D1-4 极限的运算法则

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1-4极限的基本性质

如何求 M ？可取
M max{ x1 , x2 ,..., x N , a 1}.
证设取 1 , 则 N Z , 当n N 时, 有
xn a 1 ,
从而有
xn a a 1 a
M max x1 , x2 , , x N , 1 a
取则有

xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注
关系： xn 收敛
xn 有界
反之未必成立 . 例如, 数列 ( 1 )n1 虽有界但不收敛 .
推论无界数列必发散. 定理1.2'(函数极限的局部有界性) 如果极限 lim
x
f ( x ) 存在,
例如: 数列 xn 1 n 1 （）
数列 xn 2
[ M , M ]上.
n
有界
无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间
定理1.2 (收敛数列的有界性) 如果数列 { xn }收敛,那么数列
{ xn } 一定有界.
问题
xn
对于无限多项
( n 1, 2, ...)，
f ( x) A .
又 lim xn x0 且 xn x0 ,
n
对上述 0, 正整数N , 使当n N时, 恒有
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A , 故 lim f ( xn ) A.
n
注 1° 常常利用上述结果来求数列的极限:
n
ab 2
,
故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
ab 2 ab 2 xn

高数上D1_4函数的极限

内容小结
1. 函数极限的
或
定义及应用
2. 函数极限的性质:
保号性定理
与左右极限等价定理
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
例3
Th1
Th3
Th2
是否一定有
？
或
即
当
时, 有
若
记作
几何解释:
极限存在
函数局部有界
这表明:
例2. 证明
证:
欲使
取
则当
时 , 必有
因此
只要
例3. 证明
证:
故
取
当
时 , 必有
因此
例4. 证明: 当
证:
欲使
且
而
可用
因此
只要
时
故取
则当
时,
保证 .
必有
三. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
定理 1 .
例5. 设函数
证:
取
因此
注:
就有
故
欲使
即
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
二、自变量趋于有限值时函数的极限
定义2 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
则称常数 A 为函数
当
时的极限,
第一章
二、自变量趋于有限值时函数的极限

(完整版)极限四则运算法则

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理 1 若 limf(x) A,lim g(x) B ，则 lim[f(x) g(x)]存在，且lim[ f (x) g (x)] A B lim f (x) lim g(x)。

所以 lim(f (x)g(x))x x o其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理 2:若 lim f (x) A,lim g(x) B ，则 lim f (x)证明：只证lim[ f(x)g(x)] A B ，过程为 xX 0，对 0, i 0，x X o时，有f (x) A 3,对此，20,当 0 x x o时，有g(x)(f(x)g(x)) (A 2，取 min{2｝，当 0 x x o 时，有B)| |(f(x) A)(g(x) B) f(x)A |g(x)lim f (x)g(x)AB lim f(x)lim g(x)。

证明：因为lim f (x) 代 lim g(x) B ，f (x) A ,g(x) (,均为无穷小)f(x)g(x) (A)(B) AB(A )，记为无穷小,lim f(x)g(x)AB 。

推论1： lim[ cf (x)] clim f (x) ( c 为常数)。

推论2： lim[ f(x)]n[lim f (x)]n(n 为正整数)。

定理3：设 lim f (x) A,lim g(x)A lim f(x)B lim g (x)g(x)存在,证明：设f(x) A ,g(x) B (,为无穷小)，考虑差:【例 11 lim (ax b) lim ax lim ba lim xb ax o b 。

x X o x x o x x ox x o【例 2】 lim x n[lim x]nx o n 。

x X ox x o推论 1: 设 f(x)a o x na 1x n 1an 1xa n 为一多项式，当 lim f(x)n a o xo n 1a 1 xo an1x o anf (x o )。

高等数学1-4极限的运算法则

u u0

说明：此公式形式多样；有时需区分正负例题计算
(1) lim arctan e x , lim arctan e x , lim arctan e x
x x x
1 1 1 (2) lim arc cot , lim arc cot , lim arc cot x 0 x x 0 x x 0 x

问答：P45-1（4，6，14）作业：P45-1（1，2，3，15）

讨论：如果两个函数极限都不存在，那么二者和差积商的结果如何呢？例 P46-5（ B）

三．复合函数极限法则P47

定理2. 设 lim g ( x) u，则 0
x x0
x x0
lim f ( g ( x)) lim f (u )
小结一、确定型 1.代入 2.四则运算、复合运算 3.无穷小、无穷大小关系二、未定型 1.0/0 消零因子 2. ∞/∞ 同除∞ 3. ∞-∞ 通分、有理化
讨论：下列运算错在何处？
1 1 1 (1) lim sin x cos lim sin x lim cos 0 lim cos 0; x0 x0 x0 x x0 x x
第四节极限的运算法则
一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则
一、无穷小与无穷大P37

