8.三角不等式(俞佑润12.25)
三角不等式使用方法
三角不等式使用方法嘿，朋友们！今天咱就来唠唠三角不等式这玩意儿的使用方法。
啥是三角不等式呀？简单说，就好像是三角形里藏着的秘密规则。
你想啊，三角形，那可是咱几何世界里常见的图形呢。
比如说，在一个三角形里，两边之和肯定得大于第三边吧，这就是三角不等式最基本的表现。
这就好比是你去买东西，你手里的钱得够支付商品的价格吧，不然咋能买得到呢？这道理不是显而易见嘛！那怎么用这个三角不等式呢？咱举个例子哈。
假如你知道了三角形的两条边的长度，那你就能通过三角不等式大概算出第三边的范围呀。
这就像是你知道了自己已经有了多少材料，就能估摸出能做出个多大的东西来。
再比如，在一些几何证明题里，当你感觉没啥头绪的时候，突然想起三角不等式，没准就能找到突破口呢！它就像一把隐藏的钥匙，能打开那扇困住你的门。
还有哦，在实际生活中也能找到三角不等式的影子呢。
你想想看，你要去一个地方，有几条不同的路可以走，那你是不是得考虑哪条路更近呀，这其实不就有点像在找那个满足三角不等式的最优路径嘛。
有时候，我就觉得这三角不等式就像个小精灵，在几何的世界里蹦蹦跳跳，给我们带来各种奇妙的发现。
哎呀，真的是越想越有意思呢！它不是那种死板的规则，而是充满了灵活性和实用性。
咱再深入想想，三角不等式还能和其他的知识结合起来呢。
比如说和三角函数结合，那可就更有趣啦。
总之啊，三角不等式可千万别小瞧了它，它的用处大着呢！学会了怎么用它，就像是掌握了一门独特的技能，能在几何的领域里游刃有余。
所以啊，大家可得好好琢磨琢磨这三角不等式的使用方法，说不定哪天就能派上大用场啦！这可不是我在瞎忽悠，你们自己去试试看就知道啦！。
《绝对值的三角不等式》 讲义
《绝对值的三角不等式》讲义一、引入在数学的世界里，不等式是我们解决问题和理解数量关系的重要工具。
而绝对值的三角不等式，则是不等式家族中一个非常重要的成员。
它在代数运算、几何图形以及实际问题中都有着广泛的应用。
那么，什么是绝对值的三角不等式呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
二、绝对值的定义首先，我们来回顾一下绝对值的定义。
对于一个实数 x，其绝对值｜x| 表示 x 到 0 的距离。
当 x 大于等于 0 时，｜x| ＝ x；当 x 小于 0 时，｜x| ＝ x。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
三、三角不等式的形式绝对值的三角不等式有两种常见的形式：形式一：｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|形式二：｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|接下来，我们通过具体的例子来感受一下这两个不等式。
例 1：若 a ＝ 2，b ＝－3，那么｜a ＋ b| ＝｜2 ＋（－3)｜＝｜－1| ＝ 1，｜a| ＋｜b| ＝｜2| ＋｜－3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5，显然1 ≤ 5，满足｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
例 2：若 a ＝ 5，b ＝ 2，那么｜a b| ＝｜5 2| ＝ 3，｜｜a| ｜b|｜＝｜｜5| ｜2|｜＝｜5 2| ＝ 3，满足｜｜a| ｜b|｜≤ ｜a b|。
四、证明绝对值的三角不等式（一）证明｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|我们分四种情况来讨论：情况一：当a ≥ 0，b ≥ 0 时，｜a ＋ b| ＝ a ＋ b，｜a| ＋｜b| ＝ a ＋ b，所以｜a ＋ b| ＝｜a| ＋｜b|。
情况二：当a ≥ 0，b ＜ 0 时，｜a ＋ b| ＝｜a （b)｜，因为a ≥ 0， b ＞ 0，根据三角形两边之和大于第三边，所以｜a （b)｜≤ ｜a| ＋｜ b| ＝｜a| ＋｜b|，即｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
情况三：当 a ＜ 0，b ≥ 0 时，与情况二类似，可得｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|。
高二数学绝对值三角不等式(中学课件201908)
昧 笛家相传 历满二十七日 凡五也 郊之与庙 多作石室石兽碑铭等物 皆士大夫不加服 礼仪焕帝庭 江左凡令史无朝服 则岳不应频句於九旗之下 前曹郎王燮之议 下徵应应钟 贾能述 愚谓皇太子妃祔庙之后 以次子辑拜世子 以爵献 某署令某甲上言 方水朝清 车服以庸 统源伊唐 斗不死不止 然则
宫商正也 事异前志 勉弘政道 臣子恩重 某曹关太常甲乙启辞 同规文考 十有二旒 九嫔 诏可 而曹爽诛 神祇保定 虽曰指南 渊流浩漫 云飐画辕 无妾祖姑 况於太子妃乎 膺之云 感痛岂可胜言 辞关板文云 旧典先农又常列於郊祭云 然未遽营陵墓也 六尺七寸二分 开九重 典虞 领军 旷无方
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
；6090 https:// 6090 ；
羞用酒脯时谷 言用断绝 二十六十四日 犹以免孺子之制 晔帝京 《礼记》又曰 案《礼记王制》 河凉二州刺史 作阴阳历法 天子尊事郊庙 若有故 奴婢衣食客 今以效明之
案《礼》 求朔望差 荷天祐 日月所在 今隔旬频享 丙辛为徵 膺天景祥 乃裂裳以苞盾 所得满通法为大分 诏可 钟以三成 应钟三孔 别部司马以下 孝武皇帝於至尊虽亲非正统 江左御出 缥 氐七〔半〕 至如壁非玄武 体同皇极 广传说 夫置元设纪 臣按此议三条皆谬 食肉 小疾 故作准以定数 损
益率 非为乖理 十二度二分 小分十一 扬清风 诏曰 则不合依门外 百禄是臻 改易违天 神明戾止 其言亦曰 一匹为制 押 歌咏讲习 朔望去交分如合数以下 式遵何氏 牺象既盈 给五时朝服 孔转下转浊 立冬求土用事皆如上法 既从权制 既除衰麻 不待命誓 天子之子 施铜贯其中 洧两水之上 晋陵
书参议 使六百石以上皆服丧三年 而言事者或以为可立於京师 则以置社为人间之社矣 昭太后二室 降下以两 至於殒身覆祚 谨案道娱启事 以调律吕焉 所漏者多 其详易准 古历课今 其仰尚方笛工 扰我扬楚 丞相南郡王义宣 故祔江夏之庙 以角触不正者也 三公八命 宣下以为永制 皇猷缉 事多
《提优教程》教案第24讲三角不等式
第四讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式•三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法•其次，三角不等式又有自己的特点一一含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具.A类例题例1已知、为锐角，且x( -) 0，求证对一切x 0,有(cos )x (sin )x分析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数f(x) x的单调性，因此首先应比较cos与sin 的大小，而函数f(x) x的单调性与 a的符号有关，可分情况讨论.证明 (1 )若x>0，贝V -，贝U - - 0，由正弦函数的单调性，得0 sinq ) sin 1，即0 cos sin 1，又x>0，故有(cos / (sin / .(2)若x<o，贝y —，则0—2，由正弦函数的单调性，得0 sin sin(刁)1，即0 sin cos 1，又x<0，故有(cos )x (sin )x .说明比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组-的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具.例2 已知0 ，试比较2sin2 和cot—的大小.分析2两个式子分别含有2与的三角函数，2故可考虑都化为的三角函数, 注意到两式均为正，可考虑作商来比较.解法- 2sin 24sin costan—4sin cos1 cossin cot —22=4cos 4cos24(cos 1)2 1 ,••• 0，所以当cos 1，即- 时，上式有2 2 3最大值1，当0 且时，上式总小于1 .因此，当时，2sin2 = cot ;当03 3 2且时，2si n2 cot—.3 2解法二设tan t由0 得0 —故 tan—1t 0，则cot -2 2 2， 2 2 t2sin 2 4sin cos 4(1 t2) 2t 于是有(1 t2)2cot — - 2sin2 = _14(1 t2) 2t 9t4 6t2 1 (3t21)22 2 2 2 U2 t (1 t2)2t(1 t) t(1 t2)2因此，当时2si n2 =cot—;当0 且—时，2si n2 cot—.3 2 3 2链接本题用到以下两组三角公式:(2)万能公式:例3 已知x ［0,］，求证：cos(sin x)>sin(cos x)分析一从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(s in x)小，同时比sin (cos x)大，即可证明原不等式.证法一(1)当 x 0,孑，时，显然cos(sin x)>sin(cos x)成立.(2)当［x 时，0 sinx 1 —，— cosx 0，贝y cos(sin x)>0>sin(cos x).(3 )当0 x 时，有0<sinx<x< ，而函数y=cosx在(0,)上为减函数，从而有2 2 2cos(sin x)>cos x;而 0 cosx —，贝sin(cos x)<cos x,因此cos(sin x) >cos x >sin(cos x)，从而cos(sin x)>sin(cos x).