数学分析总结复习提纲

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数学分析总结复习提纲

数学分析〔3〕总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉〞等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道〞等词的内容为较低要求内容。

第十二章各种积分之间的联系§1 各种积分之间的联系公式理解格林公式及高斯公式，了解斯托克斯公式；掌握利用格林公式计算平面曲线积分和利用高斯公式计算曲面积分的方法；会用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分，会用平面曲线积分计算平面图形的面积，会用曲面积分计算立体的体积。

§2曲线积分及路径的无关性理解平面曲线积分及路径无关的四个等价条件，了解空间曲线积分及路径无关的四个等价条件；掌握利用平面曲线积分及路径无关的条件计算平面曲线积分、以及求二元函数全微分的原函数的方法。

§3 场论初步理解场的概念；了解梯度场、散度场、及旋度场的物理意义，会求梯度、散度及旋度。

第十三章极限及实数理论§1 各种极限的准确定义理解各种极限定义的本质，掌握利用极限定义证明极限的根本方法；会表达极限不等于某常数的定义，知道数列极限存在的充要条件及归结原则。

§2关于实数的根本定理理解确界、闭区间套、有限覆盖及聚点等概念，熟悉关于实数完备性的六个等价定理的条件和结论；会用实数完备性定理证明一些简单命题。

§3 闭区间上连续函数性质的证明理解有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理的条件和结论，理解一致连续的定义和一致连续性定理；会用一致连续的定义证明函数的一致连续性，会用闭区间上连续函数的性质定理证明相关命题。

第十四章隐函数定理及重积分的换元法§1隐函数存在定理理解隐函数〔组〕存在惟一性定理的条件和结论；了解反函数组及坐标变换的概念和反函数组定理的条件及结论；掌握坐标变换的雅可比行列式的计算。

§2 重积分的换元法理解二重积分的坐标变换公式，掌握用换元法计算二重积分的根本方法；了解三重积分的坐标变换公式，会用球面坐标计算三重积分。

数学分析知识要点整理

数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。

以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。

一、函数函数是数学分析的核心概念之一。

1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。

2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。

（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。

（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。

3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。

二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。

1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。

2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。

数学分析知识点总结

数学分析知识点总结一、实数系与复数系1.1 实数系的定义实数系是我们熟知的数系，包括有理数和无理数。

实数系满足加法、乘法封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。

在实数系中，每个数都可以用小数形式表示，例如π=3.1415926535…，e=2.7182818284…等。

1.2 复数系的定义复数系是由实部和虚部组成的数，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足虚数单位的定义i²=-1。

复数系具有加法、乘法运算，也满足封闭性、交换律、结合律、分配律等运算性质。

1.3 实数系与复数系的关系实数系是复数系的一个子集，所有实数可以看作复数系中的实部为零的复数。

实数系和复数系是数学分析中的基础，涉及了数的概念和性质，对后续的学习具有重要的作用。

二、函数与极限2.1 函数的定义函数是一种对应关系，如果对于每一个自变量x，都有唯一确定的函数值f(x)，那么称f是x的函数，在数学分析中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2.2 极限的概念极限是数学分析中的重要概念，用来描述函数在某一点附近的表现。

通俗地说，极限是函数在某一点上的“接近值”，用数学语言来描述，如果当自变量x趋近于a时，函数值f(x)趋近于L，那么称L是函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

2.3 极限的性质极限有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性、保号性等。

同时，极限还具有四则运算性质，即两个函数的极限之和、差、积、商等于分别对应的函数的极限之和、差、积、商。

这些性质为求解极限问题提供了便利。

2.4 极限存在的条件函数在某一点处极限存在的条件有界性、单调性、有序性、保号性等。

在实际问题中，要根据极限存在的条件来判断函数在某一点处的极限是否存在。

2.5 极限的计算方法极限的计算方法包括用极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等，这些方法能够帮助我们求解复杂的极限问题，对于深入理解函数的性质有很大的帮助。

