新课标八年级数学竞赛讲座：第六讲 实数的概念及性质
实数的概念与性质
实数的概念与性质
实数是数学中的一个重要概念，它包括整数、有理数和无理数。实
数的性质是指实数所具有的一些特点和规律。本文将从实数的定义、
种类和性质等方面进行论述。
一、实数的定义
实数是数学上最基本的数集，包括了所有的有理数和无理数。有理
数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和纯循环小数等；而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数，如π和根号2等。实数集通常用R表示。
二、实数的种类
实数可以分为有序实数和无序实数。有序实数是可以按大小进行比
较的，它们包括正实数、负实数和零；而无序实数则是无法进行大小
比较的，例如无理数。有序实数的性质更具体、更明确，后文将重点
论述有序实数的性质。
三、实数的性质
1. 实数的闭包性：实数集在四则运算下仍然保持封闭，即实数的加、减、乘、除的结果仍然是实数。
2. 实数的稠密性：有理数和无理数在实数集中是密集排列的，对于
任意两个实数a和b（a<b），必然存在一个有理数和一个无理数，它
们位于a和b之间。
3. 实数的无限性：实数集是无限的，既没有最大值也没有最小值。任意正实数都可以找到一个比它更大的实数，任意负实数也都可以找到一个比它更小的实数。
4. 实数的传递性：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b，b<c，则必有a<c。这一性质是实数大小比较的基础。
5. 实数的稳定性：实数在加法和乘法下具有稳定性，即实数的加法和乘法不受运算顺序的影响。
6. 实数的有界性：实数集在区间上具有有界性，即如果一个实数区间存在上界，则必然存在最小上界；如果一个实数区间存在下界，则必然存在最大下界。
八年级上册华东数学知识点
八年级上册华东数学知识点
一、实数的概念与性质
实数是数学中的基本概念之一，对于八年级的数学学习，实数的概念与性质都是必须要掌握的内容。
1. 实数的概念
实数是指所有有理数和无理数的集合，用R表示，包括整数、分数、小数、根号下非完全平方数等。
2. 实数的性质
（1）实数加法满足交换律、结合律和分配律；
（2）实数乘法满足交换律、结合律和分配律；
（3）实数加法和乘法都有零元素和单位元素；
（4）实数加法有相反数，实数乘法有倒数。
二、平面图形的性质和计算
平面图形是中学数学中的重点内容之一，八年级的数学学习中，需掌握平面图形的性质和计算方法。
1. 三角形的性质
（1）三角形内角和定理：任何一个三角形的内角和等于180°。
（2）等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。
（3）直角三角形的性质：直角三角形的两直角边的平方和等
于斜边的平方。
2. 四边形的性质
（1）平行四边形的性质：对边平行，对角线互相平分。
（2）矩形的性质：四个内角都是直角。
（3）正方形的性质：既是矩形又是菱形，四边相等。
3. 圆的性质和计算
（1）圆的周长公式：C=2πr，其中r表示半径。
（2）圆的面积公式：S=πr²，其中r表示半径。
（3）圆的切线定理：过圆外一点可以作唯一的一条切线。
三、代数基础知识
代数是中学数学的重点之一，对于初中生而言，掌握好代数基础知识对以后的数学学习大有帮助。
1. 代数中常见符号
（1）代数式：由数或字母及其组合表示的式子。
（2）未知数：用字母表示的数，如x、y、z等。
（3）系数：未知数前面的系数，如3x中，系数是3。
实数的概念与性质
实数的概念与性质
实数是数学中的一种数集，包括有理数和无理数两部分。有理数可
以表示为两个整数的比值，而无理数则无法精确表示为有理数的比值。实数的概念与性质对于数学的发展和应用起着重要的作用。下面将对
实数的概念和性质进行探讨。
一、实数的概念
实数是数学中最基本的数集，包括所有的有理数和无理数。有理数
是可以表示成两个整数之比的数，它们可以无限制地进行有限的或无
限循环的小数表示。无理数是不能表示为有理数之比的数，例如根号2和π等。
实数的概念可以用数轴来表示，数轴是一条直线，上面的每个点都
与实数对应。实数可以根据其在数轴上的位置进行分类，比如正数、
负数和零等。
二、实数的性质
1. 实数的稠密性：实数的稠密性指的是，对于任意两个实数a和b （a<b），一定存在一个实数c满足a<c<b。换句话说，实数在数轴上
没有间隙，任意两个实数之间都可以找到其他实数。
2. 实数的有序性：实数可以根据大小进行比较。对于任意两个实数
a和b，有以下关系：a=b、a<b或a>b。这种有序性使得实数可以进行
数值大小的比较和排序。
3. 实数的闭区间性：实数可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。闭区间指的是包含了区间两端点的实数集合，开区间不包含两端点，
而半开半闭区间则包含一个端点但不包含另一个端点。
4. 实数的运算性质：实数具有加法、减法、乘法和除法等运算。实
数的运算满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
5. 实数的无理数性质：无理数具有无限不循环的小数表示，并且无
理数之间可以进行加法、减法和乘法等运算。无理数的加法和乘法结
(完整版)第六章实数知识点总结
第六章实数
知识网络：
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类
（1）开方开不尽的数，如32
,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
3
π+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16