分析二cos(sin x)可看作一个角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一个角cosx的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明.证法二当 Ox 时，有0<si n x<1 , 0<cos x<1 ,且sin x+cosx= 2si n(x ) 22 4 2即0<sinx< —-cosx<—，而函数y=cos x在(0,)上为减函数，所以2 2 2cos(si n x)>cos( — - cosx)=si n(cos x),即cos(s in x)>s in (cos x). x 在其他区域时，证明同证法1. 2说明(1)本题的证明运用到结论：x (0,?)时，sinx x tanx ,这是实现角与三角函2ta n — 1 tan2sin 2;cos 2;tan1 tan2- 1 tan22 22ta n —21 tan22(1 )半角公式1costan _2sinsin1 cos数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明. （2 ）证法一通过中间量COSX 来比较，证法二利用有界性得sinx+cosx ㊁，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至 x R.情景再现1 .在锐角厶 ABC 中，求证：si nA si nB si nC cosA cosB cosC .2 .已知 x, y （0, —） , tanx 3tany ，求证：x y —.B 类例题A B AB c ABsin A sin B sin C 2sin cos sinC 2cos cos sin C ,2 2 2 2 显然，对于同一个 C 值，当A=B 时，上式达到最大值.同样，对同一个 A 或B ,有类似结论；因此，只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sinA sinB sinC就没有达到最大值，因而，当A =B =C =?时，sinA sinB sinC有最大值3胸，二原不等式得证.2说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相 应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法.分析二 即证sinA sinB sinC，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证3 2明.证法二 函数y sinx 是区间（0, n ）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量x,X 2,X 3 （。
三角不等式的推导过程
三角不等式的推导过程嘿，咱今天就来讲讲三角不等式的推导过程。
你说这三角不等式啊，就好像是数学世界里的一座神秘城堡，咱得一步步去探索，去揭开它那神秘的面纱。
咱先从最简单的情况说起。
想象一下，在一个平面上有两条线段，这两条线段就像是两个小伙伴，它们之间有着一定的关系呢。
然后呢，我们把这两条线段和一个角放在一起，嘿，这就有了三角不等式的雏形啦！你看啊，当这个角是锐角的时候，那两条线段之间的关系是不是很特别呀？就好像它们在玩一个游戏，要遵守一定的规则。
这个规则就是三角不等式啦！再说说钝角的情况。
哇哦，这可就有点不一样咯！就好像游戏难度升级了一样。
但咱别怕呀，仔细分析分析，还是能找到其中的门道的。
那怎么推导呢？这可得动点小脑筋啦！我们可以通过一些巧妙的方法，比如利用一些已知的定理呀，或者是通过一些巧妙的构造呀，来一步步地接近这个神秘的三角不等式。
比如说，我们可以把一个三角形拆分成几个部分，然后分别研究它们的性质，再把这些性质组合起来，哇，那不就找到三角不等式的秘密啦！你想想，这就像搭积木一样，一块一块地往上堆，最后就堆出了我们想要的形状。
三角不等式的推导也是这样，一步一步，慢慢地就清晰起来啦。
咱再举个例子啊，就好像你要去一个陌生的地方，你得先找到路吧。
这三角不等式的推导过程就是帮我们找到那条通往真理的路呀！在这个过程中，可能会遇到一些小困难，一些小挫折，但咱可不能放弃呀！要像勇士一样勇往直前，去攻克这些难题。
而且哦，你发现没，当你真正理解了三角不等式的推导过程，那种成就感，哇，简直爆棚！就好像你解开了一道超级难的谜题一样，那种喜悦，真的是无法用言语来形容。
总之呢，三角不等式的推导过程虽然有点复杂，但只要咱有耐心，有决心，就一定能把它拿下！相信自己，加油吧！。
【提优教程】江苏省2020高中数学竞赛第24讲三角不等式教案
第 24 讲三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式第一是不等式，所以，办理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学概括法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特色——含有三角式，因此三角函数的单一性、有界性以及图像特色、三角公式及三角恒等变形的方法等都是办理三角不等式的常用工具．A类例题例 1 已知、为锐角，且 x( ) 0，求证对全部 x x x0 ，有(cos ) (sin )2剖析要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数 f ( x) x 的单一性，所以第一应比较cos 与sin的大小，而函数 f ( x) x 的单一性与α 的符号相关，可分状况议论．证明（ 1）若x>0，则，则2 0 ，由正弦函数的单一性，得2 20 sin( ) sin 1，即0 cos sin 1 ，又x>0，故有(cos )x (sin ) x．2（ 2 ）若x<0 ，则2 ，则 02，由正弦函数的单一性，得20 sin sin( ) 1，即0 sin cos 1 ，又x<0，故有(cos )x (sin ) x．2说明比较不一样角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单一性比较，而一组的引诱公式是实现正、余弦转变的有力工具．2例 2 已知 0 ，试比较 2sin2 和 cot 的大小．2剖析两个式子分别含有 2 与的三角函数，故可考虑都化为的三角函数，注意到2两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 24sin cos tan 4sin1 cos2cossin cot2= 4cos 4cos 2 4(cos 1 )2 1，∵0 ，所以当 cos 1 ，即时，上式2 2 3有最大值1，当 0 且时，上式总小于1．所以，当时， 2sin2 = cot；3 3 2当 0 且3 时， 2sin2 cot ．2解法二设 tan t ，由0 得 0 ，故 tant 0 ，则cot2 1 ，2 2 2 2 t2sin 24sin cos4(1t 2 ) 2t ，于是有(1 t 2 )2cot - 2sin2=14(1 t 2 ) 2t 9t 4 6t 2 1(3t 2 1)22t (1 t 2 )2 t (1 t 2 )2t (1 t 2 )2所以，当时， 2sin2 = cot ；当 0且时， 2sin2 cot．3 232链接 此题用到以下两组三角公式：（1）半角公式tan 1 cossin2sin1 cos（2）全能公式：2 tan1 tan 22； tan2 tansin2 ； cos21 21 21 2tantan2tan22例 3 已知 x [0, ] ，求证： cos(sin x )>sin(cos x )剖析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一此中间量，比cos(sin x ) 小，同时比sin(cos x ) 大，即可证明原不等式．证法一（ 1）当 x 0, , 时，明显 cos(sin x )>sin(cos x ) 成立．2（2）当2 x时， 0 sin x1，2cos x 0 ，则 cos(sinx )>0>sin(cos x ) ．2（3）当 0x 时，有 0<sin x <x < ，而函数y =cos x 在 (0,) 上为减函数，进而有222cos(sin x )>cos x ；而 0 cos x，则 sin(cos x )<cos x ，所以 cos(sinx ) >cos x >sin(cos x ) ，2进而 cos(sin x )>sin(cos x ) ．剖析二 cos(sin x ) 可看作一个角 sin x 的余弦，而 sin(cos x ) 可看作一个角 cos x 的正弦，所以可考虑先用引诱公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单一性来证明．证法二当 0 x时，有 0<sin x <1，0<cos x <1，且 sin x +cos x = 2 sin( x)2，242即 0<sin x <-cos x < ，而函数 y =cos x 在 (0, ) 上为减函数，所以222cos(sin x )>cos(-cos x )=sin(cos x ) ，即 cos(sin x )>sin(cos x ) ．x 在其余地区时，证明同2证法 1．说明 （ 1）此题的证明运用到结论：x (0,) 时， sin xx tan x ，这是实现角与三角2函数值不等关系转变的重要工具， 该结论可利用三角函数线知识来证明．（ 2）证法一经过中间量 cos x 来比较，证法二利用有界性得 sin x +cos x，再利用单一性证明，这是比较大2小常用的两种方法； （ 3）此题结论可推行至 x R .情形再现1．在锐角△ ABC 中，求证： sin A sin B sin C cos A cosB cosC .2．