第一讲 数学建模概述
合集下载
第1讲 数学建模简介
A 奥运会临时超市网点设计 B 电力市场的输电阻塞管理
2005
A B A
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁
2006
2007 2008
出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 B 的预测 A 中国人口增长预测 B A B 乘公交，看奥运 数码相机定位 高校教育学费标准探讨
2009
A B A
2010 B
数学建模
数学建模简介
一. 什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起 数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技 术进行求解．
观点：“所谓高科技就是一种数学技术”
二、数学建模的步骤
实际问题 在实际过程中用 那一种方法建模主要是 根据我们对研究对象的
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地 求解、确定参数
了解程度和建模目的来
决定．机理分析法建模
的具体步骤大致可见右
图．
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
三、近几年全国大学生数学建模竞赛题
1994 1995 1996 A B A B A B 逢山开路 锁具装箱 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题
1997 1998 1999 2000
ห้องสมุดไป่ตู้
A B A B A B A B
零件的参数设计 最优截断切割问题 投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
2001 2002 2003 2004
第一篇数学建模概述
高教社
数学建模程式
1、审题：把问题问题情景译为数 学语言，找出问题主要关系
模型准备 ↓ ←———— 建模假设 ↓ 模型构成 ↓ 模型解析 ↓ ——————————————— —
2、建模：把实际问题主要关系近
似化，形式化，抽象成数学问题 3、解模：把数学问题化为常规问
题，选择合适的数学方法求解
. 4、检验：对求解的结果进行验证
高教社
或评估，对错误加以调节，或将结
模型检验与应用———
果应用于现实，作出解释或预测。
高教社
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数学建模实例 （鸡兔同笼） 今有鸡兔同笼，共有头6只，足18只，问鸡兔各几只？
鸡兔同笼问题建立数学模型的基本步骤：
1、模型准备（二元一次方程组求解方法） 2、作出简单假设（鸡脚为2只，兔脚4只，且为常数） 3、模型构成（用符号表示有关量，x，y表述鸡只数，
兔只数，列出数学式子）
4、模型解析（求解得到数学解答：x=3，y=3） 5、模型检验与应用（鸡兔各3只符合题意）
高教社
解：设笼中有鸡x只，有兔y只，由已知条件可列出方程组为：
x y 6 2 x 4 y 18
解方程组得：
x 3 y 3
答：笼中有鸡兔各3只。
高教社
高教社
数学与数学建模
用数学符号、式子、程序、图形等对实际的问题本质属性的抽象而
又简洁的刻画叫做数学模型．
通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这种应 用知识从实际的问题中抽象、提炼出数学模型的全过程叫做数学建模．
实际问题
中职数学建模
.
数学问题
用数学建模来解决实际问题的教学模式，引入到中职数学教学中来，
第一章 数学建模概述
数学模型与数学建模方法
Slide 11
第一章 数学建模概述
3.模型构成. 根据所作的假设以及事物之间的联系 , 利用适当的数学工具去刻划各变 量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型 .把问题化为数学问 题.要注意尽量采取简单的数学工具 ,因为简单的数学模型往往更能反映事物 的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.
数学模型与数学建模方法
Slide 6
第一章 数学建模概述
1.4 数学建模的一般方法
2.测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱" 系统,内部机理无法直接寻 求,通过测量系统的输入输出数据 ,并以此为基础运用统计分析方法 ,按照事先 确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型. (1) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. (3) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.
数学模型与数学建模方法
Slide 2
第一章 数学建模概述
如航行问题： 甲乙两地相距 750 公里， 船从甲地到乙地顺水航行需要 30 小时， 而从乙地到甲地逆水航行需要 50 小时，问船速和水速各为多少？
假设船速和水速均为常数，并用 x 表示船速，用 y 表示水速，单位公里/小时。 则可得方程组
30( x y) 750, 50( x y) 750.
