ＝∑7i ＝1x i y i －7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×242≈0.264 3，a ^＝y －b ^x ＝202.947－0.264 3×24＝22.648， ∴回归方程为y ^＝22.648＋0.264 3x .(3)∑7i ＝1y 2i ≈5 892， r ＝∑7i ＝1x i y i －7x y∑7i ＝1x 2i －7 x 2∑7i ＝1y 2i －7 y2＝4 900.16－7×24×202.9474 144－7×242×5 892－7×⎝ ⎛⎭⎪⎫202.9472≈0.96.∵0.96>r 0.05＝0.754.∴有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．。
高中数学苏教版选修1-2第1章统计案例章末检测B
第1章 统计案例(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．对于回归分析，下列说法错误的是______．(填序号)①在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定； ②线性相关系数可以是正的，也可以是负的；③回归分析中，如果r 2＝1，说明x 与y 之间完全相关； ④样本相关系数r ∈(－1,1)．2．现在一个由身高预测体重的回归方程： 体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130(磅)其中体重与身高分别以磅和英寸为单位．如果换算成公制(1英寸≈2.5 cm,1磅≈0.45 kg)，则回归方程应该是____________________．3．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下表关系：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告费支出5万元时，随机误差为________．4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高的数据，她根据这些数据建立的身高y (cm)与年龄x 的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则叙述正确的是______(只填序号)．①身高一定是145.83 cm ； ②身高在145.83 cm 左右； ③身高在145.83 cm 以上； ④身高在145.83 cm 以下．5．某报对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表：赞同 反对 合计 男 58 40 98 女 64 31 95 合计 122 71 193由χ2公式可看法与性别有关，填______(“有”或“无”)．6．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表，那么变量y 关于x 的线性回归方程是x 100 120 140 160 180 y 45 54 62 75 927.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过______的前提下认为两个事件有关系．8．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个．在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y )的数据，建立的线性回归方程是y ^＝4.6＋0.8x .这里，斜率的估计等于0.8说明_________________________________________________________________．9．某高校“具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约为________．10．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)出有________线性相关关系．11．若两个分类变量X 和Y则X 与Y 12．13由上表中数据计算得χ2＝105×(10×30－20×45)55×50×30×75≈6.109，估计有________把握认为“文化程度与月收入有关系”．14．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )； ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．(填序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)有两个分类变量2×2列联表所示：其中a,15－a均为大于50.1的前提下认为x与y之间有关系？16．(14(1)求y对(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？17．(14分)某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．18求y19．(16分)20(1)(2)求线性回归方程；(3)若某名健康儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)，预测他的发硒含量．第1章 统计案例(B)答案1．④解析 相关系数r 的范围是[－1,1]． 2．体重预测值＝0.72×身高－58.5 解析 4磅/英寸＝4×(0.45 kg/2.5 cm)＝0.72(kg/cm)，130磅＝130×0.45 kg ＝58.5 kg. 3．10 4．② 5．无 6．y ^＝0.575x －14.9 7．0.05解析 χ2＝4.013>3.841.8．一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右9．0.05 10．13 正解析 把2005～2009年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．11．0.999解析 χ2＝(5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2(5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)≈18.8>10.828，查表知P (χ2>10.828)≈0.001，∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999， 因此有99.9%的把握认为X 与Y 有关系． 12．传染病与饮用不干净水是有关系的 解析 通过独立性检验可知． 13．97.5% 14．③④解析 ①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确． 15．解 查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04. 又a >5且15－a >5，a ∈Z ，即a ＝8,9.故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 16．解 (1)散点图如图所示．