定义1：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的极限是0，那么就称f(x)是x的这一变化过程中的无穷小

定义2：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的绝对值无限增大，那么就称f(x) 是x的这一变化过程中的无穷大，记为 lim f ( x)

D1-4=1=无穷大与无穷小极限运算法则

无穷小因子析出法
解 x 时, 分子,分母的极限均为无穷大.
3 x 方法先用去除分子分母, 分出无穷小,
无穷小分出法求有理函数当 x 的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出无穷小, 再求极限.
3 2 1 2 3 3x 2x 1 0 x x x lim 3 lim 0. x x 3 x 5 x 3 5 1 1 2 3 x x
④ (2)有两个重要的推论
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则
lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

高等数学 1-4 无穷小与无穷大及极限运算法则

( 1) n
n
0 , 数列 {
( 1) n
}是当 n 时的无穷小
.
无穷小的运算性质:
(1) 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 , n 时 , 但 n个 1 n 1 n 之和为 1不是无穷小 . 是无穷小，
无穷小与无穷大的关系
定理在同一种变化情况下,
(1)无穷大的倒数为无穷小;
(2)恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
补充：
分清无穷小和有界，无穷大和无界这两组概念无穷大必无界，而无界未必无穷大
极限运算法则
e . g .1 .求 I= lim (x h) x
)
x sin x x 1
0
(4)无穷小与函数极限的关系.
定理
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
问题：
对于f ( x) 2x
2 2
Hale Waihona Puke x 3，能否将其表示成一个无穷小+其极限的形式？
分清无穷小和有界无穷大和无界这两组概念无穷大必无界而无界未必无穷大混凝土衬砌渠道具有防渗抗冲效果好输水能力大经久耐用便于管理等特点
第四节无穷小与无穷大及极限运算法则
一、无穷小(量)
1.定义:
在自变量某种变化下， f ( x ) 以零为极限，把 f ( x ) 称为在该变化下的无穷小(量) .
若函数
二、无穷大(量)
定义: 在自变量某种变化下， f ( x ) 可无限增大，把 f ( x ) 称为在该变化下的无穷大(量) .

1-4极限的运算法则

若 lim( x) ， x x0
内, 则有（证略 P20）
极限的变量代换
例7.求
解:
令
u

x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
例.求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、极限的四则运算法则
定理 3 . (1) 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 极限的变量代换
注意使用条件
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知矛盾.
x0 x( x 1 1) x0
1
1
x11 2
例.
求极限
lim x1
x
1 1

2 x2
1
解:原式＝lim ( x 1) 2 lim 1 1 x1 ( x 1)( x 1) x1 x 1 2
三、复合函数的极限
定理4. 设在邻域又

(完整版)极限的运算法则及计算方法

第二节极限的运算法则
一．极限的四则运算法则定理设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：

极限的性质与四则运算法则

。
0
2lim( x212x)2 。
x 3x2 1
计
3lim ( x x x x)。
算
x
极限
4xl im 2(x12x3128)。
5limarctan1 。
x0Biblioteka x思考题若 li(m a xx2x 1 b )0， a 、求 b。 x
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
0

lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00

a b
n m

nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例求极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
注求分式极限，楚一是 0定还看是。清 0
4、有理化法若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之
有理化。
例求极l限 im 5 4x。计算过程 x1 13 x
练习求 li极 ( x m a ) x ( b ) 限 ( x a ) x ( b ) 。 x
二、四则运算法则根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数
ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。

1-4函数的极限

x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
2.另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
1
o
x
1
x
x
lim
x 0
x
lim x 0
x
lim 1 1 x0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
三、函数极限的性质
定理(保号性) 若 lim f (x) A,且A 0(或A 0), x x0
0
则 0,当x U (x0, )时, f (x) 0(或f (x) 0).
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
一、填空题:
练习题
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当取 ___时，只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
x x0
x x0
lim f ( x) A.
x
x
0
lim f ( x) A 0,时刻,从此时刻以后,
恒有 f (x) A .
过程 n
时刻
从此时刻以后 n N f (x)
x x x
N
x N x N x N
f (x) A
过程时刻
x x0
x x0

极限的四则运算全部公式

极限的四则运算全部公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊极限的四则运算全部公式，这玩意儿在数学里可重要啦！先说说加法，极限的加法公式就像是搭积木。

如果有两个函数的极限分别存在，比如说函数 f(x) 的极限是 A，函数 g(x) 我给它设定个极限是 B，那它们相加 f(x) + g(x) 的极限就是 A + B 。

