5 几何元素间的相对位置关系 机械制图课件
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5 几何元素间的相对位置
5.1 几何元素间的平行问题 5.2 几何元素间的相交问题 5.3 几何元素间的垂直问题 5.4 相对位置综合问题
1
5.1 几何元素间 的平行问题
2
一．直线与直线平行
定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必 然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互 平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
d'
O
e d
kf
b
① 解题步骤： 作 KE∥AB, 即KE∥(AB×CD)。
② 解题步骤： • 先作面上任一水平线 BI • 再作 KF∥IB,
则水平线 KF ∥(AB×CD)。
7
例：判断图中的直线与△平面平行否。
(a) (b) (c) (d) (e) 答：△∥b、c、d、e
8
三．平面与平面平行
θ＝θ
C
θ
c
θ1
θ1 ≠θ2
θ
A
C
B
a
θ2
b
cc
22
2．直角的投影
若直角的一个边为投影面的平行线，则该直角在该投影 面上的投影为直角。
证明:
Q
已知 ABBC，BC∥H， AB 倾斜于 H
∵ BbH, BC∥H ∴ BCBb
BCQ(AB ╳ Bb) 又 bc∥BC ∴ bcQ ∴ bcab
B. .
A .b a
∴(KE×KF)∥(AB×CD)
10
例：判断下列直线、平面与平面 P 平行否。
PV
QV
RV
PH
(a) ∥(b) ∥(c)
QH
(d) ∥(e) ∥(f) ∥(g)
P∥b、c、e、f、gБайду номын сангаасi
RH
(h) ∥(i)
11
5.2 几何元素间 的相交问题
12
一.直线与直线相交
1.两直线相交
相交条件：两直线各同名投影均相交，且交点 符合点的投影规律，即两直线只有一个公有点。
13
例：判断两直线是否相交。
c'
b'
k'
a'
X
c k1
d'
O
b
a
k2
d
不相交
c'
a'
X
b' k'
d'
O
c
b
a
kd
相交
14
2.两直线交叉
交叉条件：两条直线没有公有点，也不平行。 其投影的交点为两直线的重影点。
c' l2' (kk1')'k2'
b'
a'
X
c a
l1'
k1 k2
(ll1)l2
d'
O
b
d
25
二．特殊情况（一几何元素处于特殊位置）
1.一几何元素处于平行位置
作线⊥线 作面⊥线
作线⊥面
作面⊥面
.
.
.
.
多解， 水平投影垂直 于已知线投影 的所有线
铅垂面
铅垂线
多解， 通过铅垂线 的所有平面
26
• 取水平面 P • 取 Q∥P，即 Qv∥Pv
则：4 5∥1 2，6 7∥3C ，从而简化作图
KL即为所求
c' PV
QV
O
c
20
5.3 几何元素间的 垂直问题
21
一．直角的投影特性
1. 任意角的投影
一般情况下：角的投影≠角的实际大小。
角的两边均平行于投影面：
角的投影＝角的实际大小。
C
A B
a b
定理：若两个平面上的两条相交直线相互平行，则 此二平面互相平行。 推理：若两个投影面垂直面具有积聚性的投影相互 平行，则此二平面互相平行。
9
例:(KE×KF)∥(AB×CD) ?
c' 1'
a'
X
a
1 c
b' e'
k' f'
d'
O
e
d kf
b
作 k‘ f’ ∥1‘ b’ → kf∥1b → KF∥IB 又∵KE∥BA
d'
k' 2' l' 6'
5'( 1' )
4'
X a'
e'
eb
13
c'
O
重点： • 利用辅助面法求交线
k
l
c
d 5
(4)6
a2
• 利用重影点判断可见性
f QH
19
例：求△ABC与DE∥FG的交线。
b' e' g'
1'
2'
k'
3'
4' 5'
6'
7'
d'
f'
l'
a'
X
l
a
f
k
7
d
4
2
3
1
g
b
辅助平面法： e
C cH
bc垂直于Q面上所有直线 在H投影面上的投影。
23
例：判断两直线是否垂直。
.
.
.
.