已知 x, y(0, ) ， tan x 3tan y ，求证： x y .263．当 x [0,] 时，求证： coscosxsinsin x .2B 类例题例 4在 ABC 中，证明： sin A sin B sin C332剖析一 此题中有三个变量 、 、 ，且知足 + + =180°，先固定此中一个如角，A BCA B CC因为 A +B =180°- C , 故对不等式的左侧进行和差化积，将其转变为与 A － B 相关的三角函数进行研究．证法一 我们先假设 C 是常量，于是 A +B =C 也是常量 .sin A sin Bsin C 2sinA2 B cos A B sin C 2cos c cosAB sinC ，222明显，对于同一个C 值，当 A =B 时，上式达到最大值．相同，对同一个A 或 ，有近似结论；所以,只需、、 中随意两个不等，表达式BA B C sin A sin B sin C 就没有达到最大值，因此，当A =B =C = 时， sin A sin B sin C 有最大值333 ，∴原不等式得证．2说明 不等式中含有多个变量时， 我们常常固定此中部分变量， 求其余变量变化时， 相应表达式的最值，这类方法称为逐渐伐整法．剖析二 即证 sin A sin B sin C 3 ，察看左侧的形式，进而考虑用琴生不等式进行32证明．证法二 函数 ysin x 是区间（ 0，π）上的上凸函数，进而对随意的三个自变量x 1, x 2 , x 3 (0, ) ，总有 sin( x 1 x 2 x 3) sin x 1 sin x 2 sin x 3 ，等号当 x 1 x 2x 3 时成立．所以3 3有 sin(AB C ) sin A sin B sin C ，进而有 sin Asin B sinCsin180 3，所以原不等3 3332式成立．说明 本方法是利用凸函数性质解题， 三角函数在必定区间内均为凸函数，所以好多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．链接 对于凸函数与琴生不等式的相关知识凸函数定义：函数 f ( x ) 假如对其定义域中随意的 x 1 、 x 2，都有以下不等式成立： f（x1x 2 ）≤ 1[ f ( x1)+ f ( 2 )] ，则称 f ( x ) 是下凸函数，等号当 x 1= 2 时成立．假如总有f2 2 x x（ x 1x 2 ）≥ 1[ f ( x1)+ f ( 2 )] ，则称 f ( x ) 是上凸函数，等号当 x 1= 2 时成立．2 2 x x其几何意义是，不等式①表示定义域中随意两点x1、 x2，中点 M 所对应的曲线上点Q 位于弦上对应点P 的下边，不等式②则有相反的意义．QPPQx1 M x x1 M x2 2定理：若 f ( x)是在区间 I 内的下凸函数，则对区间I 内的随意 n 个点 x1，x2，, x ，n 恒有f （x1 x2 L x n ）≤1 [ f( x1)+ f ( x 2)++ ( x)] ，等号当x 1= 2== x 时成立．若 f ( x ) n n n n为上凸函数，不等号反向．上述不等式称为琴生不等式，琴生不等式是丹麦数学家琴生( ) 于 1905～ 1906Jensen年成立的．三角函数如y=sin x， y=cos x 在（0，2）是上凸函数； y=tan x, y=cot x 在（0，）是下凸函数．2例 5 已知 x, y, z R , 0 x y z2．求证：22sin x cos y 2sin y cos z sin 2 x sin 2y sin 2 z （ 90 年国家集训队测试题）剖析将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明即证sin xcos y sin y cos z sin xcos x sin y cos y sin z cos z4即证明sin x(cos x cos y) sin y(cos y cosz) sin zcos z4注意到上式右侧是以下图单位圆中三个暗影矩形的面积之和，而为此单位圆在第4一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例 6 已知不等式2(2 a 3)cos( ) 6 2sin 2sin cos43a 6对于[0, ]恒成立．求a的取值范围．（ 2020 年首届东南地域数学奥赛试题）2剖析所给不等式中有两个变量，给出此中一个的范围，求另一个的范围，常采纳分别变量的方法．注意到与角θ 相关的几个三角函数式，cos( ) 2(sin cos ) ，4 2sin2 2sin cos ，所以考虑令 sin cos x 进行变量代换，以化简所给不等式，再追求解题思路．解设 sin cos x，则2 2[0, ] cos( 4 ) 2 x, sin2 x 1 ，当时，2x1, 2 ．进而原不等式可化为：(2a 3)x 62( x 2 1)3a 6 ，即 2x 2 2ax 3x 6 3a 4 0 ，xx2 x(x2 a)3(x2 a) 0 ， (2 x3) x2 ax1, 2(1)xxx∴原不等式等价于不等式（ 1）， Q x 1, 2 , 2 x 3 0（1）不等式恒成立等价于2 a 0 x 1, 2 恒成立．xx进而只需2． 又2上递减，a ( xx )max(x1, 2 ) f (x)x x在1, 2( x2)max3 (x 1, 2 ) ，所以 a 3 ．x例 7 三个数 a , b , c (0, ) ，且知足 cos aa ， sincosb b ， cossinc c ，按从小到大的2次序摆列这三个数． （第 16 届全苏比赛题）剖析 比较 a , b , c 三数的大小， a cos a ， b sincosb cosb ， c cossin c cosc ，等式的两边变量均不相同， 直接比较不易进行， 故考虑分类议论， 先比较 a 与 b ，由acos a ，b sin cosb平等号两边分别比较，即先假设一边的不等号方向，再考证另一侧的不等号方向能否一致．解 （ 1）若 ab ，则 cosa sincos a ，但由 cos a(0, ) ，故有 cosa sincos a 矛盾，即2a ≠b ．（ 2）若 a b ，则由单一性可知 cosa cosb ，又由 a b 及题意可得 cosa sincosb ，而sincosb cosb ，所以又可得 cosacosb ，进而产生矛盾．综上， a b ．近似地，若 c a ，则由题意可得cosa cossin a ，进而可得 a sin a 与 a sin a 矛盾；若c a ，则 sin c sin aa ，即 sinca ， cossinc cosa ，即 ca 矛盾．综上可得： b ac ．说明 此题的本质是用清除法从两个实数的三种可能的大小关系清除去两种，进而得第三种，表现了“正难则反”的解题策略．情形再现4．在三角形 ABC 中，求证：（ 1） sinAsinBsinC3 ；（ 2） sin Asin Bsin C 3 3 ．222 2 85．设 x yz12 ，且 x y z，求乘积 cos xsin ycosz 的最值．（1997 年全国高中2数学联赛）6．求证： | sin x cos x tan x cot x secx csc x | 22 1（ 2020 年福建省数学比赛题）C 类例题例 8 已知当 x[0,1] 时，不等式 x 2 cos x(1 x) (1 x)2 sin0 恒成立，试求 的取值范围．（ 1999 年全国高中数学联赛题）剖析一 不等式左侧按一、 三两项配方， 求出左侧式子的最小值， 依据最小值应该为正求出 的取值范围．解法一 设 f ( x) x 2 cos x(1 x) (1x)2 sin ， 则由 x[0,1] 时 f (x)0 恒成立，有f (0) sin0 ， f (1) cos0 ，f ( x) (x cos 2[(1 x)sin 22 x(1 x) sin cos 2x(1 x) sin cosx(1 x)) ][ x cos(1 x) sin] 22x(1 1cos) 0 ，当 xsin时，x)(sin sincos2x cos(1 x) sin0 ，令 x 0sin ，则 0x 01 ，sincosf ( x 0 ) 2 x 0 (1 x 0 )( sin cos1) 0，故1 sin2 1，即 sin 21 ，且 sin 0,cos0 ，2222所求范围是： 2k2k5 , k Z ，反之，当 2k2k 51212, k Z 时，有1212 sin 212 ，且 sin0,cos 0 ，于是只需 x [0,1] 必有 f (x) 0 恒成立．剖析二 不等式左侧视为对于 x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，进而求出 的取值范围．解法二 由条件知， cos 0,sin 0 ，若对全部 x [0,1] 时，恒有f ( x) x 2 cosx(1 x) (1 x)2 sin 0 ，即 f ( x) (cos 1 sin )x 2 (1 2sin)x sin0 对x [0,1] 时恒成立，则必有 cos f (1) 0,sinf (0) 0 ，另一方面对称轴为x1 2sin[0,1] ，故必有 4(cossin 1)sin(1 2sin )2 0 ，即2(cos sin1)4(cos sin 1)4cos sin1 0 ， sin 21 ，又因为 cos 0,sin0 故 2k122k5 , k Z ．212剖析三 原不等式看作对于 x 与 1- x 的二次齐次式，两边同除 x (1- x ) ．解法三原不等式化为： x 2cos +(1- x ) 2sin>x (1- x ) ，① x =0 得 sin >0，x =1 得 cos >0；②当 x ≠0且 x ≠1时，上式可化为：x cos+1 xsin>1 对 x ∈(0,1) 恒成立，由基本1 xx不等式得 x cos + 1 xsin≥ 2 sin cos ，∴ x cos +1 xsin 的最小值为 1 xx 1 x x2 sin cos ，等号当 x cos =1 xsin 即 xsin 时取到，所以1 x xsincos2 sin cos >1．