不等式的性质知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

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不等式的应用知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．函数y ＝x 2＋mx ＋m 2对一切x ∈R 都有意义，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >2 B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0≤m ≤2解析：选D.由题意，Δ＝m 2－4·m 2≤0，∴0≤m ≤2. 2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2C ．3＋2 2D ．4 3解析：选C.(x ＋y )×1＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y＝2＋1＋2y x ＋x y≥3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y时，等号成立． 3．(2011·高考北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：选B.设每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y ，∴y ＝x ·x 8＋800x ＝x 8＋800x(x ≥0)． y ＝x 8＋800x ≥2x 8·800x ＝20，当且仅当x 8＝800x，即x ＝80时等号成立．故当每批生产80件时，y 值最小．4．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到三角形三边距离分别为h 1、h 2、h 3，又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6. ∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6. ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3.∴h 1h 2h 3≤6460＝1615. 答案：16155．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0<q <p <1)( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价 q 2＋p 22% D ．分两次都提价p ＋q 2% 解析：选C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2， p ＋q 20， ∴x (1－2x )＝12[2x (1－2x )]≤ 12⎣⎡⎦⎤2x ＋(1－2x )22＝18.当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时等号成立． 7．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速率为v 1，下山(原路返回)的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是12(v 1＋v 2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间t 1，t 2的关系为( )A ．t 1>t 2B ．t 1<t 2C ．t 1＝t 2D ．不能确定解析：选A.设S 为上山路程，则下山路程亦为S .t 1＝S v 1＋S v 2>2S 2v 1v 2＝2S v 1v 2， t 2＝2S 12(v 1＋v 2)＝4S v 1＋v 2<4S 2v 1v 2＝2S v 1v 2， ∴t 1>t 2.8．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为8n，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼C ．3楼D ．4楼解析：选C.此人不满意程度越小，楼层越好，设y ＝n ＋8n，可求出此函数的单调减区间为(0,22)，增区间为[22，＋∞)，当n ＝2时，y ＝6，当n ＝3时，y ＝523，因此3层楼不满意度最少．9．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22 解析：选C.由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式a ＋b 2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C. 10．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N ＋，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：易得a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，∴c n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， c n 随n 的增大而减小，∴c n >c n ＋1.答案：c n >c n ＋111.(2012·济南调研)设a >0，b >0，称2ab a ＋b为a ，b 的调和平均数．如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段______的长度是a ，b 的几何平均数，线段________的长度是a ，b 的调和平均数．解析：在Rt △ABD 中，CD 是斜边AB 上的高，所以CD 2＝AC ·CB ，所以CD ＝AC ·CB ＝ab ，所以线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数．在Rt △OCD 中，因为CE ⊥OD ，所以DE CD ＝CD OD，所以线段DE 的长度＝CD 2OD ＝ab a ＋b 2＝2ab a ＋b. 所以线段DE 的长度是a ，b 的调和平均数．答案：CD DE12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值？)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出．②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．解：(1)设捕捞n 年后开始盈利，盈利为y 元，则y ＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－98 ＝－2n 2＋40n －98.由y >0，得n 2－20n ＋49<0，∴10－51<n <10＋51(n ∈N ＋)，∴3≤n ≤17，∴n ＝3.即捕捞3年后，开始盈利．(2)①平均盈利为y n ＝－2n －98n＋40≤ －22n ·98n＋40＝12. 当且仅当2n ＝98n，即n ＝7时，年平均利润最大． ∴经过7年捕捞后平均利润最大，共盈利为12×7＋26＝110万元．②∵y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102，∴当n ＝10时，y 的最大值为102；而经过10年捕捞盈利额最大，盈利102＋8＝110万元．两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．13．(2010·高考湖北卷)为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由题设，隔热层厚度为x cm 时，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .∴隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f (x )＝8003x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－10≥21600－10＝70，当且仅当8003x ＋5＝2(3x ＋5)，即x ＝5时取最小值．∴当隔热层修建5 cm 厚时，总费用最小为70万元．。

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)(3)

一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（）A ．B ．C ．D ．42．函数y =的最小值是（）A B 1C ．11+D ．3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（） A ．9-B ．9C ．10D ．05．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．416．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．47．y=x 的最大值是（）A ．1B ．2C D ．48．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（）A B C ．62- D12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．若222494x y z ++=，则+3x y z +的最大值为______. 14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____16．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 17．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________18．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________ 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________．20．已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系；（2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥；（2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 24．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 25．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．26．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值.【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即13x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．B解析：B 【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值．【详解】（x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号．故选：B ．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．5．B解析：B 【解析】【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈，由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.6．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案.【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.7．C解析：C 【解析】【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且()()22222211211222x x y x x ⎡⎤+-⎢⎥=+-≤+=⎢⎥⎣⎦，则y =x 21x +-2 当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()2222222111111b aa ab b ⎡⎤⎡⎤=--≤+--+=⎣⎦⎣⎦， 2211b a-=-时，上式取等号，所以2211ab a b =--()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大．解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，得：同序和ax+by+cz 最大．故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．3【分析】利用条件构造柯西不等式即可【详解】由题得所以所以所以的最大值为3故答案为：3【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题属于基础题目解析：3 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可【详解】由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤，所以3x y z ++的最大值为3 故答案为：3. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题，属于基础题目.14．2【分析】根据题意得到再由柯西不等式即可求出结果【详解】因为均为非负数且则所以由柯西不等式可得：所以；当且仅当即由解得：即时等号成立故答案为：2【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值熟记柯西不等式即解析：2 【分析】根据题意得到()()()1419118a b c +++++=，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则()()()1419118a b c +++++=，所以由柯西不等式可得：()()()()21419111123361111a b a b c c ⎛⎫++≥++=⎡⎤ ++++⎪⎣⎦+++⎝+⎭，所以11136211118a b c ++≥=+++；==12233a b c +=+=+，由12233494a b c a b c +=+=+⎧⎨++=⎩解得：2120a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即12,,02a b c ===时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.15．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦，则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为：解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 17．25【解析】故答案为【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条件配凑过程采取如下解析：25 【解析】()222229232321212212212y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=++- ⎪⎣⎦---⎝⎭225≥=，故答案为25.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值. 【详解】由柯西不等式得222222111112⎡⎤⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++，所以≤k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0，所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=，当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥；（2）由0,0x y >>，1x y +=，得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥ 当且仅当12x y ==时等号成立，要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）[]4,0-；（2）证明见解析【分析】（1）由314x x +++≤，分3,31,1x x x ≤--<<-≥-三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，进而利用柯西不等式，可证明结论成立.【详解】（1）()4f x ≤，即314x x +++≤，原不等式等价于3143x x x ⎧⎨----≤≤-⎩或33114x x x ⎧⎨+---≤<<-⎩或3141x x x ⎧⎨+++≤≥-⎩，解得43x -≤≤-或31x -<<-或10x -≤≤，综上，原不等式的解集为[]4,0-.（2）因为()31312f x x x x x =+++≥+--=，所以函数()f x 的最小值2n =，则正实数,,a b c ，满足2a b c ++=，由柯西不等式，可得()2411a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭，即()2411221116a b c ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，当且仅当2a b c ==时，等号成立. 所以4118a b c++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++．故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．考点：柯西不等式25．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ，即22111u v ，当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立，故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 26．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.。

