初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版

初一数学竞赛系列讲座
解一次方程（组）与一次不等式（组）
一、知识要点
1．一次方程组
解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程
不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。

定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数
解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb
x x
3.一元一次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。

它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）
解不等式的根据是不等式的同解原理。

4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质
(1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a
(2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc
不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

5．解一元一次不等式的步骤
（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；
6．不等式组及其解集
几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。

7．解一元一次不等式组的方法和步骤： （1）分别求出这个不等式组中各不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分（这些不等式的解集在数轴上表示出来的各部分的重合部分），即求出这个不等式组的解集。

8．一元一次不等式组的基本类型
由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终可归纳为四种基本类型：设a ＜b ，
则①⎩⎨⎧>>b x a x ；②⎩⎨⎧<<b x a x ；③⎩⎨⎧<>b x a x ；④⎩⎨⎧><b x a x 。

利用数轴可以确定它们的解集，也可以用口
诀帮助分析：“同大（于）取大（数），同小（于）取小（数），小（于）大（数）大（于）小（数）取中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是空集”。

9．带有绝对值的不等式有两种形式： 含有一个绝对值的不等式有两种形式：
（1）b a <，可以变形为不等式组⎩⎨
⎧-><b
a b
a ；注意：若
b ＞0时才如此；若b ≤0时，本不等式无解。

（2）b a >，可以变形为a ＞b 或a ＜－b ，条件是b≥0，这里的解集是“或者”的关系，两个不等式的解集都是b a >的解集中的一部分。

若b ＜0时，a 可以取全体有理数。

二、例题精讲 例1 解方程组
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-+==(2) 5434(1)
432z y x z
y x (2)⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++(3) 201633(2)
143163(1) 103316z y x z y x z y x 分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k 法来解决。

第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z ，然后再用三式去分别减可得x 、y 、z 的值。

解：(1)设k z k y k x k z
y x 4,3,24
32======，则，代入(2)得k=5
∴x=10，y=15，z=20 ∴原方程组的解为⎪⎩
⎪
⎨⎧===201510z y x
(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4)
(1)-(4)得13x=4，则x=134 (2)-(4)得13y=8，则y=13
8
(3)-(4)得13z=14，则z=1314 所以原方程组的解为⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧===1314138134z y x
评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。

例2 已知关于x ，y 的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。

你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程
成立吗？
分析1：将已知方程按a 整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a 的取值无关，所以只须a 的系数x+y-2=0即可。

解法1：将方程按a 整理得：(x+y-2)a=x-2y-5， ∵这个关于a 的方程有无穷多个解，所以有
由于x 、y 的值与a 的取值无关，所以对于任何的a 值，方程组有公共解⎩
⎨⎧-==13
y x
分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a 取不同的值，所得方程有一个公共
解，所以这个公共解就是方程组⎩⎨⎧=+-=+0930
33x y 的解。

解法2：令a=1，得：3y+3=0 令a= -2，得：-3x+9=0
解方程组⎩⎨⎧=+-=+093033x y 得⎩⎨⎧-==13y x ，则⎩⎨⎧-==1
3
y x 就是所求的公共解。

将x=3，y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得：3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0
整理得0•a=0，说明无论a 取什么值，方程总是成立。

评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a 的形式，通过解与a 无关，得出关于x 、y 的方程组，从而求出公共解。

第二种是先探求公共解，再证明这个解与a 无关。

这两种解法的思路正好相反。

例3 求不定方程4x+y=3xy 的一切整数解 解：由原方程得：4
34
1433343-+=-=-=
y y y x y y x ，则 ∵x 是整数，∴3y -4=±1，±2，±4，由此得y=03
2
138235，，，，，
取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0 所以方程的整数解为⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===00
1121y x y x y x ，， 评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。

例4 求方程123x+57y=531的全部正整数解 解：方程两边同除以3得：41x+19y=177
所以 1936291941177x
x x y -+-=-= ∵x、y 是整数，∴19
36x
-也是整数，取x=2得y=5
∴方程123x+57y=531的整数解为：⎩⎨⎧-=+=)(k 415192为任意整数k
y k
x
由219025 -k 05410
1941k k k +>⎧<<=⎨->⎩得：即
因此方程123x+57y=531只有一组正整数解⎩⎨⎧==5
2
y x
评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出正整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。

例5 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。

小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。

小明套10次共得61分。

问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题)
分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。

解：设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次,根据题意得
⎩
⎨⎧=++=++1061259z y x z y x 我们求这个方程组的正整数解。