Slide 11
第一章 数学建模概述
3.模型构成. 根据所作的假设以及事物之间的联系 , 利用适当的数学工具去刻划各变 量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型 .把问题化为数学问 题.要注意尽量采取简单的数学工具 ,因为简单的数学模型往往更能反映事物 的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.
数学模型与数学建模方法
Slide 6
第一章 数学建模概述
1.4 数学建模的一般方法
2.测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱" 系统,内部机理无法直接寻 求,通过测量系统的输入输出数据 ,并以此为基础运用统计分析方法 ,按照事先 确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型. (1) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. (3) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.
数学模型与数学建模方法
Slide 2
第一章 数学建模概述
如航行问题： 甲乙两地相距 750 公里， 船从甲地到乙地顺水航行需要 30 小时， 而从乙地到甲地逆水航行需要 50 小时，问船速和水速各为多少？
假设船速和水速均为常数，并用 x 表示船速，用 y 表示水速，单位公里/小时。 则可得方程组
30( x y) 750, 50( x y) 750.
第1讲 数学建模简介 PPT课件
数 学 建 模
一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； * “高技术”本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
帮助展开思路的方法：
提问题法 关键词联想法
常用的问题如下： （l） 这个问题和什么问题相类似？ （2）假如变动问题的某些条件将会怎样？ （3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ （4）重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路还可提以下问题：
（5）我们还可以做什么工作？
（6）有无需要进一步完善的内容？
（7）可否换一种数学工具来解决此问题？
数学建模的意义：
所谓数学模型， 从广义上理解，数学中的概念，如数、向量、 集合、点、线、面、群、环、域、线性空间等 都是现实原型的数学模型．但这些是前人已经 建立起来的、成熟的数学模型， 从狭义上理解，是对现实存在的具体问题， 建立新的数学模型，这后一种理解，对学习数学 建模者来说更有意义。
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.
模型假设 （1）该车的重心沿一个半径为r的园做 圆周运动（根据交通学原理，现有公路 的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检 验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵， 所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上， 摩擦系数为常数k，汽车质量为m。
模型建立
根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= kgr （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h, 由勾股定理得, 由表1.1得 c≈33.27m, h≈3.55m, r≈40.75m.
一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； * “高技术”本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
帮助展开思路的方法：
提问题法 关键词联想法
常用的问题如下： （l） 这个问题和什么问题相类似？ （2）假如变动问题的某些条件将会怎样？ （3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ （4）重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路还可提以下问题：
（5）我们还可以做什么工作？
（6）有无需要进一步完善的内容？
（7）可否换一种数学工具来解决此问题？
数学建模的意义：
所谓数学模型， 从广义上理解，数学中的概念，如数、向量、 集合、点、线、面、群、环、域、线性空间等 都是现实原型的数学模型．但这些是前人已经 建立起来的、成熟的数学模型， 从狭义上理解，是对现实存在的具体问题， 建立新的数学模型，这后一种理解，对学习数学 建模者来说更有意义。
例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.
模型假设 （1）该车的重心沿一个半径为r的园做 圆周运动（根据交通学原理，现有公路 的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检 验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵， 所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上， 摩擦系数为常数k，汽车质量为m。
模型建立
根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= kgr （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h, 由勾股定理得, 由表1.1得 c≈33.27m, h≈3.55m, r≈40.75m.