绝对值不等式知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．若|a ＋b |＝|a |＋|b |成立(a ，b ∈R)，则有( )A ．ab <0B ．ab >0C ．ab ≥0D ．以上都不对解析：选C.当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.2．若a ，b ∈R ，则使|a |＋|b |>1成立的充分不必要条件是( )A ．|a |≥12且|b |≥12B ．|a ＋b |≥1C ．|a |≥1D ．b <－1解析：选D.当b <－1时，|b |>1，∴|a |＋|b |>1.但|a |＋|b |>1⇒/ b <－1(如a ＝2，b ＝0)，∴“b <－1”是|a |＋|b |>1的充分不必要条件．3．设a 、b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：选D.∵a －|b |>0，∴a >|b |>0.∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0.4．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________．解析：①∵|a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1.②∵|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |.③∵|x |<2，|y |>3，∴1|y |<13， ∴|x ||y |<23.三个命题都正确．答案：①②③5．不等式|a ＋b ||a |＋|b |≤1成立的条件是( ) A ．ab ≠0 B ．a 2＋b 2≠0C ．ab ≥0D ．ab ≤0解析：选B.∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，当|a |＋|b |≠0时，|a ＋b ||a |＋|b |≤1(*)．因此(*)成立的条件是a ≠0且b ≠0，即a 2＋b 2≠0.6．“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m ”(x ，y ，a ，m ∈R)的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选A.∵|x －a |<m ，|y －a |<m ，∴|x －a |＋|y －a |<2m ，又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |，∴|x －y |<2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|<2×2.5，但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，∴|x －y |<2m 不一定有|x －a |<m 且|y －a |<m ，故“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m ”(x ，y ，a ，m ∈R)的充分非必要条件．7．设ab <0，a ，b ∈R ，那么正确的是( )A ．|a ＋b |>|a －b |B ．|a －b |<|a |＋|b |C ．|a ＋b |<|a －b |D ．|a －b |<||a |－|b ||解析：选C.由ab <0得a ，b 异号，易知|a ＋b |<|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |>||a |－|b ||，∴选项C 成立．8．0<a <1，下列不等式一定成立的是( )A ．|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2B ．|log (1＋a )(1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )|解析：选A.∵0<a <1，∴1<1＋a <2,0<1－a <1.∴log (1＋a )(1－a )<0.①log (1－a )(1＋a )<0.②A 项左边＝－log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )＝－log (1＋a )(1－a )－1log (1＋a )(1－a ). 令log (1＋a )(1－a )＝t <0，∴左边＝－t －1t ＝(－t )＋1(－t )>2. 由选择题的唯一性，其余可不判断．9．已知函数f (x )，g (x )(x ∈R)且不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a 的解集是N ，则解集M 与N 的关系是( )A ．N ⊆MB ．M ＝NC ．M ⊆ND ．M N解析：选C.任意x 0∈N 有|f (x 0)＋g (x 0)|<a ，根据|f (x )|＋|g (x )|≥|f (x )＋g (x )|，因此|f (x 0)|＋|g (x 0)|<a 是否成立无法判定；任意x 0∈M 有|f (x 0)|＋|g (x 0)|<a ，根据|f (x )|＋|g (x )|≥|f (x )＋g (x )|有|f (x 0)＋g (x 0)|<a ，即x 0∈N ，因此M ⊆N .10．(2011·高考陕西卷)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，∴3≥a .答案：(－∞，3]11．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．解析：当①③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.答案：①③⇒②12．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝m 2，c 2＋d 2＝n 2(m >0，n >0)，求证：|ac ＋bd |≤m 2＋n 22.证明：∵a ，b ，c ，d 都是实数，∴|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22. 又∵a 2＋b 2＝m 2，c 2＋d 2＝n 2，∴|ac ＋bd |≤m 2＋n 22. 13．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的定义域为[－1，1]，记|f (x )|的最大值为M .求证：M ≥12. 证明：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ，x ∈[－1,1]且|f (x )|≤M ，则M ≥|f (－1)|，M ≥|f (1)|，M ≥|f (0)|，∴2M ≥|f (－1)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝|2＋2b |≥2－2|b |＝2－2|f (0)|≥2－2M ，故M ≥12.。

平均值不等式知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．a ，b 为非零实数，那么不等式恒成立的是( )A ．|a ＋b |>|a －b | B.a ＋b 2≥ab C.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab D.b a ＋a b ≥2 解析：选C.a ，b 为非零实数时，A ，B ，D 均不一定成立．而⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－ab ＝⎝⎛⎭⎫a －b 22≥0恒成立．2．设a >0，b >0，且a ＋b ≤4，则有( )A.1ab ≥12B.1a ＋1b≥1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤14解析：选B.4≥a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2. ∴1ab ≥12，1a ＋1b ≥2·1ab≥1. 3．设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg6]B ．(－∞，3lg2]C ．[lg6，＋∞)D ．[3lg2，＋∞)解析：选B.∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8，∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg8＝3lg2.4．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0且a ≠b )，则A ，B 的大小关系是________．解析：法一：(比较法)A －B ＝(a －b )22ab (a ＋b )>0(a >0，b >0且a ≠b )，则A >B . 法二：A >1ab ，B <1ab，故A >B . 答案：A >B5．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b解析：选D.∵0<a <1,0<b <1，a ≠b ，∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ，四个数中最大的一个应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0<a <1,0<b <1，∴a (a －1)<0，b (b －1)<0，∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0，即a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大，选D. 6．已知x ∈(0，＋∞)，有不等式：x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1解析：选A.x ＋a x n ＝＋a x n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A. 7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R b >1，∴lg a >0，lg b >0.∴Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，即P <Q .又∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q .∴P <Q <R .8．已知a >b >0，全集U ＝R ，M ＝{x |b <x <a ＋b 2}，N ＝{x |ab <x <a }，P ＝{x |b <x ≤ab }，则() A ．P ＝M ∩(∁R N ) B ．P ＝(∁R M )∩NC ．P ＝M ∩ND ．P ＝M ∪N解析：选A.∵a >b >0，∴a >a ＋b 2，ab >b ，a ＋b 2>ab ，∴a >a ＋b 2>ab >b ，∴P ＝M ∩(∁R N )．9．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析：选B.∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ＋c3≥ 3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2，∴z 2≥x 2，∴z ≥x .即y ≤x ≤z .10．当a >1,01,00，－log b a >0，∴－log a b －log b a ≥2(－log a b )(－log b a )＝2.当且仅当b ＝1a 时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2.答案：(－∞，－2]11．设a >0，b >0，给出下列不等式：(1)a 2＋1>a ；(2)(a ＋1a )(b ＋1b)≥4； (3)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4； (4)a 2＋9>6a ；(5)a 2＋1＋1a 2＋1>2. 其中恒成立的是________．解析：(1)a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴a 2＋1>a 恒成立．(2)当且仅当a ＝b ＝1时该不等式成立．(3)当且仅当a ＝b 时，该不等式成立．(4)当a ＝3时，有a 2＋9＝6a 成立．(5)∵a 2＋1>1.∴a 2＋1＋1a 2＋1>2恒成立．答案：(1)(5)12．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，∴a 2b ＋b ≥2a 2b·b ＝2a (当且仅当a ＝b 时取等号)．同理b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c (当且仅当b ＝c ，a ＝c 时取等号)．三式相加有 a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 13．设a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12， ∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·2 1ab ＋1ab≥4＋4＝8，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab≥8.。

数学归纳法知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)·(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4解析：选C.当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项，∴左边所得的代数式为1＋2＋3.2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n ·(n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C.边数最少的凸n 边形是三角形．3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”时，从k 到k ＋1左边需增加的代数式为( )A ．2k －2B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：选D.等式“1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2”中，当n ＝k 时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)，当n ＝k ＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)，∴从k 到k ＋1左边需增加的代数式为2k ＋1.4．用数学归纳法证明：“当n 为奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，在归纳假设中，假设当n ＝k 时命题成立，那么下一步应证明n ＝________时命题也成立．解析：两个奇数之间相差2.∴n ＝k ＋2.答案：k ＋25．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)”的过程中的第二步n ＝k ＋1时(n ＝1已验，n ＝k 已假设成立)，这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2< k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析：选D.从k 到k ＋1的推理过程中未使用归纳假设，证明方法错误．6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳法假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3，且展开式中除k 3以外的各项和也能被3整除．7．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( )A.π2 B ．πC ．2πD.32π 解析：选B.n ＝k 到n ＝k ＋1时，内角和增加π.8．某个命题：(1)当n ＝1时，命题成立(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时成立，可以推出n ＝k ＋2时也成立，则命题对________成立( )A ．正整数B ．正奇数C ．正偶数D ．都不是解析：选B.由题意知，k ＝1时，k ＋2＝3；k ＝3时，k ＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立，故选B.9．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.∵a 1＝13，由S n ＝n (2n －1)a n ，得a 1＋a 2＝2(2×2－1)a 2，解得a 2＝115＝13×5， a 1＋a 2＋a 3＝3×(2×3－1)a 3，解得a 3＝135＝15×7， a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4(2×4－1)a 4，解得a 4＝163＝17×9. 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 10．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)”的过程中，第二步假设n ＝k时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________．解析：∵n ＝k 时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1”，∴n ＝k ＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1.答案：1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－111．用数学归纳法证明12＋cos α＋cos3α＋…＋cos(2n －1)α＝1sin α·sin 2n ＋12α·cos 2n －12α(α≠n π，n ∈N)，在验证n ＝1等式成立时，左边计算所得的项是________．解析：由等式的特点知：当n ＝1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n －1)α，故左边计算所得的项是12＋cos α. 答案：12＋cos α 12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n ·(3n ＋1)＝n (n ＋1)2(n ∈N ＋)．证明：(1)n ＝1时，左边＝1×(3×1＋1)＝4，右边＝1×(1＋1)2＝4，左边＝右边．(2)假设n ＝k (n ∈N ＋)时，命题成立，即：1×4＋2×7＋…＋k ·(3k ＋1)＝k ·(k ＋1)2当n ＝k ＋1时，左边＝1×4＋…＋k ·(3k ＋1)＋(k ＋1)·(3k ＋4)＝k ·(k ＋1)2＋(k ＋1)·(3k ＋4)＝(k ＋1)[k (k ＋1)＋3k ＋4]＝(k ＋1)·(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)·(k ＋2)2.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知：对n ∈N ＋，1×4＋2×7＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.13．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，试推测出a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：∵S 1＝a 1，∴a 1＝12(a 1＋1a 1)，解得正数a 1＝1；∵a 1＋a 2＝S 2＝12(a 2＋1a 2)， ∴2＋a 2＝1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0，解得a 2＝2－1；∵S 2＋a 3＝S 3，即2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)， ∴a 23＋22a 3－1＝0，解得a 3＝3－ 2. 观察a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－2，猜想a n ＝n －n －1.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，由以上知猜想式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，猜想式成立，即a k ＝k －k －1.由S k ＋a k ＋1＝S k ＋1，有12(a k ＋1a k )＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)，即12(k －k －1＋1k －k －1)＋a k ＋1 ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)．亦即2k ＋a k ＋1＝1a k ＋1，a 2k ＋1＋2k ·a k ＋1－1＝0，解得正数a k ＋1＝k ＋1－k即当n ＝k ＋1时，猜想式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意自然数猜想式a n ＝n －n －1成立．。