研究生数学分析基础知识点归纳总结

研究生数学分析基础知识点归纳总结数学分析是研究实数、函数、极限、导数、积分等数学概念和运算规则的基础学科。

作为研究生的基础课程之一，熟悉数学分析的基础知识点对于进一步深化数学研究和解决实际问题具有重要意义。

本文将对研究生数学分析的基础知识点进行归纳总结。

一、实数与数列实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。

有理数可以表示为两个整数的比值，无理数则不能表示为有理数的比值。

数列是按照一定规律排列的数的集合。

常见的数列有等差数列和等比数列。

等差数列中，每个数与它的前一个数之差是一个常数，称为公差；等比数列中，每个数与它的前一个数之比是一个常数，称为公比。

二、函数与极限函数是描述两个变量之间关系的一种工具。

在数学分析中，我们常常研究的是实值函数，即定义域和值域都是实数集合。

极限是研究函数在某一点附近趋于无穷时的性质。

我们通常用函数在该点附近取值的情况来描述这种趋势。

常见的极限包括左极限、右极限和无穷极限。

三、导数与微分导数是描述函数变化率的重要概念。

它刻画了函数在某一点附近的局部性质。

导数的定义是函数在该点的极限，可以通过求导数来研究函数的变化情况。

微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点的线性逼近。

微分可以用来求解优化问题、近似计算等。

四、积分与函数的面积积分是对函数进行求和的过程，它可以用来求解曲线下面积、函数的平均值等。

积分的定义是将函数分成无穷小的小区间，然后对每个小区间的值进行求和并取极限。

函数的面积是积分的一个重要应用。

通过计算函数与坐标轴之间的面积，我们可以得到函数在一段区间上的积分值，进而研究函数的性质。

五、级数与收敛性级数是由无穷多个数相加而成的表达式。

级数的部分和是指级数的前n个数相加的结果。

级数的收敛性是研究级数求和是否存在有限结果的性质。

当级数的部分和趋于某个有限值时，我们称该级数收敛；当级数的部分和不趋于有限值时，我们称该级数发散。

六、泰勒展开与函数逼近泰勒展开是将函数表示为一系列无穷次多项式相加的形式。

数学分析期末复习提纲

2020数学分析1期末复习提纲一、极限1、熟练掌握数列极限的-N ε语言与函数极限的εδ-语言。

例如lim (,)n n a a a →∞==∞±∞，lim ()x af x b →=(,,,)(,)x a a b +-→∞±∞=∞±∞2、极限的运算法则p30-31例9，例10;p38-39习题9(1-3,6);p53习题2,4,7,8(3-4),10.3、L’Hospital 法则P165-168例1-10，p169习题1(1，2，3，5，6，10，11，12，13，19)4、无穷小量的阶（高阶，同阶，等价无穷小的定义）P167习题1二、连续函数与实数的基本定理1、连续函数的定义与性质（四则运算、反函数、复合），初等函数的连续性。

2、不连续点的类型。

3、有界闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性，介值性，一致连续性）P60-63例3例5；p64-65习题7，9，14（1-8），16，174、实数系的六个基本定理（背下来）P79-80习题5，10，11三、导数与微分1、导数的定义，曲线的切线，基本的导数表（p103-104），左右导数P94-95习题2，5；p121习题1（1，2）。

2、导数的四则运算，反函数的导数，复合函数求导，对数求导法。

p109-111习题1-6，9，11，13.3、微分的定义、运算法则，一阶微分形式的不变性。

P114习题1（2，4），2，3（2，4），4（1，3，5）。

4、隐函数与参数方程求导P123例1~例6，p128-129习题3（1，2，3，5，8），5（1，2，5），14（1，3，4，6），15（1，3）。

5、高阶导数p128-129例1~例6；p128-129习题3（1，2，3，5，8），5（1，2，5），14（1，3，4，6），15（1，3）。

四、导数的应用1、中值定理（Fermat 引理，Rolled 、Lagrange 、Cauchy 中值定理）P135习题10、11、12、13、15.2、Taylor 公式，掌握常用的初等函数如1(,sin ,cos ,(1),ln(1),)1x a e x x x x x++-在0x =处的Taylor 展开式。

数学分析复习要点

数学分析复习要点上册第一章实数集与函数内容：实数集相关概念及性质、确界原理，复合函数，反函数，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性及奇偶性等相关问题。