由图容易看出，x 与y 之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个线性回归方程 y ^＝a ^＋b ^x 来反映这种关系．^与回归系数b ^.于是，x ＝18×14.0＝1.75，y ＝18×15.82＝1.977 5.b ^ ＝27.993－8×1.75×1.977 524.92－8×1.752≈0.733.a ^＝1.977 5－0.733×1.75≈0.694 8. y 对x 的线性回归方程为 y ^＝a ^＋b ^x ＝0.694 8＋0.733x .(2)把x ＝1.95代入，易得y ^＝0.694 8＋0.733×1.95≈2.12 (m/s)． 计算结果表明，当水深为1.95 m 时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s. 17．解 能．根据题目所给数据得到如下列联表：根据列联表中数据得到2k ＝1 337×(416×431－241×249)2657×680×665×672≈95.291>10.828.因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为聋与哑有关系． 18．解 钢中碳含量对电阻的效应数据如下表：由上表中数据，得x ＝3.87≈0.543，y＝17×145.4≈20.77，∑i ＝1x 2i ＝2.595， 所以b ^＝85.61－7×0.543×20.772.595－7×0.5432≈12.55.a ^＝20.77－12.55×0.543≈13.96. 所以线性回归方程为y ^＝13.96＋12.55x . 19．解 根据题中数据，利用公式，得χ2＝1 000×(251×297－249×203)2454×546×500×500≈9.295，因为9.295>7.879，因此有99.5%的把握认为辐照保鲜措施对水果保鲜有效．20．解 (1)散点图如下图所示：(2)根据线性回归方程的公式求得： b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i －10x 2＝8 464－10×75.4×10.858 212－10×75.42≈0.236，a ^＝y －b ^x ＝10.8－0.236×75.4≈－6.99. 故所求线性回归方程为y ^＝0.236x －6.99. (3)当x ＝94时，y ^＝0.236×94－6.99≈15.2.因此，当地儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)时，该儿童的发硒含量约为15.2(1 000 ppm)．。
新2019高中数学 第1章 统计案例章末小结与测评学案 苏教版选修1-2
第1章统计案例1．独立性检验所谓的独立性检验，就是根据采集的数据，利用公式求出χ2的值，比较χ2与临界值的大小关系，来判断两个变量是否相关的问题，是一种假设检验．独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表；(2)求统计量χ2；(3)判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的确信度．若χ2>10.828，则有99.9%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>7.879，则有99.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>6.635，则有99%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>5.024，则有97.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>3.841，则有95%的把握认为“x与y有关系”；若χ2≥2.706，则有90%的把握认为“x与y有关系”；如果χ2<2.706，就认为没有充分的证据显示“x与y有关系”．2．回归分析对于两个变量之间是否存在线性关系，可根据得到的数据，作散点图．如果这些点在一条直线附近，则两变量呈线性相关关系，再列表，计算，它们之间的相关程度可由相关系数进行判断，我们可以根据所得的线性回归方程进行有效的预测．若两变量之间存在线性关系，设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，从而求出线性回归方程．其线性相关程度可用计算两个随机变量间的相关系数r 来判断，r ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2·∑i ＝1ny 2i －n y －2，|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强；|r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列现象属于相关关系的序号是________． ①家庭收入越多，消费也越多 ②圆的半径越大，圆的面积越大③气体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而减小 ④在价格不变的条件下，商品销售量越多销售额也越多 解析：根据相关关系的概念可知①属于相关关系． 答案：①2．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x －相同，y －也相同，则l 1与l 2的位置关系是________．解析：每条回归直线都过样本中心(x －，y －)，故l 1与l 2有公共点(x －，y －)．答案：l 1与l 2有公共点(x －，y －)3．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.194．在2014年1月1日，某市场价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2x ＋a ^(参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，a ^＝y －－b ^x －)，则a ^＝________．解析：价格的平均数是x －＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数是y －＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y ^＝－3.2x ＋a ^知b ^＝－3.2， 所以a ^＝y －－b ^x －＝8＋3.2×10＝40. 答案：405．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ^，纵截距是a ^，则b ^与r 的符号________．(相同或相反)解析：当变量x 和y 之间是正相关时，r >0且b ^>0； 当变量x 和y 之间是负相关时，r <0且b ^<0. 答案：相同6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性作试验并用回归分析方法分别求出相关系数r .如表：试验结果体现变量A ，B 的线性相关性最强的是________．解析：根据线性相关的检验方法知，当|r |越趋近于1，两个变量的线性相关程度越强．故丁正确．答案：丁7．(重庆高考改编)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为________．