简单形式的柯西不等式知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169C ．13D ．0解析：选C.(2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)，∴x 2＋y 2≥13.2．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )A ．1B ．4C.13D.12解析：选C.根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 3．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围( )A ．(0,1)B ．(－1,1)C ．(0，－1)D ．[－1,1]解析：选D.设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )．∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|得|t |≤1.∴t 的取值范围是[－1,1]．4．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则a 2＋b 2＝________.解析：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1，当且仅当b 1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号， ∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)，于是a 2＋b 2＝1.答案：15．若x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.12C ．－1D ．－12解析：选B.∵(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2，∴2(x 2＋y 2)≥1，∴x 2＋y 2≥12，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，所以x 2＋y 2的最小值为12，故选B. 6．已知a 、b ∈(0，＋∞)，x 1，x 2∈(0，＋∞)，要使不等式(ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2成立的一个条件是( )A ．a ＋b ＝1B ．a 2＋b 2＝1C ．a ＝b ＝1D ．a 2＋b 2＝12解析：选A.(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2][(bx 1)2＋(ax 2)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2，∴a ＋b ＝1时，可有(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.7．已知a 、b 、c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B ＝a ＋b ＋c 3，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A ≥BC ．A <BD ．A ≤B解析：选B.∵(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2) ≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c )29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．又a 、b 、c 均大于0，∴a ＋b ＋c >0，∴ a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3，故选B. 8．已知3x ＋2y ＝1.当x 2＋y 2取最小值时，x ，y 的值为( )A.⎩⎨⎧ x ＝313y ＝213 B.⎩⎨⎧ x ＝213y ＝313 C.⎩⎨⎧ x ＝16y ＝14 D.⎩⎨⎧ x ＝14y ＝16解析：选A.x 2＋y 2＝113(x 2＋y 2)(32＋22) ≥113(3x ＋2y )2＝113，当且仅当x 3＝y 2，得⎩⎨⎧x ＝313y ＝213. 9．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．不确定解析：选A.∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2，∴(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2≤1.即a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.10．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________．解析：由x 、3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6.答案： 611．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝________. 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取“＝”．由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56.所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56. 答案：5612．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m·n|≤|m||n| ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 13．(2012·淮南质检)已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，求证：|x ＋3y ＋4z |≤4. 证明：由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2.又∵x 2＋3y 2＋4z 2＝2，∴2×8≥(x ＋3y ＋4z )2，∴|x ＋3y ＋4z |≤4.。

不等式的证明知能优化训练1(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．已知a <0，－1ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：选D.∵－1b 2>0>b ，又a <0，∴ab >ab 2>a .2．设a >0，b >0，且ab －(a ＋b )≥1，即( )A ．a ＋b ≥2(2＋1)B ．a ＋b ≤2＋1C ．a －b ≤(2＋1)2D ．a ＋b >2(2＋1)解析：选A.因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤14(a ＋b )2. ∴14(a ＋b )2－(a ＋b )≥ab －(a ＋b )≥1， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2＋22成立(当且仅当a ＝b ＝2＋1时取等号)． 3．设a >2，x ∈R ，M ＝a ＋1a －2，N ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >NC ．M ≤ND ．M ≥N 解析：选D.∵a >2，∴M ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4. ∵x 2－2≥－2，∴N ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴M ≥N .4．已知a (a ＋b )b ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵b 2＋ac >ab ＋b 2， ∴a (c －b )>0，又c －b >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1 解析：选D.动点M 在以原点为圆心的单位圆上，∴直线x a ＋y b＝1过点M ，只需保证原点到直线的距离|－ab |a 2＋b2≤1. 即1a 2＋1b2≥1，故选D. 6．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a x 2，故a >b ，排除A 、B.∵e －1<x <1，∴－1<ln x <0，∴ln x <ln 3x ，∴a <c ，故b <a <c ，故选C.7．若a 、b 、c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 解析：选C.∵a >b ，c 2＋1>0，∴a c 2＋1>b c 2＋1，故选C. 8．若a 、b 、c 是常数，则“a >0，且b 2－4ac <0”是“对任意的x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．必要条件解析：选A.当a >0，b 2－4ac <0时，ax 2＋bx ＋c >0.反之，ax 2＋bx ＋c >0对任意的x ∈R 成立不能推出a >0，b 2－4ac <0.反例：a ＝b ＝0，c ＝2.9．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D.a 2＋b 2－1－a 2b 2＝－(a 2－1)(b 2－1)≤0.10．设a >b >c ，且1a －b ＋1b －c ≥m a －c恒成立，则m 的取值范围是________．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.又(a －c )·(1a －b ＋1b －c) ＝[(a －b )＋(b －c )]·(1a －b ＋1b －c) ＝2＋a －b b －c ＋b －c a －b≥4，当且仅当a －b b －c ＝b －c a －b，即2b ＝a ＋c 时等号成立．∴m ≤4.答案：(－∞，4]11．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵对数函数y ＝lg x 为定义域上的增函数，∴只需比较(1＋ab )与(1＋a )(1＋b )的大小即可，∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋ab ＋2ab －(1＋ab ＋a ＋b )＝2ab －(a ＋b )．又由基本不等式得2ab ≤(a ＋b )，∴(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )≤0，即有lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤12．已知a ＋b ＋c ＝0，求证ab ＋bc ＋ca ≤0.证明：法一：综合法∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，展开得ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22， ∴ab ＋bc ＋ca ≤0.法二：分析法要证ab ＋bc ＋ca ≤0，∵a ＋b ＋c ＝0，故只要证ab ＋bc ＋ca ≤(a ＋b ＋c )2，即证a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ≥0，亦即证12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]≥0，而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立．13．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(a ＋1a )(b ＋1b )≥254. 证明：∵a ＋b ＝1，∴(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2＝1－2ab ，(a ＋1a )(b ＋1b )＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋1－2ab ab ＝ab ＋2ab－2， ∴欲证原不等式，只要证ab ＋2ab －2≥254，只要证：ab ＋2ab ≥334， ∵ab >0，只要证：4a 2b 2－33ab ＋8≥0，只要证：(4ab －1)(ab －8)≥0，只要证ab ≤14或ab ≥8. ① ∵a >0，b >0，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，∴①式成立．原不等式得证．。

北师大版数学高二数学选修4-5练习 1.1.1不等式的基本性质

选修4-5练习 §1.1.1不等式的基本性质姓名1.若0a b <<，则下列结论不正确的是( ).A 22a b < .B 2ab b < .C 2b a a b+> .D a b a b -=- 2. 设,(,0)a b ∈-∞，则“a b >”是“11a b a b ->-”成立的( ) .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. 下列不等式：其中正确的个数为( )()1 232()x x x R +≥∈， ()2553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈，()3 222(1)a b a b +≥--．.A 0 .B 1 .C 2 .D 34.在下列命题中真命题的个数有( )① 若0,0,a b c d >>>><② ②已知,,a b c 都是正数，并且,a m a a b b m b+<>+则；③ ③423x x--的最大值是2-; ④若,a b R ∈，则()22522a b a b ++≥-。