数学建模概述
• 在国民经济中的数学模型：
产品的设计与制造 系统的控制与优化 质量控制 预报与决策
• 数学模型和数学技术 ：
资源环境 其它：气象预报等
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。 高技术本质上是一种数学技术。
课程简介
1 现状： •数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十 年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 •80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学 建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学 建模课程、数学建模竞赛(1992,每年9月)和数 学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来 越受到重视。
从智力游戏到数学建模 ——人、狗、鸡、米过河问题
问题： 某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需 要人划外，最多只能载一物过河，而当人不 在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如 何过河才能将狗、鸡和米都带过河。
第1章 数学建模概述
1.1 数学建模介绍 1.2 数学建模的一般步骤 1.3 数学建模示例
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling)：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 现实对象的 信息
证验 解释 表述
数学模型
求 解
（ 演 绎 ）
（归纳）
现实对象的 解答
数学模型的 解答
现实对象与数学模型的关系
§1.3 数学建模示例
我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建 模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分 方程是十分常用的数学工具之一。
我们来建立如下的一些问题的模型：
数学建模概述(李福乐)
一、数学建模概述1.1 什么是数学建模通常我们把现实问题的一个模拟称为模型，如交通图、地质图、航空模型等。
利用数学的语言、公式、图、表、或符号等来模拟现实的模型称为数学模型。
我们知道，对于一个现实问题的研究，一般不需要甚至不可能直接研究现实问题的本身，而是研究模拟该现实问题的模型。
举个简单例子：某司机欲把某货物从甲地运往已地，应如何选择运输路线使总路程最短？该司机不会开着车去试探，而是利用交通图来确定自己的行车路线。
从这个简单的例子中我们可以看到数学建模的重要性。
1.2 数学建模包含哪些步骤数学建模主要包含模型建立、求解以及对结果的分析与检验等步骤。
模型建立 模拟现实问题建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要有敏锐的洞察力与理解力，善于抓住问题的内在联系，作出合理的假设与简化，找出影响问题的各种因素及其相互关系。
建立数学模型，不仅要有一定的数学知识与技巧，还要具备其他学科的一些知识，另外还要有一定的编程能力。
一般来说，模型建立的方法不止一种。
如最短路线问题，可以用图论方法，也可以用线性规划方法，有时还可用动态规划的方法。
模型求解 在建立模型之后，就要求解模型，给出有效的计算方法。
例如旅行推销员问题：一个推销员要到n 个城市去推销，如何安排行程？如果用简单的组合算法，其计算步骤是!n 的倍数，随着n 的增大，计算量之大以至无法得到结果。
如30n ，即使以每秒以2410步的速度来计算，也需要8年多，况且现在的计算机还没有达到上述速度。
结果的分析与检验 有些问题需要对解的现实意义作出解释，检验模型的正确性，并对模型的稳定性进行分析。
如种群的相互竞争问题需要对解的现实意义作出解释，并对模型的稳定性进行分析。
二、基本知识微分方程在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
大量的实际问题需要用微分方程来描述。
首先，我们要对实际研究现象作具体分析，然后利用已有规律、或者模拟，或近似的得到各种因素变化率之间的关系，从而建立一个微分方程。
数学建模简介
数学建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
18
数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等
初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优化模型等
数学建模
第一讲 概述
主要内容
• 1.什么是数学模型？ • 2.如何数学建模？
• 3.为什么数学建模？
2
1.什么是数学模型？
• 数学 • 模型
• 数学模型
3
1、圆形蜘蛛网是一个简单漂 亮的数学创造 2、蜂巢
自 然 离 不 开 数 学
3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形
4
问题/应用 核磁共振成像技术(MRI) 计算机辅助成像(CAT) 空中交通管制 积分几何 控制论
类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。 作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点．
图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行 的一笔画问题。
17
什么是数学模型、数学建模
数学模型 • 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世
界的一个 特定对象，为了一个特定目的 ，根据 特有的内在规律 ，做出一些必要的 简化假设 ， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
29
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
第1讲 数学建模简介 PPT课件
什么是数学建模 数学建模步骤及分类 建模竞赛及其意义 建模实例讲解
什么是数学建模
什么是数学模型 一般意义上的“模型”
