样本的数字特征 PPT
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人教版高中数学必修三第二章第2节用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件 (2)
1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
人教A版必修3《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》优化训练ppt课件
最中间位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)称为这 在____________
组数据的中位数.
注意：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 相等 ，由此可以估计中位数的值. 的面积________
x1＋x2＋„＋xn x＝ n (3)如果有n个数x1，x2，„，xn，那么_________________
如下(单位：mL)：
342,348,346,340,344,341,343,350,340,342
343.6 则样本的平均数是________.
解析：由于数据较大，又都在常数 342 附近波动，把各数
据都减去 342，得 0,6,4，－2,2，－1,1,8，－2,0，
1 则 x ′＝10×(0＋6＋4－2＋2－1＋1＋8－2＋0)＝1.6， 即 x ＝ x ′＋342＝343.6.
人员
平均环数－ x 方差s2
甲 8.6 3.5
乙 8.9 3.5
丙 8.9 2.1
丁 8.2 5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人 选是( C )
A.甲
C.丙
B.乙
D.丁
【问题探究】
如何通过频率分布直方图估计众数、中位数和平均数？ 答案：(1)众数是最高矩形底边的中点；(2)中位数左边和右
边的直方图的面积应相等，由此可以估计中位数的值；(3)平均
数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘
以小矩形底边中点的横坐标之和.
题型 1 众数、中位数、平均数的求法
【例 1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如下表： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 人数/名
1 这组数据的平均数是 x ＝17×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×
组数据的中位数.
注意：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 相等 ，由此可以估计中位数的值. 的面积________
x1＋x2＋„＋xn x＝ n (3)如果有n个数x1，x2，„，xn，那么_________________
如下(单位：mL)：
342,348,346,340,344,341,343,350,340,342
343.6 则样本的平均数是________.
解析：由于数据较大，又都在常数 342 附近波动，把各数
据都减去 342，得 0,6,4，－2,2，－1,1,8，－2,0，
1 则 x ′＝10×(0＋6＋4－2＋2－1＋1＋8－2＋0)＝1.6， 即 x ＝ x ′＋342＝343.6.
人员
平均环数－ x 方差s2
甲 8.6 3.5
乙 8.9 3.5
丙 8.9 2.1
丁 8.2 5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人 选是( C )
A.甲
C.丙
B.乙
D.丁
【问题探究】
如何通过频率分布直方图估计众数、中位数和平均数？ 答案：(1)众数是最高矩形底边的中点；(2)中位数左边和右
边的直方图的面积应相等，由此可以估计中位数的值；(3)平均
数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘
以小矩形底边中点的横坐标之和.
题型 1 众数、中位数、平均数的求法
【例 1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如下表： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 人数/名
1 这组数据的平均数是 x ＝17×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×
2021学年数学人教A版必修3课件：2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
s
2
乙
＝
1 6
[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2
＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．
又s2甲>s乙2 ，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平 均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等 时，需先分析平均水平，再计算标准差方差分析稳定情况.
[难点] 对样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差意 义的理解．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 众数、中位数、平均数 [填一填]
[答一答] 1．一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？
提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯 一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数 据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这 两个数据都是这组数据的众数．
s＝
30 3.
方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据 又大又多时，更能体现方法2的优越性.
[变式训练4] 一组数据：3,4,6,7,10，其标准差是 6 .
解析：∵ x ＝15×(3＋4＋6＋7＋10)＝6，
∴s2＝
1 5
×[
(3－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(10－6)2]
[变式训练2] 一组数据的频率分布直方图如图所示，请你 在直方图中标出这组数据的众数、中位数和平均数对应的位置 (用虚线标明)，并根据直方图读出其相应的估计值．
解：众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众 数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)．由直 方图观察可得众数为2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.
第四章 2样本矩与数字特征
一、样本矩与数字特征
由样本值去推断总体情况，需要对样 本值进行“加工”，这就要构造一些样本 的函数，它把样本中所含的（某一方面） 的信息集中起来.