①y ^＝0.4x ＋2.3 ②y ^＝2x －2.4 ③y ^＝－2x ＋9.5 ④y ^＝－0.3x ＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除③，④.且直线必过点(3，3.5)代入①，②得①正确．答案：① 8.以下关于线性回归的判断，正确的序号是________． ①散点图中所有点都在一条直线附近，这条直线为回归直线②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 解析：①不正确，②③④均正确． 答案：②③④9．如图所示，有5组数据，去掉________后，剩下的4组数据的线性相关性更强了．解析：由散点图可见：点A 、B 、C 、E 近似地在一条直线上，所以去掉点D 以后，线性相关性就更好了．答案：D (3，10)10．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________(填序号)．①y 与x 具有正的线性相关关系 ②回归直线过样本点的中心(x －，y －)③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：①由于回归直线斜率为正值，故y 与x 是有正的线性相关关系；②回归直线过样本中心点(x －，y －)；③根据回归直线斜率意义正确；④由于回归分析得出的是估计值．答案：④11．下表是性别与喜欢足球与否的统计列联表，依据表中的数据，得到χ2＝________.解析：由χ2＝（－）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝85×（40×12－28×5）268×17×45×40≈4.722.答案：4.72212．下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系.小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：平均命中率y －＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，x －＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝55， 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝0.01， a ^＝y －－b ^x －＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ^＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ^＝0.53. 答案：0.5 0.5313．某化工厂为了预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的线性相关关系，现取了8对观测数据，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 对x 的回归方程为________．解析：据已知b ^＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x －2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62. a ^＝y －－b ^x －＝11.47.∴y ^＝11.47＋2.62x .答案：y ^＝11.47＋2.62x14．(福建高考改编)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则b ^与b ′的关系为________，a ^与a ′的关系为________．解析：x －＝216＝72，y －＝136，∑i ＝16x i y i ＝58，∑i ＝16x 2i ＝91，代入公式求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x － y－∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，而b ′＝2，a ′＝－2，∴b ^＜b ′，a ^＞a ′. 答案：b ^＜b ′ a ^＞a ′二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：试问：新措施对防治猪白痢是否有效？解：提出假设H 0：防治猪白痢与是否采取新措施无关．由χ2公式，得χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝300×（114×18－36×132）2150×150×246×54≈7.317>6.635.因为H 0成立时，χ2≥6.635的概率为0.01，因此我们有99%的把握认为新措施对防治猪白痢是有效的．16．(本小题满分14分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程． 解：设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝∑i ＝1nx i y i －10x －·y－∑i ＝1nx 2i －10x －2＝55 950－50 43538 500－30 250≈0.668， a ^＝y －－b ^x －－0.668＝54.96.因此，所求的回归直线方程为y ^＝0.668x ＋54.96.17．(本小题满分14分)为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了调查，得到了如下2×2列联表：已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关？”说明你的理由；(参考公式：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解：(1)补充如下：(2)∵χ2＝50×（20×15－10×5）30×20×25×25≈8.333>7.879.∴有99.5%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”．18．(本小题满分16分)为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量y (单位：千件)对于价格x (单位：千元)的反应，得数据如下：(1)若y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若成本x ＝y ＋500，试求：①在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格； ②在利润为最大的条件下，定价为多少？解：(1)b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2≈－1.286 6，a ^＝y －－b ^x －≈169.772 4，∴线性回归方程为y ^＝－1.286 6x ＋169.772 4. (2)①在盈亏平衡条件下， y ^x ＝y ^＋500，即－1.286 6x 2＋169.772 4x ＝－1.286 6x ＋169.772 4＋500，1．