为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提 炼出来的原型的替代物。
水箱中的舰艇； 风洞中的飞机等；
实物模型
符号模型
物理模型
什么是数学建模
数学模型（mathematical model)
引例
第二块钢板的故事，来自一位将军。 诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐·普拉特准将
乘坐的是滑翔机。起飞前，有人自作聪明，在副师长的座 位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。由于滑翔机自身没有 动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落， 沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特 准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。
什么是数学建模
数学建模（mathematical modeling)
“新”名词 你是什么时候开始知道有这个名词的？
历史悠久 •《九章算术》— 最早的数学建模专著、 收集了246个应用题 • 以问题集形式出现： 一“问” —提出问题 二“答” —给出问题的数值答案 三“术” —讨论同类问题的普遍方法或算法 四“注” —说明“术”的理由，实质指证明或佐证
飞行员们一看就明白了，如果座舱中弹，飞行 员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡，就会坠落— ——这两处中弹，轰炸机多半回不来，难怪统计数 据是一片空白。
因此，结论很简单：只给这两个部位焊上钢板。
引例
• 第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己 的生命。 • 第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换 来的。 • 第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战 经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救 了众多飞行员的生命。
数学建模第一讲
数学建模第一讲
目录
• 数学建模简介 • 数学建模基础知识 • 数学建模基本方法 • 数学建模案例分析 • 数学建模实践与挑战
01
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模
使用数学语言、符号、公式等工 具，对现实世界的问题进行抽象 、简化、假设和推理，从而得出 数学模型的过程。
数学模型
根据实际问题建立起来的数学结 构，它可以用来描述和预测现象 的发展规律和趋势。
概率论建模方法的特点是能够描述随机性和不确定性，但计算过程可能较为复杂， 需要借助计算机软件进行模拟和计算。
04
数学建模案例分析
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常采用指数增长或逻辑增长模型来描述人口随时间变化的规律。通过收集历史数据并拟合模型参 数，可以预测未来人口数量，为政策制定提供依据。
数学建模的重要性
解决实际问题
数学建模是解决实际问题的有效 手段，通过建立数学模型，可以 更好地理解和解决现实世界中的
问题。
促进跨学科合作
数学建模需要不同领域的专家合作， 可以促进跨学科的合作和交流，推 动科学技术的发展。
提高数学应用能力
数学建模可以提高数学的应用能力， 将理论知识与实践相结合，增强学 生的综合素质。
进行研究和解决。
02
数学建模基础知识
代数基础
代数方程与不等式
掌握代数方程的解法，理解不等式的 性质和求解方法。
函数与极限
理解函数的定义和性质，掌握极限的 概念和计算方法。
微积分基础
导数与微分
理解导数的概念和性质，掌握微分的计算方法。
积分
理解积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法。
目录
• 数学建模简介 • 数学建模基础知识 • 数学建模基本方法 • 数学建模案例分析 • 数学建模实践与挑战
01
数学建模简介
数学建模的定义
数学建模
使用数学语言、符号、公式等工 具，对现实世界的问题进行抽象 、简化、假设和推理，从而得出 数学模型的过程。
数学模型
根据实际问题建立起来的数学结 构，它可以用来描述和预测现象 的发展规律和趋势。
概率论建模方法的特点是能够描述随机性和不确定性，但计算过程可能较为复杂， 需要借助计算机软件进行模拟和计算。
04
数学建模案例分析
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常采用指数增长或逻辑增长模型来描述人口随时间变化的规律。通过收集历史数据并拟合模型参 数，可以预测未来人口数量，为政策制定提供依据。
数学建模的重要性
解决实际问题
数学建模是解决实际问题的有效 手段，通过建立数学模型，可以 更好地理解和解决现实世界中的
问题。
促进跨学科合作
数学建模需要不同领域的专家合作， 可以促进跨学科的合作和交流，推 动科学技术的发展。
提高数学应用能力
数学建模可以提高数学的应用能力， 将理论知识与实践相结合，增强学 生的综合素质。
进行研究和解决。
02
数学建模基础知识
代数基础
代数方程与不等式
掌握代数方程的解法，理解不等式的 性质和求解方法。
函数与极限
理解函数的定义和性质，掌握极限的 概念和计算方法。
微积分基础
导数与微分
理解导数的概念和性质，掌握微分的计算方法。
积分
理解积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法。
第一章数学建模概述
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
第一讲 1数学建模概述
课时小结：
本节课我们主要学习、了解了数学建模 的发展简史及其相关建模概念, 并通过引例 让大家对数学建模的解题步骤有了初步理 解和认识。希望能以此培养大家对建模的 兴趣爱好——生活中，问题几乎到处都存 在着，只要大家用心，可以发现很多问题 都可以通过数学建模来进行分析和解决！
数学建模过程
现实对象的 表述 信息 （归纳）
验 证 求 解 ） 解释 绎 （ 演
现实对象的 解
现实对象
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
的
的
数学建模过程也可细分为下面七个步骤：