.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个.5已知,,a b c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( ).A ab ac > .B c b a ()-<0 .C cb ab 22< .D 0)(<-c a ac .6若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是( ).A b a 11< .B 22b a > .C 1122+>+c b c a .D ||||c b c a > .7若0a >，0b >，则不等式1b a x -<<等价于( ) .A 10x b -<<或10x a << .B 11x a b -<<.C 1x a <-或1x b > .D 1x b <-或1x a >.8若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于A ．{}|34x x x ≤>或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<.9 给出下列条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，11log log log ba ab b b<<成立的充分条件是（填所有可能的条件的序号）.10 已知,,a b c 满足：a b c R +∈、、，222a b c +=，当n N ∈，2n >时，比较n c 与n n a b + 的大小..11 设0,0x y >>且x y ≠，比较 2222xy y x +与x y y x + 的大小.12 已知m R ∈，1a b >>，()1mx f x x =-，试比较()f a 与()f b 的大小..13 设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．。

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(含答案解析)

一、选择题1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定2．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤153．下列命题中正确的是（） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d> 4．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>5．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+6．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（）A ．集合P 是集合Q 的真子集B ．集合Q 是集合P 的真子集C ．P Q =D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集7．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（）A ．11x y >B ．11()()22x y<C ．1122x y <D ．sin sin x y >8．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（）A ．42-B ．4C ．不存在D ．529．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A b a -10．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是 A ．a a x y -->B ．ax ay <C ．x y a a <D ．log log a a x y >11．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则|a|＞|b| B ．若a ＞b ，则11a b< C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 212．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，Q =P ，Q 的关系是（） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <二、填空题13．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.14．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.15．若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．16．若0,0,0a b m n >>>>，则a b , b a , b m a m ++, a n b n++按由小到大的顺序排列为_______. 17．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．18．某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价%n ；第二种:先提价%2m n +，再提价%2m n+；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种.19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________．20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．设不等式|1||1|2x x +--<∣∣的解集为A（1）求集合A ；（2）若,,a b c A ∈，证明：11abcab c->-． 22．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 23．已知函数()|23||1|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 24．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 25．已知函数()()30f x x x a a =-++>. （1）若1a =，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()221f x a a ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +，平均价格为121222p x p x p p x ++=；对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +，平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商2．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号，所以113x x ++的最大值为15，所以15a ≥.故选：A 【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.3．A解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误；故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D解析：D 【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba ++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<，又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.6．C解析：C 【分析】先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =．【详解】 |||1|3x x +-<，∴当0x 时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<；当01x <时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，P Q ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】当11,2x y ==时，1112x y =<=，则A 错误； 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确；当4,1x y ==时，112221x y =>=，则C 错误；当3,22x y ππ==时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误；故选：B 【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.8．D解析：D 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x==即1x =时等号成立故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.9．C解析：C 【分析】考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。

绝对值不等式的解法知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．不等式1<|x＋1|<3的解集为()A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)解析：选D.由1<|x＋1|<3，得1<x＋1<3或－3<x＋1<－1，∴0<x<2或－4<x<－2.∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．2．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是()A．0 B．1C．－1 D．2解析：选B.由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，即a≤1.故实数a的最大值为1.3．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足() A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3解析：选D.由|x－a|<1得a－1<x<a＋1.由|x－b|>2得x<b－2或x>b＋2.∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.4．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．解析：法一：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方得(x＋1)2≥(x－3)2，解得x≥1，故不等式的解集为[1，＋∞)．法二：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)5．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.∵|x－1|<2成立⇔－1<x<3成立，x(x－3)<0成立⇔0<x<3成立，又－1<x<3⇒/ 0<x<3,0<x<3⇒－1<x<3，∴“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件．6．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为()A．{x|x≤－1或x≥4}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|x≤1}D．{x|x≥2}解析：选A.画数轴可得当x＝－1或x＝4时，有|x －1|＋|x －2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x ≤－1或x ≥4时，|x －1|＋|x －2|≥5，故选A. 7．不等式|2x －log 2x |<2x ＋|log 2x |成立，则( ) A ．1<x <2 B ．0<x <1 C ．x >1 D ．x >2 答案：C8．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1 解析：选B.|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向右上和左下平移，易知当l 过点(0,1)时，z 有最大值z max ＝0＋2×1＝2；当l 过点(0，－1)时，z 有最小值z min ＝0＋2×(－1)＝－2. 9.|2x －1|－2|x ＋3|>0的解集为( )A ．{x |x >32或x <－12}B ．{x |－12<x <32}C ．{x |x >32或x <－12且x ≠－3}D ．{x |x ∈R 且x ≠－3}解析：选C.∵分母|x ＋3|>0且x ≠－3， ∴原不等式等价于|2x －1|－2>0，即|2x －1|>2，∴ 2x －1>2或2x －1<－2，解得x >32或x <－12.∴原不等式的解集为{x |x >32或x <－12且x ≠－3}．10．不等式|x －1|＋|x －2|≤3的最小整数解是________．解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2x －1＋x －2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2x －1－(x －2)≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x <1－(x －1)－(x －2)≤3，解得：0≤x ≤3，∴最小整数解是0.答案：011．已知不等式|ax ＋b |<2(a ≠0)的解集为{x |1<x <5}，则实数a 、b 的值为________．解析：原不等式等价于－2<ax ＋b <2.①当a >0时，解之得－2＋b a <x <2－ba ，与1<x <5比较系数得⎩⎨⎧－2＋b a ＝1，2－ba ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.②当a <0时，解之得2－b a <x <－2＋ba ，与1<x <5比较系数得⎩⎨⎧2－ba＝1，－2＋ba ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.综上所述，a ＝1，b ＝－3或a ＝－1，b ＝3.答案：1、－3或－1、3 12．(2011·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． 13．已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵|x ＋1|≥2|x |⇒x 2＋2x ＋1≥4x 2⇒－13≤x ≤1，∴不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1. (2)若存在x ∈R ，使得|x ＋1|≥2|x |＋a 成立，即存在x ∈R ，使得|x ＋1|－2|x |≥a 成立，令φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则a ≤φ(x )max ，又φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥03x ＋1，－1≤x <0.x －1，x <－1当x ≥0时，φ(x )≤1；当－1≤x <0时，－2 ≤φ(x )<1；当x <－1时，φ(x )<－2. 综上可得：φ(x )≤1，∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．。

北师大版数学高二选修4-5课后训练第一章1不等式的性质

不等式的性质练习1若a＞b＞0，则下列各式中恒成立的是( )．A．22a b aa b b>＋＋B．222211b ba a>＋＋C．11a ba b+>+ D．a a＞b b2设a≥b＞0，P＝3a3＋2b3，Q＝3a2b＋2ab2，则P与Q的大小关系是( )．A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P＝Q3设a＞0，b＞0，则不等式1< D．1<xb-或1xa>4比较大小：121log3__________131log2(填不等号)．5若实数a＞b，则a2－ab__________ba－b2．(填不等号)6已知a＜b＜c，P＝a2b＋b2c＋c2a，Q＝ab2＋bc2＋ca2，则P与Q的大小关系是__________．7设a＞0，b＞0，且a≠b，比较a a b b与a b b a的大小．8当a≠0时，比较()()2211a a++与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．参考答案1答案：B 选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2524a b a b +=+，=2a b，由此可知选项A 不成立．利用不等式的性质可知，当a ＞b ＞0时，11<a b，由此可知，选项C 不恒成立．取12a =，14b =，则a ＞b ＞0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立．故选B ． 2答案：C P －Q ＝3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a 2≥b 2＞0．所以3a 2≥3b 2＞2b 2，即3a 2－2b 2＞0．从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，即P ≥Q ．3 答案：D4 答案：＞22112311lglg 11lg3lg2lg 3lg 232log log 1132lg2lg3lg2lg3lg lg 23--=-=-= lg3lg2lg3lg20lg2lg3(+)(-)=>，所以112311log log 32>．5答案：＞ (a 2－ab )－(ba －b 2)＝a (a －b )－b (a －b )＝(a －b )2．∵a ＞b ，∴(a －b )2＞0，即a 2－ab ＞ba －b 2．6 答案：P ＜Q ∵a ＜b ＜c ，∴a －b ＜0，b －c ＜0，a －c ＜0．∴P －Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2)＝(a 2b －a 2c )＋(b 2c －b 2a )＋(c 2a －c 2b )＝a 2(b －c )＋b 2(c －a )＋c 2(a －b )＝a 2(b －c )＋b 2[(c －b )＋(b －a )]＋c 2(a －b )＝a 2(b －c )－b 2(b －c )＋c 2(a －b )－b 2(a －b )＝(b －c )(a 2－b 2)＋(a －b )(c 2－b 2)＝(b －c )(a －b )(a ＋b )＋(a －b )(c －b )(c ＋b )＝(b －c )(a －b )[a ＋b －(c ＋b )]＝(b －c )(a －b )(a －c )＜0，即P ＜Q ． 7 答案：解：==a b a ba b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．当a ＞b ＞0时，1a b >，a －b ＞0，∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭；当b ＞a ＞0时，0<<1a b ，a －b ＜0， ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭．∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．又∵a a b b＞0，a b b a ＞0，∴a a b b ＞a b b a ．8 答案：解：∵22(1)(1)a a ++-+＝22[(1)][(1)]a a +++ ＝(a 2＋1)2－2a 2＝a 4＋2a 2＋1－2a 2＝a 4＋1，(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＝[(a 2＋1)＋a ][(a 2＋1)－a ]＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋2a 2＋1－a 2＝a 4＋a 2＋1，∴2222(1)(1)(1)(1)a a a a a a ++-+-++-+ 4422(+1)(+1)a a a a =-+=-．∵a ≠0，∴a 2＞0，∴－a 2＜0，∴2222(1)(1)<(1)(1)a a a a a a ++-+++-+．。

