高中数学圆的方程专题复习

高二数学辅导资料(三)

内容：圆与方程

本章考试要求

考试内容

要求层次A B

C 圆与方程

圆的标准方程与一般方程√

直线与圆的位置关系

√

两圆的位置关系√

用直线和圆的方程解决简单的问

题

√空间直角坐标系

空间直角坐标系√

空间两点间的距离公式√

一、圆的方程

【知识要点】

圆心为，半径为的圆的标准方程为：

时，圆心在原点的圆的方程为：.

圆的一般方程，圆心为点，半径，其中.

圆系方程：过圆：与圆：

交点的圆系方程是

（不含圆）,

当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.

【互动探究】

考点一求圆的方程

问题1．求满足下列各条件圆的方程：

以两点，为直径端点的圆的方程是

求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程；

过点的圆与直线相切于点，则圆的方程是?

考点二圆的标准方程与一般方程

问题2．方程表示圆，则的取值范围是

考点三轨迹问题

问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是

问题4．设两点，，动点到点的距离与到点的距离的比为，求点的轨迹.

二、直线和圆、圆与圆的位置关系

【知识要点】

直线与圆的位置关系

位置关系相切相交相离

几何特征

代数特征

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式

为，圆的半径为，圆心到直线的距离为,则直线与

圆的位置关系满足以下关系：

直线截圆所得弦长的计算方法：

利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）.

圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足关系：

位置关系外离外切相交内切内含

几何特征

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

②设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程

是

相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解

②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为（或一条直线存在斜率，另一条不存在）

③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即来求解.

特殊地,已知切点,圆的切线方程

为 .

圆的切线方程

为

【互动探究】

考点一直线与圆的位置关系

问题1:已知圆，过点的直线，则

与相交与相切与相离以上三个选项均有可能

直线：与圆：的位置关系是

相离相切相交无法确定，与的取值有关.

过点引圆的弦，则所作的弦中最短的弦长为

求圆心为且与直线相切的圆 .

考点二直线与圆相切的有关问题

问题2．圆在点处的切线方程为

过点的圆的切线方程是

过直线上点作圆的两条切线，若两条切线的夹角是，则点的坐标是

考点三直线与圆相交时的弦长问题

问题3．已知圆方程为：.直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程.

问题4．已知直线：和圆；

时，证明与总相交；取何值时，被截得弦长最短，求此弦长.

考点四圆与圆的位置关系

问题5．）圆与圆的位置关系为内切相交外切相离

（重庆）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为

问题6．已知圆：与：

相交于两点，

求公共弦所在的直线方程；求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程；

【巩固训练】

圆的圆心和半径分别是

；；；；；

已知圆关于直线成轴对称，则

圆关于原点对称的圆的方程为

圆关于直线对称的圆的方程是

两个圆：与的公切线有且仅有

条条

条条

圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

若为圆的弦的中点，则直线的方程是

由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为

直线被圆截得的弦长为

圆上到直线的距离为的点共有个

由点引圆的割线，交圆于两点，使的面积为（为原点），求直线的方程.

[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．