π是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方
根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式
4、开方规律小结
（1）若a≥0，则a的平方根是a a a
八年级数学实数的概念PPT精品课件
解：有理数有：3.14，25，0.4·1·2·，－ 3 343 ； 无理数有： 3，0.101 001 000 1…，π，－ 7，π2.
【易错警示】判断一个数是否为无理数，不能仅从形式上 看，带根号的数不都是无理数．
1．下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？
0，13， 2，3.5．，－2.143，π. 有理数：___0_，_13_，__3_._5_，__－__2_.1_4_3__；
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实数的分类(难点) 例 1：下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？
3．14，25， 3，0.4·1·2·，0.101 001 000 1…， π，－ 3 343 ，－ 7，π2. 思路导引：判断一个数是不是无理数，关键看它是不是无 限不循环小数，是不是开方开不尽的数，是不是含有π的数．如 果一个数是整数或分数，则一定是有理数．
3．实数的分类 (1)按定义分类：
实数
有理数:有限小数或无限循环小数 无理数:无限不循环小数
(2)按性质分类：
正实数
正有理数 正无理数
实数
0
负实数
负有理数 负无理数
4．实数与数轴上的点的对应关系 (1)实数与数轴上的点是_一__一__对__应_的． 即每个实数都可以用数轴上的一个__点__来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个__实__数__． (2)在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点 表示的实数大．
实数ppt课件
contents
目录
• 实数的基本概念 • 实数的运算规则 • 实数的四则运算 • 实数的应用举例 • 实数与有理数、无理数的关系 • 实数与其他数学概念的联系与区别
01
实数的基本概念
实数的定义与性质
实数的定义
实数包括有理数和无理数，是有理数与无理数的总称 。有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则不 能用有限的或无限循环的小数表示。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
实数的分类与表示方法
实数的分类
实数可以分为有理数和无理数两大类。有理数包括整 数和分数，而无理数则不能用有限的或无限循环的小 数表示，如π、√2等。
实数的表示方法
实数可以用小数、百分数、分数、算数、几何、概率等 多种方法表示。小数表示法是最常用的表示方法之一， 如1.23、3.14等。百分数表示法是将小数乘以100，如 12.34%等。分数表示法是将小数写成分数的形式，如 1/2、2/3等。算数表示法是用加减乘除等运算符号连 接多个数字来表示一个实数，如3+4.5、5*6等。几何 表示法是用长度、面积、体积等几何量来表示一个实数 ，如圆的半径、正方形的边长等。概率表示法是用概率 分布来表示一个实数，如掷一枚硬币正面朝上的概率为 1/2等。
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工程设计
在工程设计中，实数也扮演 着重要的角色。以下是几个 方面的例子
机械设计：在机械设计中， 实数被用于计算扭矩、应力 、应变等力学量。例如，在 设计桥梁时，需要使用实数 来计算各个截面的应力分布 情况。
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
05
1. 正整数指数：当指数 为正整数时，幂运算的 结果是原始数的重复次 数。例如，a^n表示n个 a相乘。
2. 负整数指数：当指数 为负整数时，幂运算的 结果是原始数的倒数。 例如，a^(-n)=1/a^n。
3. 分数指数：当指数为 分数时，幂运算的结果 是原始数的该分数的次 方根。例如， a^(m/n)=√(a^m)。
02
统计分析：在统计分析中， 实数被用于计算平均值、标 准差、相关系数等统计量。 例如，在研究一个产品的销 售情况时，需要使用实数来 分析销售数据的变化趋势。
八年级数学竞赛讲座实数的概念及性质附答案
第六讲 实数的概念及性质
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．
由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p
q
的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数
p
q
的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解
【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．
注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )
初二数学基础实数概念与性质速览
初二数学基础实数概念与性质速览在初二数学的学习中，实数是一个非常重要的概念，它是我们进一
步学习数学知识的基础。实数包括有理数和无理数，它们在数学中有
着广泛的应用。接下来，让我们一起快速浏览一下实数的概念与性质。
一、实数的概念
1、有理数
有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无