这就好比你有一堆红色积木，数量极限是 A 个，还有一堆蓝色积木，数量极限是 B 个，把它们合在一起，总的积木数量极限不就是 A + B 嘛。

再看减法，其实和加法差不多，就是把加变成减呗。

还是刚才那两个函数 f(x) 和 g(x) ，极限分别是 A 和 B ，那 f(x) - g(x) 的极限就是 A - B 。

这就好像从那堆总数极限是 A 的红色积木里，拿走总数极限是 B的蓝色积木，剩下的不就是 A - B 嘛。

然后是乘法，这个有点意思。

如果 f(x) 的极限是 A ， g(x) 的极限是 B ，那么 f(x)×g(x) 的极限就是 A×B 。

想象一下，一个正方形的边长函数极限是 A ，另一个正方形的边长函数极限是 B ，那它们的面积函数相乘，极限不就是两个正方形面积极限的乘积嘛。

最后是除法，得注意点儿，分母的极限不能为 0 。

如果 f(x) 的极限是 A ， g(x) 的极限是 B ，而且 B 不等于 0 ，那 f(x)÷g(x) 的极限就是A÷B 。

这就好比你有 A 个苹果要分给 B 个人，只要 B 个人不是 0 ，那每个人能分到的苹果数的极限就是 A÷B 。

我记得之前有一次给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白。

我就给他举了个特别简单的例子，说咱们学校运动会，跑步比赛，甲同学每秒跑的距离函数极限是 5 米，乙同学每秒跑的距离函数极限是 3 米，那甲同学比乙同学每秒多跑的距离函数极限不就是 5 - 3 = 2 米嘛。

第3节极限的四则运算法则及函数极限的基本性质

有定义, 有定义,若
x → x0
lim g ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
o
u → u0
且存在 δ 0 > 0 ,当 x ∈ U ( x0 , δ 0 ) 时,有 g ( x ) ≠ u0 ,则
x → x0
lim f [ g ( x )] = lim f ( u) = A.
f ( x) A ( 3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x ) B
说明: 说明 (1) 条件很重要,要两个极限都存在; 条件很重要, 两个极限都存在; 结论有两层含义: (2) 结论有两层含义: 其一,定性上指出了相应的极限都存在; 其一,定性上,指出了相应的极限都存在; 其二,定量上给出了相应极限的值. 其二,定量上,给出了相应极限的值.
说明: 说明 (3) 条件仅是充分条件,不是必要条件; 条件仅是充分条件,不是必要条件; f ( x) lim[ f ( x ) ± g ( x )] , lim f ( x ) ⋅ g ( x ) , lim 存在, 存在 , g( x ) 都不能推出 lim f ( x ) 与 lim g ( x ) 的极限存在. 都不能推出的极限存在.
u → u0
同样, 结论仍成立. 同样,将定理中 x → x0 换成 x → ∞ ,结论仍成立.
例 8 求:(1) lim−
x→0
1 ex
; (2) lim+
x→0
1 ex
1 ; (3) lim sin . x→∞ x
二、函数极限的性质
1.极限存在的惟一性 1.极限存在的惟一性
定理存在,则极限惟若 lim f ( x ) 存在,则极限惟一.
x→2 x→2 x→2

极限的讲解及运算

非零数型 d.利用无穷小运算性质求极限; 0
型
e.利用左右极限相等求分段函数极限; f.利用两个重要极限公式求极限.
微积分
四、无穷小量的阶
例如
当x 0时, x、 x 都是无穷小.
2
但是, x 比x趋向于0的速度快.
无穷小量的阶就是来衡量无穷小趋向于 0的速度快慢程度.
2
微积分
定义
微积分
x 1 x 1 lim 0 lim C. lim x0 2 x x( 1 x 2 1) x0 1 x 1 x0
2
x2
当x 0时, tan x是x的高阶无穷小.
x lim x D. lim x 0 x x 0
3
2 3
lim
微积分
练习
x2 1 lim x 3 x 3
x 3 解 lim 2 0 x3 x 1
x2 1 lim x 3 x 3
微积分
x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
消去零 0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 型) 因 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限. 子法 2
1 1 1
微积分
练习
sin 2 x 2 1 、 lim _________ . x0 x
3 3x 2、 lim _________ . 2 x0 sin 2 x
sin 2 x 3、 lim x0 sin 7 x
2 7 __________ .
1 2 __________ .
解当x 时, 1 为无穷小, x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x