对样本值进行“加工”，通常要计算 他的样本矩
样本k阶原点矩
它反映了总体k阶矩 的信息
Ak
1 n
n i 1
X
k i
当k=1时，称为样本均值
它反映了总体期望 的信息
n i 1
( xi
x)2
S*2 1 in n 1 i1
Xi X
2
,
称为修正的样本空间
可得S*2 n S 2 , n1
二、总体 矩与样本矩联系
• 总体 矩是以随机变量 ξ及其分布已知为前提， 因而凡总体矩都是由分布确定的常数．
• 样本矩是在总体 ξ未知情况下给出的，而样 品 ξi（ i ＝１，２ ，…，n ） 又都是与总体 ξ 具有相同分布（尽管分布未知）的随机变量， 因此样本矩作为 n 维随机变量的函 数而存在， 故凡样本矩仍是随机变量
样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
其观察值
1 n
x n i1 xi .
样本k阶中心矩
它反映了总体k 阶
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
中心矩的信息
它反映了总体方差
当k=2时，称为样本方差
的信息
样本方差： 其观察值
S 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
s 2
1 n
由于样本来自总体，因而两类矩之间必然 会有某些联系．下面的定理对此给 出讨论．
由样本值去推断总体情况，需要对样 本值进行“加工”，这就要构造一些样本 的函数，它把样本中所含的（某一方面） 的信息集中起来.
对样本值进行“加工”，通常要计算 他的样本矩
样本k阶原点矩
它反映了总体k阶矩 的信息
Ak
1 n
n i 1
X
k i
当k=1时，称为样本均值
它反映了总体期望 的信息
n i 1
( xi
x)2
S*2 1 in n 1 i1
Xi X
2
,
称为修正的样本空间
可得S*2 n S 2 , n1
二、总体 矩与样本矩联系
• 总体 矩是以随机变量 ξ及其分布已知为前提， 因而凡总体矩都是由分布确定的常数．
• 样本矩是在总体 ξ未知情况下给出的，而样 品 ξi（ i ＝１，２ ，…，n ） 又都是与总体 ξ 具有相同分布（尽管分布未知）的随机变量， 因此样本矩作为 n 维随机变量的函 数而存在， 故凡样本矩仍是随机变量
样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
其观察值
1 n
x n i1 xi .
样本k阶中心矩
它反映了总体k 阶
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
中心矩的信息
它反映了总体方差
当k=2时，称为样本方差
的信息
样本方差： 其观察值
S 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
s 2
1 n
由于样本来自总体，因而两类矩之间必然 会有某些联系．下面的定理对此给 出讨论．
14用样本的数字特征估计总体数字特征
知识的超市，生命的狂欢
Network Optimization Expert Team
展示题目
问题导学1、 预习自测1 问题导学2 预习自测2
展示地点 展示人 点评人
前黑板
8组
1组
前黑板
后黑板
6组
2组
9组
5组
例1
例2 巩固训练2
后黑板 后黑板
3组 4组
7组
（1）点评方面：对错 、规范(布局、书写)、 思路分析（步骤、易错 点），总结规律方法（ 用彩笔）。 （2）其它同学认真倾 听、积极思考,重点内 容记好笔记。有不明白 或有补充的要大胆提出 。 （3）力争全部达成目 标，A层（120%）多拓 展、质疑,B层（100%） 注重总结，C层（95%） 。
知识的超市，生命的狂欢
Netw Team
展示题目
问题导学1、 预习自测1 问题导学2
展示地点
前黑板
前黑板 后黑板 后黑板 后黑板
展示人
8组
6组 2组 3组 4组
预习自测2 例1 例2 巩固训练2
（1）展示人规范 快速，总结规律、 易错点、困惑等（ 用彩笔）。 （2）其他同学讨 论完毕总结完善， A层注意拓展，不 浪费一分钟。 （3）小组长要检 查、落实，力争全 部达标。
Network Optimization Expert Team
讨论交流
重点讨论交流的内容：
1.平均数、方差的实际意义？ 2.实际问题的求解步骤？ 3.小组内的其他错点
目标：
（1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA、BB解决好 全部展示问题，CC解决好例1、例2。 （3）讨论时，手不离笔、随时记录，未解决的问题，组长记录好，准备展示质疑。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
注:在只有样本频率散布直方图的情况下，我 们可以按上述方法估计众数、中位数和平均 数，并由此估计总体特征.
