经典高中数学必修三课件：用样本的数字特征估计总体的数字特征(第2课时).ppt
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人教A版高中数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(共37张PPT)
【解】 (1) x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(98 －100)2＋ (100－ 100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s2乙＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2 ＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s2甲>s2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
【名师点评】 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左 右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率 分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 之和．
跟踪训练 2．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位 工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1) 这 20 名 工 人 中 一 天 生 产 该 产 品 数 量 在 [55,75) 的 人 数 是 ________； (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________； (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
(3)方差的简化计算公式 s2＝n1[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x 2] ＝n1(x21＋x22＋…＋x2n)－ x 2
＝n1i＝n1x2i － x 2.
(4)平均数、方差计算公式的推论 若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则： ①x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数是 x ＋b，方差是_s_2_； ②ax1，ax2，…，axn 的平均数是 a x ，方差是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa_2_s_2__； ③ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数是 a x ＋b，方差是 __a_2s_2__.
人教A版高中数学必修三课件高一：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征.pptx
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
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Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
IANLITOUXI
方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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典例透析
IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
-2-
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1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征. 2.会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用来解决有 关问题.
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方差的应用 【例2】 甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果,从中 各抽出10袋,测得其实际质量分别如下(单位:克): 甲:203 204 202 196 199 201 205 197
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IANLITOUXI
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 剖析:(1)在样本数据的频率分布直方图中,众数的估计值就是最 高矩形上端中点的横坐标. (2)在频率分布直方图中,中位数左右两侧的直方图的面积相等, 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征, 因而从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图 得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致. (3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和.
5 21 000
工人
3 000 10 30 000
学徒
1 000 1 1 000
合计
35 700 23 107 000
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数. (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗? 为什么?
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》人教版高中数学必修三PPT课件(第2.2.2课时)
知识探究
知识迁移
计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
s甲=2，s乙=1.095.
人教版高中数学必修3
第2章 统计
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
知识探究
知识探究（二）：标准差
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算， 不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息. 平均数代表了数据更多的信息， 但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时， 使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样 本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
平均数是2.02. 平均数与中位数相等，是必然还是巧合？
知识探究
思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973， 这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？ 频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并 由此估计总体特征.
分情况如下：
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
36，36，37，39，44，49.
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，
28，38，39，51，31，29.
问题提出
甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？取
哪个值比较好？
频率/组距
0.6 0.5 0.4
取最高矩形底边 中点的横坐标 2.25作为众数.
0.3
0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题4. 请大家翻回到课本看看原来抽样的数 据中有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定 义,2.25怎么会是众数呢？为什么？