(1)建模准备；(2)化简假设；(3)建立数学模型；(4)模型 求解；(5)模型分析；(6)模型检验；(7)模型应用。 其中建立数学模型是关键。
所谓的数学模型，就是针对或参照某种事物系统的特 征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近 似地表达出来的一种数学结构。 提炼数学模型时，一般需要把研究对象看成一个系统， 抓住系统的主要因素，屏弃系统的次要因素，并根据有关 科学理论确定反映系统状态、特征和变化规律的基本量， 再分析研究数量关系以形成能够求解的数学问题。 数学模型必须具备以下条件： 1）既反映现实原型的本质特征，又要加以合理的简 化； 2）在数学模型上要能够对所研究的问题进行理论分 析，逻辑推导，得出确定的结论； 3）在数学模型上求得的结果要能回到具体研究对象 中去，解决实际问题。
C0 + L q= . P−C
课堂练习
1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午 5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的 同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？
（相当于有两个人在同一时刻出发相遇的问题）
数学建模讲座(一)什么是数学建模？
数学建模讲座
第一讲 什么是数学模型
建立数学模型
什么是数学模型
玩具、照片… 我们常见 的模型 风洞中的飞机… 地图、电路图… ~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 模型 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 模型
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术， 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 想象力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 判断力 创新意识
洞察力
学习、分析、评价、改进别人作过的模型 学习、分析、评价、 亲自动手，认真作几个实际题目 亲自动手，
数学建模的重要意义
电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模 型 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四 假 脚的连线呈正方形； 设 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没 有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面； 3. 模 型 构 成 椅脚连线为正方形ABCD( t ~椅子 点O 度 )
x (t ) = x 0 e
r t
rt
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
x(t) = x0 (e ) ≈ x0(1+r)
t
随着时间增加人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
第一讲 什么是数学模型
建立数学模型
什么是数学模型
玩具、照片… 我们常见 的模型 风洞中的飞机… 地图、电路图… ~ 实物模型 ~ 物理模型 ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 模型 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 模型
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术， 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 想象力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 判断力 创新意识
洞察力
学习、分析、评价、改进别人作过的模型 学习、分析、评价、 亲自动手，认真作几个实际题目 亲自动手，
数学建模的重要意义
电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模 型 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四 假 脚的连线呈正方形； 设 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没 有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面； 3. 模 型 构 成 椅脚连线为正方形ABCD( t ~椅子 点O 度 )
x (t ) = x 0 e
r t
rt
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
x(t) = x0 (e ) ≈ x0(1+r)
t
随着时间增加人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
第一讲数学建模概论
1313分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型灰箱模型黑箱模型模型中变量的特连续型模型离散型模型或确定性模型随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型微分方程模型差分方程模型优化模型等研究课题的实际范畴人口模型生态系统模型交通流模型经济模型基因模型等数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼在调查研究阶段需要用到观察能力分析能力和数据处理能力等
f ( 0 ) > 0, 且 对任意 θ ， f (θ ) ⋅ g (θ ) = 0
求证：至少存在 θ 0 ∈ ( 0 ,
π
2 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) = 0
) ，使得
4 模型求解 证明： 将椅子转动
π
2
，对角线互换，由
π π
g ( 0 ) = 0, f ( 0 ) > 0 , 可得 f ( ) = 0 , g ( ) > 0 , 2 2 令 h (θ ) = f (θ ) − g (θ ), 则 h (0) = f (0) − g (0) > 0, π π π