限循环小数。例如，－3、0、1/2、0333（3 循环）等都是有理数。
整数可以看作是分母为 1 的有理数。例如，－5 可以写成－5/1。
有限小数可以化为分数形式。例如，025 可以写成 1/4。
无限循环小数也可以通过一定的方法转化为分数。比如，0333（3
循环）可以表示为 1/3。
2、无理数
无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。常见的无理
数有π（圆周率）、√2（根号 2）、√3 等。
无理数的发现是数学史上的一个重要事件。例如，古希腊数学家毕
达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们认为所有的数都可以表示为整数
或整数之比。然而，当他们发现边长为 1 的正方形的对角线长度不能
用有理数表示时，引起了巨大的震动。这个长度就是√2，它是一个无理数。
3、实数
实数是有理数和无理数的统称。实数可以用数轴上的点来表示，数轴上的每一个点都对应着一个实数，反过来，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。
二、实数的性质
1、实数的运算性质
（1）加法和乘法的交换律
对于任意两个实数 a 和 b，有 a ＋ b ＝ b ＋ a，a × b ＝ b × a。
（2）加法和乘法的结合律
对于任意三个实数 a、b 和 c，有（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)，（a × b) × c ＝ a ×（b × c)。
实数的概念及性质
第六讲 实数的概念及性质
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p
q
的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数
p
q
的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解
【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．
注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
实数的概念及性质
实数的概念及性质
篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算
实数的概念
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母R 表示。而表示n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
实数的运算法则
1、加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：
2、减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)
3、乘法法则：
（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：．
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．
《实数》ppt课件
详细描述
在化学、物理和工程领域中，温度、热量和能量的测 量是必不可少的。实数可以用来表示这些测量结果， 并且能够进行精确的计算和分析。例如，在计算物体 的温度时，实数可以用来表示温度值；在计算物体所 吸收或释放的热量时，实数可以用来表示热量值；在 计算物体所具有的能量时，实数可以用来表示能量值 。
05
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
配律。
无穷大和无穷小
无穷大的定义
在某个过程中，一个变量逐渐增大并超过所有有限的数值，称为 无穷大。
无穷小的定义
在某个过程中，一个变量逐渐减小并趋近于零，称为无穷小。
无穷大和无穷小的性质
无穷大和无穷小是数学中的重要概念，它们在极限、导数和积分等 领域有着广泛的应用。
无理数的性质和证明
无理数的定义
无法表示为两个整数之比的实数称为无理数。常见的无理 数有π和√2等。
CATALOGUE
实数的扩展知识
初中数学知识归纳实数的性质
初中数学知识归纳实数的性质实数是数学中一种重要的数集，它包括有理数和无理数。实数的性
质涵盖了有序性、稠密性、无穷性以及连续性等方面。本文将对初中
数学中关于实数性质的知识进行归纳总结，并分别进行阐述。
一、实数的有序性
实数具有可比较性，即任意两个实数可以通过大小比较的方式进行
比较。这是因为实数中每个数都可以用数轴上的一点表示出来，而数
轴上的点是有序排列的。对于任意两个实数a和b，存在以下三种可能
的关系：
1. a=b，即a与b相等；
2. a<b，即a小于b；
3. a>b，即a大于b。
二、实数的稠密性
实数的集合在数轴上是稠密分布的。这意味着，在任意两个实数之间，必定存在另外一个实数。以有理数为例，对于任意两个有理数a
和b（a<b），必定存在一个有理数c，使得a<c<b。同样地，对于无理
数也是如此。这个性质使得实数集合中的数是无间隔的，没有“空隙”。
三、实数的无穷性
实数集合是无穷的，即实数的个数是无穷多的。在数轴上，实数可
以无限延伸向左和向右。即使在有理数中，我们也可以找到无数个数。
例如，对于任意一个有理数，总可以在它附近找到一个比它更小的有理数。这告诉我们实数是没有边界的，它的数目是不可数的。
四、实数的连续性
实数的连续性是指数轴上没有空隙，没有间断。对于任意两个实数a和b（a<b），存在一个实数c在它们之间，即a<c<b。这个性质可以用实数集合的稠密性来证明。对于任意一个间隔，无论多么小，始终存在实数填补其中。