人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。人与人之间的差距， 么大，还是因为不能狠下心来逼自己日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。如果你坚信自己最优秀，那么你就 果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。头脑是日用品，而不是装饰品。我要的未来，要靠我自己去拼。想成功就要和成功者的思想、脚步 想干的人永远在找方法，不想干的人永远在找理由。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人 省自己有没有犯错。 也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有 己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这 出来的结果反而会更好有人说，世界上最美的是梦，最长的是路；最易做的是梦，最难走的是路。愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。真正 人，总是容易获得比别人更多的机会。如果缺少破土面出并与风雪拼搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负 失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它 现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。13.在我们的生活中，如果没有了 像小鸟在天空中飞翔时断了翅膀一样，永远不能前进。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要像和风一样温柔。站起来的次数能够比跌倒的次数多 是强者。真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。真正的强者不是没有眼泪的人，而是含着眼泪奔跑的人。只会幻想而不行动的人， 不到收获果实时的喜悦。志坚智达言信行果，失败的尽头是成功努力的终点是辉煌。志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中竹根——即使被 人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。总要有一个人要赢，为什么不能是我。最坚固的捆绑是习惯。最可怕的不是有人比你优秀，而是比你优秀 更努力。最有希望的成功者，并不是才干出众的人而是那些最善利用每一时机去发掘开拓的人。昨天如影——记住你昨天的挫折和失败的教训；今天如画 生活、快乐和幸福的人生要靠你自己去描绘；明天如梦——珍惜今天,选择好自己的目标，努力地为自己的明天去寻求和拼搏。不曾扬帆，何以至远方。不 时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要 要顺其自然。该是你的终会得到。成功也就不会太远了。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的 一切的优越感，迟早会毁了你。成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。成功的秘诀就是每天都比别人多努力一点。生命如自助餐厅，要吃什么菜自 命像流水，这些不快的事总要过去，如果注定一辈子要这么过，再不开心也没有用。如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。如果为了安 海在一起，船就失去了存在的意义。山高路遥不足惧，最怕贪图安逸心。少壮不努力，老大徒伤悲。犹如一条船,每人都要有掌舵的准备。生活对于智者永 扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在运 生有那么多的徒劳无功，梦想，我还是要一次次全力以赴。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。就算全世界都说我漂亮，但你却说我不漂亮 是不漂亮。可怕的是，比你优秀的人比你还要努力。空谈不如实干。踱步何不向前行。
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件共25张PP
2、平均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息
3、平均数受数据中的极端值的影响较大，
使202平0/1/1均2 数在估计时可靠性降低。
11
例 某工厂人员及工资构成如下：
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数
分析：众数为200，中位数为220，
平202均0/1/12数为300。
12
（2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
1 众数：
在频率分布直方图中，就是最高矩形的
中点的横坐标
频率 组距
取最高矩形下端 中点的横坐标
2.25作为众数.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O2020/01/.152 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t) 6
2 中位数 中位数左边和右边的直方图面积相等
思考：在城市居民月均用水量样本数 据的频率分布直方图中，从左至右各 频率 个小矩形的面积分别是0.04，0.08， 组距 0.15，0.22，0.25，0.14，0.06， 0.04，0.02.由此估计总体的中位数是 什么t=？2.02
用样本的数字特征估计 总体的数字特征
2020/1/12
1
学习目标
（1）会用样本的基本数字特征估计总体的
基本数字特征。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样
本，从样本数据中提取基本的数字特征（如
平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）正确理解样本数据标准差的意义和作
用，学会计算数据的标准差。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的
标准差 sn 1[x (1x )2(x2x )2 (xnx )2]
标准差（方差）越大，数据的离散程度大 标准差（方差）越小，数据的离散程度越小
3、平均数受数据中的极端值的影响较大，
使202平0/1/1均2 数在估计时可靠性降低。
11
例 某工厂人员及工资构成如下：
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数
分析：众数为200，中位数为220，
平202均0/1/12数为300。
12
（2）这个问题中，工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
1 众数：
在频率分布直方图中，就是最高矩形的
中点的横坐标
频率 组距
取最高矩形下端 中点的横坐标
2.25作为众数.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O2020/01/.152 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t) 6
2 中位数 中位数左边和右边的直方图面积相等
思考：在城市居民月均用水量样本数 据的频率分布直方图中，从左至右各 频率 个小矩形的面积分别是0.04，0.08， 组距 0.15，0.22，0.25，0.14，0.06， 0.04，0.02.由此估计总体的中位数是 什么t=？2.02
用样本的数字特征估计 总体的数字特征
2020/1/12
1
学习目标
（1）会用样本的基本数字特征估计总体的
基本数字特征。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样
本，从样本数据中提取基本的数字特征（如
平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）正确理解样本数据标准差的意义和作
用，学会计算数据的标准差。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的
标准差 sn 1[x (1x )2(x2x )2 (xnx )2]
标准差（方差）越大，数据的离散程度大 标准差（方差）越小，数据的离散程度越小
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共13张PPT)
的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解的时候，给自己一个微 的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微笑奔跑
=2.02 平均数是2.02.