重点：邻域，上、下确界的概念，确界原理。

第二章数列极限内容：数列极限的精确定义与性质，单调数列概念，单调有界定理、柯西收敛准则，收敛与发散数列，数列极限存在条件。

重点：数列极限的精确定义，利用ε-Ν定义证题，收敛数列性质，数列极限的求法。

第三章函数极限内容：函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷量及阶的比较，曲线的渐近线。

重点：函数极限的精确定义及其证题，极限的求法，极限存在准则，两个重要极限，常用等价无穷小。

第四章函数的连续性内容：函数的连续与间断的概念，间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。

重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，连续性的判别，闭区间上连续函数的最值性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。

第五章导数和微分内容：导数与高阶导数的概念，导数的几何意义，求导法则与公式、各类型函数（尤其复合函数）的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理、微分与高价微分概念与性质及应用。

重点：导数的几何意义的应用，基本求导公式及求导法，微分形式不变性，可导、可微与连续的关系。

第六章微分中值定理及其应用内容：三个微分中值定理，利用导数研究函数的单调性、不定式极限、泰勒公式，函数的极值与最值的求法，函数的凹凸性及函数的作图。

重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论，函数单调性与凹凸性的判定及其应用，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。

第七章实数的完备性内容：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念、实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理）。

闭区间上连续函数性质的证明。

重点：区间套定理。

第八章不定积分内容：原函数与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，利用換元积分法与分部积分法求不定积分。

数学分析(1)复习要点

数学分析（一）复习要点第一章函数、极限与连续1、区间与邻域。

2、基本初等函数的性质。

3、求函数的定义域。

4、函数的复合运算。

5、数列与函数极限的精确定义，用定义证明简单极限。

6、单调有界原理、加逼准则及其相关证明。

7、几个常用不等式与两个重要极限公式。

8、无穷小的概念与性质，无穷小阶的比较。

9、等价无穷小替换定理及常用等价无穷小公式。

10、函数连续的概念。

11、间断点的概念、分类及判别。

12、闭区间上连续函数的最值性质与零点定理。

第二章导数与微分1、导数与微分的定义、几何意义。

2、函数的可导性、可微性及连续性的关系，“微商”的含义。

3、基本初等函数的求导公式与微分公式。

4、导数的四则运算法则与复合函数的求导法则。

5、隐函数的求导方法、对数求导法、参数方程确定函数的求导公式。

6、高阶导数的概念与二、三阶导数的计算。

第三章微分学基本定理及其应用1、微分中值定理及其相关命题的证明。

2、求不定式极限的洛必达法则及其与等价无穷小替换定理的综合运用。

3、函数的单调性、凹凸性的判别，极值与拐点的求法（必要条件和充分条件）。

4、闭区间上连续函数的最值、以及实际问题中简单最值的求法。

5、曲线渐近线的求法。

6、不等式的证明（利用函数的单调性、凹凸性，拉格朗日中值定理及泰勒公式等）。

7、方程根的讨论。

第四章不定积分1、原函数与不定积分的概念，积分运算与微分运算的互逆性。

2、基本积分公式（22个）。

3、求不定积分的“凑微分法”（第一类换元法）。

4、求不定积分的第二类换元法。

5、求不定积分的分部积分法，LIATE选择法，被积函数为一个函数时如何分部积分。

6、利用“凑微分法”求简单有理函数的不定积分。

7、利用第二类换元法求简单无理函数的不定积分。

数学分析知识点总结

估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则有理数域内构成闭区间套 [an ,bn ]Q，其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法：第一类（凑分法）——不需要变换式可逆；第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln

考研《数学分析》考试大纲

707数学分析第1章函数1.1 集合与实数系1.2 函数概念1.3 函数的特性1.4 反函数和复合函数1.5 初等函数第2章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数极限2.3 无穷小和无穷大2.4 连续函数第3章导数与微分3.1 导数的概念3.2 基本初等函数的导数公式3.3 导数的运算法则3.4 高阶导数3.5 微分3.6 导数与微分的简单应用第4章微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.2 不定式的定值法4.3 泰勒公式4.4 导数在函数研究中的应用第5章不定积分5.1 原函数与不定积分5.2 换元积分法5.3 分部积分法5.4 有理函数和积分法5.5 三角函数有理式的积分法第6章定积分6.1 定积分的概念6.2 定积分的性质6.3 微积分基本定理6.4 定积分的计算6.5 定积分的应用6.6 广义积分6.7 广义积分的判别法第7章空间解析几何与向量代数7.1 空间直角坐标系7.2 向量代数7.3 空间平面7.4 空间直线7.5 空间曲面7.6 空间曲线第8章多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.3 多元复合函数的微分法8.4 隐函数的微分法8.5 多元函数的泰勒公式8.6 方向导数和梯度8.7 偏导数的应用第9章重积分9.1 二重积分9.2 三重积分第10章级数10.1 常数项级数的概念与性质10.2 正项级数10.3 任意项级数10.4 函数项级数的一致收敛10.5 幂级数10.6 泰勒级数10.7 傅里叶级数。

