第二章 几何元素间的相对关系

2.5.1 平行问题
一、直线与平面相互平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该 直线与该平面平行。 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线 与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
若一直线平行于属于定平面内的一直线，则该直线与平面平 行。
[例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面
b
O
1(2)
k
c
a
n
特殊位置直线与平面相交
求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
[例题9] 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
b'
a'
X a
(m')n' e' k' 1' 2'
m 1 (2)
k e
b
n
c' O
c
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
结果
判断平面的可见性
b′
m′
k′
l′
c′ f′
n′
a′
a
m
b
f
k
l
c n
求交线并判断可见性 1′
d′
m′ b′
k′ 2′
a′ e′
d 1(2)
a
m
k
e
b
c′ f′
c f
求交线并判断可见性
c′
1′ d′( g′)
e′( f′)
a′
2′ k′ l′ b′
a
g 1 (2)
f
k
c
l
d
e
b
三、直线与一般位置平面相交
c
a
k
k a
c
n
[例题13] 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h
h
h
（a）
h
（b）
h
（c）
[例题14] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否 垂直于该平面。
e
f
e f
二、平面与平面垂直
两平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含 这条直线的所有平面都垂直于该平面。
给题 a
一、直线与平面相互垂直 二、平面与平面相互垂直 三、直线与直线相互垂直
一、直线与平面垂直
直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的任意 直线（相交或不相交）。反之，直线垂直平面 上的任意两相交直线，则直线垂直该平面。
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂 直于属于该平面的一切直线。
定理1 若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于属
b′
QV e′
2′
a′
1′
k′
d′
ad k
2
1
b
e
二、直线与直线垂直
例：求C点到直线AB的距离。
a c
b
b c
a
分析：求C点到直线AB的距离实际上就是过C点作线段垂直相 交于AB，然后求出线段的实长。
[例题19] 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
分析
过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，
（1）平面上对水平投影面的最大斜度线
（2）平面上对正立投影面的最大斜度线
（3）平面上对侧立投影面的最大斜度线
P
D A C
S
E1
a
E
(1)平面上对水平投影面的最大斜度线 EF
F A
B E
P
AB平行于 H， EF垂直于 AB
(2)平面上对正立投影面的最大斜度线 CD
D B
A CP
AB平行于V， CD垂直于 AB
A
D
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向 第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直
两平面不垂直
绘制相互垂直平面的两种方法：
1、使平面Q经过垂直于平面P的直线AB； 2、使平面Q垂直于平面P上的直线CD；
[例题15] 平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
c
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
1 k 2
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
2．求Q平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
点K。
k 1
示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
M
(3)平面上对侧立投影面的最大斜度线 MN
N
M
P
AB 平行于W， MN垂直于AB
[例题1] 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。
d' e' e
d b
[例题2] 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。
BE

be
b
[例题3] 已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。
a
直线与平面相交只有一个交点
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
两平面的交线是直线
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
一、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例题2] 试过点K作水平线AB平行于CDE平面
f
b
a
a
b f
[例题3] 过点C作平面平行于已知直线AB。
a'
d'
c'
b'
e'
x
a
o d
b
c
e
二、平面与平面相互平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交 二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依 据。 两平面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过 一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一 平面的所缺投影。
f
1
( 2 )
4
k
3
e
2
k（3） 4 1
e
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
示意图
直线EF与平面ABC相交，判别可见性示意图
1 (2)
利
用
重
影
Ⅱ
点。
Ⅰ
判
Ⅲ
别
可
见
Ⅳ
性
3 (4)
四、两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问 题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线 上的两个点，将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 示意图 判别可见性 例题6
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面 的相交两直线，则此两平面平行
因为：AB∥A1B1，BC∥B1C1， 所以：平面ABC和平面A1B1C1相平行
[例题4] 过K点作一平面，使其与平面ABC平行
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边， 则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面
求两平面的交线
k 1 m
m k
1
PV n 2
e
2 e
两一般位置
l
平面相交，
QV 求交线步骤：
1．用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点K、 E。
l
2．连接两个
共有点，画
出交线KE。
示意图
n
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
B M
K A L
F N
C 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其 连线即为两平面的交线。
m
c
n a
kb
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
判断直线的可见性
b n
a
k
m
c
n a
kb
m c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直 线的可见性。
[例题8] 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
m'
c'
1' k' b'
2'
a' n'
X m
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
§2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
基本要求 2.5.1 平行问题 2.5.2 相交问题 2.5.3 垂直问题 2.5.4 平面上的最大斜度线
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性 ）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
K F
H E
作图
PV
1 m
2
n
h
h n2