八年级数学下册1.4角平分线第1课时角平分线习题课件新版北师大版
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北师大版八年级数学下册课件 1.4.2 三角形内角平分线的性质
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm. C D
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
E B
巩固练习，提高能力
(2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
A E
C
D
B
巩固练习，提高能力
1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线.CAΒιβλιοθήκη OEPDB
巩固练习，提高能力
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一
点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的
PD=PE=PF.
M D NP F
B
EC
H
归纳新知
对比三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线
三条角平分线
锐角三角形 交于三角形内一点
三 角 形
钝角三角形 交于三角形外一点
交于三角形内一 点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的 到三角形三边的
距离相等
距离相等
小牛试刀
.
CA
O
EP
DB
巩固练习，提高能力
2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是
△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
4 角平分线 第1课时
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
1.4角平分线(第一课时)说课稿：2022-2023学年北师大版八年级下册数学
1.4角平分线（第一课时）说课稿一、教材分析本课是北师大版八年级下册数学的第四章《平面图形的基本性质》中的第一课时：4角平分线。
本课主要内容是介绍角平分线的概念、性质以及如何作角平分线，通过解决一些实际问题来培养学生的动手能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.知识与技能：–理解角平分线的定义和性质；–掌握如何作角平分线。
2.过程与方法：–通过观察、实际操作和探究，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生的观察力和分析能力；–培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重点1.角平分线的概念和性质；2.如何作角平分线。
四、教学准备1.教材：北师大版八年级下册数学；2.教具：直尺、量角器等；3.多媒体设备。
五、教学过程1. 导入（5分钟）通过出示一张图片，引发学生对角平分线的兴趣和思考，在课前激发学生的求知欲。
2. 观察与讨论（10分钟）学生观察一段视频或图片，尝试寻找图中的角平分线，并提出自己的思考和猜想。
教师鼓励学生积极参与，并引导他们提出一些问题，如角平分线有什么性质等。
3. 角平分线的定义和性质（15分钟）通过多媒体设备展示角平分线的定义和性质，教师解释并进行讲解。
让学生了解角平分线是指把一个角分成两个相等的小角的直线。
4. 角平分线的作法（20分钟）教师通过示范，向学生介绍几种作角平分线的方法，如利用量角器测量角度，利用直尺和画圆法等。
5. 练习与实践（25分钟）学生进行练习和实践，通过作图题来巩固所学知识。
教师可以布置一些角平分线的作业题，并逐个批改，及时纠正学生的错误。
6. 总结与提高（10分钟）教师进行知识总结，并帮助学生归纳和理解角平分线的重要概念和方法。
鼓励学生提出疑问和问题，并解答他们的疑惑。
六、教学反思通过本课程的教学，我发现学生对角平分线的概念和性质有了初步的认识，并掌握了如何作角平分线的方法。
通过实践和练习，学生的动手能力和解决问题的能力得到了提高。
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
角平分线(第1课时)课件北师大版八年级数学下册
.
A C
M P
O
B D
∴OP平分∠. AOB.
知识点2. 角平分线的判定
归纳总结：
角平分线的判定： 定理 在一个角的内部，到角两边距离相 等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
如图，∵PC⊥. OA，PD⊥OB， PC=PD， ∴OM平分∠AOB.
这个定理也常 常作为判定角 平分线的定理.
A C
M P
完成练习册基础知识部分 作业，巩固角平分线的性 质和判定定理
完成练习册提高部分作 业，提高解题技巧
下节课的预习内容与要求
预习内容：三角形三个内角平分线的性质. 预习要求：会证明三角形三个内角平分线的性质
预习方法：阅读教材，完成课后习题，查阅相关资料
预习时间：下节课前完成预习，并做好笔记
我们曾经用折纸的方法探究了角平分线的性质，知道 角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明这个 结论吗？
反过来：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角
平分线上吗？
A
E
D
C
B F
知识点1.角平分线的性质
已知：如图，OM平. 分∠AOB，P是射 线OM上任意一点，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D.
.
求证：PC=PD.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质Байду номын сангаас
证. 明：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠P. CO=∠PDO=90°， ∵OM平分∠. AOB， ∴∠A. OP=∠BOP， 又∵PO. =PO，
.
.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质
归纳总结：
角平分线的性质： 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
A C
M P
O
B D
∴OP平分∠. AOB.
知识点2. 角平分线的判定
归纳总结：
角平分线的判定： 定理 在一个角的内部，到角两边距离相 等的点在这个角的平分线上.