数学分析的知识点总结

数学分析的知识点总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等概念及其相互关系。

在学习数学分析的过程中，我们需要掌握一系列的基本知识点。

本文将对数学分析的一些重要知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 函数与极限函数是数学中的基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。

在数学分析中，我们需要研究函数的极限。

极限是函数在某一点附近的表现，它描述了函数在这一点的趋势和性质。

通过极限的概念，我们可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。

2. 连续性与间断点连续性是函数的重要性质之一，它描述了函数在某一区间上的无间断性。

如果函数在某一点上连续，那么它在该点的左右极限存在且相等。

间断点是函数在某一点上不连续的情况，它可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等不同类型。

3. 导数与微分导数是函数在某一点上的变化率，它描述了函数在该点附近的切线斜率。

导数的计算可以通过极限的方法来实现，它是微分学的基础。

微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点附近的近似线性变化。

通过导数和微分的概念，我们可以研究函数的变化趋势、最值和曲线的凹凸性等性质。

4. 积分与不定积分积分是函数的一个重要操作，它描述了函数在某一区间上的累积效应。

通过积分，我们可以计算函数在某一区间上的面积、弧长和体积等量。

不定积分是积分的一个基本概念，它是积分的逆运算。

通过不定积分，我们可以求解函数的原函数和定积分。

5. 泰勒级数与幂级数泰勒级数是函数在某一点附近的展开式，它可以近似表示函数的性质和行为。

通过泰勒级数，我们可以计算函数在某一点的导数和积分等操作。

幂级数是一类特殊的泰勒级数，它在数学分析中有着广泛的应用，如求解微分方程和计算特殊函数的值等。

6. 极值与最值函数的极值和最值是函数的重要特征，它们描述了函数在某一区间上的最大值和最小值。

通过求解函数的导数和二阶导数，我们可以找到函数的极值点和最值点。

数学分析总结复习提纲

数学分析总结复习提纲数学分析（一）总结复习提纲用词说明：本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容，冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。

一、内容概述第一章函数、极限与连续§1函数1. 实数集的性质，2. 区间与邻域的概念及其表示，3. 函数的概念与几个特殊函数，4. 函数的奇偶性、周期性、单调性和有界性，4. 复合函数的概念与运算，5. 反函数的定义与性质，6. 初等函数的概念与基本初等函数的性质。

§2 数列极限1. 数列极限的定义以及用定义证明极限，2. 收敛数列的性质，3. 子列的概念以及收敛数列与其子列之间的关系。

§3 函数极限1. ∞x时函数的极限，2. 0x→x→时函数的极限，3. 函数极限的性质，4. 函数极限与数列极限的关系。

§4 无穷小与无穷大1. 无穷小的概念以及函数极限与无穷小的性质，2. 无穷大的概念以及无穷小与无穷大的关系。

§5 极限运算法则1. 无穷小的性质，2. 极限四则运算法则，3. 复合函数的极限运算法则，4. 加逼准则。

§6 单调有界原理与两个重要极限1. 单调有界原理，2. 几个常见不等式，3. 两个重要极限公式。

§7 无穷小的比较1. 无穷小量阶的比较概念，2. 等价无穷小的性质。

§8 函数的连续性与间断点1.函数的连续性概念，2. 函数的间断点及其分类。

§9 连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算，2. 反函数的连续性，3. 复合函数的连续性，4. 初等函数的连续性。