高中数学北师大版选修4-5练习2.2排序不等式 Word版含解析

§排序不等式
课后篇巩固探究
组
.顺序和、逆序和'、乱序和″的大小关系是()
≤'≤″≥'≥″
≥″≥'≤″≤'
解析:由排序不等式可知,逆序和≤乱序和≤顺序和.
答案
.设均为正数,则与的大小关系是()
≥>≤<
解析:不妨设≥≥,则≥≥,由排序不等式可得,顺序和为,乱序和为,则≥.答案
.若<<<<,则下列各式中值最大的一个是()
解析:由于<<<<,
因此由排序不等式知,顺序和最大.
故选.
答案
.已知均为正数,则()()()()
.大于零.大于或等于零
.小于零.小于或等于零
解析:设≥≥>,则≥≥,
根据排序不等式,
得···≥.
因为≥≥≥≥,
所以≥.
所以≥,
即()()()≥.
答案
.设是的一个排列,则的取值范围是.
解析的最大值为顺序和,最小值为逆序和××××.
答案:[]
.如图所示,矩形中≤≤,若阴影部分的矩形的面积之和为,空白部分的矩形的面积之和为,则与的大小关系是.
解析:由题图可知,而,根据顺序和≥逆序和可知≥.
答案≥
.若均为正数,求证≥.
证明不妨设≥≥>,则≥≥>,
由排序不等式可得≥≥≥,三式相加得()≥()()().。

9不等式的应用作业(Word版含答案)高中数学选修4-5北师大版

800 ＋2(3x＋ 3x＋5
5)－10
≥2 1 600－10＝ 70， 800
当且仅当 3x＋ 5＝ 2(3x＋5)，
即 x＝5 时取最小值．
∴当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用最小为 70 万元．
能力提升 ]
1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方
案是 (已知 0＜q＜p＜1)( )
k 3x＋ 5，
再由 C(0)＝ 8，得 k＝40，因此 C(x)＝3x4＋0 5.
而建造费用为 C1(x)＝6x. ∴隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x) ＝20×3x4＋0 5＋6x＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝
800 ＋6x＝ 3x＋5
1 600
1 600
∴一年的总费用 t＝4x＋ x 取最小值时，有 4x＝ x ，∴x＝20.
【答案】 20
8．在如图 1-5-3 所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形
花园 (阴影部分 )，则其边长 x 为________(m)．
图 1-5-3 【解析】设矩形花园的宽为 y m，则4x0＝404－0 y，即 y＝40－x，矩形花园的面积 S＝ x(40－x)＝－ x2＋40x＝－ (x－20)2＋400，当 x＝20 m 时，面积最大．【答案】 20
单位，则正实数 a 的取值范围是 ________．【解析】设不等式 x2－ax－6a＜ 0 的解集为 (x1， x2)，
则 x1＋x2＝a，x1x2＝－ 6a. ∴|x2－ x1|＝ x1＋x2 2－4x1x2＝ a2＋24a，依题意， 0＜ a2＋ 24a≤5,0＜ a≤ 1.

2019-2020学年数学北师大版选修4-5检测：1.1 不等式的性质 Word版含解析

第一章DIYIZHANG不等关系与基本不等式§1不等式的性质课后篇巩固探究A组1.设a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A. B.C.a>b2D.a2>2b解析:取a=2,b=-,满足a>1>b>-1,但,故A错;取a=2,b=,满足a>1>b>-1,但,故B错;取a=,b=,满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错,只有C正确.答案:C2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A. B.a2>b2C. D.a|c|>b|c|解析:当a=1,b=-2时,满足a>b,但,且a2<b2,故选项A,B错误;因为>0,a>b,所以,故C正确;当c=0时,a|c|>b|c|不成立,故D错误.答案:C3.若-1<α<β<1,则下列各式恒成立的是()A.-2<α-β<0B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0D.-1<α-β<1解析:因为-1<α<β<1,所以-1<α<1,-1<-β<1.又α<β,所以-2<α-β<0.答案:A4.若a>1,b<1,则下列命题正确的是()A. B.>1C.a2>b2D.ab<a+b-1解析:由a>1,b<1,得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理即得ab<a+b-1.答案:D5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]解析:令3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则--所以因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以(a+b)≤,-(a-b)≤,故-2≤3a-2b≤10.答案:D6.已知0<a<1,则a,,a2的大小关系是.解析:∵a--<0,∴a<.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<.答案:a2<a<7.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.解析:依题意得0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8.答案:(0,8)8.设a>b>c>0,x=,y=,z=,则x,y,z之间的大小关系是.解析:x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y,同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.答案:x<y<z9.如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,的取值范围.解因为3<a<7,1<b<10,所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17.所以a+b的取值范围是(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19.所以3a-2b的取值范围是(-11,19).因为9<a2<49,所以.所以.所以的取值范围是.10.导学号35664001已知等比数列{a n}中,a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较与的大小.解当q=1时,=3,=5,所以;当q>0,且q≠1时,--<0,=----所以.综上可知.B组1.若a>b,则下列各式正确的是()A.a lg x>b lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a2x>b2x解析:对任意实数x,都有2x>0,又a>b,所以必有a2x>b2x,即选项D正确.答案:D2.已知a,b∈R,下列条件能使a>b成立的必要不充分条件是()A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.3a>3b解析:由a>b可得a>b-1,但由a>b-1得不出a>b,所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件;“3a>3b”是“a>b”的充分必要条件.答案:A3.已知实数a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b解析:由c-b=a2-4a+4=(a-2)2≥0,得c≥b.又由已知解得b=a2+1>a,所以c≥b>a.答案:A4.如果0<a<1,那么()A.(1-a>(1-aB.log(1-a)(1+a)>0C.(1-a)3>(1-a)2D.(1-a)1+a>1解析:本题关键点在a,只需选取一个特殊值即可.不妨令a=,则选项A即为,显然成立;选项B即为lo>0,而y=lo x为减函数,所以lo<lo1=0,故选项B错误;选项C即为,也即,显然错误;选项D即为>1,因为y=是减函数,所以=1,故选项D错误.答案:A5.若a,b∈R,且a2b2+a2+5>2ab+4a,则a,b应满足的条件是.解析:原不等式可化为(ab-1)2+(a-2)2>0.故a≠2或b≠.答案:a≠2或b≠6.设x>5,P=--,Q=--,则P与Q的大小关系是.解析:P=----,Q=----.∵x>5,∴----,∴必有P>Q.答案:P>Q7.若a>b>0,m>0,n>0,则按由小到大的顺序排列为.解析:由a>b>0,m>0,n>0,知<1,且<1,所以>1,即1<.答案:8.已知θ∈,且a=2sin2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a与b大小.解因为θ∈,所以a=2sin2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0,所以=2sin θ.因为θ∈,所以sin θ∈,2sin θ∈(0,1),即0<<1,故必有a<b.9.导学号35664002已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)内是减少的,α,β,γ∈R,且α+β>0,β+γ>0,γ+α>0,试讨论f(α)+f(β)+f(γ)的值与0的关系.解∵α+β>0,∴α>-β.又函数f(x)在(-∞,+∞)内是减少的,∴f(α)<f(-β).∵函数f(x)在(-∞,+∞)内是奇函数,∴f(-β)=-f(β),∴f(α)<-f(β).①同理,由β+γ>0,得f(β)<-f(γ).②由γ+α>0,得f(γ)<-f(α).③由①②③,得f(α)+f(β)+f(γ)<-[f(α)+f(β)+f(γ)],∴f(α)+f(β)+f(γ)<0.。

最新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(包含答案解析)