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 连续型模型、 模型、 模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、 初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、 程模型、优化模型等
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
f ( 0 ) > 0, 且 对任意 θ ， f (θ ) ⋅ g (θ ) = 0
求证：至少存在 θ 0 ∈ ( 0 ,
π
2 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) = 0
) ，使得
4 模型求解 证明： 将椅子转动
π
2
，对角线互换，由
π π
g ( 0 ) = 0, f ( 0 ) > 0 , 可得 f ( ) = 0 , g ( ) > 0 , 2 2 令 h (θ ) = f (θ ) − g (θ ), 则 h (0) = f (0) − g (0) > 0, π π π
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 连续型模型、离散型模型或确定性 连续型模型、 模型、 模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、 初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、 程模型、优化模型等
p = r(1− e cosθ )
p 1 2 2 ( r − rw ) + 3 ( r w ) = 0 r r
2 ••
b2 2πab 2 和焦参数 p = 将前面得到的结果 r w = a T •• 4π 2a3 1 2 代入， • 2 代入，即得 r − rw = − 2 T r
数学建模第一讲
数学建模第一讲——什么是数学模型一、什么是“模型”？1．汽车模型、轮船模型、飞机模型2．数学老师上课时使用的圆柱、圆锥；地理老师使用的地球模型（地球仪）3．购买房屋时，所展示的房屋模型这些模型，都是反映在人们脑中的具体模型、实物模型，那么，对于一个抽象概念“数学模型”，大家又是怎样理解的呢？二、什么是数学模型？数学模型应该说是每个人都十分熟悉的，早在同学们学习初等代数的时候，也就是在初中的学习过程中已经用建立数学模型的方法来解决问题了。
比如，你一定接触过这样的问题：“航行问题”例：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30个小时，从乙到甲逆水航行需50个小时，问船速、水速各为多少？利用初中所学的建立方程的知识，用x、y分别表示船速、水速(x+y)·30=750(x-y)·50=750可求出方程的解x=20公里\小时，y=5公里\小时这就是一个很简单的数学模型，就是二元一次方程组。
当然，真正解决实际问题的数学模型通常要复杂得多，还要考虑很多问题。
在这个“航行问题”中，要考虑航道的状况，不同时刻、不同区域的船速、水速的变化，风向对船速的影响，船的载重对船速的影响等等。
但是，数学模型的基本思想内容已经包含在这个简单的问题之中了。
那就是通过数学的方法对一些实际问题作出解答，并应用于实践。
三、数学模型的基本内容：1、根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设。
（设航行中船速和水速是常数；忽略了天气、航道等干扰因素）2、用字母表示待求的未知量。
（用x,y代表了船速和水速）3、利用相应的物理或其它规律，列出数学式子。
（利用匀速运动的距离等于速度乘以时间。
列出二元一次方程组）4、求出数学上的解答。
（解方程组）5、用这个答案解释原问题。
（船速为20公里每小时，水速为5公里每小时）6、最后还要用实际现象来验证上述结果。
四、数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实践
理论
实践
4.
数学模型的特点和分类
• 数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性 模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型
连续型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等 初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优化模型等 研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通 范畴 流模型、经 济模型、 基因模型等
5.
如何学习数学建模
• 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力
竞赛宗旨：创新意识
团队精神
重在参与
公平竞争
数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质 综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择、使 用合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题 的能力。 在图书室及互联网上查阅文献、收集资料及撰写 科技论文的文字表达能力。
数学建模竞赛的准备内容
1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内 容） 2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概 率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微 分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线 性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分 析)，图论(如最短路)等。
⑷ 模型求解与结果 将具体的求解过程 和结果写清楚. ⑸ 模型结果的检验与分析 对模型的结 果进行检验与分析，可以通过实际问题来检 验，也可以用计算机模拟检验，并指出模型 的优缺点及改进方向.