§10 闭区间上连续函数的性质1. 有界性与最大值最小值定理，2. 零点定理与介值定理。

第二章导数与微分§1 导数的概念1.导数概念的引进，2. 导数的定义，3. 导数的几何意义，4. 函数的连续性与可导性的关系。

§2 函数的求导法则1．导数的四则运算法则，2. 反函数的求导公式，3. 复合函数的求导法则，4. 基本求导公式与求导法则。

数学分析复习重点前八章

数学分析(1)复习纲要一实数集与函数1、理解实数的概念，了解实数的四则运算、有序性、稠密性、阿基米德性等主要性质，会绝对值的常用不等式。

2、了解区间与邻域的概念，了解有界集及上下确界的定义并会证明, 理解确界原理。

3、理解函数的概念和表示法，了解反函数和复合函数的概念，了解基本初等函数的性质和图形。

4、了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。

典型例题：P2，例1；P6，例2。

典型习题：P4，1；P9，4(1)(3)。

二数列极限1、理解数列极限的概念，并掌握用ε—N定义证明数列极限的一般方法。

2、了解收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算和子列的性质，并且掌握求数列极限的相应方法。

3、掌握单调有界定理并会用于证明数列极限的存在性，了解Cauchy收敛准则。

典型例题：P24，例3；P29，例1、2、5；P36，例2。

典型习题：P27，1，2(2)；P33，1(1) (4)，4(6)；P39，1(1) (3)，3(2)。

三函数极限1、理解函数极限的概念(当自变量趋向于无穷或有限点时以及单侧极限)，并掌握“ε—δ”和“ε—M”证明的一般方法。

2、了解函数极限的性质: 唯一性, 局部有界性, 局部保号性,保不等式性和四则运算法则，并且掌握求函数极限的相应方法。

3、了解函数极限存在的条件: 归结原则, 单调有界准则和Cauchy准则。

4、掌握两个重要极限及其求极限应用。

5、了解无穷小(大)量及其阶的概念和应用；了解曲线的渐近线的概念及其求法。

典型例题：P45，例5；P50，例2、3；P53，例1；P56，例1-5；P62，例2、5。

典型习题：P47, 1(1)(2), 2；P51, 1(3)(7), 2(1)；P58, 1(8)(10), 2(3), 4(1)；P66, 2, 4(3)。

四函数的连续性1、理解函数在一点连续的概念(三个等价定义及左右连续)，并会判断间断点的类型。

数学分析全章复习讲义

数学分析全章复习讲义
在这份文档中，我们将对数学分析的各个章节进行复，并提供一些重点思路和要点。

第一章：实数和数列
- 实数的定义和性质
- 数列的定义和性质
- 有界数列和无界数列
- 收敛数列和发散数列
第二章：极限和连续
- 极限的定义和性质
- 数列极限和函数极限
- 极限的运算法则
- 连续函数的定义和性质
- 连续函数的运算法则
第三章：导数和微分
- 函数的导数定义和性质
- 导数与连续性的关系
- 一阶导数和高阶导数
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理和泰勒公式
第四章：积分
- 不定积分和定积分的定义和性质
- 积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的概念和判定
- 定积分的计算方法
第五章：级数
- 级数的定义和性质
- 收敛级数和发散级数的判定方法
- 常见级数的求和
- 幂级数和泰勒级数
第六章：函数序列和一致连续性
- 函数序列的极限和一致收敛
- 一致连续性的定义和性质
第七章：多元函数的极限和连续
- 多元函数的极限定义和性质
- 多元函数的连续性定义和性质
- 偏导数和全微分的概念
第八章：多元函数的导数和微分
- 多元函数的偏导数和混合偏导数
- 多元函数的全微分和复合函数的导数
- 隐函数的导数和参数方程的导数
以上是数学分析的全章复习内容，希望对你的学习有所帮助！。

数学分析二知识点总结

数学分析二知识点总结数学分析是现代数学的一个重要分支，它是通过对连续性、极限、函数、导数、积分等概念和方法的研究来解决问题的。

在数学分析二中，主要研究了多元函数的连续性、偏导数、多元函数的一、二阶偏导数和高阶导数、多元函数的积分、曲线、曲面的长度和面积等内容。

下面是数学分析二的一些重要知识点总结。

1.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内任意一点的一些性质随着自变量的变化而保持不变。

确定多元函数是否连续的方法是通过极限的概念来进行。

2.偏导数多元函数的偏导数是指函数在其中一点处沿着坐标轴的方向上的导数。

对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以通过对其中一各变量求导，而将其他变量视为常数来计算。