通过对初中数学中实数性质的归纳总结，我们可以看到实数集合是一个无穷且连续的数集。实数的有序性可以让我们对实数进行比较和排序，而实数的稠密性和无穷性则保证了实数集合中的数密集地分布在数轴上。实数的连续性使得实数集合没有间断，可以通过任意小的间隔将数轴上的实数划分为无数个区间。
实数的知识点总结课件
实数的知识点总结课件
一、实数的概念
1.1 实数的定义
实数是数学领域中的一种数字概念，包括有理数和无理数。实数是可以用来度量和计算数量的数，是数学中最基本的数。
1.2 实数的分类
实数可以分为有理数和无理数两类。有理数是可以用整数或整数分数表示的数，而无理数是不能用有限的整数或整数分数表示的数。
二、实数的性质
2.1 实数的加法
实数的加法满足交换律、结合律和分配律。即对于任意的实数a、b、c有：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。
2.2 实数的减法
实数的减法满足异减法a-b=a+(-b)，其中-a称为a的相反数，满足a+(-a)=0。
2.3 实数的乘法
实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。即对于任意的实数a、b、c有：ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
2.4 实数的除法
实数的除法满足a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。
2.5 实数的乘方
实数的乘方满足乘方的次序异法则：(a^m )^n=a^(mn)，其中a为非零实数，m和n为任意实数。
三、实数的表示和比较
3.1 实数的表示
实数可以用数轴上的点表示，数轴上任意一点与原点的距离称为这个点的坐标。
3.2 实数的比较
实数的比较可以通过数轴上的位置进行比较，即若a在b的左边，则a小于b，若a在b
的右边，则a大于b。
四、实数的运算
4.1 实数的加减运算
实数的加减运算即是对实数进行加法和减法的操作，按照加法和减法的性质进行运算。
4.2 实数的乘除运算
实数的乘除运算即是对实数进行乘法和除法的操作，按照乘法和除法的性质进行运算。
实数的有关概念课件
欢迎来到我们的实数概念课程！在这个课件中，我们将探索实数的定义、表 示与运算、基本性质、应用以及扩展，帮助您深入理解实数的重要概念。
实数的定义
实数的概念
介绍实数的定义和特征。
实数的分类
将实数按照不同的分类方式进行介绍和归类。
实数的表示与运算
Βιβλιοθήκη Baidu
实数的表示方法
介绍实数的常见表示方法， 如小数、分数和百分数。
实数的加减除运算
详细解释实数的加法、减法 和除法运算规则。
实数的乘幂、开方 运算
探索实数的乘幂和开方运算， 包括平方、立方和根号的计 算方法。
实数的基本性质
1 实数的大小比较
讨论实数之间大小比较 的规则和性质。
2 实数的代数性质
介绍实数的代数性质， 如交换律、结合律和分 配律。
3 实数的三角函数
探索实数与三角函数之 间的关系和应用。
介绍实数的完备性公理和实数 集的特殊性质。
实数的应用
1
实数在几何中的应用
讨论实数在几何学中的应用，如坐标系和距离计算。
2
实数在单变量函数中的应用
介绍实数在单变量函数中的重要作用，如函数图像和方程求解。
实数的扩展
无理数的概念
解释无理数的定义和特点，如 无限不循环小数。
无理数和实数的关系
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
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七年级
第一讲走进美妙的数学世界
第二讲跨越——从算术到代数第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想
第四讲数轴——数与形的第一次
碰撞
第五讲解读绝对值
第六讲计算——工具与算法的变
迁
第七讲物以类聚——话说同类项第八讲一元一次方程
第九讲绝对值与一元一次方程第十一讲列方程解应用题——设元的技巧
第十二讲社会、生活、经济——
情境应用题
第十三讲一次方程组
第十四讲一次方程组的应用
第十五讲倾斜的天平——由相
等到不等
第十六讲不等式（组）的应用第十七讲整式的乘法与除法
第十八讲乘法公式
第十九讲丰富的图形世界
第二十讲线段
第二十一讲角
第二十二讲平行线的判定与性质第二十三讲简单的面积问题第二十四讲质数、合数与因数分
解
第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析
第二十六讲整数整除的概念和性质
第二十七讲不定方程、方程组第二十八讲计数方法
第二十九讲最值问题
第三十讲创新命题
第三十一讲代数式的值
第三十二讲最大公约数与最小公倍数
八年级
第一讲分解方法的延拓
第二讲分解方法的延拓
第三讲因式分解的应用
第四讲分式的概念、性质及运算第五讲有条件的分式的化简与求值
第六讲实数的概念及性质
第七讲二次根式的运算
第八讲二次根式的化简求值
第九讲三角形的边与角
第十讲全等三角形
第十一讲等腰三角形的性质
第十二讲等腰三角形的判定
第十三讲从勾股定理谈起
第十四讲多边形的边角与对角线
第十五讲平行四边形
第十六讲完美的正方形
第十七讲梯形
第十八讲由中点想到什么
第十九讲平行截割
第二十讲飞跃-从全等到相似
第二十一讲相似三角形的性质第二十二讲直角三角形的再发现
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第六讲 实数的概念及性质
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p
q
的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数
p
q