286 6x 2－171.059x ＋669.772 4＝0， 解得x 1＝128.916 2，x 2＝4.038 1(舍去)， ∴此时新产品的价格为128.916 2千元． ②在利润最大的条件下，Q ＝y ^x －x＝－1.286 6x 2＋169.772 4x ＋1.286 6x －169.772 4－500 ＝－1.286 6x 2＋171.059x －669.772 4.要使Q 取得最大值，x ＝66.477 1，即此时新产品应定价为66.477 1千元．19．(本小题满分16分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得χ2＝300×（－2 250）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．20．(本小题满分16分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响炼钢时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间Y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：(1)Y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果Y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？ 解：(1)由已知数据列成下表：由上表知：x －＝159.8，y －＝172，∑i ＝110x 2i ＝265 448，∑i ＝110y 2i ＝312 350，∑i ＝110x i y i ＝287 640.于是r ＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x －2 ∑i ＝110y 2i －10y －2≈0.990 6.由于|r |＝0.990 6>r 0.05，可知x 与Y 具有很强的线性相关关系． (2)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y －∑i ＝110x 2i －10x －2≈1.267，a ^＝y －－b ^x －≈－30.467.所以所求的线性回归方程为y ^＝1.267x －30.467. (3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.467≈172(min)． 即大约冶炼172 min.。
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第1章统计案例章末总结
知识点一独立性检验
独立性检验是对两个变量之间是否存在相关关系的一种案例分析方法：由题意列出2×2列联表．根据公式计算出χ2.要熟记χ2与三个临界值：2.706,6.635,10.828之间的关系与变量X与Y相关与否的意义．
例1调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表，试问婴儿的性别与出生的时间是否有关系？
例2研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50个患者服用此药，给另外
50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：
知识点二 回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．在求变量x 与y 之间的回归方程之前先进行线性相关检验．由公式计算出相关系数r ，|r |越接近1，线性相
关程度越强；|r |越近0，线性相关程度越弱，回归直线方程y ^
＝a ^
＋b ^
x ．其中a ^
，b ^
可由公式求出；可利用相关系数r 进行显著性检验．
例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y 台之间有如下对应数据：
(1)求出线性回归方程；(方程的斜率保留一个有效数字)
(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(1)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？
例4 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x (g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．
(1)(2)求y 对x 的线性回归方程；
(3)求相关系数r ，并判断x 与y 之间是否有线性相关关系．
章末总结 答案
重点解读 例1 解 χ2
＝
80－
2
46×34×23×57
≈0.787<2.706.
所以我们没有把握认为“婴儿的性别与出生的时间有关”． 例2 解 由题意，问题可以归纳为独立检验． 假设H 1：服该药物(A )与恶心(B )独立，为了检验假设， 计算统计量χ2
＝
－
2
50×50×19×81
≈7.86>6.635，
故拒绝H 1，即不能认为药物无恶心副作用，也可以说，我们有99%的把握说，该药物与副作用(恶心)有关．
例3 解
(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．
设线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，由题知x ＝42.5，y ＝34，则求得
b ^
＝
∑4
i ＝1
x i －x
y i －y
∑4
i ＝1
x i －x
2
＝－370
125
≈－3.
a ^
＝y －b ^
x ＝34－(－3)×42.5＝161.5.
∴y ^
＝－3x ＋161.5.
(2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2
＋251.5x －4 845
＝－3(x －251.56)2＋251.5
2
12－4 845，
∴当x ＝251.5
6
≈42时，P 有最大值．
即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润． 例4 解 (1)
(2)x ＝1687＝24，y ＝202.947
，∑7
i ＝1x i y i ＝4 900.16， ∑7
i ＝1
x 2
i ＝4 144.
b ^ ＝∑7
i ＝1
x i y i －7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2
＝4 900.16－7×24×202.94
74 144－7×242
≈0.264 3，
a ^
＝y －b ^
x ＝
202.94
7
－0.264 3×24＝22.648， ∴回归方程为y ^
＝22.648＋0.264 3x .
(3)∑7
i ＝1
y 2
i ≈5 892， r ＝
∑7
i ＝1
x i y i －7x y
∑7
i ＝1
x 2
i －
x
2
∑7
i ＝1
y 2
i －y
2
＝
4 900.16－7×24×
202.94
74 144－7×242
×
5 892－7×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫202.9472
≈0.96.
∵0.96>r 0.05＝0.754.
∴有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．。