()
()
(╳)
24
例：已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。
c'
. b'
a'
d'
a
c
b
d
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相 交。
解题步骤：
• 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交 c’d’ 于b’ • 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则 AB 为所求
3
二．直线与平面平行
定理：若直线平行于面上的任一直线，则该直线与 该平面平行。 推理：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的 投影相互平行，则此直线与该平面平行。
6
例： ①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。 ②过点K作一水平线平行于面（AB×CD)。
c' 1'
a'
X
a
1 c
b' e'
k' f'
c'
X
a
小结：
c'
O
b k l
c
a'
X
a
O
c
• 从有积聚性的投影出发
• 利用面上找点或线上找点的方法
b
• 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性
18
2. 一般情况
基本方法：线面求交（穿点法）
例：求△ABC与△DEF的交线。
b' PV
注解意题：步骤：
3'
f'
•①利用所辅做助的面辅法助求A面B与为△垂DE直F的面交点K •②利用辅辅助助面面所法包求E含F与的△直AB线C的是交任点选L 的 •③连接交K线L，在即两△平ABC面与图△D形EF的的公交线有区内 ••④交利完用成若点重△在所影AB无做点C与穷的判△远辅断D可E处助F见各，面性边应与的重交轮选线廓 辅平助行面，
不相交，也不平行——交叉
15
二. 直线与平面相交
1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
相交的核心问题是求公有点
例：1）求△与直线的交点 2）判断可见性
DE⊥V: d '≡e ‘≡k '
X
• 面上找点
• 判断可见性(利用重影点)， 交点是可见点。
2' b'
1'
a'
d’≡e' ≡k' ≡3'
c' O
ad c
k
2 ( 3) 1
eb
16
2. 一般情况
辅助平面法
例：
2‘≡ (3' ) m' k'
b' 1'
e'
a'
B
P
M
E
f'
X
n' c'
O
b
K
C
N
f
m
3
k
c
A
F
( n)
a2
≡1 e PH
分析：• 交点K为△与EF的公有点
解题步骤：
• 含 EF作 P⊥H
① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面）
• △与 P 相交于直线 MN
② 求 P与已知面的交线 MN
• MN与 EF共面于P,交于K
③ 求MN与EF的交点 K ，即所求
• K既在EF上，又在△上，
④ 利用重影点判断可见性
交点K即为△与EF的交点。
17
三.平面与平面相交 求交线，核心问题仍是求公有点
1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
例： a'
k'≡l' b'
例： b'
5.1 几何元素间的平行问题 5.2 几何元素间的相交问题 5.3 几何元素间的垂直问题 5.4 相对位置综合问题
1
5.1 几何元素间 的平行问题
2
一．直线与直线平行
定理：若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必 然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互 平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
d'
O
e d
kf
b
① 解题步骤： 作 KE∥AB, 即KE∥(AB×CD)。
② 解题步骤： • 先作面上任一水平线 BI • 再作 KF∥IB,
则水平线 KF ∥(AB×CD)。
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例：判断图中的直线与△平面平行否。
(a) (b) (c) (d) (e) 答：△∥b、c、d、e
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三．平面与平面平行
θ＝θ
C
θ
c
θ1
θ1 ≠θ2
θ
A
C
B
a
θ2
b
cc
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2．直角的投影
若直角的一个边为投影面的平行线，则该直角在该投影 面上的投影为直角。
证明:
Q
已知 ABBC，BC∥H， AB 倾斜于 H
∵ BbH, BC∥H ∴ BCBb
BCQ(AB ╳ Bb) 又 bc∥BC ∴ bcQ ∴ bcab
B. .
A .b a
∴(KE×KF)∥(AB×CD)
10
例：判断下列直线、平面与平面 P 平行否。
PV
QV
RV
PH
(a) ∥(b) ∥(c)
QH
(d) ∥(e) ∥(f) ∥(g)
P∥b、c、e、f、gБайду номын сангаасi
RH
(h) ∥(i)
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5.2 几何元素间 的相交问题
12
一.直线与直线相交
1.两直线相交
相交条件：两直线各同名投影均相交，且交点 符合点的投影规律，即两直线只有一个公有点。
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例：判断两直线是否相交。
c'
b'
k'
a'
X
c k1
d'
O
b
a
k2
d
不相交
c'
a'
X
b' k'
d'
O
c
b
a
kd
相交
14
2.两直线交叉
交叉条件：两条直线没有公有点，也不平行。 其投影的交点为两直线的重影点。
c' l2' (kk1')'k2'
b'
a'
X
c a
l1'
k1 k2
(ll1)l2
d'
O
b
d
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二．特殊情况（一几何元素处于特殊位置）
1.一几何元素处于平行位置
作线⊥线 作面⊥线
作线⊥面
作面⊥面
.