的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解
【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．
注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )
A ．小于0的有理数
B ．大于0的有理数
C ．小于0的无理数
D ．大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且0320
91412)121341()233
1(=---++
b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程
组．
【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)
(2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)
思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．
注： 设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质：
(1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ．
【例5】 已知在等式
s d
cx b
ax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答： (1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③ r 的倒数r
1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．
注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．
学力训练 1．已知x 、y 是实数，
096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ．
(2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程
0185=++-+y y x 的解是 ．
4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898 ．
(济南市中考题)
5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( )
A ．12-
B ．21-
C ．22-
D ．22- (江西省中考题)
6．已知x 是实数， 则π
ππ1
-+-+-x x x 的值是( )
A ．π
1
1-
B ．π
1
1+
C ．
11
-π
D ．无法确定的
( “希望杯”邀请赛试题)
7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题)
8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．
(山西省中考题)
9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，2
22=S ；41)3(2=+，2
3
3=
S ；… (1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 10的长；
(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足
04
1
2212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ． 11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)2
3
1()3
2
1(=--+++ππ
πy x ，那么x －y 的值是 ．
( “希望杯’邀请赛试题)
12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)
13．已知正数a 、b 有下列命题：
①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则2
3≤ab ； ③若a ＝2，b=3，则2
5
≤
ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ． 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a ，那么代数式a a
+1
的值为( ) A ．
25 B ．2
5- C ．5- D ．5 (重庆市竞赛题)
15．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21⨯]+[32⨯]+[43⨯]+…+[101100⨯]的值为( )
A ．5151
B ．5150
C ．5050
D ．5049
( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a b a b a -+的值为( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．3 (全国初中数学竞赛题) 17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证： 2 2 2 )(1)(1)(1a c c b b a -+ -+ -为有理数． 18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量