消去z 得：7x+3y=41，于是3741x y -=
则x ＜7
41
，从而x 的值只能是1，2，3，4，5 3
22133741x
x x y -+
-=-=
由于y 是整数，所以2-x 必须是3的倍数，∴x =2，5 当x=2时，y=9，z= -1不是正整数；当x=5时，y=2，z= 3是本题的解。

答：小鸡至少被套中5次。

例6 解不等式3
261445432++->---x x x
解：去分母，得3(2－3x)－3(x －5)＞2(－4x+1)+8
去括号，得6－9x －3x+15＞－8x+2+8 移项，得－9x －3x+8x ＞2+8－6－15 合并同类项，得－4x ＞－11
化系数为1，得 4
11<x （注意变号）
注：在解不等式的过程中，每一步要细心计算，要避免出现符号错误与运算错误，特别要注意不等号的方向。

例7 若关于x 的方程2
22x m x x -=--的解是非负数，求m 取值范围。

分析：关于x 的方程的解可以解方程求出，而解是非负数即x≥0，可得m 的不等式，通过解不等式，可确定m 的取值范围。

解：2x －x+m=2－x 即 2x=2－m
∴ 22m x -= ∵x≥0 ∴022≥-m 解得 m≤2
例8 解关于x 的不等式：k(x+3)＞x+4
分析：先整理不等式成ax ＞b 的形式，再进行求解 解：去括号，得kx+3k ＞x+4
移项，得kx －x ＞4－3k 合并同类项，得(k －1)x ＞4－3k 若k －1=0，即k=1时，0＞1不成立 ∴不等式无解
若k －1＞0，即k ＞1时 1
34-->
k k x
若k －1＜0，即k ＜1时 1
34--<k k x
注：由（k －1）x ＞4－3k ，得出不等式的解集，必须对k －1的符号作出判断，如果不能肯定判断出，就应该讨论。

例9 设a 、b 、c 、d 是四个正数，且满足下列条件：
①d＞c ②a+b=c+d ③a+d＜b+c 试判断a 、b 、c 、d 的大小
解：∵a+d＜b+c ，a+b=c+d ，∴d－b ＜b －d ，d ＜b ∴b－d=c －a ＞0，c ＞a
又d ＞c ∴b＞d ＞c ＞a
例10 解下列不等式组
（1）⎩⎨⎧<->- ② ①x x x 8270153 （2）⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-- ② ①
13
214)2(3x x
x x （3）⎩⎨⎧+≤++≤- ② ①x x x x 36275245 （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+<+ ②
①　332
21)4(21
x x x
分析：解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴找它们的解
集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。

解：（1）解不等式①，得x ＞5 解不等式②，得x ＞－2
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
∴这个不等式组的解集是x ＞5
（2）解不等式①，得x≤1 解不等式②，得x ＜4 在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
∴这个不等式组的解集是x≤1
（3）解不等式①，得x≤3 解不等式②，得x≥1 在同一数轴上表示出不等式①、②的解集：
∴这个不等式组的解集为：1≤x≤3
（4）解不等式①得，x ＜－2 解不等式②得，x ＞0 在同一数轴上表示不等式①、②的解集：
∴此不等式组无解。

注：（1）用数轴表示不等式组解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

（2）对于由两个一元一次不等式组成的不等式组，熟练以后，可直接把握它的四种基本情况确定不等式组的解集。

例11 解不等式()()⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧-≥-+<-<-<-<23232521132421335
21x x x x x
x 。

答案：2445
x <<
例12 求不等式45
)31(22≤-<-x 的整数解。

解：原不等式可化为不等式组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤-->-45)31(225)
31(2x x 解这个不等式组，得－3≤x＜2；
∴ 原不等式的整数解为：－3，－2，－1，0，1
例13 若不等式组
无解，则
的取值范围是什么？
分析：已知不等式组的解集，求不等式中所含字母的取值范围，必须根据不等式组的四种基本类型来分析，本题关键是两个不等式的解集无公共部分． 解：要使不等式组无解，故必须
，从而解得
，故
．
说明：本题要熟悉“大大小小是空集”的解集确定方法，当然也可借助于数轴求解．
例14 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是什么？
解：由①可解出
，而由②可解出 ，而不等式组的解集为 ，
故
，即2a ≤- ．
说明：例3给出不等式组的解集，反求不等式中所含字母的取值范围，故要求较高．解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如例14，最后归结为对不等式组 解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助于
数轴求解．
例15 不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧<-<-m x m x 213
162的解集是x ＜6m+3，那么m 的取值范围为（ ）
A ）m≤0 B）m=0 C ）m ＞0 D ）m ＜0
分析：先对不等式组进行化简，化为四种基本不等式组中的一种，后根据不等式组解集的特点求解。