D1_4无穷小无穷大D1_5极限运算法则

高等数学（上）
Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an是一个无穷大量. 且当 Pn ( x)有意义时， Pn ( x)也是一个无穷大量.
m m
如 : x ,3 x 2 2 x 1是无穷大量. x , 3 x 2 x 1也是无穷大量.
高等数学（上）
22/36
第五节极限运算法则
一、极限的四则运算法则
二、复合函数的极限运算法则
三、极限的计算方法
高等数学（上）
23/36
定理1 设某一变化过程中,变量u, v分别以A, B为极限, 即lim u A,lim v B, 则在同一变换过程中,有
(1) lim(u v) lim u lim v A B;
高等数学（上）
9/36
4.局部保号性
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 使得当
x x0
0 | x x0 | 时, 有f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论若 lim f ( x) A, 且在x0的某空心邻域内f ( x) 0
当
时为无穷小;
时为无穷小.
说明 (1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小. (2)变量是否为无穷小与变化过程有关.
高等数学（上）
14/36
x x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x), 其中(x)为
定理1 (无穷小与函数极限的关系) (以x x0为例)
x
则称常数
lim f ( x) A
( X 定义)
高等数学（上）
4/36
几何解释

6高数1-5 1-4极限的四则运算法则

1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1

1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
方法点击:关键找到辅助的两个数列.使得夹逼准则条件成立.
高等数学
Higher mathematics
1

1
lim (
x2
2x x2
4

x
1
) 2

?

lim
x2
x2 x2 4
lim 1 1 x2 x 2 4
高等数学
Higher mathematics
7.

型 ——无穷小因子分出法
例9 . 求
=0

解:
时,分母
分子
则原式
33x lxilxmlxiimm5 5
高等数学
Higher mathematics
6. ( 型 ) 通分——约零因子
3
1
例8求
lim(
x1
x
3
1
x
) 1
解:
原式

lim
x1
3

(x2 (x3

x 1)
1)
(x 2)(x 1)
lim x1
(x3 1)
(x 2)

lim
x1
x2

x
——不能求和就用夹逼准则
例10
求
lim(1
n

1 2
)(1

1-4 极限的运算法则

求极限lim(2x3 − 3x2 + 2). 例4
x→1
解
lim(2x3 − 3x2 + 2) = lim(2x3 ) − lim(3x2 ) + lim2
x→1 x→1 x→1 x→1
= 2×13 − 3×12 + 2 = 1.
一般地，设有多项式有理整函数有理整函数) 一般地，设有多项式(有理整函数则
1+ 2 x+2 = 2 = 1. = lim 2 x→ x + x + 1 1 1 + 1+ 1
例10 解
2x2 + x −1 . 求lim 2 x→∞ x −2
1 1 − 2 2x2 + x −1 x x = 2. lim = lim x→∞ x→∞ 2 x2 − 2 1− 2 x 2+
例11
f ( x) = a0 xn + a1 xn−1 +⋅⋅⋅ + an−1 x + an ,
x→x0
lim f ( x) = lim(a0 xn + a1 xn−1 +⋅⋅⋅ + an−1 x + an )
x→x0
x→x0 x→x0 x→x0
= a0 lim xn + a1 lim xn−1 +⋅⋅⋅+ an−1 lim x + an
x2 −1 . 求lim 3 x→∞ x + x + 2
解分子分母同除以 3，再求极限，得分子分母同除以x 再求极限，
1 1 − 3 x −1 lim 3 = lim x x = 0. x→∞ x + x + 2 x→∞ 1 2 1+ 2 + 3 x x x<0 x −1 2 f ( x) = x + 3 x − 1 , 求： f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) lim x →0 x →+∞ x →−∞ x≥0 x3 + 1

1-4极限运算法则

2
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0, x →1
由无穷小与无穷大的关系,得由无穷小与无穷大的关系得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x2 − 1 . 例3 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限 . 后再求极限
y
x →0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x ) = 1.
x→0
定理（运算法则）定理（复合函数的极限运算法则）设函数 u = ϕ ( x ) 当 x → x0 时的极限存在且等于 a，即 lim ϕ ( x ) = a，
n
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = = f ( x 0 ). x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x → x0 x → x0
0
1 有意义由保号性知∃U ( x0 )使g ( x ) ≠ 0. ∴ g( x )
1 (Ι). lim g( x) = B ⇒ ∀ε > 0(ε < | B |), x→x0 2 0 ∃Uδ ( x0 )使得
0
| g ( x ) − B |< ε , ∀x ∈ Uδ ( x0 ).
由此,
| g ( x ) | B| ≤| g ( x ) − B |< ε , |1 0 | g ( x ) | > | B | −ε > | B |, ∀x ∈ Uδ ( x0 ) 2