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.25
0.1
0.22 0.15
0.14
0.04 0.08
0.06 0.04 0.02
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识应用
例1.已知 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频 率分布直方图如右图所示，试利用频率分布直方 图求： (1)这200辆汽车时速的众数与中位数； (2)这200辆汽车的平均时速．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
问题2.我们能否根据频率分布直方图估计这三个 数字特征(众数、中位数、平均数）呢？
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题3.在城市居民月均用水量样本数据的频率分
知识应用
例 2. 某工厂人员及工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
日工资 2200 250
220 200 100
人数 1
6
5
10 1 23
合计 2200 1500
=2.02 平均数是2.02.
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.25
0.1
0.22 0.15
0.14
0.04 0.08
0.06 0.04 0.02
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识应用
例1.已知 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频 率分布直方图如右图所示，试利用频率分布直方 图求： (1)这200辆汽车时速的众数与中位数； (2)这200辆汽车的平均时速．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
问题2.我们能否根据频率分布直方图估计这三个 数字特征(众数、中位数、平均数）呢？
频率/组距
0.6
0.5
0.4
0.3 0.2
0.1
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
4.5
月均用水量/t
知识探究（一）：从频率分布直方图中估计众数
问题3.在城市居民月均用水量样本数据的频率分
知识应用
例 2. 某工厂人员及工资构成如下：
人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
日工资 2200 250
220 200 100
人数 1
6
5
10 1 23
合计 2200 1500
人教B版高中数学必修三课件2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》
（3）平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离
群”的数据，对平均数的影响也越大，与众数和中位
数相比，平均数代表了数据更多的信息，当样本数据
质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能
与实际情况产生较大的误差。
（4）如果样本平均数大于样本中位数， 说明数据中存在许多较大的极端值；反 之，说明数据中存在许多较小的极端值。 在实际应用中，如果同时知道样本中位 数和样本平均数，可以使我们了解样本 数据中极端数据的信息，帮助我们作出 决策。
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2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
一、众数、中位数、平均数
（1）众数：在样本数据中，频率分布最大值 所对应的样本数据或出现次数最多的那个数据。
（2）中位数：样本数据中，累计频率为0.5时 所对应的样本数据或将数据按大小排列，位于 最中间的数据（如果数据的个数为偶数，就取 当中两个数据的平均数作为中位数）。
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 ,，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
s2
1 n [(x1
x )2
(x2
x )2
(xn x )2 ]
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫
做这组数据的方差，一组数据方差越大，
则这组数据波动越大。
（2）标准差：我们把数据的方差的算术
平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
量。
s
1 n
[( x1
群”的数据，对平均数的影响也越大，与众数和中位
数相比，平均数代表了数据更多的信息，当样本数据
质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能
与实际情况产生较大的误差。
（4）如果样本平均数大于样本中位数， 说明数据中存在许多较大的极端值；反 之，说明数据中存在许多较小的极端值。 在实际应用中，如果同时知道样本中位 数和样本平均数，可以使我们了解样本 数据中极端数据的信息，帮助我们作出 决策。
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2.2.2用样本的数字特征估计 总体的数字特征
一、众数、中位数、平均数
（1）众数：在样本数据中，频率分布最大值 所对应的样本数据或出现次数最多的那个数据。
（2）中位数：样本数据中，累计频率为0.5时 所对应的样本数据或将数据按大小排列，位于 最中间的数据（如果数据的个数为偶数，就取 当中两个数据的平均数作为中位数）。
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 ,，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
s2
1 n [(x1
x )2
(x2
x )2
(xn x )2 ]
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫
做这组数据的方差，一组数据方差越大，
则这组数据波动越大。
（2）标准差：我们把数据的方差的算术
平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
量。
s
1 n
[( x1
人教版高中数学必修三第二章第2节 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件(共27张PPT)
问题
有两位射击运动员在一次射击测试中 各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9578768 6 77
x甲 7
x乙 7
问题1解答 解：可计算知S甲=2，S乙≈1.095，由S甲>S乙可以知 道甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由
此可以估计乙比甲的射击成绩稳定。
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每 个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和。
三、 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s
1 n
[(
x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2
]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
3.关于标准差的说明：
1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出S≥0。
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1 n
[( x1
x
)2
(
x2
x
)2
L
(xn x )2 ]
计算标准差的算法：
S1 算出样本数据的平均数x； S2 算出每个样本数据与样本平均数的差
xi x （i=1，2精，选整…理 …，n）；
6
S3 算出 (xi x )2 （i=1，2，…，n）；
S4 算出 (xi x )（2 i=1，2，…，n）这n个 数的平均数，即为样本方差s2；
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解：按键
MODE 2 (进入统计计算状态) SHIFT clR 1 = 将计算器存储器设置
成初始状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键
按键
显示结果
SHIFT S-VAR 1 = 1476.2
一人参赛.
