5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
合集下载
高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件
≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2
＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式， 从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
＝62x＋32＋1－2x＝6×52＝15.
其中等号成立的充要条件是
2x＋32＝ 2
1－2 2x，解得 x＝－13.
10．试求函数 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x的最大值，并求出相 应的 x 的值． 解：设 m＝(3,4)，n＝(cos x， 1＋sin2x) 则 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n| ＝ cos2x＋1＋sin2x· 32＋42＝5 2 当且仅当 m∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0. 解得 sin x＝ 57，cos x＝352.故当 sin x＝ 57，cos x＝352时． f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值 5 2.
1．已知 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
的关系是
()
A．P≤Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P＞Q
解 析：设 m＝ ( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝
|m·n|≤|m||n| ＝ ax2＋ by2 · a2＋ b2 ＝
()
A. 3 C．3
B. 5 D．5
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x
≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5(当且仅当 x＝256时 取等号)． 答案：B
5.4二维形式的柯西不等式2课件(人教A版选修4-5)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
1 1 2 2
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a b
2 2
c d
2
2
ac bd ac | | bd
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求
(a 1 b )(2 b 1 2a )
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：
• 本节课实际上是柯西不等式的一些简单 应用，柯西不等式是一个经典不等式， 是一个重要的数学结论，在以后的证明 某些不等式和求最值时有重要作用，要 学会灵活运用。
作业：
P37 第8题
a b
2 2
c d
2
2
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使
k
时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
二维形式的柯西不等式课件(人教A版选修4-5)
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
观察
y P1(x1,y1) P1(x1,y1)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
a b c d ac bd
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d ac | | bd
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使 k 时,等号成立.
作业：
P37 第8题
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求 1 1 (a )(2b ) b 2a
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应 用，柯西不等式是一个经典不等式，是有重要作用，要学会灵活 运用。
柯西不等式的向量形式?设是两个向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
2 1 2 2 2 n 1 2 n
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
2 1 2 2 2 n 1 2 n
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
又因
1 1 1 1 ... 2 2 2 3 n2
由排序不等式，得：
an bn a2 a3 b2 b3 a1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
5.4二维形式的柯西不等式2课件(人教A版选修4-5)
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a a
2
b b
2
c c
2
d d
2 2
x2 y2
2 2
( x1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 a 1 b 4
注意应用公式： ( a b )( 1 a 1 b ) 4
练习巩固：
练习一：
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x1 y 1
2 2
x2 y2
2 2
( x1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
1 1 2 2
x1 y 1
2
ac bd ac | | bd
2
2
2
2
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使
k
时,等号成立.
一. 学习新课
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a a
2
b b
2
c c
2
d d
2 2
x2 y2
2 2
( x1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
问题：
你能否利用柯西不等式，从代数的角度 证明这个不等式？
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
1 a 1 b 4
注意应用公式： ( a b )( 1 a 1 b ) 4
练习巩固：
练习一：
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x1 y 1
2 2
x2 y2
2 2
( x1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
1 1 2 2
x1 y 1
2
ac bd ac | | bd
2
2
2
2
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使
k
时,等号成立.
一. 学习新课
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 ∴ a b bc a c
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？ 证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 L xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 L xn ，由柯西不等式，得
x12
x22
L
x2 n1
xn2
x2 x3
xn x1
( x2 x3 L xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位， 简洁明了！
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:
1 1 4 a b
例2 (1) 已知2 x y 1, 求x y 的最小值;
2 2
( 2) 已知x y 4, 求3 x 4 y的最大值,最小值.
2 2
(3) 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
(x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
作业 补充
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
5.4二维形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
课堂练习：P36 第1，3，4
课堂练习：P36 第 5 题: R ，a+b=1, x1 , x2 R , 已知 a,b
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
5
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 2 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y
2 2
36 的最小值. 11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
课堂练习：P36 第1，3，4
课堂练习：P36 第 5 题: R ，a+b=1, x1 , x2 R , 已知 a,b
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
5
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 2 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y
2 2
36 的最小值. 11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
5.4二维形式的柯西不等式2课件(人教A版选修4-5)
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d ac | | bd
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
观察
y P1(x1,y1) P1(x1,y1)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a b c d ac bd
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求 1 1 (a )(2b ) b 2a
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：
• 本节课实际上是柯西不等式的一些简单 应用，柯西不等式是一个经典不等式， 是一个重要的数学结论，在以后的证明 某些不等式和求最值时有重要作用，要 学会灵活运用。
作业：
P37 第8题
1 1 2 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
a b c d ac | | bd
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使 k 时,等号成立.
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
观察
y P1(x1,y1) P1(x1,y1)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a b c d ac bd
练习巩固：
练习一：
设a，b为正数，求 1 1 (a )(2b ) b 2a
的最小值
练习二：
P37 第6题
小结：
• 本节课实际上是柯西不等式的一些简单 应用，柯西不等式是一个经典不等式， 是一个重要的数学结论，在以后的证明 某些不等式和求最值时有重要作用，要 学会灵活运用。
作业：
P37 第8题
1 1 2 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
(x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
作业 补充:
1.求函数y 2 1 x 2 x 1 的最大值.
2.已知x , y , z R, 且x y z 8, x y z 24, 求证 :
2 2 2
4 4 4 x 4, y 4, z 4. 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3. 求证: x y y zy z x z 3 xz
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:
1 1 4 a b
例2 (1) 已知2 x y 1, 求x y 的最小值;
2 2
( 2) 已知x y 4, 求3 x 4 y的最大值,最小值1 10 2 x 的最大值.
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2