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
用样本的数字特征估计总体的数字特征(IV)
VS
详细描述
样本中位数是总体中位数的无偏估计，但 当样本量较小时，由于受到异常值的影响 ，估计的精度较低。因此，在估计总体中 位数时，需要保证样本量足够大。
实例三：基于方差的总体数字特征估计
总结词
样本方差是总体方差的无偏估计，但当样本 量较小时，估计的精度较低。
详细描述
样本方差是总体方差的无偏估计，但在实际 应用中，由于受到抽样误差的影响，样本方 差可能会被低估或高估。因此，在估计总体 方差时，需要使用修正的样本方差公式，以 提高估计的精度。
例子
样本均值$overline{x}$ 是总体均值$μ$的无偏 估计。
有效估计
定义
如果一个估计量是某个无偏估计量的函数，则称 这个估计量为有效估计量。
意义
有效估计量在无偏估计的基础上，进一步减小了 估计误差，提高了估计的精度。
例子
样本方差$s^{2}$是总体方差$σ^{2}总体的数字特 征(iv)
目录
• 引言 • 样本数字特征的选取 • 总体数字特征的估计 • 样本数字特征的性质 • 实例分析 • 结论与展望
01
CATALOGUE
引言
研究背景
随着大数据时代的来临，大量数据被收集和存储，如 何从这些数据中提取有用的信息成为了一个重要的研
究课题。
3
此外，随着数据量的不断增加，快速、准确地估 计总体数字特征的需求也日益迫切，因此该研究 具有重要的现实意义。
02
CATALOGUE
样本数字特征的选取
均值
总结词
均值是所有数值相加后除以数值的数量所得的结果，它反映了数据的平均水平 。
详细描述
在统计学中，均值是一种常用的数字特征，它能够概括一组数据的中心趋势。 通过计算样本的均值，可以估计总体均值的近似值，从而了解总体数据的平均 水平。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
课堂练习1
某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
职业
人数 工资
董事长
1 5 500
副董事长
1 5 000
董事
2 3 500
总经理
1 3 000
经理
5 2 500
管理员
3 2 000
职员
20 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数． (2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提 升到30 000元、20 000元，那么公司职工新的平均数、中位 数和众数又是什么？ (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？ 平均数为2091,中位数是1 500元，众数是1 500元．
30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20 x＝ 33
108 500 ＝ ≈3 288(元)． 33
∴中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的 工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差 别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不 能反映这个公司员工的工资水平． 小结:样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的 “中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极 端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代 表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端 的数据对平均数的影响也越大．
课堂练习2
某工厂人员及工资构成如下：
人员
周工 资 人数 合计
经理
2 200 1 2 200
管理人员 高级技工
250 6 1 500 220 5 1 100
新教材高中数学第六章统计4用样本估计总体数字特征4-1样本的数字特征4-2分层随机抽样的均值与方差4
2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:
第一步,按照从小到大排列原始数据;
第二步,计算i=np;
第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整
数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)50%分位数就是中位数.( √ )
i=1
2.分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为x1 , x2 ,…,xn ,方差分别为s12 , s22 ,…,sn2 ,相应的
n
权重分别为 w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为 s2= ∑ wi[si2 +(xi − x)2],其中x为
i=1
这个样本的平均数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
第六章
4.1 样本的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
课标要求
1.会求样本的平均数、中位数、众数、百分位数.
2.会求样本的极差、标准差与方差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
Байду номын сангаас
学以致用•随堂检测全达标
5
5
5
=
42
.
