实数完备性基本定理等价性的证明

确界原理的等价定理的证明

——六大基本定理等价性的证明

确界原理 设 S 为非空数集.若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界.

单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 区间套定理 若[]{}n n b a ,是一 ξ，

使得[],,2,1,, =∈n b a n n ξ即

.,2,1, =≤≤n b a n ξ

推论 若[],,2,1,, =∈n b a n n ξ 是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的

ε> 0，存在N> 0，使得当n>N 时有

[]()εξ;, ⊂n n b a .

有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a , 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖 []b a ,.

聚点定理 实数轴上任一有限无界点集 S 至少有一个聚点.

柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的ε>0 ，存在正整数N ，使得当n,m>N 时有 n n b a -〈ε.

证明过程的基本框架

确界原理 ⇒ 单调有界定理 ⇒ 区间套定理

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柯西收敛准则 ⇐ 聚点定理 ⇐有限覆盖定理

下面就是这个循环证明的过程.

1 由确界原理证明单调有界定理

证 不妨设{}n a 为 有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界.记 a=sup {}n a . 下面证明 a 就是{}n a 的极限 . 事实上，任给ε 〉0 ，按上确界的定义，存在数列 {}n a 中某一项N a ，使得a-ε〈 N a . 又由{}n a 的递增性，当n ≥N 时有

a-ε

另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a , 都有n a ≤a

a-ε

这就证得∞

→n lim n a =a. 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下

确界.

2 由单调有界定理证明区间套定理

证 由区间套的定义，各闭区间的端点满足如下不等式：

,

1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤

即{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ ，且有

,,2,1, =≤n a n ξ （1）

同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有

ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim （2）

且 n b ξ≤,.,2,1 =n （3） 联合（1）及（3）即得.

n a ≤ξn b ≤,.,2,1 =n （4）

最后证明满足（4）的ξ 是唯一的 ，设数ξ' 也满足, n a ξ'≤,,2,1, =≤n b n

则由（4）式有

-≤'-n b ξξ n a ，.,2,1 =n 由区间套的条件（ii ）得

(),0lim =-≤'-∞

→n n n a b ξξ

故有 ='ξ ξ.

3 由区间套定理证明有限覆盖定理

证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖

[]b a , .

将[]b a , 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[]11,b a ，则[]11,b a []b a ,⊂ ，且()a b a b -=

-2

111 .

再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[]22,b a ，则[]22,b a ⊂ []11,b a ，且

()a b a b -=

-2

222

1 .

重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列[]{}n n b a , ，它满足

[][],,2,1,,,11 =⊃++n b a b a n n n n .

()(),02

1∞→→-=

-n a b a b n

n n

即[]{}n n b a , 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖.

由区间套定理，存在唯一的一点∈ξ[]n n b a , ,n=1,2,…. 由于H 是[]b a , 的一个开覆盖，故存在开区间()∈βα,H ，使()βαξ,∈. 于是，由区间套定理推论，当n 充分大时有

[]n n b a ,()βα,⊂ .

这表明[]n n b a , 只须用H 中的一个开区间()βα, 就能覆盖，与挑选[]n n b a , 时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾. 从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a , .

4 由有限覆盖定理证明聚点定理

证 设A 为有界无限点集 .那么存在正数M>0 ，使得 A []M M ,-⊂ .

假设[]M M ,- 中任意点都不是A 的聚点，则对任意一点x ∈[]M M ,-, 必存在相应的()x δ>0 使得在()δ,x ⋃ 中至多有 A 的有限个点. 记

()[]{}M M x x H ,,-∈⋃=δ

，则H 为A 的一个开覆盖 .

由有限覆盖定理，在H 中可以找到有限个开区间覆盖[]M M ,-. 记为

()[]{} ,2,1,,,=-∈⋃='i M M x x H i i i δ

，从而更能覆盖A .

因H '内至 A 中有限个点，从而 A 为有限点集，与假设“ A 是有界

无限点集”矛盾 . 故区间 []M M ,- 中至少有一个集合 A 的聚点，即集合A 至少有一个聚点.

5 由聚点定理证明柯西收敛准则 证 先证条件的必要性：

设a x n → ，则对任意给定的 ε>0, 有一正整数N ，当k.>N 时，有 2

ε

<-a x k

从而当m, n>N 时，有

ε

ε

ε

=+

<

-+-≤-2

2

m n m n x a a x x x

其次，证明条件的充分性：

设数列{}n a 满足条件：对任给正数ε ，总存在某一个自然数N ，使得当m, n>N 时，都有

ε<-n m a a . 取1=ε ，则存在自然数1N ，当n>1N 时，有 11

1<-+N n a a ,

从而