电阻电路的一般分析方法

22
网孔电流方程的一般形式：（以三个网孔为例）

R 11 I 1 R 12 I 2 R 13 I 3 U S 11 R 21 I 1 R 22 I 2 R 23 I 3 U
S 22
R 31 I 1 R 32 I 2 R 33 I 3 U S 33
用网孔电流法计算电路时的解题步骤：
I1 + Us1 b I4 R5 R1 a I5 R2 I2 + Us2 d
Us4
+
R4
R6 I6
c
R3
I3
+ Us3 -
用基尔霍夫定律分析电路例子
四个节点用KCL 节点a -I1-I2+I5=0 节点b I1-I3-I4=0 节点c I2+I3-I6=0 节点d I4-I5+I6=0 四个方程只有三个独立 为什么（请思考）？ 三个回路KVL列出三个方程 R1I1+R5I5+R4I4+Us4-Us1=0 R2I2+R5I5+R6I6-Us2=0 R3I3-R4I4+R6I6-Us3-Us4=0
5
2、等效电阻 i
+ u _
i
R1
i1 R2
i2 Rk
ik Rn
in
等效
+ u _
R
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=u/R R为并联电阻的等效电阻：
1 R 1 R1 1 R2 1 Rn
i
+
+ u1
u
u R1i RK i Rni ( R1 Rn )i Ri
R R1 Rk Rn
结论：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3
+
总结：串联电路的特点
（1）电路中的电流处处相等 （2）串联电路两端的总电压等于各个电阻上的电压之和 （3）串联电路总电阻等于各电阻之和 （4）电压分配、功率分配与电阻成正比 分压公式（以两个电阻串联为例）
2.6 节点分析法（节点电压法）
网孔分析法相对与基尔霍夫定律分析法而言，是用网孔电流代替支路电流， 从而减少了未知量的个数，使得电路的求解大大简化。但有些电路即使使用 网孔电流，方程数也很多。 有没有其它的方法来求解电路呢？—将求解变量改为节点电位。
节点电位：在电路中任选一个节点作为参考节点，其它各节点 与参考节点之间的电压就是该节点的节点电位。
R 4 是第一网孔和第三网孔的公共电阻，用 R 13 表示。
U S1 U S 4
是第一网孔中所有电压源引起的电压升， 用 U S 11 表示。
R 11 I 1 R 12 I 2 R 13 I 3 U S 11
注意：自阻的值：为正。 互阻的值：当两网孔电流在公有支路上参考方向 相同时为正，否则为负。
R cd Rn n 12 3 4
R ab
(4 4) 8 448

88 88

64 16
4
8
例题: 计算ab端的等效电阻
R1 a R2 R3 R4
b 50 50 a 50 50 25
b
R5
R ab ((( R 1 // R 2 ) R 4 ) // R 3 ) R 5
10
2.1.4 电阻的ㄚ-△等效变换
图(a): 星形联结 （Y型联结或T型联结） 图(b): 三角形联结 （△型联结或Π型联结） 等效：端点的伏安特性关系完全相同

对应节点上的端电流相等 相应两节点的电压相等
i1 i1
' '
i2 i2
'
i3 i3
' '
u 12 u 12
u 23 u 23
R ab (( R 1 // R 2 ) R 5 ) // R 4 // R 3 50 // 50 // 50
50 3

这两个例题主要通过改画图形的方法,从而可以清楚 知道电阻的串、并联关系，进一步计算出等效电阻。
9
例: 图(a)中,Rab=2+2=4Ω,I=12/4=3(A) 图(b)中,Rab=80/8=10Ω,I=12/10=1.2(A)
（4）
上式(4)为由已知的Δ 型联结求等效Y型联结的公式。 注意 若：R 12 R 23 R 31 R 时：
R1 R 2 R 3 R Y 且 R Y
1 3 R
15
总结：