一、选择题1．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（） A ．322a ab bc ca +++≥ B ．322a bab bc ca -+++≥ C ．322a b c ab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确2．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>3．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（） A ．ab ac >B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac >4．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（） A ．ac bc + D ．ac bc ≥5．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <7．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >8．已知0n m <<，则下列不等式正确的是( ) A ．11n mC ．44log ()log ()m n -<-D ．22n m <9．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 10．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是A ．a a x y -->B ．ax ay <C ．x y a a <D ．log log a a x y >11．325x -≥不等式的解集是（） A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥12．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 二、填空题13．在平面直角坐标系中，定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的直角距离为：1212(,)d P Q x x y y =-+-现有以下命题：①若,P Q 是x 轴上的两点，则12(,)d P Q x x =-； ②已知()22(2,3),sin ,cos P Q αα，则(,)d P Q 为定值；③原点O 与直线10x y -+=上任意一点P 之间的直角距离(,)d O P 的最小值为22； ④若||PQ 表示,P Q 两点间的距离，那么2||(,)2PQ d P Q ≥. 其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.14．已知实数,,a b c 满足3a b c ++=,222226a b c ++=,则c 的取值范围是___________. 15．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 16．（卷号）1570711643127808 （题号）1570711648378880 （题文）已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的取值范围为_____________．17．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________. 18．若2,3a b >>，则1(2)(3)a b a b ++--的最小值为________.19．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范围是_______． 20．设函数1()||||f x x x a a=++-(0)a >，若(3)5f <，则a 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数()|2|||f x x x =-+. （Ⅰ）求不等式()2f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求1111a b +++的最小值. 22．已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：32++≥+++a b c b c a c a b ；（II 1≥.23．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈ （1）当1m =时，解不等式()2f x ；（2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知函数()21f x x ax a =++-(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若函数()f x 的最小值为32，设正实数,m n 满足m n a +=，求1212m n +++的最小值.25．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积；（2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 26．设函数3211()132f x ax bx cx =+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2af '=-，322a c b >>.（1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334b a -<<-；（2）若12a =-，2b =，32c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案. 【详解】因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3，设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--， (1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥， ||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤. 对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立．取1a =，1b =-，0c，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B.取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C. 故选：A 【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题.2．D解析：D 【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确；当0c <时，不等式不成立，D 错误；故选：C . 【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.5．D解析：D 【解析】【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．6．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.7．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确；对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<，()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误；对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案. 【详解】由题意，因为0n m <<，则对于A 中，则110m nn m mn --=> ，所以11n m>，所以不正确；对于B 中，因为函数1()2x y =为单调递减函数，所以11()()22m n<，所以不正确；对于C 中，因为函数4log y x =为单调递增函数，又因为0n m <<，则n m ->-，所以44log ()log ()m n -<-是正确的；对于D 中，由22()()0n m n m n m -=+->，所以22n m >，所以不正确，故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．D解析：D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b<,故不正确. 【点睛】本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.10．C解析：C 【分析】由幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质判断即可. 【详解】A.a a x y -->，由幂函数y x α= 当0α<函数在()0,∞+上单调递减，可知A 错误；由1,01x y a >><<，由不等式的性质可得0ax ay >>，故B 错误；由指数函数x y a = 当01a <<函数在()0,∞+上单调递减，可知C 正确；由对函数log a y x = 当01a <<函数在()0,∞+上单调递减，可知D 错误. 故选 C . 【点睛】本题考查幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质，属基础题.11．C解析：C 【解析】【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.12．D解析：D 【分析】运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断C ；由二次函数的单调性可判断B ．【详解】对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误；对于D ，函数1y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b>，故D 项正确；对于C ，当0c时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；对于B ，函数2y x 在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误，故选D ．【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．二、填空题13．①②④【分析】根据新定义的直角距离结合具体选项进行逐一分析即可【详解】对①：因为是轴上的两点故则①正确；对②：根据定义因为故②正确；对③：根据定义当且仅当时取得最小值故③错误；对④：因为由不等式即可解析：①②④ 【分析】根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可. 【详解】对①：因为,P Q 是x 轴上的两点，故120y y -=，则12(,)d P Q x x =-，①正确；对②：根据定义(,)d P Q 222sin 3cos αα=-+-因为[][]22sin0,1,cos 0,1αα∈∈，故(,)d P Q 222sin 3cos 4αα=-+-=，②正确；对③：根据定义(,)d O P ()111x y x x x x =+=++≥-+=，当且仅当()10x x +≤时，取得最小值，故③错误；对④：因为PQ =(,)d P Q 1212x x y y =-+-由不等式()()2222a ba b +≥+，即可得2PQ ≥(,)d P Q ，故④正确.综上正确的有①②④ 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题.14．【解析】消a 得解析：3[0,]2【解析】消a 得22222(3)226032(3)3(1)0b c b c b c b c --++-=∴--+-=2234(3)36(1)00.2c c c ∆=---≥∴≤≤15．【解析】结合自变量的范围若可得：不等式明显成立；若由不等式可得解得：综上可得的取值范围是解析：4a ≠【解析】结合自变量的范围，若02x ≤<，可得：20x -<，不等式明显成立；若2x =，由不等式可得40a ->，解得：4a ≠，综上可得a 的取值范围是4a ≠.16．【解析】分析：由已知中二次函数的图象为开口向下的抛物线且对任意都有则函数的图象是以为对称轴开口方向朝下的抛物线再由向量结合二次函数的性质和向量数量积运算可以得到一个关于的不等式解不等式即可求出的取值解析：【解析】分析：由已知中二次函数y f x =（）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有11f x f x -=+（）（）．则函数的图象是以1x = 为对称轴，开口方向朝下的抛物线，再由向量 12a m b m =-=-（，），（，），结合二次函数的性质和向量数量积运算，可以得到一个关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围．详解：∵对任意x ∈R 都有11f x f x -=+（）（）．故函数的对称轴为1x =，12a m b m （，），（，），=-=-2a b m ∴⋅=+ 若1f a b f ⋅-（）＞（）则2111m +---＜，解得31,m -＜＜又由0m ≥ 得0 1.m ≤＜故答案为[01，）点睛：本题考查的知识点是二次函数的性质，绝对值不等式的解法，平面向量的数量积的运算，其中根据二次函数的性质和向量数量积运算，将不等式1f a b f ⋅-（）＞（）转化为一个关于m 的不等式，是解答本题的关键．17．【分析】先根据绝对值三角不等式求得最小值即得最小值再根据不等式恒成立得结果【详解】当且仅当时取等号由恒成立得故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题利用绝对值三角不等式求最值考查综合分析转化求解能解析：1a <【分析】先根据绝对值三角不等式求得37x x ++-最小值，即得()lg 37x x ++-最小值，再根据不等式恒成立得结果. 【详解】373(7)10x x x x ++-≥+--=,当且仅当(3)(7)0x x +-≤时取等号，()lg 37lg101x x ∴++-≥=由()lg 37a x x <++-恒成立得()min [lg 37]11a x x a <++-=∴<故答案为：1a <【点睛】本题考查不等式恒成立问题、利用绝对值三角不等式求最值，考查综合分析转化求解能力，属中档题.18．8【分析】根据题意对进行换元然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值【详解】解：令即所以当且仅当即即当时等号成立【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用运用基本不等式推广公式时一定要注意题意解析：8【分析】根据题意对2,3a b --进行换元，然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值．【详解】解：令2,3a t b m -=-=2,3a b >>，20,30a b ∴->->，即0,0t m >>，所以3115358(2)(3)a b t m t m a b tm ++=+++⨯⨯=--，当且仅当1t m tm ==，即123(2)(3)a b a b -=-=--，即当3,4a b ==时等号成立.【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用，运用基本不等式推广公式时，一定要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件．19．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题解析：[0,2]【解析】【分析】先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n n f x ff x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]00,2x ∈时不等式均成立，进而得解.【详解】由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.下证02x ≤≤即为所求.当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈，()()()()[]201010210,2f x f f x f x ==-∈, ()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,…，()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.故答案为：[]0,2.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题. 20．【解析】分析：即再分类讨论求得的范围综合可得结论详解：函数函数由可得其中下面对进行分类讨论①时可以解得②时可以解得综上即答案为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法体现了转化分类讨论的数学思想属于中档题解析：【解析】分析：()35f <，即15x x a a++-<，再分类讨论求得a 的范围，综合可得结论．详解：函数函数()1f x x x a a =++- (0)a >，由()35f <，可得15x x a a++-<，其中0a >，下面对a 进行分类讨论，①3a ＞时，13335f a a （）＜=++- ，可以解得532a ＜＜②03a ≤＜时，13335f a a （）＜=++- ，可以解得1 32a ≤综上，1522a ⎛∈ ⎝⎭即答案为52⎫+⎪⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题21．（Ⅰ）(,0][4,)-∞⋃+∞；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后分类讨论求解不等式()2f x x ≥+的解集；（Ⅱ）由绝对值三角不等式求出函数()f x 的最小值为M ，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）22,0()22,0222,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=+-=<<⎨⎪-≥⎩由()2f x x ≥+，得0,222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或02,22x x <<⎧⎨≥+⎩或2,222,x x x ≥⎧⎨-≥+⎩解得0x ≤或4x ≥，故不等式()2f x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞⋃+∞（Ⅱ）由绝对值三角不等式的性质，可知|2||||(2)|2x x x x -+≥--=，当且仅当(2)0x x -≤时取“=”号，∴min ()2f x M ==，∴2a b +=，所以(1)(1)14a b +++=. 11111111[(1)(1)]1111144111b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭121(22)144⎛≥+ =+=⎝，当且仅当1111b a a b ++=++，即1a b ==时，等号成立，所以1111a b +++的最小值为1 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 22．（I ）见解析；（II ）见解析.【解析】试题分析：（I ）将分式通分后，在分子中运用基本不等式后可得不等式a b a b b c a c a c b c +>+++++，b c b c a c a b a b a c+≥+++++，c a a c a b b c a b b c+≥+++++，然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II ）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．试题（I ）()()()()()()()()222a b c b a c a b a b ac bc ab ac bc a b b c a c b c a c b c a c b c a c a c b c +++++++++=≥==+++++++++++， ∴a b a b b c a c a c b c+≥+++++．同理b c b c a c a b a b a c +≥+++++② c a a c a b b c a b b c+≥+++++③ 由①+②+③得：23a b c a c b c a b b c a c a b a c b c a b+++⎛⎫++≥++= ⎪++++++⎝⎭，当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．∴ 32a b c b c a c a b ++≥+++．（II ）∵222ab c b ca ca b b c a c a b ≥+++++++++++23a b c b c a c a b ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭23≥2231332≥⋅=⋅=，当且仅当a b c ==时各个等号同时成立．∴1≥． 23．（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. 【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-，所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩，解得403x << 所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x << （2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立，即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩，()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， ||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m <<【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．24．（1）312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）4【分析】（1）讨论21x <-，112x -≤≤，1x >三种情况，计算得到答案. （2）()min 1()min (),12f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，解得1a =，1)(2)4m n +++=(，利用均值不等式解得答案.【详解】（1）当2a =时，141,21()3,1241,1x x f x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，∴()5f x ≤，则12415x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≤⎩，或11235x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，或1415x x >⎧⎨-≤⎩，得112x -≤<-或112x -≤≤或312x <≤，312x ∴-≤≤，所以所求不等式的解集为312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. （2）1()21212f x x ax a x a x =++-=++-，当02a <≤时， ()1113()1212222f x a x a x a x a x x a =++-+-+≥+-+=， 12x =-时等号成立；当2a >时，()11()2212121322f x x x a x x x =++-+--≥+-+=， 1x =时等号成立. 故()min 133()min (),1min ,3222f x f f a ⎧⎫⎧⎫=-==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，1a ∴=， 1m n ∴+=，1)(2)4m n +++=(，[]12112(1)(2)12412m n m n m n ∴+=++++++++（）122(1)1334124n m m n ++=++≥+++（）（，当22(1)12n m m n ++=++，即5m =，6n =-所以所求最小值为：4. 【点睛】本题考查了讨论法解绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.25．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =，所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=．（2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤，故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.26．（1）32c a b =--；证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后，利用(1)2a f '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334b a -<<-；（2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式.【详解】（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-，∴2a a b c ++=- ∴32c a b =--， ∵322a c b >>∴3322a a b b >--> ∴334b a -<<- （2）∵12a =-，2b =，32c ∴213()222f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥求导可得21(1)()2x g x x x x -'=+-= ∴()0g x '≥ ∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥= ∴()ln x f x '≥成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。

