电磁矢论 第二章、电磁场的基本规律

库伦定律（库伦、1785年）：真空中两静止的点电荷q1和
q2之间的作用力大小与两电荷的电荷量呈正比，两电荷距 1. 标量和矢量
离的平方呈反比，方向沿q1和q2连线方向，其数学表达式 为：
F12
q1q2 R12 , R12 r2 r1 3 4 0 R12
z
q1 r1
2 1 4 R R
q 1 S R dS 40
q EdS
S
1 V R dV
2

0

V
R dV
2.2 真空中静电场的基本规律
因带电体包含在闭合曲面之内，积分区域包含 R 0 的点，则
V R dV 1 q 得到高斯定理的积分形式： EdS
S

0
1. 标量和矢量 物理意义：电场强度矢量穿过闭合曲面S的通量等于该闭合面
所包围的总电荷与ε0之比，与曲面外电荷无关。
应用：当电荷分布有一定对称性时，可利用高斯定理的积分形
式很方便的计算电场强度，如：球对称分布，轴对称分布。
若已知S中的电荷体密度，则S内的总电荷为：
q
S
S r dS
o
y
2.1 电荷守恒定律
（3）电荷线密度 电荷连续分布于横截面积可忽略的曲线l上，用电荷线密度描述 其分布：

q dq C m l r lim l 0 l dl
q 1. 标量和矢量 l r dl
2.2 真空中静电场的基本规律
2、静电场的散度和旋度 （1）散度和高斯定理
真空中一带电体产生的电场的电场强度为： E
q 4 0 R 3
R
两边同时对任一包含该带电体的闭合曲面积分有： 1. 标量和矢量
q R q SEdS 40 S R3 dS 40
l
z
r
q
若已知l中的电荷线密度，则l内的总电荷为：
o x
P l
y
设点电荷分布于任一点，其位置矢量为 r ，则空间任一点处
的电荷密度为：
（4）点荷面密度
z
r
r q r r 0, r r r r , r r
2.1 电荷守恒定律
据电荷守恒定律知，单位时间内从闭合面S内流出的电荷 量等于闭合面所限定的体积V内电荷的减少量，即：
反映一个区域内电荷 dq i J dS 变化与电流流动的宏 S dt 观关系。 dq 电流连续性方程积分形式： 1. 标量和矢量 SJ dS dt V t dV
S
2.1 电荷守恒定律
（2）面电流 ——电荷在一厚度可忽略的薄层上定向运动形成
i di J S 的定义： J S en lim 标量和矢量 en 1. l 0 l dl J S 的单位是A/m（安/米）。
i J S e t dl
l
的电流。 引入面电流密度矢量 J S 来描述面电流的分布情况。


z
P
o
q
V V
若已知V中的电荷体密度，则V内的总电荷为：
q 1. 标量和矢量 r dV
V
r
y
x 电荷连续分布于厚度可忽略的曲面S上，用电荷面密度描述其
（2）电荷面密度
分布：
q dq S r lim C m2 S 0 S dS


x
z
S q P S r
q
o x
y
2.1 电荷守恒定律
2、电流及电流密度
电流：由电荷的定向运动形成，其大小通常用电流强度
（简称电流，单位安培（A)）i来表示。
q d q 电流强度i的定义： i lim t 0 t dt
电流强度（电流）的物理意义：单位时间内流过曲面的电 荷量。 形成电流的条件：存在可以自由移动的电荷；存在电场。 电流通常是时间的函数，恒定电流是不随时间发生改变的 电流，用I表示。
应用散度定理 JdV J dS ，有 V S V JdV V t dV 转换得： 电流连续性方程微分形式： J 0 t
描述空间某点处电荷 变化与电流流动的局 部关系。
2.1 电荷守恒定律
对于恒定电流，电流不随时间变化，那么在空间中电荷分 布也不改变，即有：
在宏观上，带电体的电荷量是大量微观带电粒子的总体效应，
可以不考虑其在微观上的离散性，认为电荷是以一定形式连续 分布在带电体上的，可以用电荷密度来描述电荷量在带电体上
的分布。
2.1 电荷守恒定律
（1）电荷体密度 电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度描述其分布：
q dq r lim C m3 V 0 V dV
R12 q2
说明：同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
r2
F12
F12 F21 满足牛顿第三定律。
o
y
x
2.2 真空中静电场的基本规律
静电力服从叠加原理
真空中有N个点电荷： q1、q2…… qn（分别位于 r1、r2 rn ，则位于 r 处的点电荷q受到的作用力等于其余每个点电荷对
0 t
则恒定电流的电流连续性方程为 1. 标量和矢量

