第二章 几何元素间的相对关系

给题 a
2.5.1 平行问题
一、直线与平面相互平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该 直线与该平面平行。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线 与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
若一直线平行于属于定平面内的一直线，则该直线与平面平 行。
[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g
a
a
c
g
h
[例题16] 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
f
d
f d
结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。
[例题17] 试过点K作直线，使其同时垂直于两交叉直线AB、CD。
b′
c′
k′
a′ a
b
e′
d′
h′
k e
d
hc
[例题18] 过直线AB上一点A作一直线垂直于AB，并与DE相交。
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于
该平面的正平线的正面投影。
l
k
k l
定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线 的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正 面投影，则直线必垂直于该平面。
[例题12] 平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
m
c
n a
kb
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
判断直线的可见性
b n
a
k
m
c
n a
kb
m c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直 线的可见性。
[例题8] 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
m'
c'
1' k' b'
2'
a' n'
X m
求两平面的交线
k 1 m
m k
1
PV n 2
e
2 e
两一般位置
l
平面相交，
QV 求交线步骤：
1．用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点K、 E。
l
2．连接两个
共有点，画
出交线KE。
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
B M
K A L
F N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 连线即为两平面的交线。
(3)平面上对侧立投影面的最大斜度线 MN
N
M
P
AB 平行于W， MN垂直于AB
[例题1] 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。
d' e' e
d b
[例题2] 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。
BE

be
b
[例题3] 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。
a
直线与平面相交只有一个交点
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
两平面的交线是直线
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
一、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
AK即为所求。
A
E
K
F
作图
2
f 2 k
1
2
1
a
e
PV
e
2
a
k
f
1
1
2.5.4 平面上的最大斜度线
1．平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角 最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的 倾角。
2．平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面 的平行线相互垂直。
3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正立投影 面、水平投影面及侧立投影面三组最大斜度线。
b
O
1(2)
k
c
a
n
特殊位置直线与平面相交
求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
[例题9] 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
b'
a'
X a
(m')n' e' k' 1' 2'
m 1 (2)
k e
b
n
c' O
c
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
结果
判断平面的可见性
b′
m′
k′
l′
c′ f′
n′
a′
a
m
b
f
k
l
c n
求交线并判断可见性 1′
d′
m′ b′
k′ 2′
a′ e′
d 1(2)
a
m
k
e
b
c′ f′
c f
求交线并判断可见性
c′
1′ d′( g′)
e′( f′)
a′
2′ k′ l′ b′
a
g 1 (2)
f
k
c
l
d
e
b
三、直线与一般位置平面相交
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向 第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直
两平面不垂直
绘制相互垂直平面的两种方法：
1、使平面Q经过垂直于平面P的直线AB； 2、使平面Q垂直于平面P上的直线CD；
[例题15] 平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
c
b′
QV e′
2′
a′
1′
k′
d′
ad k
2
1
b
e
二、直线与直线垂直
例：求C点到直线AB的距离。
a c
b
b c
a
分析：求C点到直线AB的距离实际上就是过C点作线段垂直相 交于AB，然后求出线段的实长。
[例题19] 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
分析
过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，
§2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
基本要求 2.5.1 平行问题 2.5.2 相交问题 2.5.3 垂直问题 2.5.4 平面上的最大斜度线
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性 ）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
一、直线与平面相互垂直 二、平面与平面相互垂直 三、直线与直线相互垂直
一、直线与平面垂直
直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的任意 直线（相交或不相交）。反之，直线垂直平面 上的任意两相交直线，则直线垂直该平面。
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂 直于属于该平面的一切直线。
定理1 若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面 的相交两直线，则此两平面平行
因为：AB∥A1B1，BC∥B1C1， 所以：平面ABC和平面A1B1C1相平行
[例题4] 过K点作一平面，使其与平面ABC平行
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边， 则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面
C
B N
过MN作正垂面Q
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
2 k 1
PH 1
步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k 2
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
K E
F C
B N
过MN作铅垂面P
直线EF与ABC相交，判别可见性。
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
1 k 2
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
2．求Q平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
点K。
k 1
示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例题2] 试过点K作水平线AB平行于CDE平面
f
b
a
a
b f
[例题3] 过点C作平面平行于已知直线AB。
a'
d'
c'
b'
e'
x
a
o d
b
c
e
二、平面与平面相互平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交 二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依 据。 两平面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过 一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一 平面的所缺投影。
两平面相交，判别可见性
3
1Biblioteka Baidu (2 )
利
用
4
重
影
点
判
2
别
可
见
3 4( )
性
1
求交线并判断可见性 d′ PV
b′ 1′
m′
n′
g′ QV 3(′4′ )
a′
2′
e′
f′
c′
fb
e m
n4
a
3
1 (2)
c
d
g
[例题10] 试过K点作一直线平行于已知平面ABC， 并与直线EF相交 。
分析
过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
f
1
( 2 )
4
k
3
e
2
k（3） 4 1
e
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
示意图
直线EF与平面ABC相交，判别可见性示意图
1 (2)
利
用
重
影
Ⅱ
点。
Ⅰ
判
Ⅲ
别
可
见
Ⅳ
性
3 (4)
四、两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问 题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线 上的两个点，将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 示意图 判别可见性 例题6
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线
（2）平面上对正立投影面的最大斜度线
（3）平面上对侧立投影面的最大斜度线
P
D A C
S
E1
a
E
(1)平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
F A
B E
P
AB平行于 H， EF垂直于 AB
(2)平面上对正立投影面的最大斜度线 CD
D B
A CP
AB平行于V， CD垂直于 AB
K F
H E
作图
PV
1 m
2
n
h
h n2
1. 过点K作平面 KMN// ABC平 面。
2. 求直线EF与 平面KMN的交 点H 。
3. 连接KH，KH 即为所求。
m1
[例题11] 试过A点作一直线与两已知直线BC及EF相
交。
b′
e′
a′
k′
l′
f′
c′
f b
k
l
a
e
c
2.5.3 垂直问题
e'
b'
f'
X e
f
k' a' b
k a
c'
O c
[例题5] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例题6] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
2.5.2 相交问题
一、特殊位置线面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
c
a
k
k a
c
n
[例题13] 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h
h
h
（a）
h
（b）
h
（c）
[例题14] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否 垂直于该平面。
e
f
e f
二、平面与平面垂直
两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含 这条直线的所有平面都垂直于该平面。
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的 问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交 线可直接求出。 一般位置平面与特殊位置平面相交 判断平面的可见性
一般位置平面与特殊位置平面相交
b
m k
M
P
c
f
l
B
m C
c PH
K
F N k
fb n
AL
a l
a n
m kb a
f
l
c
n
判断平面的可见性