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13
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7； s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
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（3）方差的运算性质：
如果数据 x1, x2,, xn 的平均数为 x ，
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18
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4.在数据统计中，能反映一组数据变化
范围大小的指标是
（A）
A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对
5.已知一个样本1，3，2，5，X，若它的平均
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 , ，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
S5 s 4 2.
所以这组数据的标准差是2.
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9
例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机 地抽取10只进行寿命测试，得数据如下 （单位：h）:
1458，1395，1562，1614，1351，1490， 1478，1382，1536，1496
使用函数型计算器求样本的平均数x和样 本的标准差。
2.2.2 用样本的数 字特征估计总体的
数字特征（二）
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1
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是
平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因为
这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情
况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概
括样本数据的实际状态．
又如：有两位射击运动员在一次射击测试中
那么我们用它们的平均数，即
s2
1 n
[(
x1
x
)2
(
x2
x
)2
L
(xn
x)2]
来衡量这组数据的波动大小，并把它
叫做这组数据的方差，一组数据方差越
大，则这组数据波动越大。
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5
（2）标准差：我们把数据的方差的算术 平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
量。
s
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例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射
击比赛，对他们的射击水平进行测试，两
人在相同的条件下各射击10次，命中环数
如下﹕
甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
（1）计算甲、乙两人射击命中环数的平
均数和标准差；
（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪
方差为 s 2，则
（1）新数据 x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为
x b ，方差为 s2 ．
（2）新数据 ax1, ax2,, axn的平均数为ax ，
方差为 a2s2 ．
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为
a
x
b ，方差为
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a
2
s
2．
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C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
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五、回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征常分两类： 用样本平均数估计总体平均数。 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样 本容量越大，估计就越精确。
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大 小，反映了一组数据变化的幅度．
4 5 6 7 8 9 10 (甲)
环数
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10
环数
(乙)
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3
数据的离散程度可以用方差或标准差 来描述。
为了表示样本数据的波动幅度，通常 要求出样本方差或者它的标准差.
用样本的标准差或方差估计总体的标准 差或方差。
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4
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…， xn中，各数据与它们的平均数x的差的平 方分别是 (x1 x )2 , (x2 x )2,L , (xn x )2
S5 算出方差的算术平方根，即为样本标 准差s。
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7
例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
解：S1 x= —5+—7+—7+—8+—10—+1—1 =8
6
数据 xi
S1 x
S2 xi－x
5
8
－3
S3 (xi－x)2 9
7
8
－1
1
7
8
－1
1
8
8
0
0
10
8
2
11
8
3
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4
9
8
S4 s2= —9+—1+—1+—0+—4+—9— =4； 6
各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于x甲
7，x 乙
7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水
平就没有什么差异吗? 精选整理
2
频率
0.3 0.2 0.1 频率
练习：
(1)若x1, x2 , , xn的方差为4，那么 x1 3, x2 3, , xn 3的方差为_4___
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为__1_2_____
SHIFT S-VAR 2 = 78.7309342
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11
例3.计算数据89，93，88，91，94，90， 88，87的方差和标准差。（标准差结果 精确到0.1） 解：x 90 1 (1 3 2 1 4 0 2 3) 90
8
.
所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 .
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