5
2
2
2
2
2
2
2 1
又甲 =[(10-8) +(9-8) +(8-8) +(7-8) +(8-8) +(6-8) ]×6
2.2 样本的数字特征
(
练习1： 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布 直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题： 求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90)，[90,100]内 的人数．
[答案] 分数在[50,60)内的频率为2，由频率分布直方图可以看出， 分数在[90,100]内的同样有2人． 由＝10×0.008，得n＝25. 由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73. ∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4. 参加数学竞赛人数n＝25，中位数为73，分数在[80,90)， [90,100]内的人数分别为4人，2人
职务 人数 工资
董 事 副 董 董事 长 事长 1 5 500 1 5 000 2 3 500
总 经 经理 理 1 3 000 5 2 500
管 理 职员 员 3 2 000 20 1 500
[
解析] (1)平均数是 ＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是′＝1 500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平． 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样 导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [解析] (1)甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6， 乙＝(5×3＋6＋9)＝6， 甲的中位数是6， 乙的中位数是5. 甲的成绩的方差为(22×2＋12×2)＝2， 乙的成绩的方差为(12×3＋32×1)＝2.4. 甲的极差是4，乙的极差是4. 所以A，B，D错误，C正确．
练习1： 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布 直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题： 求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90)，[90,100]内 的人数．
[答案] 分数在[50,60)内的频率为2，由频率分布直方图可以看出， 分数在[90,100]内的同样有2人． 由＝10×0.008，得n＝25. 由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73. ∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4. 参加数学竞赛人数n＝25，中位数为73，分数在[80,90)， [90,100]内的人数分别为4人，2人
职务 人数 工资
董 事 副 董 董事 长 事长 1 5 500 1 5 000 2 3 500
总 经 经理 理 1 3 000 5 2 500
管 理 职员 员 3 2 000 20 1 500
[
解析] (1)平均数是 ＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是′＝1 500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平． 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样 导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [解析] (1)甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6， 乙＝(5×3＋6＋9)＝6， 甲的中位数是6， 乙的中位数是5. 甲的成绩的方差为(22×2＋12×2)＝2， 乙的成绩的方差为(12×3＋32×1)＝2.4. 甲的极差是4，乙的极差是4. 所以A，B，D错误，C正确．
222用样本的数字特征.
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例子:
1.甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单位: 环).7,8,6,8,6,5,9,10,7,5,则他命中的平均数 7.1 是_____. 2.某次数学试卷得分抽样中得到:90分的 有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60分 的有2人,则这次抽样的平均分为_______. 77分
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
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标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。 它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中， 标准差常被理解为稳定性。 1、平均距离
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标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。 它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中， 标准差常被理解为稳定性。
甲
乙
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
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解: 依题意计算可得 x1=900 x2=900
s1≈23.8
s2 ≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但 甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳定.
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解 : (1) 平均重量约为496.86 g , 标准差约为6.55
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2.2.2用样本的数字特征 估计总体的数字特征
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一、众数、中位数、平均数
1、众数 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这一组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数。 3、平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n (2) x = x’ +a (3) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n
高一数学必修3课件：2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特
－ － － 1 2 2 即s2＝ n[(x1－x ) ＋(x2－x) ＋„＋(xn－x )]
．
(2)特征：与 标准差 的作用相同，描述一组数据围绕平 均数波动程度的大小． (3)取值范围： [0，＋∞)．
第二章
2.2
2.2.2
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[知识拓展] 数据组x1，x2，„，xn的平均数为 x ，方差 为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，„，axn＋b(a， b为常数)的平均数为a x ＋b，方差为a2s2，标准差为as.
第二章
统计
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课前自主预习
随堂应用练习 方法警示探究
思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第二章
2.2
2.2.2
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课前自主预习
第二章
2.2
2.2.2
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温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
[答案] A
第二章
2.2
2.2.2
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[解析] 32＝1.