解：原不等式组可化为：⎪⎩⎪⎨⎧
+<+<
3
626m x m x ∴6m+3026≤∴+≤
m m ，故选A ）。

例16 如果不等式组⎩⎨⎧+>+>2
1
2m x m x 的解集为x ＞-1，那么m 的值为（ ）
A ）3
B ）1
C ）-1
D ）-3 分析：由于不等式组的解集为x ＞-1，所以2m +1、m +2中必有一个是－1，故需要分类求解。

解：当2m+1＝－1时，有基本不等式组解集的特点可知：2 m +1≥m +2，解得：m ＝－1且m≥1，此时无解；
当m +2＝－1时，有基本不等式组解集的特点：“大大取大”可知：m +2≥2 m +1， 解得：m ＝－3且m ≤1，所以m ＝－3，故选D ）。

例17 已知不等式组⎩
⎨⎧->-≥-420
x a x 有解．．，则a 的取值为（ ）
A ）a ＞－2
B ）a≥－2
C ）a ＜2
D ）a≥2
分析：先对不等式组进行化简，化为四种基本不等式组中的一种，后根据不等式组解集的特点求解。

解：原不等式组可化为：⎩⎨⎧≥2x ＜a
x ，由于不等式组有解，所以a ＜2，故选C ）。

例18 已知不等式组⎩⎨⎧->->-1250
x a x 无解．．，则a 的取值为（ ） A ）a ＞3 B ）a≥3 C ）a ＜3 D ）a≤3
解：原不等式组可化为：⎩⎨⎧≤>3x a x ，由于不等式组无解，所以a≥3，故选B ）。

例19 已知不等式组⎩⎨⎧->->-1230
x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围为 。

分析：须先化简不等式组，再将解集在数轴上表示出来，结合整数解的个数才能确定取值范
围。

解：原不等式组可化为：2x a
x >⎧⎨<⎩，由于不等式组有5个整数解，
所以不等式组的解集为a ＜x ＜2，故a 的取值范围为-4≤a＜-3。

例20 关于x 的不等式组23(3)1324
x x x x a <-+⎧⎪
⎨+>+⎪⎩，有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A 、411-
＜a≤25- B 、411-≤a＜25- C 、411-≤a≤25- D 、411-＜a ＜2
5
- 答案：B
例21 已知关于x 的方程221
x a
x +=--的解是非负数，则a 的取值范围是 。

答案：a≤2且a≠－2
例22 已知m 、n 为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n ＜0的解集为9
4
>x ，
求不等式(m-4n) x+2m-3n ＞0的解。

解：由(2m-n) x+3m-4n ＜0得：(2m-n) x ＜4n-3m ，
因为它的解集为94>x ，所以有⎪⎩⎪
⎨⎧=--<-(2) 9
4234(1) 02n m m n n m
由(2)得 m n 8
7
=代入(1)得 m ＜0
把m n 87=
代入(m-4n) x+2m-3n ＞0得 8
525m
x m >
- ∵m＜0 ∴41->x 所以，不等式(m-4n)x+2m-3n ＞0 的解集为4
1
->x
评注：本题的关键是确定未知数x 的系数，从而才能求出不等式的解。

方法是首先求出m 、n 的关系，再代入确定未知数x 的系数。

例23 已知关于x 的方程：17
8
34-=-x m x ，当m 为某些负整数时，方程的解为负整数，试
求负整数m 的最大值。

解：原方程化简整理得：1214
1214+=-=x m m x ，可得
因为m 为负整数，所以x 21
4
必为小于-1的负整数
所以 41
54211214-<-<∴-<x x x ，即，
而要使x 21
4
为负整数，x 必是21的倍数，所以x 的最大值为-21
因为当x 取最大值时，m 也取得最大值，所以m 的最大值为-3
例24 解不等式：（1）31<-x ；（2）31≥-x
解：（1）由31<-x 可得⎩⎨
⎧->-<-3
13
1x x 解这个不等式组得：－2＜x ＜4
（2）由31≥-x 可得：x －1≥3或x －1≤－3 解得：x≥4或x≤－2
例25 解不等式：(1) (2x+1)2-7＜(x+m)2+3x (x-1) (2) 1324≤---x x 解：(1)原不等式可化为：(7-2m) x ＜m 2+6
∴当m ＜27
即7-2m ＞0时，解为x ＜m m 2762-+
当m ＞2
7
即7-2m ＜0时，解为x ＞m m 2762-+
当m ＝
27 即7-2m=0，m 2+6=4
1
18时，解为一切实数。