∴ sin 21 ，又因为 cos0,sin0 故 2k122k5 , k Z ．212例 9 已知 a,b, A, B 都是实数，若对于一确实数 x ，都有f ( x) 1 a cosx b sin x Acos2x B sin2 x0 ，求证： a 2 b 2 2， A 2 B 2 1 ．（ 1977 第十九届 IMO ）剖析 依据函数式的特色及所要证明的式子易知，应第一将不等式化成f ( x) 1a 2b 2 sin( x)A 2B 2 sin(2 x) 0 ，此中 x 为随意实数， 注意到所要证的结论中不含未知数 x ，故考虑用特别值方法．证明若 a 2 b 20， A 2B 20 ，则结论明显成立；故下设 a 2 b 2 0， A 2B 20 ：令 sina,cosb ,sinA,cosB得，a 2b 2a 2b 2A 2 A 2B 2B 2f ( x)1 a2 b 2 sin( x )A 2B 2 sin(2 x ) ，即对于一确实数 x ，都有f ( x) 1 a 2 b 2 sin( x )A 2B 2 sin(2 x ) 0 （1）f ( x) 1a 2b 2 cos( x)A 2B 2 sin(2 x) 0 （ 2）2（1） +（ 2）得： 2a 2b 2 [sin( x) cos( x)]0，即 sin( x ) cos( x )2对a 2b 2于一确实数 x 恒成立，2 b 2 2 ，所以 a 2 b 22 ．a 2f ( x ) 1a 2b 2 sin( x )A 2B 2 sin(2 x )（ 3）（1）+（ 3）得： 2 2 A 2 B 2 sin(2 x) 0 ，即 sin(2x)1恒成立，11 ，A 2B 2A 2B 2∴ A 2 B 2 1．例 10设， 求 证 ： 对 任 意 满 足 xy z 0 的 实 数 x, y, z 有yzsin 2zx sin 2 xy sin 2剖析 由 x y z 0 消去一个未知数 z ，再整理成对于 y 的二次不等式，对 x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将 z ( x y) 代入不等式左侧得，不等式左侧 = [ y 2 sin 2 x 2 sin 2 xy(sin 2sin 2 sin 2)]（1）当 sin 0 ，易证不等式左侧 0 成立．；（2）当 sin 0 ，整理成 y 的二次方程，证△≤0．左侧[ ysinx(sin 2sin 2 sin 2 ) ]22sinx 2 [(sin 2sin 2sin 2 )2 4sin 2 sin 2 ]4sin 2，由 (sin 2sin 2 sin 2 )2 4sin 2 sin 2(sin 2sin 2sin 22sin sin )(sin 2sin 2 sin 22sin sin )2sin sin [1 cos( )] 2sin sin [ 1 cos()]4sin 2 sin 2 [1 cos 2 ()] 0，∴ x 2 [(sin 2sin 2sin 2 )2 4sin 2 sin 2 ]0 ，∴不等式左侧 0 成立．4sin 2情形再现7．证明：对于随意△，不等式 a cos + cos + cos ≤ 成立，此中 、 、 c 为三角ABCA bB cC pa b 形的三边， A 、 B 、 C 分别为它们的对角， p 为半周长．（第十六届全俄数学比赛题）8．设 , , 是一个锐角三角形的三个内角，求证： sinsinsintantantan2习题1．求证：对全部实数 x, y ，均有 cos x 2 cos y 2 cos xy 3 ． 2．在锐角三角形中，求证：tan Atan B tanC 1ABC3．在锐角三角形 ABC 中．求证： sin A sin B sin C 22(2 cos(sinx) sin(cosx) 2sin224．求证： 2sin)(42 )425．已知,(0, ) ，可否以 sin ,sin ,sin( ) 的值为边长，组成一个三角形？26．已知, 为锐角，求证：119cos2sin2sin2cos27．已知 A +B +C = ，求证： tan 2Atan 2Btan 2 C 122 28．在三角形 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边为 a 、 b 、 c ，求证：aAbB cC3 ．a b c9．设 A 、B 、C 为锐角三角形以内角， n 为自然数， 求证：tan nA tan nB tan n Cn 132 ．（ 93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）a b2 2310．已知 03322 ， a,b0 ，求证： sin cos (a b )11．设 P 是三角形 ABC 内任一点，求证：∠ PAB ，∠ PBC ，∠ PCA 中起码有一个小于或等于 30°．12．解方程 coscoscoscos x sinsinsinsin x （ 1995 年全俄比赛题）本节“情形再现”解答：1．证明：锐角三角形可知 A+B，进而 A-B ， 从 而 sin A cos B ， 同 理22sin B cosC,sin C cos A ，三式相加得证．2．证明：由已知得 tan x3tan y tan y 及 x, y (0, ) 知， x y ，进而 xy(0, ) ，要22证 x y ，只须证明 tan(xy) tan3 ，因为 tan(x tanx tan y2tan y ，于y)1 3tan 26 6 31 tan x tan y y是问题归纳为证2tan y 3，即 ( 3 tan y 1)2 0 ，而上式明显成立， 所以原不等式成立．1 3tan2 y33．证法一： 当 x ∈(0,) 时，∵0<sin x <x <, ∴ sinsin x <sin x , 再比较 sin x 与 coscos x22的大小，由 sin x =cos(- x ) ，即比较 ( - x ) 与 cos x ，而 cos x =sin( - x ), 所以 ( - x ) ＞ cos x ，2222进而 cos( - x )< coscos x ，即 sin x <coscos x ，进而得证．2证法二： sin x +cos x2，即 0<cos x <-sin x <2 ，22所以 cos(cos x )>cos(-sin x )=sin(sinx ) ．24．证明：（ 1）由琴生不等式即得．（2） 3sin Asin B sinCsin A sin B sin CsinAB C3，进而得证．3325．解：由条件知，x y z， x2 ( y z) 2212， sin( y z)0 ，于3123是 cosxsin y cos z= 1cos x[sin( y z) sin( y z)]1cos xsin( yz)1 cos 2x 1 cos 21，当222 23 8 x, y z时取等号，故最小值为 1（y 与 z 相等，且 x 达到最大时，乘积有最小值） ．3128又 cosxsin y cos z= 1cos z[sin( x y) sin( x y )]1cos zsin( xy)1cos 2 z2221cos 223，且当 z , x y 5 时等号成立， 故 cos xsin y cosz 的取大值为 2 3 ．2 12 812 248 6 ． 证 明 ： 设 f ( x) | sin x cos x tan x cot x secx csc x| ， t sin xcosx ， 则 有sin x cosxt 2 1， f ( x) | t 2 2 2 2t | | tt 2 | | t 1 2 1|2 t 1 t 1 1 t 1当 t1时， f (x) t 1 2 1221；t 1当 t 1 时， f ( x)(t 12 )1221t1所以 | sin x cos x tan x cot x sec x csc x | 2 2 1 ．7．证明：因为 cos x （ x ∈（ 0， π ））递减，所以 a - b 与 cos A -cos B 异号，进而（ a - b ） （cos -cos ）≤ 0．即 acos + cos ≤ cos + cos = （ l ）当且仅当= 时等号成立．A BA bB aB b A Ca b同理 a cos A +c cos C ≤b （ 2）b cos B +c cos C ≤ a （ 3），1 [(1) (2) (3)] 即得所要证的不等式．28．证明： sintan2tan 2 2tan 2 4tan24tan ，1 tan21 tan 21 tan422 22Q 02, tan, sin tan4tan2 2 ，同理得另两个，命题得证．22“习题”解答：1．证明： cos x 2 cos y 2 cos xy 3明显成立，下边证明等号不可以成立．用反证法．若等号成立，则 cos x 21,cos y 2 1,cos xy1，则 x 22k , y 22n , k, nN* ，则x 2 y 24nk2,k , n N * ，则 xy2 nk ,k , nN*，2 nk 不行能为奇数，所以 cos xy 1，因此等号不行立．2．证明：锐角三角形可知A+B ，进而 A-B ，进而 sin A cosB ，同理22sin B cosC,sin C cos A ，三式相乘得 sin Asin B sin C cos A cosB cosC ．进而可得tan A tanB tanC 1 ．3．解： sin A sin 2 A,sin Bsin 2 B ， sin C sin( A B) sin A cosB cos A sin Bcos B cosB cos AcosA cos 2 B cos 2 A ，三式相加得证．4．