8不等式的证明作业(版含答案)高中数学选修45北师大版

A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C．充要条件解析： ∵ a>1，b>1? a＋b>2 ， ab>1
D ．既不充分也不必要条件
a＋ b>2， ab>1 ? / a>1， b>1
举例说明
a＝
4，
b＝
1 3.
答案： B
二、填空题
5．设 a>b>0， x＝ a＋ b－ a， y＝ a－ a－b，则 x、y 的大小关系是 x________y. 解析： ∵ a>b>0，
(1)a＋ b＋ c≥ 3；
(2)
a＋ bc
b ＋ c ≥ 3( a＋ b＋ c)．
ac
ab
证明： (1) 要证 a＋ b＋ c≥ 3，由于 a， b， c∈ R ＋，因此只需证 (a＋b＋ c)2≥ 3，即证
a2＋ b2＋c 2＋ 2( ab＋ bc＋ ca)≥3，根据条件，只需证 a2＋ b2＋ c2≥ 1＝ ab＋ bc＋ ca.
而这是可以由
ab＋
bc＋
ca≥
a
2＋ 2
b2 ＋
b2
＋ 2
c2 ＋
c2＋ 2
a2
＝
a2＋
b
2＋
c2(
当且仅当
a＝ b＝ c＝
3 3
时取等号 )证得的．
∴原不等式成立．
(2)∵
bac＋
abc＋
acb＝
a＋b＋ abc
c ，
在 (1)中已证 a＋ b＋ c≥ 3，
∴原不等式只需证
1 ≥ a＋ b＋ c， abc
只要比较 a(b＋ d)与 b(a＋c)的大小，

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（）A ．1B ．2C ．52D ．32．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 3．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>4．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤6．已知x y z >>，2x y z ++=，则（）A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A b a -8．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+9．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（）A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >011．已知0x y >> 0m <，则下列结论正确的是（） A ．mx my > B ．m m x y> C ．22mx my > D ．22m m x y>12．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（） A ．[,)22ππ-，(,0)2π-B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π- D ．(,)22ππ-，[,0)2π-二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______.15．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 16．（卷号）1570711643127808 （题号）1570711648378880 （题文）已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的取值范围为_____________．17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 19．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．20．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．三、解答题21．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 22．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 23．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 24．证明下列问题（1）已知0n >，1n mmn->，证明：0>；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若112a b c+=，证明：π2C <． 25．设函数()231f x x x =++-．（1）解不等式()4f x >；（2）若存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围． 26．已知()15f x x x =---，（1）解不等式()2f x <；（2）若()210f x m +-<存在实数解，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，所以首先()()2124290z z ∆=---+≥，即()()27250z z +-≥，由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52. 此时对称轴1221120222z z z ---==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a mb b m ba bm ab am a a m a a m a a m ，因为0,0a b m >>>，所以()()-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ，因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+，所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。