偏导数的计算方法与一元函数的导数类似。

3.高阶偏导数对于多元函数，我们可以继续对偏导数求导，得到高阶偏导数。

二阶偏导数是指函数的偏导数对自变量再求一次导数。

高阶偏导数代表了多元函数的曲率和曲率的变化率。

4.多元函数的积分多元函数的积分是指对多个自变量的函数进行积分运算。

多元函数的积分是对函数在定义域内所有点的值乘以对应的微元的积分，然后对所有的积分结果进行求和。

对于不同类型的区域，需要采用不同的积分方法，如二重积分、三重积分等。

5.曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以通过求参数的导数的模长来计算曲线的长度。

对于一般的曲线，可以将曲线划分成无数小段，然后计算每段的长度，再对所有长度进行求和得到曲线的长度。

6.曲面的面积对于参数方程表示的曲面，可以通过对两个参数的导数的模长做叉乘，然后对结果求积分来计算曲面的面积。

对于一般的曲面，可以将曲面切割成无数个小面元，然后计算每个小面元的面积，最后对所有小面元的面积进行求和得到曲面的面积。

7.广义积分广义积分是对未定义的区间进行积分。

在数学分析二中，常用的广义积分包括瑕积分和广义积分。

瑕积分是对于函数在一个无界区间上的积分，广义积分是对于函数在一个有界区间上其中一点的积分，其中函数在该点可能无定义或者无界。

数学分析提纲

有最大值与最小值。
推论：（有界性）若函数 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上连续，则 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上有界。
(b)( 介值性定理 ) 若函数 f ( x) 在闭区间 [ a , b] 上连续，且 f ( a) f (b) ，若为
f (a) 与 f (b) 介于之间的任何实数（ f (a)
数学分析提纲
一、实数集与函数二、数列极限
1. 数列极限的概念 2. 收敛数列的性质
（1） (唯一性 ) 若数列 { an} 收敛，则它只有一个极限．
(2)( 有界性 ) 若数列 { an } 收敛，则 { an } 为有界数列，即存在正数 M ，使得对一切正整数
有 | an | M . (3) (保号性 ) 若 lim an a 0 (或 <0)，则对任何 a (0, a) (或 a
f
xn
都存在且相等．
（ 2）单调有界定理：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应
的定理．现以 x x0 这种类型为例叙述如下：设 f 为定义在 U (x0 ) 上的单调有界函数，
则右极限 lim f ( x) 存在．
x x0
（3）柯西准则：设函数
f 在 U ( x0;
) 内有定义 . lim f ( x) 存在的充要条件是 :任给 x x0
0,则 f g当 x
lim f ( x)
x x0
.
lim g ( x)
x x0
3. 函数极限存在的条件
x0 时极限存在 , 且有
（ 1 ）归结原则：设
f 在 U 0 x0 ;
' 内有定义．
lim f
x x0

(整理)数学分析提纲

数学分析提纲一、实数集与函数二、数列极限 1. 数列极限的概念 2. 收敛数列的性质（1）(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．(2)(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤(3) (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．(4)(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤(5)(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0N n >时有 n n n b c a ≤≤，则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．3. 数列极限存在的条件（1）单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．（2）柯西(Cauchy)收敛准则：数列}{n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有ε<-m n a a ．三、函数极限 1. 函数极限的概念 2. 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1)();lim x f x +∞→ 2)();lim x f x -∞→ 3)();lim x f x ∞→4)();lim 0x f x x → 5)();lim 0x f x x +→ 6)().lim 0x f x x -→下面以第4)种类型的极限为代表叙述并证明这些性质. (1) (唯一性) 若极限()x f x x 0lim →存在, 则此极限是唯一的.(2)(局部有界性) 若()x f x x 0lim →存在,则f 在0x 的某空心领域()00x U内有界(3)(局部保号性) 若()0lim 0>=→A x f x x (或0<),则对任何正数A r <(或A r -<),存在(),00x U使得对一切()00x U x ∈有 ()0>>r x f (或()0<-<r x f ).(4)定理3.5(保不等式性) 设()x f x x 0lim → 与 )(lim 0x g x x →都存在,且在某邻域);(00δ'x U 内有()x f ≤()x g ,则()x f x x 0lim →≤()x g x x 0lim →(5)定理 3.6(迫敛性) 设()(),lim lim 00A x g x f x x x x ==→→ 且在某()δ';00x U 内有()()(),x g x h x f ≤≤则().lim 0A x h x x =→(6)定理 3.7(四则运算法则) 若极限()x f x x 0lim →与()x g x x 0lim →都存在,则函数g f g f ⋅±,当0x x →时极限也存在,且1)()()[]()();lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±2)()()[]()();lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=又若()0lim 0≠→x g x x ,则gf当0x x →时极限存在,且有3)()().)(lim )(lim limx g x f x g x f x x x x x x →→→= 3. 函数极限存在的条件（1）归结原则：设f 在()'0;δx U 内有定义．()x f x x 0lim →存在的充要条件是：对任何含于()'0;δx U且以0x为极限的数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等．（2）单调有界定理：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以+→0x x 这种类型为例叙述如下：设f 为定义在)(0x U+上的单调有界函数，则右极限)(lim 0x f x x +→存在．（3）柯西准则：设函数f 在);(0δ'x U内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是:任给0>ε,存在正数)(δδ'<,使得对任何);(,0δx U x x∈'''有ε<''-'|)()(|x f x f .4. 两个重要极限(1).1sin lim0=→x x x (2).e xx x =+∞→)11(lim .5. 无穷小量和无穷大量（1）无穷小量（2）无穷小量阶的比较（3）等价无穷小代换定理（4）无穷大量四、函数的连续性 1.连续性的概念（1）函数在一点的连续性（2）间断点及其分类（3）区间上的连续函数 2.连续函数的性质 (1)连续函数的局部性质（a ）（局部连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。