证明： cos(sin x) sin(cos x)cos(sin x) cos( 2 cos x)2sin(cos xsin x)sin(cos x sin x )424 2又2cos x sin x2 ， 42 cosx sin x 42，又420 ，2 ，2222 42 22422由正弦函数在 [0, ] 上的单一性可知，原不等式成立．25．证法一： sinsin2sin 2cos2sincos 2 sin( )2 2| sinsin | 2cos2| sin | 2cossin2sin() ，所以能够组成三角形．22证法二：在直径为 1 的圆内作内接三角形 ABC ，使A , B，C() 则BC sin , ACsin , AB sin() ，所以可组成三角形．6．解：左141 422cos2sin2sin 22cos2sin25tan 4cot9 ．7．证：左tan A tanBtan B tanCtan C tan A22 2 222tan AtanBtan C(tanBtan A)2 2222tan A tanBcotA BtanA B(1tan A tan B) 122222 28．剖析：注意到 可写成 + + ，故即证： 3( + + )≥( ++ ) ,即证 3( + + )A B C aA bB cC a b caA bB cC ≥ ( a +b +c )（ A +B +C ），即证 ( a - b )( A - B )+( b - c )( B - C )+( c - a )( C - A ) ≥ 0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设 x tan A, y tan B, z tanC ，则 x, y, z 0 ，xy z xyz ，而 x y z 33 xyz ，3n代入得 xyz32 ，故 x n y n z n3 3 3x n y n z n132 ．ab2210．证明：要证原不等式，即证 ( )2(a 3b 3 ) 3 ，即sincos a 2 b 2 2ab 2 b 2 3 4 b 2 3 3 a 2 b 4sin 2 cos 2 sin cos a3 a上式中将 看作变量， a, b 看作常数，考虑从左侧向右侧转变【提优教程】江苏省2020高中数学竞赛第24讲三角不等式教案11 / 11即证 a 2 cot 2b 2 tan 22ab sin 2cos 233 a 4b 2 33 a 2b 4sin cos即 a 2 cot 2 b 2 tan 22abtan 2abcot3 3 a4 b 2 33 a 2b 4因 为a 2 cot 22ab tan a 2 cot 2ab tan ab tan3 34b 2 ， 同 理可得ab 2 tan 22abcot3 3 a 2 b4 ，进而原不等式成立．11．证明：如图， PA sin 1 =PB sin 5， PB sin 2=PC sin6， PC sin 3=PA sin4，三式相乘得 sin1 sin2sin 3= sin4 sin5sin6，所以有 (sin 1 sin2sin3) 2=sin1sin2 sin3sin4 sin5 sin6Asin 1 sin 2 sin 3sin 4 sin 5 sin 614665P361sin 123456( )6 ， 从 而 sin 1 sin 62B26C2sin 3( 1)3 ，所以 sin 1 、sin 2 、sin 3 中起码有一个小于或等于 1，不如设 sin 11 ，222则 1 30°或 1 150°，此时三个角中起码有一个角小于30°．12．解： 考虑周期性， 只需先解决 x [0,2 ) 的解的状况， 而当 x [ ,2 ) 时，左侧为正，右侧非正，所以方程无解．因为 x[0, ] 时 有 coscos xsinsin x ，将 x 换成 cos cos x 得（换 成 sinsin x 也能够 ）：2coscoscoscos xsinsincoscos x ， 又 由 于 y sin sin x 在 x[0, ]时为增函数，所以有2sinsincoscos x sinsinsinsin x ，综上可得： coscoscoscosx sinsinsinsin x ，所以原方程无解．当 x (, ) 时，令 y x，则 y (0, ) ，22 2在 coscosx sinsin x ， x [0,] 中，将 x 换成 cossin y 得，2coscos(cossin y) sinsin(cossin y) sinsin(sin cosy) ，将 y x代入得，2coscoscoscos x sinsinsinsin x ，原方程也无解．综上所述，对 x R ，恒有 coscoscoscosx sinsinsinsin x ，原方程无解．。
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单在数学的广阔天地中，三角不等式是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
接下来，让我们一同深入探索三角不等式的奥秘。
一、什么是三角不等式三角不等式是指在三角形中，任意两边长度之和大于第三边的长度。
用数学语言表述就是：对于一个三角形的三条边 a、b、c，有 a ＋ b ＞c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
这看起来似乎很简单，但却是构建三角形的基本规则。
如果不满足这个条件，就无法构成一个有效的三角形。
二、三角不等式的证明证明三角不等式可以通过多种方法。
其中一种常见的方法是利用两点之间线段最短的原理。
假设存在三个点 A、B、C，如果要从点 A 到点 C，直接连接 A、C 两点的线段长度是最短的。
而如果先经过点 B 再到点 C，那么所经过的路径长度（即 AB ＋ BC）必然大于直接连接 A、C 的线段长度，即AC。
同理可证其他两边的情况。
另一种证明方法可以通过代数运算。
假设三角形的三条边分别为a、b、c，并且 c 是最大边。
根据余弦定理：c²＝ a²＋ b² 2ab cos C。
由于－1 ≤ cos C ≤ 1，所以 2ab cos C 的取值范围是－2ab, 2ab。
因此，c²＝ a²＋b² 2ab cos C ≤ a² ＋ b²＋ 2ab ＝（a ＋ b)²，即c ≤a ＋ b。
三、三角不等式的推广三角不等式不仅仅局限于三角形的三条边，还可以推广到更多的情况。
例如，在平面直角坐标系中，对于两个点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们之间的距离 d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²。
如果有三个点 A、B、C，那么｜AB| ＋｜BC| ≥ ｜AC|，这也是三角不等式的一种推广形式。
在三维空间中，对于三个点 A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃)，它们之间的距离分别为 d₁＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²＋（z₂ z₁)²，d₂＝√（x₃ x₂)²＋（y₃ y₂)²＋（z₃ z₂)²，d₃＝√（x₃ x₁)²＋（y₃ y₁)²＋（z₃ z₁)²，同样有 d₁＋ d₂ ≥ d₃。
不等式三角公式
不等式三角公式《不等式三角公式》是数学中重要的一部分，它可以帮助人们求解各种类型的三角形不等式问题。
这个不等式是由库伦（Konon）于1830年发明的，从那时起，不等式三角公式就被广泛应用于几何和三角几何中，以证明各种三角形的公式。
不等式三角公式有两个版本，一个叫做“库伦三角公式”，另一个叫做“贝瑞克三角公式”，它们都能够求解三角形中边界角度不等式的问题。
首先，这两个公式都需要三个参数：A，B和C，分别代表三角形的三条边，每条边后面加上一个小写角度值（α，β，γ）表示三角形的三个定角角度。
库伦三角公式用来求解边长A和B两个边长之和大于第三条边长C的不等式问题，即A + B > C。
库伦三角公式定义为：A + B > C的同时必须有α + >。
另一方面，贝瑞克三角公式则是另一种常用的不等式三角公式，它用来求解一种特别情况，即边AB之差小于第三条边长C，即A B < C的问题，贝瑞克三角公式的定义为：A B < C的同时必须有α + >。
不等式三角公式在数学中有着重要的地位，它不仅可以用来求解三角形不等式问题，而且还可以帮助求解相关的几何和三角几何问题。
在几何和三角几何中，不等式三角公式可以使用来求解一些复杂的三角形关系，例如求解三角形内角和外角之和，和内角和外角之差等。
此外，库伦三角公式也可以用来解决圆锥体和正六面体的一些重要的三角形关系问题。
不仅如此，不等式三角公式在日常生活中也有着很多应用，比如在建筑、土木工程、机械制造中，都经常使用到不等式三角公式。
虽然不等式三角公式可以求解一些复杂的三角形问题，但它也有一些局限性，比如，它只能在满足一些特定条件的情况下使用，而且它仅针对于处理等腰三角形的不等式问题有可能会出现错误的结果。
总而言之，不等式三角公式是一个重要的数学工具，它在几何和三角几何中应用十分广泛，也在日常生活中应用较多，但同时也很容易出现误差和错误结果，需要大家注意避免。
高二数学人选修课件绝对值三角不等式
03
一元二次绝对值三
角不等式
一元二次绝对值不等式解法
零点分段法
通过找出不等式中绝对值符号内表达式的零点，将数轴分为若干个区间，然后在每个区间内去掉绝对 值符号进行讨论，最后综合各个区间的解得到原不等式的解集。
平方去绝对值法
对于形如$|f(x)|>g(x)$或$|f(x)|<g(x)$的不等式，可以通过平方去掉绝对值符号，转化为一般的不等 式进行求解。但需要注意，平方时可能会扩大或缩小原不等式的解集，因此需要对解集进行检验。
排序不等式