.
.
.
多解， 水平投影垂直 于已知线投影 的所有线
铅垂面
铅垂线
多解， 通过铅垂线 的所有平面
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• 取水平面 P • 取 Q∥P，即 Qv∥Pv
则：4 5∥1 2，6 7∥3C ，从而简化作图
KL即为所求
c' PV
QV
O
c
20
5.3 几何元素间的 垂直问题
21
一．直角的投影特性
1. 任意角的投影
一般情况下：角的投影≠角的实际大小。
角的两边均平行于投影面：
角的投影＝角的实际大小。
C
A B
a b
定理：若两个平面上的两条相交直线相互平行，则 此二平面互相平行。 推理：若两个投影面垂直面具有积聚性的投影相互 平行，则此二平面互相平行。
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例:(KE×KF)∥(AB×CD) ?
c' 1'
a'
X
a
1 c
b' e'
k' f'
d'
O
e
d kf
b
作 k‘ f’ ∥1‘ b’ → kf∥1b → KF∥IB 又∵KE∥BA
d'
k' 2' l' 6'
5'( 1' )
4'
X a'
e'
eb
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c'
O
重点： • 利用辅助面法求交线
k
l
c
d 5
(4)6
a2
• 利用重影点判断可见性
f QH
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例：求△ABC与DE∥FG的交线。
b' e' g'
1'
2'
k'
3'
4' 5'
6'
7'
d'
f'
l'
a'
X
l
a
f
k
7
d
4
2
3
1
g
b
辅助平面法： e
C cH
bc垂直于Q面上所有直线 在H投影面上的投影。
23
例：判断两直线是否垂直。
.
.
.
.
()
()
(╳)
24
例：已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。
c'
. b'
a'
d'
a
c
b
d
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相 交。
解题步骤：
• 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交 c’d’ 于b’ • 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则 AB 为所求
3
二．直线与平面平行
定理：若直线平行于面上的任一直线，则该直线与 该平面平行。 推理：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的 投影相互平行，则此直线与该平面平行。
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例： ①过点K作一直线平行于面（AB×CD)。 ②过点K作一水平线平行于面（AB×CD)。
c' 1'
a'
X
a
1 c
b' e'
k' f'
c'
X
a
小结：
c'
O
b k l
c
a'
X
a
O
c
• 从有积聚性的投影出发
• 利用面上找点或线上找点的方法
b
• 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性
18
2. 一般情况
基本方法：线面求交（穿点法）
例：求△ABC与△DEF的交线。
b' PV
注解意题：步骤：
3'
f'
•①利用所辅做助的面辅法助求A面B与为△垂DE直F的面交点K •②利用辅辅助助面面所法包求E含F与的△直AB线C的是交任点选L 的 •③连接交K线L，在即两△平ABC面与图△D形EF的的公交线有区内 ••④交利完用成若点重△在所影AB无做点C与穷的判△远辅断D可E处助F见各，面性边应与的重交轮选线廓 辅平助行面，
不相交，也不平行——交叉
15
二. 直线与平面相交
1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
相交的核心问题是求公有点
例：1）求△与直线的交点 2）判断可见性
DE⊥V: d '≡e ‘≡k '
X
• 面上找点
• 判断可见性(利用重影点)， 交点是可见点。
2' b'
1'
a'
d’≡e' ≡k' ≡3'
c' O
ad c
k
2 ( 3) 1
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2. 一般情况
辅助平面法
例：
2‘≡ (3' ) m' k'
b' 1'
e'
a'
B
P
M
E
f'
X
n' c'
O
b
K
C
N
f
m
3
k
c
A
F
( n)
a2
≡1 e PH
分析：• 交点K为△与EF的公有点
解题步骤：
• 含 EF作 P⊥H
① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面）
• △与 P 相交于直线 MN
② 求 P与已知面的交线 MN
• MN与 EF共面于P,交于K
③ 求MN与EF的交点 K ，即所求
• K既在EF上，又在△上，
④ 利用重影点判断可见性
交点K即为△与EF的交点。
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三.平面与平面相交 求交线，核心问题仍是求公有点
1. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
例： a'
k'≡l' b'
例： b'