(2)的取值范围分为三段：零点分段法，可把，由和的零点分别是与x x x 23
4324--
4;42
3;23>≤<≤x x x 当x 2
3
≤
时，原不等式可化为 -x+4+2x-3≤1，解得x≤0
当
42
3
≤<x 时，原不等式可化为-x+4-2x+3≤1，解得x≥2， 所以，原不等式的解为2≤x≤4
当x ＞4时，原不等式可化为x-4-2x+3≤1，解得x≥-2，
所以，原不等式的解为x ＞4
综上所述，原不等式的解集为x≤0 或x≥2
评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于0、小于0、等于0三
种情况讨论。

2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。

例26 ）
分析：把题设两方程的两边分别相减得
B 。

例27 已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值。

答案： 最大值为90，最小值为165
2。

例28 若－5≤2a－3b≤1，－2≤3a+b≤7
求（1）a ，b 的范围 （2）a －7b 的范围
解：(1) ⎩⎨⎧≤+≤-≤-≤- ②
①
7321325b a b a
把①+②×3得 －11≤11a≤22 ∴ －1≤a≤2 由－6≤－3a≤3 ③ 由∴③+②得 －8≤b≤10 （2）设a －7b=m(2a －3b)+n(3a+b)
则：⎩⎨⎧-=-=+73132m n n m 解得：⎩⎨⎧-==1
2n m 又： －10≤2(2a －3b)≤2 －7≤－(3a+b)≤2 ∴ －17≤a－7b≤4
注：（2）解法，实质上是待定系数法。

例29 某宾馆底层客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人。

又若全安排住二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人。

问该宾馆底层有客房多少间？
解：设底层有客房x 间，则二楼有客房（x+5）间，依题意有4
48548<<x 。

即125
39<<x 故x 可能是10或11……①
依题意 3（x+5）＜48＜4（x+5），解之得7＜x ＜11 故x 可能取8，9，10……② 由①，②得到x=10 答：底层有客房10间。

注；本题根据题意先从房间数列出不等式组，再由人数列不等式组，然后找出它们各一组整数解，从而最终得出结果。

例30 把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？
分析：若设有y 个苹果，x 只猴子分5个，则关键理解“每只猴分5个，则最后一只猴分得的数不足5个”，这句话的含义，此话即苹果数多于5（x －1），且少于5x 个。

解：设有苹果y 个，猴子x 只，则依题意有：
⎩⎨⎧<<-+=x y x x y 5)1(583 ∴ ⎩⎨⎧<+->+x x x x 583)1(583
解之得，4＜x ＜6.5，故猴子总数为5只或6只。

当x=5时，y=3×5+8=23
当x=6时，y=3×6+8=26
答：有5只猴子，23个苹果或6只猴子，26个苹果。

注：利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相同，不同的是，后者寻求的是等量关系，列出的等式，而前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并且解不等式（组）所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案。

例31 为了迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：
断A 队胜、平、负各几场？
分析：设A 队胜x 场、平y 场、负z 场，
x 当成已知数，
x 可取4、5、6，由此可得三组解（略）。

从以上几例可以看出：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程（组）施行解答。

例32 将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼放5只，则有一笼无鸡可放，那么至少有多少只鸡，多少个笼？
解：设有鸡x 只，鸡笼y 个，则⎩⎨⎧-≤≤-=+②
①)1(5)2(514y x y x y
根据条件，有一只笼无鸡可放，所以y －2只笼子里必须都放满5只。

由①得y=41-x ,代入②得：5( 2 4 1 - - x )≤x≤5(14
1--x )， 解之得25≤x ≤45，从而6≤y≤11，
故至少有25只鸡，6个鸡笼.
例33 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件，已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产
A 、
B 两件产品获总利润为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的关系式，并利用相关的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品为（50－x ）件，则有：
⎩⎨⎧≤-+≤-+290
)50(103360)50(49x x x x 解此不等式组得30≤x≤32 因x 为整数，∴x 取30，31，32，（50－x ）取20，19，18。