符号语言：
如图，∵PC⊥. OA，PD⊥OB， PC=PD， ∴OM平分∠AOB.
这个定理也常 常作为判定角 平分线的定理.
A C
M P
完成练习册基础知识部分 作业，巩固角平分线的性 质和判定定理
完成练习册提高部分作 业，提高解题技巧
下节课的预习内容与要求
预习内容：三角形三个内角平分线的性质. 预习要求：会证明三角形三个内角平分线的性质
预习方法：阅读教材，完成课后习题，查阅相关资料
预习时间：下节课前完成预习，并做好笔记
我们曾经用折纸的方法探究了角平分线的性质，知道 角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明这个 结论吗？
反过来：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角
平分线上吗？
A
E
D
C
B F
知识点1.角平分线的性质
已知：如图，OM平. 分∠AOB，P是射 线OM上任意一点，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D.
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求证：PC=PD.
A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质Байду номын сангаас
证. 明：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠P. CO=∠PDO=90°， ∵OM平分∠. AOB， ∴∠A. OP=∠BOP， 又∵PO. =PO，
.
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A C
M P
O
B D
知识点1. 角平分线的性质
归纳总结：
角平分线的性质： 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
北师大版数学八下1.4角平分线课件
2.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，
使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相
等．
A
A
D
O
C B
D C
O
B
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D， 交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC 证明：
1、判断题 (1)∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ( × )
(2)∵ DC⊥AC于C，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( × )
B
A
D
C
A B
D
C
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC于C ，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( √ )
A
不必再证全等
B
D C
∴点P即为所求
O
A
P
D
C B
四、课堂小结 角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
定理
在一个角形内部，到角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上
探究二：
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
你能写出这个定理的逆命题？
逆命题：一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
真命题 ？ 假命题 ？
角平分线性质定理的逆命题
一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
条件
结论
已知： 点P为∠AOB内一点 PD丄OA, PE丄OB,垂足分别 为D、E ， PD＝PE.
小结： 角平分线性质判定定理 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
1.4《角平分线》第1课时教学课件(共19张PPT)
（三）课堂探究二：角平分线的性质的
逆定理
1. 你内能容写包出括这：个课定程理名的称逆、命学题科吗、?它年是真 命题级吗、? 上/下册、版本、主讲教师工
角平作分单线位的和性姓质名定等理。的片逆尾命包题括是制：作
_______单__位、__录_ 制时间等信息。
_
__________
_____。
2.探究新知 已知：在么AOB内部有一点P，且 PD⊥内O容A，包P括E⊥：O课B，程D名、称E为、垂学足科且、P年D=PE， 求证级：、点上P在/下么册A、OB版的本角、平主分讲线教上师。工
作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
(B层）(3)已知：如图，在⊿ABC中，AD 是它的角平分线，且 BD=C内D容,DE包⊥括AB：,D课F⊥程A名C称,垂、足学为科E、、F年。 求证级：、EB上=F/C下册、版本、主讲教师工
作单位和姓名A 等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
作单位和姓名等。片A 尾包括制作 单位、录制D时间等信息。
O
1 2
C P
E
B
3.角平分线的性质定理是：_________
___
_ ___ _____.
内容包括：课程A 名称、学科、年 D
级、上/下册、版本、主讲教师工
作O 单单12位位和、姓录名制P等时。间片C等尾信包息括。制作E NhomakorabeaB
角平分线性质定理几何语言表示： ∵ ∴
D
C
D P
C
A
E
图四
A
E
B
图五
(C层）6.如图，在∠AOB内部求作一点P, 使PC=PD,并且P到∠AOB两边的距离相等。
内容包括：课程名称、学科、年 级、上/下册、版B 本、主讲教师工 作单位和姓名等。片尾包括制作
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
1.4角平分线(课件)-2023—2024学年北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明1.4 角平分线
北师大版 初中数学 八年级下
1
1.城市发展 规划先行
A
O
B
沣西新城位于渭河以南，沣河之西，两条河流交汇，形成了沣渭三角洲，即图中的∠AOB. 假如你是城市规划师，要在沣西设计一条景观带，要求这条景观带上的任意一点到沣河和渭河（即角的两边）的距离相等，那么这条景观带应该在什么位置呢？
思考：记PD=PE=PF=r，△ABC的周长为C,能否计算出三角形的面积？（为什么要记为r？）
5.总结串联 升华提升
本节课你有哪些收获？
观察
测量
猜想
证明
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
&
数学建模
逻辑推理
6.作业布置,巩固拓展
初一时，通过观察，我们还曾经发现了以下三个现象：1.三角形三边的垂直平分线交于一点2.三角形的三条中线交于一点3.三角形三条高所在的直线交于一点聪明的你可以给出严格的证明吗？这些交点又有哪些有趣的性质呢？
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
∴ ∠AOP= ∠BOP，
∴ OP平分∠AOB
∵ OP=OP, PD=PE，
∴ Rt△PDO ≌Rt△PEO(HL).