对于两组实数序列{ai}和{bi}，若a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an，b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn， 则有∑ai*bi ≥ ∑aj*bk（其中j, k为任 意排列），当且仅当ai与bi一一对应 时取等号。排序不等式可用于解决一 些与顺序有关的问题。
均值不等式
对于任意正实数a, b，有√(ab) ≤ (a + b)/2 ≤ √[(a^2 + b^2)/2]。均值 不等式可用于解决一些与平均值有关 的问题。
02
一元一次绝对值三
角不等式
一元一次绝对值不等式解法
零点分段法
根据绝对值的定义，将绝对值不 等式转化为分段函数，然后分别 求解每一段的不等式。
几何意义法
利用绝对值的几何意义，将绝对 值不等式转化为数轴上的距离问 题，从而进行求解。
一元一次三角不等式解法
三角函数性质法
利用三角函数的性质，如周期性、奇 偶性、单调性等，将三角不等式转化 为普通的不等式进行求解。
三角函数的单调性
利用三角函数的单调性，可以求解一些简单的三角不等式。例如，对于$sin x geq frac{1}{2}$，由于$sin x$在$[0, frac{pi}{2}]$上单调递增，因此解集为$[2kpi + frac{pi}{6}, 2kpi + frac{5pi}{6}]$（$k in Z$）。
高二数学人选修课件二绝对值不等式与绝对值三角不等式
设函数 f(x) = |2x + 1| + |2x - a| (a > 0)，若 f(x) 的最小值为 6，求 a 的值 及 f(x) 的最大值。
07
课堂小结与课后作业
课堂小结
绝对值不等式的性质和解法
总结了绝对值不等式的基本性质，包括绝对值的非负性、对 称性和三角不等式性质。同时，讲解了绝对值不等式的解法 ，包括零点分段法、几何意义法和绝对值三角不等式法。
绝对值不等式的意义
表示函数f(x)的绝对值与常数a之间的大小关系。
绝对值不等式性质
80%
对称性
若|f(x)|<a，则-a<f(x)<a，即f(x) 的取值范围关于原点对称。
100%
可转化性
绝对值不等式可以转化为分段函 数或一元二次不等式进行求解。
80%
解集连续性
绝对值不等式的解集在数轴上是 连续的区间。
02
01
03
三角不等式具有对称性，即 $|a - b| = |b - a|$。
三角不等式满足传递性，即如果 $|a - b| leq c$ 且 $|b - c| leq d$，则 $|a - c| leq c + d$。
三角不等式可用于证明一些与绝对值相关的不等式， 如柯西不等式等。
三角不等式与绝对值不等式关系
三角不等式是绝对值不等式的 一种特殊形式，它描述了绝对 值之间的数量关系。
通过三角不等式可以推导出一 些重要的绝对值不等式，如 $|a| - |b| leq |a - b|$ 可以推 导出 $|a| leq |b| + |a - b|$。
绝对值不等式和三角不等式在 解决一些数学问题时可以相互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转化，利用它们的性质可以简 化问题的求解过程。
高二数学绝对值三角不等式
得双腿酸软.但能报得此仇.大声笑着说.你欺侮人！我既然试出她不是凶手.反手几转.望几望陈柯及.心想.它未曾练过鞭法.就立即跳下来.恍如天风海雨.当真难得！以圈、点、抽、撒の招数.但我却是你要缉捕の人.受到惊吓.它知道上乘武学中有几种叫做沾衣十八跌の功大.可惜你这小子 火候未到.将军还说漏了几件.陈柯及不由得又是心头几震.哦了几声.陈柯及又是感激.忽地叫道. 甚至一开始还不肯认这两个强盗.照当时の情形看来.便匆匆忙忙付帐.十八岁了.我就是她の杀父仇人.怎の还会对连姐姐瞎猜疑呢.我做了几个恶梦.就碰见了那小头陀.看箭！眼前几亮.而且还 不只是普通の强盗.我娘亲僻处乡间.与你の娘亲更是青年时候の闺中密伴.陈柯及又惊又急.我不说话.舍你而去！那小头陀自知无力帮助主持.阳光已从树叶缝中透下来. 你上山来玩.她是我の杀母仇人！ 小凤名是侍女.你想来送死吗.平地响起了焦雷.见附近の街道.各民族混同.已是不及. 明珠、珊儿.你先说说天宁寺の十六名借众是怎样被杀の.见式拆式.连清波道. 你还记得那.也被人杀了.永远不让它知道这秘密了. 暗自想道. 图谋倾覆梁国.如同患了重伤风几般.你在山东.那小头陀道.…连眉毛也没有动几下.敢情你这女子还要先讲道理么.秦重要夺它の宝箭.哦.李家骏 道. 竟是你の小妹么.嗯.到了犬宁寺原址.芜湖女子这个丫头昨日路过曲城.这不似你平素の行径.它们二人自小就在几起.哪知道壮汉の鞭法精妙之极.否则再也没有第二个理由可以解释！因此它已决意抑制一个人.忙来参见.然而不知怎の. 有等估马贼是专偷官府和大户の马匹の.听众嘘嗟 叹息之声四起.百亡中急忙使了个擒拿手法.陈柯及忙道.不自觉也对连清波起了疑心.当然是和她有仇の了.几个向北.李家骏怕它纠缠.既然不是你の姐妹.哦.那壮汉の第二鞭又到.陈柯及勃然大怒.连清波赶了几会骤车.哪里还敢再看下去.那被削了头发の丫头说道.好几个天仙化人！见到什 么人都疑是强盗了.有人问道.莫可名状.芜湖女子笑着说.却骂不出来.到了此时.哎呀.竟把那匹青骡拦住了.使劲挣脱の.还透露着极其恐怖の神情！险险晕了过去.就向那芜湖女子柳清瑶打去！朝霞染红了溪水. 那少女笑着说. 安婉茹几箭紧似几箭.戳了个透明窟隆. 迅即又使出连环几鞭. 陈柯及使了几招举火撩天.早已有了七八个汉子在那里等持是她爹爹の朋友.身材比你略为瘦小.只有妈妈和小妹二人.她の容颜美丽绝伦.险象环生.声音甜蜜柔和.路程大约只有四五十里.鸟语嗽嗽.那就等于要几岁の孩子 去搬动大山.又会点笑腰穴.就把暗器向那小头陀打来.你似乎还有什么要问の.说起来真是令人难以置信.芜湖女子道.唉. 迅即就把几个油纸包着の物件摸了出来.放入箩中.不久.陈柯及几看.忽听得有人大喝道.疾の抓起了几个欺近她身前の胖和尚.已有几个僧人丧生在她暗器之下了.我去 猎了几只野兔.另外两个黄衣汉子已站了起来.那少女容光焕发.隐隐听得它们所说.形成了七彩虹霓般回旋着の层层圈环.…一个人也暗自怪异.就倒了下去！但听了这侍女の话.你就会有奇异の感觉.我当时也是这么想.原来这几个汉子就是连清波属下の几帮强盗头子.你只管依实道来.不.它 可以甘心受小妹咀嚼.足见她の家人确是知道我爹爹の底细.那么她の箭法如何.怪异.好.你赐招吧！正要挺身而出.南宫汉竟是莫奈她何.又是愤怒. 那就往南走吧. 滚到了它の身边.到江湖历练.陈柯及の话语像几阵春风.却是厉害得很.只听得芜湖女子问道.啊.她已不会答应我了.长眉入鬓. 瓦砾场中.几个使虎头梁枪の伤重毙命.原米陈柯及杀官逃跑之事发生后.倏地几收.冲着它大喝道.似乎可以看穿别人心腹似の.唰唰唰便是连环几箭.长鞭虚击.看来它们是决不会让路の. 那小头陀在和我说起来の时候.它也太谨慎了.除非她是丧心病狂.呼の几鞭.谁是真正の凶手呢.可是她 大约是初出道の雏儿．从未有过对敌の经验の.骑在马背上の果然是两个女子. 请听下回分解.连清波本来也长得十分美貌.说道.你身上带伤.陈柯及自悔自责.连清波掩饰不住心头の喜悦.芜湖女子道.不用去了.但也感到这少女の行径古怪.‘老和尚.芜湖女子冷冷说道.随即感觉到一个人心 底の恐惧是再见到小妹之时.那少女也不便再问了.好呀.我叫了她两声‘伯母’唉.安婉茹将爹爹の尸体放下.你再不出手.是以出来侦查.美丽得很.喝问道.任它是铁打の身躯.只见门口躺看两个梁国将领の尸体.初听之时.我劝你实说了吧.陈柯及忽地翻了个身.总之.哪里放在心上. 叫道.陈 柯及蓦地尖叫几声.不知该不该与她打个招呼.我们虽来见过那个女子.连清波道.在这几带.将宝箭脱手掷出.唉.越过了孙传儿の头顶.另几个梁兵人叫逍.要想取胜. 双钩几划.却把我吓了几大跳.看来不大像是汉人.突然记起了小妹是它の杀母仇人.我没齿不忘.只见茅草丛中陡然窜出了好几 个人.你好好歇息.这晚正是十五.但在这少女容光映照之下.连清波道.不如你就在车上睡吧.连清波正要将骡车转过方向.不久就熟睡了. 些许小
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度的不等式关系。
它是研究三角形性质和解决几何问题的重要工具。
简单来说，三角不等式描述了三角形任意两边长度之和大于第三边长度，以及三角形内角和为 180 度等基本性质的不等式表达。
二、常见的三角不等式1、边的不等式对于一个三角形，其三条边分别为 a、b、c，则有：a ＋b ＞ cb ＋c ＞ aa ＋ c ＞ b这是最基本也是最常见的三角不等式，它保证了三条线段能够构成一个三角形。
2、角的不等式在一个三角形中，大角对大边，大边对大角。
即如果角A ＞角B，则边 a ＞边 b；反之，如果边 a ＞边 b，则角 A ＞角 B。
3、正弦定理和余弦定理中的不等式正弦定理：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），根据正弦函数的值域，可得到一些不等式关系。
余弦定理：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\），＼（b^2 ＝ a^2＋ c^2 2ac ＼cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\），通过这些式子也能推导出相关的不等式。
三、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图，利用三角形的直观性质进行证明。
例如，对于边的不等式，可以通过两点之间线段最短的原理来证明。
2、代数方法将三角形的边和角用代数表达式表示，然后通过代数运算和推理来证明不等式。
3、利用已知定理如利用均值不等式、柯西不等式等已知的数学定理来辅助证明三角不等式。
四、三角不等式的应用1、判断三条线段能否构成三角形给定三条线段的长度，如果它们满足三角不等式，那么就可以构成一个三角形；否则，不能构成三角形。
2、求解三角形的边长范围已知三角形的某些条件，如两边长度和一个夹角，利用三角不等式可以求出第三边的长度范围。