故生产方案有三种：A 种产品生产30件，B 种产品20件；A 种产品生产31件，B 种产品19件；A 种产品生产32件，B 种产品18件。

（2）设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50－x ）件，依题意，得
y=700x ＋1200（50－x ）=－500x ＋60000
－500x ＋60000中，x 越大，－500x 越小，且x 不超过30，
∴当x=30时，y 取最大值。

故按第一种方案生产，获最大总利润为：30（－500）＋60000 = 45000（元）
三、同步练习
一、填空题
1．不等式－6x ＞4的解集是 。

2．若x 的5倍加1小于x 的3倍减5，则x 的取值范围是 。

3．x = 3－2a 是不等式5
3)3(51-<-x x 的解，那么a 的取值范围是 。

4．代数式2x ＋1的值不小于代数式x －3
2的值，则x 的最大整数值是 。

5．不等式3
1221->+x x 的非负整数解是 。

6．已知不等式4x －a≤0的正整数解是1，2，则a 的取值范围是 。

7．不等式组⎩
⎨⎧>-≥-01204x x 的解集是 。

8．满足不等式组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥--->-x x x 311221的正整数x 为 。

9．若不等式组⎩
⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。

10．若不等式组⎩⎨⎧<->-1
0a x a x 的解集中任一个x 的值均不在2≤x≤5的范围内，则a 的取值范围
是
11．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-x x x x 323
14315的整数解的积是 。

12．如果不等式组⎩⎨⎧≤≥-m
x x 032无解，则m 的取值范围是 。

13．已知不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-<<->k x x x 111 （1）当k=21时，不等式组的解集是 ；当k = 3时，不等式组的解集是 ；当k =－2时，不等式组的解集为 。

（2）由（1）知，不等式组的解集随数k 值的变化而变化，当k 为任意实数时，写出不等式组的解集 。

14．不等式组⎩
⎨⎧<+<+1321x x x 的解集是 。

二、选择题
15．若a ＜b ，则①3－a ＞3－b ；②a＋3＜b ＋2；③3a＜3b ；④3
3b a -<-，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
16．下面给出了四个命题： ①b a =若，则a 2=b 2；
②若a≤0，则a a =2；
③若（1－2）x ＞1,则x ＞211
-；
④若关于x 的不等式（m －2）x ＞1的解集是x ＜
21-m ，则m ＜2。

其中，真命题有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
17．不等式112
54<-x 的正整数解有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
18．如果不等式组⎩
⎨⎧+>+>212m x m x 的解集是x ＞－1，那么m 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3
19．若不等式组⎩
⎨⎧>≤<m x x 21有解，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m≥2 C ．m ＜1 D ．1≤m＜2
20．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-a
x x 1312的解集为x ＞ 2，则（ ）
A ．a ＜2
B ．a ＝2
C ．a ＞2
D ．a≤2
三、解答题
21．解不等式组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧-≥-+<-x x x x 215123)12(334 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++->+1418
5421339x x x x 22．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+312
24)1(3x x x x 并写出不等式组的整数解。

23．（1）解不等式x －2≥
4
53-x ，并把解集在数轴上表示出来。

（2）求不等式3
1222+≥+x x 的正整数解。

24．北京故宫博物院内宾门票是每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，现在有18位游客买20人的团体票，问比买普通票总共便宜多少钱？此外，不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
25．某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55℃，现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山上的哪一部分为宜？
26．若干名学生合影留念，需交照像费2.85元（有两张像片），如果另外加洗一张像片，又需收费0.48元，预定每人平均出钱不超过1元，并都分到一张照片，问参加照像的至少有几位同学？
27．三人分糖，每人都分得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍。

已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，求每人得糖的块数。

28．甲、乙两车间各有若干名工人生产同一种零件，甲车间有一人每天生产6件，其余每人每天生产11件；乙车间有一人每天生产7件，其余每人每天生产10件，已知两车间每天生产零件的总数相等，且每个车间每天生产零件总数不少于100件也不超过200件，求甲、乙车间各有多少人？
29．某厂生产一种机器零件，固定成本为2万元，每个零件成本为3元，售价为5元，应纳税为总销售额的10%，若要使纯利润超过固定成本，则该零件至少要生产销售多少个。