数学建模的一般过程
模型的改进：
现实世界 形成问题 简化问题 模型求解 归结模型 模型检验
模型应用
模型评价
1. 什么是数学模型
（1）我们常见的模型： 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
（2）模型: 模型是为了一定目的，对客观事物的 一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
⑴ 问题的提出与分析 按你的理解对所 给的问题用数学语言作更清晰的表述，根据 问题的性质你打算建立什么样的模型. ⑵ 必要而合理的假设 现实问题远不像 纯粹数学问题那样理想化，因此有必要作一 些合理的假设，有条件时对实际问题作一些 调查. ⑶ 模型设计 对出现的数学符号必须有 明确的定义，模型的具体表现形式必须写清 楚.
2. 研究数学模型的意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。数学在许多高新技术上起着 十分关键的作用。 • 数学模型在其它科学中的应用；
传统领域：物理、力学 新兴领域：化学、生物、医学、经济、社会科学、 军事等
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 • 亲自动手，参加课题实践。
全国大学生数学建模竞赛
竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问 题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充 分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。 竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集 资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软 件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。 评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正 确性、文字表述的清晰程度。
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
S V s v s v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问题
…
s v
(共n个) 定性分析 定量分析
V和 nv 哪个大? V比 nv大多少?
从包汤圆（饺子）说起
假设 模型
1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一样 两个 k1（和k2）一样 S ns (1) 2 3 3/ 2 S k R V k R R ~大皮 半径 V kS (2) 1 2 r ~小皮半径 (1),(2),(3)
s k1r , v k 2 r
3/ 2
2
3
v ks
3/ 2
(3)
V n v
V是 nv是
应用
V n ( nv ) nv
n倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 1.4 公斤馅
• 全国组委会网址：/mcm • 数学建模课件: /mathmodel • 数学实验课件: /mathexp • 数学建模网站：
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A C 距离是的函数 O x 四个距离 两个距离 C´ D´ (四只脚) 正方形 D 对称性 正方形ABCD A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() 绕O点旋转 B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 数学问题： f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0
（3）数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型：
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模： 建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
6.
示例1
数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗
放稳 ~ 四只脚着地。
问题分析： 通常 ~ 三只脚着地 模型假设：
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线 呈正方形; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
建立模型：
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
信息与计算科学系 孙成金 办公室：工程楼410 邮 电 箱：jckxxy@ jckxxy@ 话：13937180316
模型的求解： 各种数学方法、软件和计算机技术
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 解释 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
第一讲 建立数学模型
1. 什么是数学模型 2. 研究数学模型的意义 3.数学建模的方法和步骤 4.数学模型的特点和分类 5.如何学习数学建模 6. 数学建模示例
数学建模竞赛（MCM： Mathematical Contest in Modeling）位列教育部四大学科竞 赛（数学建模，软件设计，电子设计，机械设 计）之首，规模最大，影响最大。自1994年举 办以来，面向全国普通高校的理、工、文、医、 农等学生。每年9月份开展；至2005年，全国 已有30个省/市/自治区共795所高校、8492个参 赛队、25000余名队员参赛。 我校自2000年开始组队参加全国大学生数 学建模竞赛，是区内较早参加竞赛的院校之一。
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
示例2 从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？ 圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v
3
•机理分析 •测试分析 •二者结合
数学建模的方法与过程
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
数学建模的基本方法
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模竞赛的准备内容
3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的 软件，如 MATLAB , MATHEMATICA, LINDO等。 4）历届赛题的研讨。 5）撰写数学建模论文的练习。
数学建模竞赛组队的方式
• 尽可能地让不同专业的学生 组成一队，以利学科交叉； • 尽可能地让能力、素质方面不同的学生（创新 能力强的，认真踏实的，有组织能力的，文笔 好的，…）组成一队，以利优势互补； • 尽可能地让学生在队内充分磨合，达成默契， 形成“领袖”。