高中数学课时作业1 不等式的性质北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题

课时作业(一)1．设a ，b ，c ∈R ，若a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 D解析当c ＝0时，A 错，当a>0，b<0时，B 错，当a<0，b<0时，C 错，很显然D 对，两个数比较大小，一个数较大，它的奇次方也大． 2．若a<b<0，则( ) A.1a <1b B ．0<a b <1C ．ab>b 2 D.b a >a b答案 C解析 1a －1b ⇔b －a ab ，由a<b<0，可得b －a>0且ab>0，所以1a －1b >0，即1a >1b ，A 项错；因为a<b<0，所以ab >1，B 项错；因为ab －b 2＝b(a －b)>0，所以ab>b 2，C 项正确；因为b a －a b ＝b 2－a 2ab <0，所以b a <ab ，D 项错，故选C.3．给出下列命题：①a>b ⇒ac 2>bc 2；②a>|b|⇒a 2>b 2； ③a>b ⇒a 3>b 3；④|a|>b ⇒a 2>b 2. 其中正确的命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案 B解析若c ＝0，①不正确；因为a>|b|≥0，所以a 2>b 2，故②正确；因为a 、b 的指数为奇数，所以③也正确；由|a|>b ，知b 有可能为负数，故④不正确．选B.4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y<200 B ．5x ＋4y≥200 C ．5x ＋4y ＝200 D ．5x ＋4y≤200答案 D5．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－a D ．a>b>－a>－b答案 C解析方法一：取特殊值，令b ＝－1，a ＝2，则－a ＝－2，－b ＝1，所以a>－b>b>－a. 方法二：∵b<0，a ＋b>0，∴a>－b>0.∴0>b>－a.故选C. 6．设0<b<a<1，下列不等式中成立的是( ) A ．a 2<ab<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．abN B ．M<N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2. 因为x≠2，y ≠－1，所以(x －2)2>0，(y ＋1)2>0. 所以(x －2)2＋(y ＋1)2>0，即M －N>0，所以M>N.故选A. 8．下列命题：①若a>b 且a ，b 同号，则1a <1b ；②若1a >1，则0<a<1；③a ≥b 且ac≥bc ⇒c ≥0； ④若a>b ，n ∈N ＋⇒a2n －1>b2n －1.其中真命题个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①对，因为ab>0，a>b ，所以a ab >b ab ，即1b >1a ；②显然成立；③错误，因为ac≥bc，即(a －b)c≥0，而a≥b，若a ＝b 时，c 为R ；④正确．因为n∈N ＋，2n －1为奇数，条件可放宽，即a>b ，则得a2n －1>b2n －1.故选C.9．(2016·某某黄冈质检)已知x>y>z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy>yz B ．xz>yz C ．xy>xz D ．x|y|>z|y|答案 C解析因为x>y>z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x>x ＋y ＋z ＝0，3z<x ＋y ＋z ＝0，所以x>0，z<0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>z ，可得xy>xz ，故选C.10．若a>b>0，则不等式－b<1x <a 等价于( )A ．－1b <x<0或0<x<1aB ．－1a <x<1bC ．x<－1a 或x>1bD ．x<－1b 或x>1a答案 D11．已知一杯b 克糖水中含有a 克糖(b>a>0)，若再添加m 克糖(假定所加的糖全部溶解，其中m>0)，则糖水变甜了，试根据这一事实提炼出一个相关的不等式：______．答案 a b <a ＋mb ＋m(b>a>0)12．已知－3<a<b<1，－4<c<2，则(a －b)·c 的取值X 围是________．答案 (－8，16)解析因为－3<a<1，－1<－b<3，所以－4<a －b<4. 又a0，且q≠1，m ，n ∈N ＋，则1＋q m ＋n与q m ＋q n的大小关系是________．答案 1＋q m ＋n>q m ＋q n解析 1＋qm ＋n－(q m＋q n)＝(1－q m)(1－q n)，m ，n ∈N ＋，若q>1，则q m>1，q n>1，若0<q<1，则0<q m<1，0<q n<1.所以(1－q m)(1－q n)>0，所以1＋q m ＋n>q m＋q n.14．已知－1<x ＋y<4且2<x －y<3，则Z ＝2x －3y 的取值X 围是________．答案 (3，8)解析方法一：设Z ＝2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)，即2x －3y ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52. ∴2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)．∵－1<x ＋y<4，2<x －y<3， ∴－2<－12(x ＋y)<12，5<52(x －y)<152.∴3<Z<8.方法二：画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>－1，x ＋y<4，x －y>2，x －y<3表示的区域，利用线性规划易得3<Z<8.15．已知f(x)＝ax 2＋c ，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值X 围．解析由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得－4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v3.∴f(3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v.又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u≤－1，－1≤v≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403. ∴－1≤－53u ＋83v ≤20.∴f (3)∈[－1，20]．16．已知－12<a<0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a .试比较A ，B ，C ，D 的大小．解析特值法先判断，令a ＝－13，∴A ＝109，B ＝89，C ＝32，D ＝34，∴C>A>B>D.1．(2016·某某高二检测)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a >c b ；②a c log a (b －c)．其中正确的结论序号为( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 D2．若a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b ”或“b>1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A3．已知60<x<84，28<y<33，则x －y 的取值X 围是________．答案 (27，56)解析因为28<y<33，所以－33<－y<－28. 又因为60<x<84，所以27<x －y<56.4．已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 证明 (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1) ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b)2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0，所以a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.。

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1．设a ∈R ，则下面式子正确的是( )
A ．3a >2a
B ．a 2<2a
C.1a
<a D ．3－2a >1－2a 解析：选D.当a <0时，A 、B 均错，当a ＝12
，C 错误，对于D ，因为3>1，根据可加性3－2a >1－2a ，故D 正确．
2．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D.∵a 2>b 2⇒/ a >b (如a ＝－2，b ＝1)，
又a >b ⇒/ a 2>b 2(如a ＝1，b ＝－2)，
∴“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．
3．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m 、n 、p 的大小关系为( )
A ．n >m >p
B ．m >p >n
C ．m >n >p
D ．p >m >n
解析：选B.当a >1时，
∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，
∴a 2＋1>2a ，
∵2a －(a －1)＝a ＋1>0，∴2a >a －1，
∴a 2＋1>2a >a －1，
∵函数y ＝log a x (a >1)单调递增，
∴m >p >n .
4．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x
这五个不等式中，恒成立的不等式的序号是________．
解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，
符合题设条件x >y ，a >b ，
则∵a －x ＝3－(－2)＝5，
b －y ＝2－(－3)＝5，
∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．
又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，
因此③也不正确．
又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2
＝－1， ∴a y ＝b x
，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④恒成立．
答案：②④
5．若a b 2 D.b a >a b
解析：选C.∵a 1b 且a b >1,0b 2，∴A 、B 、D 错误，C 正确． 6．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b
>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D.由已知可组成三个命题．
①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b
>0，此命题正确，只需在不等式bc －ad >0两侧同除以ab ，根据不等式性质，整理即得结论；
②若ab >0，c a －d b
>0，则bc －ad >0，此命题正确，只需在不等式c a －d b
>0两侧同乘以ab ，根据不等式性质，整理即得结论；
③若c a －d b
>0，bc －ad >0，则ab >0，此命题正确，因为c a －d b >0⇔bc －ad ab
>0，又因为bc －ad >0，故ab >0.
7．(2011·高考陕西卷)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )
A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2
B ．a ＜ab ＜a ＋b 2
＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b 2
＜b 解析：选B.∵0<a 0，即ab >a ，故选B.
8．若{a n }是各项为正数的等比数列，且公比q ≠1则a 1＋a 4与a 2＋a 3的大小关系是( )
A ．a 1＋a 4>a 2＋a 3
B ．a 1＋a 4<a 2＋a 3
C ．a 1＋a 4＝a 2＋a 3
D ．不确定
解析：选A.由题意知a n >0，q >0且q ≠1，
∴a 1＋a 4－(a 2＋a 3)＝a 1＋a 1q 3－a 1q －a 1q 2
＝a 1(1＋q )(1－q )2>0，
∴a 1＋a 4>a 2＋a 3.
9．已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )
A ．一定大于0
B ．一定小于0
C ．等于0
D ．正负都有可能
解析：选B.∵x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，
∴2x 1＋2x 2＋2x 3<0，∴x 1＋x 2＋x 3<0.
又∵g (x )＝x 3为增函数，x 1<－x 2，
∴g (x 1)<g (－x 2)，
∴x 31<－x 32，即x 31＋x 32<0.
同理x 32＋x 33<0，x 33＋x 31<0，
∴x 31＋x 32＋x 33<0.
∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 31＋x 32＋x 33<0.
10．下列命题：
①c －a <c －b ⇒a >b ；
②a >b >0，c >d >0⇒a d >b c
； ③c a <c b
，且c >0⇒a >b ； ④n a <n b (n ∈N ，n >1)⇒a b ，此命题为真．
②
⎭⎪
⎬⎪⎫c >d >0⇒1d >1c >0 a >b >0⇒a d >b c >0⇒a d >b c ，此命题为真．
③当b ＝1，a ＝－1时，
c a <c b 且c >0成立⇒/ a >b ，此命题假． ④若n a <n b (n ∈N ，n >1)成立．
则a >0，b >0,0<n a <n b ⇒a 4ω.
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
(L ＋10)(ω＋10)＝350L >4ω
12．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2
的范围．解：∵－π2≤α<β≤π2
， ∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4
. 因而两式相加得－π2<α＋β2<π2
. 又∵－π4<β2≤π4
， ∴－π4≤－β2<π4
， ∴－π2≤α－β2<π2
. 故α＋β2和α－β2
的范围分别是 ⎝⎛⎭⎫－π2，π2，⎣⎡⎭
⎫－π2，π2. 13．已知x >－1，求证：1＋x ≤1＋x 2.
证明：∵x >－1，
∴1＋x >0, 1＋x >0， ∵1＋x －⎝⎛⎭⎫1＋x 2＝1＋x －x ＋22
＝1＋x －x ＋1＋12＝1＋x －x ＋12－12 ＝－12
[(x ＋1)－2x ＋1＋1] ＝－12(x ＋1－1)2≤0. ∴1＋x ≤1＋x 2
.。

不等式的性质知能优化训练(Word版 含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

不等式的应用知能优化训练(Word版 含答案) 高中数学选修4-5 北师大版