1 2 2 1 2 2 2 由s ＝ (x1＋x2＋„＋xn)－ x ，得s ＝ ×100－ n 10
2
第二章
2.2
2.2.2
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5．方差 (1)定义：标准差的平方，
2.2
2.2.2
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命题方向
．
(2)特征：与 标准差 的作用相同，描述一组数据围绕平 均数波动程度的大小． (3)取值范围： [0，＋∞)．
第二章
2.2
2.2.2
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[知识拓展] 数据组x1，x2，„，xn的平均数为 x ，方差 为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，„，axn＋b(a， b为常数)的平均数为a x ＋b，方差为a2s2，标准差为as.
第二章
统计
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思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第二章
2.2
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第二章
2.2
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温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
[答案] A
第二章
2.2
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[解析] 32＝1.
1 2 2 1 2 2 2 由s ＝ (x1＋x2＋„＋xn)－ x ，得s ＝ ×100－ n 10
2
第二章
2.2
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5．方差 (1)定义：标准差的平方，
2.2
2.2.2
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命题方向
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
ks5u精品课件
例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
ks5u精品课件
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
用样本的数字特征估计总体的数字特征
（B）4
（C）2
（D）1
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株 的分蘖数后，计算出样本方差分别为S甲2=11 ，S乙2=3.4，由此可以估计（ B ） （A）甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 （B）乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 （C）甲、乙种水稻分蘖整齐程度相同 （D）甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比 较
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是 一个估计值，且所得的估计值与数据分组有关.
注: 在只有样本频率分布直方图的情况下， 我们可以按上述方法估计众数、中位数和平 均数，并由此估计总体特征.
频率 组距
0.5 0.44 0.3 0.28
众数： 最高矩形的中点 中位数：左右两边直方图的面积相等.
平均数：频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以 小矩形底边中点的横 坐标之和.
x乙
=
1（13+14+12+12+14）=13 5
s2甲
=
1 5
[(10
13)2
+(13
13)2
+(12
13)2
+(14
13)2
+(16
13)2
]=4
s2乙
=
1 5
[(13
13)2
+(14
13)2
+(12
13)2
+(12
13)
2
+(14
13)2
]=0.8
(2)由 s2甲＞s2乙可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，
算一算：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布
直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04， 0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此 估计总体的平均数是什么？
《样本的数字特征》课件
均值和标准差来控制产品质量。
06
样本的偏态和峰态特征
偏态的概念和计算方法
偏态的概念
偏态是指样本数据分布的不对称性，即数据分布偏向某一方向的程度。
偏态的计算方法
计算偏态的方法有多种，其中最常见的是偏态系数。偏态系数的计算公式为：(S = frac{sum{(X_i bar{X})^3}}{N cdot S^3}) 其中 (S) 是偏态系数，(X_i) 是每个数据点，(bar{X}) 是样本均值，(N) 是样本数量， (S^2) 是样本方差。
在数据分析中的应用
数据清洗
样本数字特征可以帮助我 们识别异常值和缺失值， 以便进行数据清洗和预处 理。
数据可视化
样本数字特征可以用于绘 制图表和直方图，以便更 好地理解和分析数据。
预测分析
样本数字特征可以用于构 建预测模型，例如使用回 归分析预测未来的数据点 。
在金融领域的应用
1 2
风险评估
样本数字特征可以用于评估投资组合的风险，例 如计算收益率的均值和方差，以便了解投资组合 的波动情况。
0≤f(x)≤∞0 leq f(x) leq infty0≤f(x)≤∞。
正态分布的应用
描述自然现象的概率分布
01
许多自然现象的概率分布符合正态分布，如人的身高、考试分
数等。
统计分析
02
在统计分析中，正态分布在样本的数字特征描述、假设检验等
方面有着广泛的应用。
质量控制
03
在生产过程中，正态分布用于质量控制和过程控制，通过控方差
方差是用来度量一组数据与其平均值之间的离散程度。
方差越大，说明数据点与平均值的偏差越大，数据的离散程度越高。
方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2$，其中 $N$是数据点的数量，$x_i$是每个数据点，$mu$是数据的平均值。
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例3 甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件.为
了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件
进行测量，结果如表所示.
甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9
/mm
乙/mm 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9
40.0 40.2 40.1 40.1
39.8 40.1
（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分 布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销 售额分布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们 可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小， 而方差比乙城市的大.
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是 反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测 数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个 数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据 集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是 分类变量时，众数经常被使用.
40.2 39.8 40.0 39.9
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直
径的标准差.
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件 产品直径的平均值: x甲 40(mm) x乙 40(mm). 我们分别计算它们直径的标准差：
s甲 [(40 40)2 (39.8 40)2 (39.8 40)2] /10 0.161(mm)
8 0001 5 000 2 4 000 4 2 0006 1 00012 8008 70020 6005 500 2 1 2 4 6 12 8 20 5 2
1373，
即该公司员工月工资的平均数为1 373元.
中位数为800元，众数为700元. (2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均 数1 373元作为月工资的代表；而税务官希望取月工资 中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的 多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作 为代表，因为每月拿700元的员工数最多.
例2 在上一节中，从甲、乙两个城 市随机抽取的16台自动售货机的销 售额可以用茎叶图表示，如图所示： （1）甲、乙两组数据的中位数、众 数、极差分别是多少？ （2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均 数和方差的大小吗？
解：(1) 观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售额 的中位数为20,众数为10,18,30,极差为53;乙城市销售 额的中位数为29,众数为23,34，极差为38.
月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500
员工/人
1
2
4
6
12
8 20 5Βιβλιοθήκη 2(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数 和众数.
(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工 的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：（1）该公司员工的月工资平均数为
样本的数字特征
小王去某公司应聘。公司经理说，我们这里报酬 不错，月平均工资是3000元，技术员A说，我的工资 是1500元，在公司算中等收入，小王感觉待遇不错， 第二天就去上班了。一周后，小王发现了问题，去 找经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术 员，没有一个技术员的工资超过3000元。”经理说： “没错，平均工资确实是每月3000元，不信可看看公 司的工资报表。”小王糊涂了，这是怎么回事呢？
s乙 [(40 40)2 (40 40)2 (39.9 40)2] /10 0.077(mm)
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的 产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径 的标准差为0.161 mm，比乙机床的标准差 0.077 mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即 乙机床的生产过程更稳定一些.
下表是该公司月工资报表:
员工
总工程 师
工程师
技术员 A
技术员 B
技术员 C
技术员 D
技术员 E
技术员 F
见习技 术员G
工资 9000 7000 2800 2700 1500 1200 1200 1200
400
经理是否忽悠了小王？为什么呢？
从数据中提取的基本的数字特征，如平均数、中 位数、众数、极差、方差、标准差等.
思考1.什么叫平均数？有什么意义？ 提示：一组数据的和与这组数据的个数的商称为 这组数据的平均数. 平均数对数据有“取齐”的作 用，代表该组数据的平均水平.
思考2.什么叫中位数？有什么意义？ 提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组 数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了 数据的集中趋势.
思考3.什么叫众数？有什么意义？ 提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数 据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，反映 了数据的集中趋势. 思考4.什么叫极差？有什么意义？ 提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组 数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.
思考5.什么叫方差？有什么意义？
提示：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般
【提升总结】
总结求一组数据的方差的一般步骤： （1）求数据的平均数； （2）依据公式求方差.
1.
某公司10位员工的月工资（单位:元）为x
x
1
2…x
10
，
其均值和方差分别为 x 和s2，若从下月起每位员工的月
工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差
分别为（ D）
A.x，s2+1002 B. x +100, s2+1002
用s2表示，通常用公式 s2
1 n
(
x
1
x )2
(x2
x )2
(xn x)2
来计算.反应了数据的离散程度，方差越大，数据的
离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
思考6.什么叫标准差？有什么意义？
提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作
用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大
小.
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
C.x , s2
D. x+100, s2
2. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生， 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验 中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五 名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确 的是（C） A.这种抽样方法是一种分层随机抽样 B.这种抽样方法是一种简单随机抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均 数