S
JdS 0, J 0
其物理意义：流入闭合面S的电流等于流出的电流，即恒
定电流场一定是无散场。
2.2 真空中静电场的基本规律
静电场：空间位置固定、电量不随时间（静止）的电荷产 生的电场。
1、库伦定律 电场强度
第二章 电磁场的基本规律
主要内容
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中静电场的基本规律
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件
2.1 电荷守恒定律
电磁场物理模型中的物理量可分为两大类：源量和场量。 源量：电荷（q）和电流（I）。 场量：电场（由电荷产生）和磁场（由电流产生）。
2.2 真空中静电场的基本规律
几种典型分布电荷的电场强度 均匀无限长带电直线段的电场强度
z

M
E
l e 2 0
1. 标量和矢量
l
均匀带电圆环轴线上的电场强度
M
z
a x
y
E
2 0
z
al z
2
a
2

e 32 z
o
l
2.2 真空中静电场的基本规律
电偶极子的电场强度
电场强度矢量定义：单位实验正电荷在电场中所受的作用力， 其单位V/M（伏/米）
1. 标量和矢量 Fq0 q E lim R 3 q0 0 q 4 0 R 0
z
r
q
N个点电荷产生的电场同样服从叠加原理：
1 n qi E R3 Ri 4 0 i 1 i
q的作用力的叠加：
1. 标量和矢量
n n qqi Fq Fqqi Ri , Ri r ri q2 i 1 i 1 4 0 Ri
q3
q4 q q5 q7 q6
q1
2.2 真空中静电场的基本规律
电场强度矢量 E ：描述电场分布的基本物理量。 q0 q 电荷q0在电场中所受的作用力： Fq R 3 0 4 0 R
V
将所有细分区域产生的电场叠加有：
1 E dE V 4 0

V
r R dV 3 R
(r ) r r o
M
y
x
2.2 真空中静电场的基本规律
同理可导出电荷按面电荷密度和线电荷密度连续分布时，电 场强度的计算公式
S r R 1 面电荷密度连续分布： E dE S 40 S R3 dS 1. 标量和矢量 l r R 1 线电荷密度连续分布： E dE l l R3 dl 4 0
1. 标量和矢量
2.1 电荷守恒定律
在电磁场理论中，常用的电流分布模型有：体电流、面电 流及线电流。 （1）体电流 ——电荷在某一体积内定向运动形成的电流。
引入体电流密度矢量 J 来描述体电流的分布情况。 1. 标量和矢量 J 的定义：空间任一点 J 的方向是该点正电荷运动的方向， 其大小等于在该点与 J 垂直的单位面积的电流，即： S i di en J en lim en S 0 S J dS 体电流密度矢量 J 的单位是A/m2（安/米2）。 通过任意截面S的电流：i J dS
et
en
JS
l
h0
通过薄层导体上任意有向曲线l的电流：
面电流密度矢量
et 是薄层导体的法向单位矢量。


2.1 电荷守恒定律
3、电荷守恒定律与电流连续性方程 电荷守恒定律：电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被 消灭，只能从物体的一个部分转移到另一部分，或是从一 个物体转移到另一个物体，即有在一个与外界没有电荷交 换的系统内，正、负电荷的代数和在任何物理过程中始终 1. 标量和矢量 保持不变。 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。
电荷 电场
1. 标量和矢量
（运动）
电流 磁场
2.1 电荷守恒定律
1、电荷及电荷密度 自然界中存在两种电荷：正电荷和负电荷。 电荷量：带电体所带电量的多少，用q表示。 最小电荷量：是质子和电子的电荷量，称为基本电荷量， 1. 标量和矢量 大小为 e 1.60210
19
C。
任何带电体的电荷量是 e 的整数倍，即在微观上带电体上