1
A
O
B
C
P
3.致知穷理 探索性质
D
E
沣西新城位于渭河以南，沣河之西，两条河流交汇，形成了沣渭三角洲，即图中的∠AOB. 假如你是城市规划师，要在沣西设计一条景观带，要求这条景观带上的任意一点到沣河和渭河（即角的两边）的距离相等，那么这条景观带应该在什么位置呢？
根据角平分仪的工作原理，我们利用尺规可以作出一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第一章 三角形的证明 角平分线 第1课时 角平分线
9．(宝丰期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①DE＝DF；②AD是线段EF的垂直平分线；
③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC.其中正确的个数有( D ) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， 作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距 D．OC＝PC
3．(4分)(德州中考)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4， 则点C到射线OA的距离为_3___．
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， 若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为_5___．
6．(4分)如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D， 若QC＝QD，则∠AOQ＝3_5_°__．
7．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB， DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为1_3_7_°_．
8．(8分)如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F， AE＝AF.
证明：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴∠BDO＝∠ADO. 又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN
13．(14分)如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE， DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上．
证明：过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，CF⊥OB 于点 F，如图，在△MOE 和△NOD 中， OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，∴△MOE≌△NOD(SAS)， ∴S△MOE＝S△NOD，∴S△MOE－S 四边形 ODCE＝S△NOD－S 四边形 ODCE， ∴S△MDC＝S△NEC.∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE. 由三角形面积公式得12 DM·CG＝12 EN·CF，∴CG＝CF. 又∵CG⊥OA，CF⊥OB，∴点 C 在∠AOB 的平分线上
八年级数学下三角形的证明1.4角平分线第1课时角平分线的性质与判定习题北师大
【点拨】如图，作 DH⊥AB，DH 交 BA 的延长线于点 H. ∵BD 平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4. ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD ＝12×6×4＋12×9×4＝30.
【答案】B
*4.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.有下列结论： ①CD＝ED；②AC＋BE＝AB； ③∠BDE＝∠BAC；④DA 平分∠CDE. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于点 H，如图所示． 方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且 BD 交 CF 于点 D，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，易得 CD＝CH， AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
【答案】B
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB， 且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：∵AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，CADD＝ ＝EADD， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE. ∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB. ∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.∴△DEB 的周长为 6 cm.
13．(中考·长春)感知：如图①，AD 平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°， ∠B＝90°.易知 DB＝DC. 探究：如图②，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°， ∠ABD＜90°.求证： DB＝DC.
1.4 角平分线第1课时(课件)八年级数学下册(北师大版)
是( B )A. PC＝PD
B.∠CPO＝
∠DOPC.∠CPO＝∠DPO来自D.OC＝ODC
P
O
2.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，
若DA=5 cm，DE=5 cm，∠ACD=30°，则∠DCE的
度数为( A )A.30°
D.60°
B.40°
C.50°
D
B
三、即学即练，应用知识
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
B
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
二、自主合作，探究新知
跟踪练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE=
3cm .
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
BE=5，BC=4，则点E到AB的距离是 3cm
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
四、课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离
相等的点在这个角的平分线上.
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
五、当堂达标检测
1.如图所示，P是 ∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA
探究一：角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,
A
求证：PD=PE.
D
C
证明：∵OC平分∠AOB
P
1
∴∠1=∠2
B.∠CPO＝
∠DOPC.∠CPO＝∠DPO来自D.OC＝ODC
P
O
2.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，
若DA=5 cm，DE=5 cm，∠ACD=30°，则∠DCE的
度数为( A )A.30°
D.60°
B.40°
C.50°
D
B
三、即学即练，应用知识
3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
B
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
二、自主合作，探究新知
跟踪练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE=
3cm .
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
BE=5，BC=4，则点E到AB的距离是 3cm
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
四、课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离
相等的点在这个角的平分线上.