R
Y 型电阻两两乘积之和 对面的 Y 型电阻 型相邻两电阻之积 型各电阻之和

u 12 R 12
'

u 23 R 23

u 12 R 12
（1）
' 3

u 23 R 23

u 31 R 31

u 23 R 23
12
对图(a)

u 12 i1 R 1 i 2 R 2
u 23 i 2 R 2 i 3 R 3
i1 i 2 i 3 0
解上方程组得：
RY
例题：求电路中的电流 I。
1 3Ω + 10V 3 I 1Ω 4 2Ω 2 5Ω
1Ω
利 用 Y—△ 转 换 或 者 △—Y 变换，可以将复杂电路转化 简单电路，从而利用电阻串、 并联来求解未知量。
16
2.2 电阻电路功率及获得最大功率的条件
提出问题 ：在什么条件下，负载可以从电源中获得最大功率？
回路电压方程。
（4）求解联立方程组，得出待求的各支路电流。 缺点：支路较多时，方程个数较多，求解麻烦。
19
2.5 网孔分析法（网孔电流法）
以网孔电流这组独立变量作为为待求变量，列方程求解 网孔电流：设想在每一个网孔中，有一个网孔电流沿着网 孔边界流动。
R1 + Us1 b I1 R5 I2 d
6
总结：并联电路的特点
（1）并联电阻两端的电压相等 （2）并联电路总电流等于各个电阻上的电流之和 （3）并联电路总电阻的倒数，等于各个电阻的倒数之和
n个阻值为R的电阻并联： R 等 效 =
R n
R1 R 2 （4）电流分配、功率分配与电阻成反比
分流公式（以两个电阻并联为例）
i1 R2 R1 R 2 i i2 R1 R1 R 2 i
7
2个电阻并联： R 等 效 =
R1 R 2
2.1.3 混联电路的分析计算
若电路中电阻的联结既有串联又有并联，称为电阻的混联电路 例： 如图所示电路，求 R
ab
。
解：由图a）可知，8Ω电阻直接 连接到a和b两点，而4Ω和3个12Ω的 电阻，要经过3个12Ω的电阻并联， 然后再与4Ω相串。等效成如图b）所 示的电路，其等效电阻为
R 2 I 2 R5 ( I1 I 2 ) R6 ( I 2 I 3 ) U S 2 0
R3 I 3 U S 4 R 4 ( I1 I 3 ) R6 ( I 2 I 3 ) U
S3
0
21
整理得：

( R1 R 4 R 5 ) I 1 R 5 I 2 R 4 I 3 U S 1 U S 4
+ un _
i
+
+ u1 _ + U k _
u
_
1、电路特点 (a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
u u1 uk un
2
2、等效电阻
R1 Rk _ + U _ k Rn + un _ _ 等效
R i u _
u1 R1 R1 R 2 u u2 R2 R1 R 2 u
4
2.1.2 电阻的并联 i + u _ 1、电路特点 (a)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL) (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)
R1
i1 R2
i2 Rk
ik Rn
in
i i1 i2 ik in
R 12 R 23 R 31 R 且 R 3 R Y
14
由 (3)解得:

R1 R2 R3
R 31 R 12 R 12 R 23 R 31 R 12 R 23 R 12 R 23 R 31 R 23 R 31 R 12 R 23 R 31
独立节点数：在n个节点中，任意n-1个是独立的。
18 独立回路数：支路数与独立节点数的差值，即l=b-(n-1),b 为支路数。
应用基尔霍夫定律计算线性网络——支路电流法
以支路电流作为求解量 求解步骤： 有n个节点、b条支路的电路用支路电流法解时，需：
（1）设定各支路电流及其参考方向。
（2）对n-1个独立节点按KCL列节点电流方程。 （3）选取独立回路并设定其绕行方向,按KVL列出b-(n-1)个
u 31 u 31
'
11
ㄚ-△等效变换公式的推导
对图(b)
i i
i1 i12 i 31
' ' 2
u 12 R 12 u 23 R 23 u 31 R 31
' '
'

u 31 R 31
'
'

u 12 R 12