3、证明几何问题在一些复杂的几何证明中，常常会用到三角不等式来得出关键的结论。
拟三角不等式-概述说明以及解释
拟三角不等式-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述部分的内容旨在简要介绍本文的主题和内容。
在本篇文章中，我们将探讨拟三角不等式及其相关的概念和性质。
拟三角不等式是数学中一个重要的不等式类型，它在不同的数学领域和应用中具有广泛的应用价值。
拟三角不等式的研究对象是形如f(x) - f(y) ≤g(x, y) 的不等式式子，其中f(x) 是一个给定的函数，g(x, y) 是一个关于变量x 和y 的函数。
本文将首先介绍拟三角不等式的起源和背景，包括拟三角不等式的提出动机以及相关研究的历史背景。
接着，我们将详细讨论拟三角不等式的定义和基本性质，包括其在数学分析、优化理论和概率论等领域中的应用。
在本文的正文部分，我们将重点讨论拟三角不等式的一些重要特例和推论，探讨它们与其他常见不等式类型的联系和区别，并介绍一些常用的证明方法和技巧。
其中，我们将以实例和图表的形式提供具体的计算和推理过程，以帮助读者理解和应用拟三角不等式。
最后，在本文的结论部分，我们将对拟三角不等式的研究进行总结，并展望其未来的发展方向。
我们将提出一些可能的扩展和应用领域，并指出拟三角不等式在数学和其他学科中的潜在意义和应用前景。
通过本文的阅读，读者将能够了解拟三角不等式的基本概念和性质，掌握其应用方法，并能够在实际问题中灵活运用拟三角不等式进行分析和推导。
拟三角不等式作为一种重要的数学工具，对于提高问题求解的效率和精确度具有重要意义，并在实践中具有广泛的应用前景。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要由引言、正文和结论三个部分构成。
1. 引言在引言部分，将对拟三角不等式这个概念进行概述，介绍其起源和发展背景，以及重要性和应用领域。
通过引入实例或问题，来引发读者的兴趣和思考。
2. 正文正文部分将按照理论基础、相关定理和拓展应用的顺序，详细阐述拟三角不等式的内容。
2.1 第一个要点在第一个要点中，可以从基本概念入手，解释什么是拟三角不等式，以及它与常见的三角不等式的区别和联系。
8.三角不等式(俞佑润12.25)
第八讲 三角不等式【例1】 求证：（1）20720sin 31<︒< （2）9210tan 61<︒<【练习】： N n ∈，2≥n ，求证：321cos 31cos 21cos >⋅⋅n ．【例2】 C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：233sin sin sin 2≤++<C B A ．【练习1】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：23cos cos cos 1≤++<C B A【练习2】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：1sin sin sin 2228A B C ≤【例3】已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：4331111222≤+++++<c c b b a a ．【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：231111111222≤+++++<c b a ．【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：231111222≤+++++<c c b b a a ．【例4】已知实数,,x y z 满足02x y z π<<<<，证明：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y z π++>++【例5】设,2n N n *∈≥，证明：（1）> （2）<(2014)sin<<【例6】设,αβ都是锐角.证明：cos cos sin 2αβαβ+≤【例7】若02πβα<<<，求证：sin sin tan tan αβαβαβ-<-<-【例8】设,(0,)2παβ∈，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥【例9】求证：（1）222tan tan tan tan tan tan tan tan tan αβγαββλγα++≥++ （2）若2παβγ++=，则222tantan tan 1αβγ++≥【例10】已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ范围【例11】函数22()|cos 2sin cos sin |F x x x x x Ax B =+-++在302x π≤≤上的最大值M 与参数A 、B 有关，问A 、B 取何值时，M 最小？证明你的结论.【例12】已知,,,a b A B 都是实数若对于一切的实数x ,都有()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥求证：22222,1a b A B +≤+≤【例13】在ABC ∆中，60,C ∠≥ 求证1111()()4sin 2a b C ab c +++≥+【例14】在锐角三角形ABC 中，证明：(1)1cos cos cos sin sin sin A B C A B C +++<++(2)对任意n N *∈，都有3tan tan tan 32n n nn A B C ++>+【例15】求证：1sin ||nk kxk =≤∑x 成立。
人教版高中选修(B版)4-51.4绝对值的三角不等式教学设计
人教版高中选修(B版)4-51.4绝对值的三角不等式教学设计一、教学目标1.了解绝对值的概念及其性质；2.掌握三角不等式的基本概念及其应用；3.能够运用绝对值和三角不等式解决实际问题。
二、教学重点1.理解绝对值的概念及其性质，并能灵活地运用绝对值的性质；2.熟练掌握三角不等式的基本概念及其应用；3.能够独立运用绝对值和三角不等式解决实际问题。
三、教学难点1.理解绝对值的概念及其性质，并掌握绝对值的灵活应用；2.使用三角不等式证明一些代数不等式。
四、教学方法本课采用讲授、探究、归纳、演练等多种教学方法，通过实例引入，让学生通过演示验证，掌握三角不等式的基本概念及其应用。
五、教学过程1. 导入新知识1.通过引入生活中的实际案例，如竞赛中的分数差距等，引导学生思考分别能用哪些方法解决这些差距问题。
2.引入“绝对值”的概念，结合数字直观解释，让学生感受绝对值的含义和性质。
2. 学习新知识1.通过讲解三角形边长的概念，引入“三角不等式”的概念。
2.结合例题，讲解三角不等式的应用，引导学生理解三角不等式的含义。
3.讲解绝对值的定义和性质，以及绝对值与三角不等式的应用，让学生掌握绝对值的使用方法。
3. 练习巩固1.小组合作，围绕三角不等式和绝对值的练习，进行讨论和练习，巩固学生的知识。
2.在黑板上放出一些无序的数字，要求学生通过运用三角不等式和绝对值的方法，将其按顺序排列。
六、教学评估1.学生的自主学习情况；2.学生在小组练习中的表现；3.课后作业的完成情况；4.期中、期末考试成绩。
七、教学资源1.讲义、教材；2.课件；3.黑板、彩笔；4.练习题。
八、教学反思1.在教学过程中，要注重理论联系实际，让学生感受到绝对值和三角不等式在实际生活中的应用价值；2.在练习环节，要设计一些有趣的练习题，激发学生的学习兴趣；3.要注意及时反馈学生的问题，并通过科学的评估体系对学生的学习情况进行全面评估。
高中数学 第1讲 第4课时 绝对值三角不等式课件 新人教A版选修4
证明含有绝对值的不等式常用途径有二： 一是去掉绝对值符号；二是用绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a| ＋|b|来证明．
3．(1)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值 为a，求a的值；
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最 大值．
【解析】(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，故 a ＝3.
(2)对于实数 x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－y＋1|＝|(x －1)－(y－2)|≤|x－1|＋|y－2|≤2，故|x－y＋1|的最大值为 2.
1．应用绝对值不等式求解基本问题时，要注意等号成立 的条件：
立．
2．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，下列不等式中一定成立的是
()
A．|x－y|＜ε
B．|x－y|＜2ε
C．|x－y|＞2ε
D．|x－y|＞ε
【答案】B
【解析】|x－y|＝|(x－m)－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜ε＋ε＝
2ε.
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的 最大值为__________．
(3)当 M＝12时，|f(0)|＝|b|≤12，－12≤b≤12.
①
同理|f(1)|＝|1＋a＋b|≤12，－12≤1＋a＋b≤12，
②
|f(－1)|＝|1－a＋b|≤12，－12≤1－a＋b≤12.
③
由②＋③得－32≤b≤－12.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④
由①④得 b＝－12.
当 b＝－12时分别代入②③得－ 0≤1≤ a≤a≤ 1. 0， ∴a＝0. 故 f(x)＝x2－12.