数学分析2学期知识总结

数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章不定积分1、基本公式(1)),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x (2)⎰+=c x dx xln 1， (3)⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα (6),cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα(7),tan cos 12c x dx x +=⎰(8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12)⎰+=-,arcsin22c axx a dx (13)⎰+=+,arctan 12c x x dx(14) ⎰+=+,arctan 22c axx a dx(15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17),ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18)⎰++-=-,ln 2122c a x ax a a x dx(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。

注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。

2、积分法(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。

(2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量）若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。

数学分析的知识点总结高中

数学分析的知识点总结高中一、函数的极限在数学分析中，函数的极限是一个非常重要的概念。

一个函数在某点的极限表示当自变量趋于这个点时，函数的取值趋于某个确定的数。

具体来说，对于函数$f(x)$而言，当$x$趋于$a$时，$f(x)$的极限为$L$，记作$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$，则称函数在$a$处有极限，并且极限值为$L$。

学习函数的极限，关键在于掌握一些基本的极限性质，比如常数函数的极限、多项式函数的极限、指数函数的极限、对数函数的极限等。

此外，还需要掌握一些特殊函数在某些特定点的极限，比如三角函数的极限、幂函数的极限、复合函数的极限等。

通过对这些性质和特例的理解，学生可以逐渐建立对函数极限的概念，并学会用不同的方法计算函数的极限。

二、函数的连续性函数的极限与连续性是密不可分的。

一个函数在某点连续，意味着它在这个点存在极限，并且极限值等于函数在这个点的取值。

具体来说，对于函数$f(x)$而言，如果$f(a)$存在，$\lim\limits_{x\to a}f(x)$存在且相等，那么函数$f(x)$在$x=a$处连续。

这一概念要求学生具备对函数极限的深刻理解，同时要懂得如何利用函数极限的性质来研究函数的连续性。

学生需要掌握的知识点包括基本初等函数、特殊函数的连续性性质，以及一些重要的连续函数的运算性质。

此外，还需要学会利用函数极限的定义和性质证明一些函数在某点连续，以及判断函数在某一闭区间上的连续性。

三、导数与微分导数是函数变化率的度量，也是微分学的核心概念。

函数在某点的导数表示函数在这点的变化速率，也可以理解为切线的斜率。

对于函数$f(x)$而言，它在点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或者$\frac{{df}}{{dx}}|_{x=a}$，表示函数$f(x)$在$x=a$处的变化速率。

数学分析复习提纲(全部版)

数学分析（4）复习提纲第一部分实数理论§1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。

（1）域公理：（2）全序公理：（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='⋃3°x x A x A x '<⇒'∈'∀∈∀,则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。

主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（Heine-Borel ）聚点定理：(Weierstrass)致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。

习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。

习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？§2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理习题5 用致密性定理证明一致连续性定理§3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。