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
五、当堂达标检测
1.如图所示，P是 ∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA
探究一：角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,
A
求证：PD=PE.
D
C
证明：∵OC平分∠AOB
P
1
∴∠1=∠2
北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件
则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
相信自己 探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.
北师大版八年级数学下册1.4 角平分线的性质和判定课件
4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E. 求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB， BC⊥OA ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90° 又∠ACE＝∠BCD ∴△ACE≌△BCD(ASA) ∴AC＝BC
知识点2：角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 几何语言： ∵____P__B_=_P_C_______， _P_B_⊥__A_B__，P__C_⊥__A_C__， ∴AP平分∠BAC.
1.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝____5____cm.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝____5____cm.
3.(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90° ∵D是BC中点，∴BD＝CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE＝CF
又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
∴OC＝OD
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线
Байду номын сангаас
11.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90° ∴DE＝DC 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30° ∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
1.4第1课时角平分线的性质与判定(教案)2023-2024学年八年级下册数学北师大版(安徽)
其次，我发现学生在小组讨论环节表现得很积极，他们能够主动提出问题并尝试解决问题。这说明他们具备了良好的合作意识和探究精神。然而，在讨论过程中，我也注意到有些学生发言不够积极，可能是因为他们对角平分线知识还不够熟悉。在今后的教学中，我会更加关注这部分学生，鼓励他们多参与讨论，提高他们的自信心。
此外，实践活动环节，学生们的动手操作能力得到了锻炼，他们能够根据所学知识进行实际操作。但我也发现，部分学生在操作过程中对尺规作图的规范性掌握不够，导致作图不准确。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，加强学生对尺规作图的训练，提高他们的作图技巧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的基本概念、性质和判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.角平分线的判定：探讨如何判断一条线是否为角的平分线，即根据角的平分线的性质进行逆定理的证明和应用。
本节课将紧密围绕教材内容，通过实际例题和练习，使学生在掌握角平分线基本概念的基础上，深入理解和运用其性质与判定方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作角的平分线，让学生直观感知角平分线的性质，提高空间想象能力。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，关于教学内容，我意识到角平分线的性质与判定这部分知识对学生来说并不容易理解。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释，但感觉仍有部分学生掌握得不够扎实。我考虑在下一节课中，通过增加更多实际操作和互动环节，让学生在实践中更好地理解和应用这些性质和判定方法。
此外，实践活动环节，学生们的动手操作能力得到了锻炼，他们能够根据所学知识进行实际操作。但我也发现，部分学生在操作过程中对尺规作图的规范性掌握不够，导致作图不准确。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，加强学生对尺规作图的训练，提高他们的作图技巧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的基本概念、性质和判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.角平分线的判定：探讨如何判断一条线是否为角的平分线，即根据角的平分线的性质进行逆定理的证明和应用。
本节课将紧密围绕教材内容，通过实际例题和练习，使学生在掌握角平分线基本概念的基础上，深入理解和运用其性质与判定方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作角的平分线，让学生直观感知角平分线的性质，提高空间想象能力。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，关于教学内容，我意识到角平分线的性质与判定这部分知识对学生来说并不容易理解。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释，但感觉仍有部分学生掌握得不够扎实。我考虑在下一节课中，通过增加更多实际操作和互动环节，让学生在实践中更好地理解和应用这些性质和判定方法。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.4《角平分线(第一课时)》课件
P
问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长 度有什么关系?
点到直线的距 离垂线段最短
相等(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
角平分线性质：角平分线上的点到这个角的 两边距离相等，这个性质是我们以前用折纸的方 法得到的。
思
结合我们前面学习的定
考
理的证明方法，你能 写出这
分 析
个性质的证明过程吗？
新北师版初中数学八年级下册
1.点P是线段AB的垂直平分线上的一点，PB=6cm，
则PA=_6___cm
P
2.已知：如图，线段AB外两点P、Q， A B 且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与
线段 AB的关系是__P_Q_垂__直__平__分__线__段__A_B__ Q
3.如图，你能找出图中哪条线段
（3）垂直距离。
不能少了任何一个.
定理的作用： 证明线段相等。
你能写出“上述定理：角平分线 思
上的点到这个角的两边距离相等”
考 分
的逆命题吗?
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
它是真命题吗？如果是，请你证明这个命题?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
到角的两边的距离相等） 1 2
E
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC-BD=8-5=3
∴DE=3
C
D
B
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
A
DE⊥AB，∠C＝90°
∴CD＝DE(角平分线的性质)
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