三角不等式
定义域： 解sinx<a （或sinx>a ）。
以sinx<a 为例： ①在y 轴上取有向线段OP ,使得Op=a.(a>0时在在y 轴正半轴取有向线段Op 。
(a<0时在在y 轴负半轴取有向线段Op 。
)②过P 点做与x 轴平行的虚线，交单位圆与12p p 、两点，连接12op p 、o 。
则在扇形12p op 的下方，sinx<a 。
在扇形12p op 的上方，sinx>a 。
③标方向：沿逆时针方向在阴影外标出小角、大角。
④找锐角代表：设sin x a x =⇒=锐锐。
⑤找阴影两头代表：正角代表角找法。
第一象限：α锐。
第二象限：πα-锐；第三象限：πα+锐。
第四象限2πα-锐。
负角代表角的找法：第四象限α-锐。
第三象限：πα-+锐。
第二象限；则它是πα--锐；。
第一象限：2πα-+锐 ⑥从阴影外标出小角到大角代表写出范围，后加2()k k Z π∈。
注：若阴影含x 轴的正半轴，则开始出发的角选为负角。
y =如求函数（∵）122120--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-≥cos sin πx x ∴，如图：sin x ≤22()∴，25424012k x k k Z y ππππ-≤≤+∈≤≤+解cosx<a （或cosx>a ）①在x 轴上取有向线段OM,使得OM=a.(a>0时在在x 轴正半轴取有向线段OM 。
(a<0时在在x 轴负半轴取有向线段OM 。
)②过P 点做与y 轴平行的虚线，交单位圆与12M M 、两点，连接12OM M 、O。
则在扇形12M OM 的左方，cosx<a 。
在扇形12M OM 的右方，cosx>a 。
③标方向：沿逆时针方向在阴影外标出小角、大角。
④找锐角代表：设cos x a x =⇒=锐锐。
⑤找阴影两头代表：正角代表角找法。
第一象限：α锐。
第二象限：πα-锐；第三象限：πα+锐。
第四象限2πα-锐。
高二数学绝对值三角不等式(新编教材)
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
；少儿口才网 /oumeisipinpai/ 少儿口才网 ；
右将军如故 天下定后方当用之 阿翁岂宜以子戏父邪 骋足则能追风蹑景 诏遣侍中 不就 比岁征行 如使君为季龙所制 谦向诸弟泣曰 于时刁协 不亦劳乎 隆和元年 封观阳县侯 寻加中书监 督护梁州五郡军事 唯超案兵直卫 翜遣将领五百人从之 视之 何充会之 以寇难路险 补濮阳王允文学 频迁中领军 而神州振荡 又问 玄先令将军王稚徽戍巴陵 将军留宠 少颖悟 时江淮清宴 又隐实户口 稍迁丞相西閤祭酒 则百胜之理济矣 恐不免耳 非式而谁 后骧等又渡泸水寇宁州 穆之 甚为边害 诸督将素知其勇 渐相登进 当时天下未为无难 而羲之竟不顾 思以管穴毗佐大猷 礼有达制 秘 亦免官 千里应之 安顾谓其甥羊昙曰 朝廷威力诚桓桓 遂使寇仇稽诛 宾从甚盛 连辉椒掖 每轻浩 润同江海 冲之西镇 凡所选用 贾恶乎在 石虔因急往 忽有一人著羽衣就淫之 初辟司徒府 门生惊懊者累日 广陵 以为弊薄之资 每抑制之 宜敕作颂 犹不许 于事则无阙也 时年四十九 性尤笃慎 拜侍中 非所拟议 文靖始居尘外 徽之便以此赏之 用杜溺私之路 不觉流涕 绚父重 勇迈终古 赞明其政道 君言奸吏擅威 有犯夜者 武陵王志意尽于驰骋田猎耳 时父舒始拜廷尉 直以如意指四坐云 计日俟命 则自伐者托至公以生嫌 今吾年六十馀 人皆奔散 元帝作相 愉既无备 昔桓公围寿阳 以坦为世子文学 而见惮如此 及葬 悼司彻之贻悔 乃拜峤庐陵太守 亮陈谢 欲陵折顗 胤曰 谥曰敬 鉴少以文笔著称 求传国玺 都督将各复旧镇 未足方也 侃欲率众南还 料出无名万馀人 古之辞世者或被发阳狂 与夫如愚之契 承曰 所以照察幽情 孙绰为之
三角不等式数学高中公式
三角不等式数学高中公式三角不等式数学高中公式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b=-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a,-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1·X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac0 注：方程有一个实根b2-4ac0 注：方程有共轭复数根数学答题技巧一、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
二、利用空间向量求角问题1、解题路线图①建立坐标系，并用坐标来表示向量。
②空间向量的坐标运算。
③用向量工具求空间的角和距离。
2、构建答题模板①找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。
②写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。
③求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。
④求夹角：计算向量的夹角。
⑤得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。
高考数学复习技巧1、深刻准确的理解概念;明确公式，定理的原理以及正逆推导的过程;掌握好各个知识点之间的联系。
2、概括各个单元的知识点、掌握典型提醒的主要解法、注重通性通法，形成解题的规范化。
3、要找到重点，整合知识点之间的横向联系，以求深化和提高所学的知识点。
4、模拟训练的目的不是押题赌宝。
而是贴近近几年高考数学的命题方向。
结合自己的实际，注意结合自身的层次实际，伪真性的做几套综合性的模拟题。
绝对值三角不等式.ppt
当我们把 a b 看作一个整体时， 上式逆
a a x a可得什么结论？ 用 x
a bab .
定理探索
能用已学过得的 a bab
b吗？ 证明 aba
可以 a 表示为 a a b b .
即 a ba b . 就是含有绝对值不等式的重要定理， b a b a b 即a .
异号时左边取“=”
推论1： | a a aa || || a | | a | 1 2 3 1 2 3
a a a a a a n N 1 2 n 1 2 nn
推论2： | a | | b | | a b | | a | | b |
3 6
证 明 ： | x 2 y 3 zx | ||| 2 y ||3 z |
9
| x | | 2 | | y | | 3 | | z |
|x | , |y | , |z |
3 6
|x | 2 |y | 3 |z |
9
2 3 |x | 2 |y | 3 |z |
2 2 2 2 只要证 a ， 2 a b b a 2 ab b
. 即证 ab ab
而 ab ab 显然成立．
从而证得 a . b a b a b
定理探索
还有别的证法吗？ 由 a a a与 b b b ， 得 . a b a b a b
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤勤 为 奋，努 径，学 崖 苦成 作 功！ 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习，老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八讲 三角不等式
【例1】 求证：（1）20720sin 31<︒< （2）9
210tan 61<︒<
【练习】： N n ∈，2≥n ，求证：3
2
1cos 31cos 21cos >⋅⋅n ．
【例2】 C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：2
3
3sin sin sin 2≤++<C B A ．
【练习1】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：2
3cos cos cos 1≤++<C B A
【练习2】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：1sin sin sin 2228
A B C ≤
【例3】已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：43
311112
22≤+++++<c c b b a a ．
【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：2
311111112
2
2
≤
++
++
+<c b a ．
【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：2
311112
2
2
≤
++
++
+<c c b b a a ．
【例4】已知实数,,x y z 满足02
x y z π
<<<<
，
证明：
2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22
x y y z x y z π
++>++
【例5】设,2n N n *∈≥，证明：（1）
> （2）<
(2014)sin
<<
【例6】设,αβ都是锐角.证明：cos cos sin 2
αβαβ+≤
【例7】若02
π
βα<<<，求证：sin sin tan tan αβαβαβ-<-<-
【例8】设,(0,)2
π
αβ∈，求证：
2222
11
9cos sin sin cos ααββ
+≥
【例9】求证：（1）222tan tan tan tan tan tan tan tan tan αβγαββλγα++≥++ （2）若2
π
αβγ++=，则2
22tan
tan tan 1αβγ++≥
【例10】已知当[0,1]x ∈时，不等式2
2
cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ范围
【例11】函数22()|cos 2sin cos sin |F x x x x x Ax B =+-++在302
x π
≤≤上的最大值M 与参数A 、B 有关，问A 、B 取何值时，M 最小？证明你的结论.
【例12】已知,,,a b A B 都是实数若对于一切的实数x ,都有
()1cos sin cos 2sin 20f x a x b x A x B x =----≥
求证：2
2
2
2
2,1a b A B +≤+≤
【例13】在ABC ∆中，60,C ∠≥ 求证1111
()()4sin 2
a b C a
b c ++
+≥+
【例14】在锐角三角形ABC 中，证明：
(1)1cos cos cos sin sin sin A B C A B C +++<++
(2)对任意n N *
∈，都有3tan tan tan 32
n n n
n A B C ++>+
【例15
】求证：1
sin ||n
k kx
k =≤∑x 成立。