30．已知前年物价涨幅（即前年物价比上一年也就是大前年物价增长的百分比）为20%，去年物价涨幅为15%，预计今年物价涨幅将比去年物价涨幅低五个百分点。

为了使明年物价比大前年物价不高出55%，明年物价涨幅必须比去年物价涨幅至少再降低几个百分点？
31．某连队在一次执行任务中将战士编成8个组。

如果分配每组人数比预定人数多1名，那么战士总数将超过100人；如果每组人数比预定人数少1名，那么战士总数将不到90人。

求预定每组分配战士的人数。

32．某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个。

在这20名工人中，派x 人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。

已知每加工一个甲种零件可获利16元。

每加工一个乙种零件可获利24元。

（1）写出此车间每天所获利润y （元）与x （人）之间的关系式。

（2）若要使车间每天获利不低于1800元，问至少要派多少人加工乙种零件？
33．“严肃”中学初三·一班计划用勤工俭学收入的66元钱，同时购买单价分别为3元、2元、1元的奖品，奖励参加校艺术节活动的同学。

已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品件数不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用一半。

若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用66元钱，问有几种购买方案？
【答案与提示】
一、填空题 1. 32-<x 2. x ＜－3 3. 2
3<a 4. 3 5. 0,1,2,3,4 6. 8≤a＜12 7. 21＜x≤4 8. 1 9. m≥2 10. a≤1或a≥5 11. 0 12. m ＜2
3 13.（1）－1＜x ＜2
1；－1＜x ＜1；无解；（2）当k≤0时，原不等式组的解集为－1＜x ＜1；当0＜k ＜2时，不等式组的解集为－1＜x ＜1－k ；当k≥2时，原不等式组无解；
14.－2＜x ＜1
二、选择题
15. B 16. B 17. C 18. D 19. A 20. D
三、解答题
21.（1）x≥3 （2）
6
5＜ x ＜3 ； 22. －2≤ x ＜1； 整数解是－2，－1，0； 23.（1）x≥3 （2）1,2,3,4 24.便宜20元，最少17人；
25.在海拔363.64～727.27米比较适宜 26.至少有4位同学； 27. 47块；
28.甲、乙车间各有12人、13人； 29. 13334个； 30. 8
31.预定每组分配人数为12；
32.（1）y=16×5x ＋24×4（20－x ）=－16x ＋1920 （2）至少应派13人加工乙种零件；
33.共有两种购买方案。

四、巩固练习
一、选择题
1、方程20012002
20013221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是( ) A 、2000 B 、2001 C 、2002 D 、2003
2、关于x 的方程()1533
2+-=-k x k x 的解是负数，则k 的值为( ) A 、k ＞21 B 、k ＜21 C 、k=2
1 D 、以上解答都不是 3、已知xyz≠0，且⎩⎨⎧=++=++0
32053z y x z y x ，则2222
22232z y x z y x ++-+的值为( ) A 、2367 B 、6723 C 、-67
23 D 、以上答案都不对 4、方程组
1987111=+y x 的整数解的个数是( ) A 、0 B 、3 C 、5 D 、以上结论都不对。

5、如果关于x 的不等式51232<->-a
x a a x 与同解，则a ( ) A 、不存在 B 、等于-3 C 、等于52- D 、大于5
2- 6、若正数x 、y 、z 满足不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<y z x y x z y x z
y x z 4112
5352
32611，则x 、y 、z 的大小关系是( ) A 、x ＜y ＜z B 、y ＜z ＜x C 、z ＜x ＜y D 、不能确定
二、填空题
7、方程⎪⎭
⎫ ⎝⎛≠++=--+--+--01113c b a c b a x b a c x a c b x 其中的解为 8、关于x 的方程2a(x+5)=3x+1无解，则a=
9、关于x 、y 的两个方程组⎨⎧=-=-7222y x by ax 和⎨⎧=-=-11
3953y x by ax 有相同的解，则a= ，b= 。

10、不定方程4x+7y=20的整数解是
11、不等式235
15124++->-+-x x x x 的解集为 12、已知有理数x 满足：3
2537213x x x +-≥--，若23+--x x 的最小值为a ，最大值为b ，则ab=
三、解答题
13、解方程 2
371022331-1x x x x x ---=+-
14、解关于x 的方程：)0(≠=---mn n
m n m x m n x
15、解方程组：17
211201y x y x +=+=+
16、解方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-=+-c y x z b x z y a z y x 353535
17、某宾馆有大小两种客房，大房间每间能住7人，小房间每间能住4人，现有41人住店，问需大小房间各多少间，刚好使床位数不多也不少？
18、求方程组⎩⎨⎧=++=++36
75352975z y x z y x 的正整数解。

19、解不等式：(1) ⎩⎨⎧-≤-+≥+b
x x a x x 674854 (2) 2235≤--+x x
20、k 为什么数时，方程组⎩⎨⎧=+=+62384y x y kx 的解为正数？。