八年级数学 专题38方案设计

方案设计
1. （2015•四川广安，第24题8分）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）
考点：作图—应用与设计作图．.
分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
解答：解：根据分析，可得
．
（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2
=2×2÷2
=2（cm2）
（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2
=2×2÷2
=2（cm2）
（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2
=2×2÷2
=2（cm2）
（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2÷2
=2×2÷2÷2
=1（cm2）．
点评：（1）此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此题的关键是结合正方形的性质和基本作图的方法作图．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．
2．(2015·贵州六盘水，第21题10分)联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种。

设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．
（1）（4分）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）（3分）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？
（3）（3分）什么情况下A套餐更省钱？
考点：一次函数的应用．.
分析：（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；
（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；
（3）根据（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B 套餐，大于收费相同的时间选择A 套餐解答．
解答：解：（1）A 套餐的收费方式：y 1=0.1x +15； B 套餐的收费方式：y 2=0.15x ； （2）由0.1x +15=0.15x ，得到x =300，
答：当月通话时间是300分钟时，A 、B 两种套餐收费一样； （3）当月通话时间多于300分钟时，A 套餐更省钱．
点评：本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．
3． (2015·河南，第21题10分)某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x 次时，所需总费用为y 元.
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与x 之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A 、B 、C 的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
（1）【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数x 与20的关系，银卡为一次函数，分析出次数x 与10的关系，从而即可求解 解：
O
C
D
B A 600
x
y 第21题
(2)【分析】由（1）中银卡的函数关系式可得点A 的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B 的坐标，再将y =600代入银卡的函数关系式即可求解
.
600
y x
D
C
B O
A
第21题解图
（3）【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次得到消费方案即可求解.
4．(2015·黑龙江绥化，第27题 分)某苹果生产基地，用30名工人进行采摘或加工苹果 ，每名工人只能做其中一项工作。

苹果的销售方式有两
种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的苹果加工成罐头出售。

直接出售每吨获利4000元；加工成
罐头出售每吨获利10000元。

采摘的工人每人可以采摘苹果0．4吨 ；加工罐头的工人每
人可加工0．3吨。

设
有x 名工人进行苹果采摘 ，全部售出后 ，总利润为y 元 。

（1）求y 与x 的函数关系式。

（2）如何分配工人才能活力最大 考点：一次函数的应用．．
分析：（1）根据题意可知进行加工的人数为（30﹣x ）人，采摘的数量为0．4x 吨，加工的数量（9﹣0．3x ）吨，直接出售的数量为0．4x ﹣（9﹣0．3x ）=（0．7x ﹣9）吨，由此可得出y 与x 的关系式；
（2）先求出x 的取值范围，再由x 为整数即可得出结论．
解答：解：（1）根据题意得，进行加工的人数为（30﹣x ）人，采摘的数量为0．4x 吨，加工的数量为（9﹣0．3x ）吨，直接出售的数量为0．4x ﹣（9﹣0．3x ）=（0．7x ﹣9）吨， y =4000×（0．7x ﹣9）+10000×（9﹣0．3x ）=﹣200x +54000； （2）根据题意得，0．4x ≥9﹣0．3x ，解得x ≥12， ∴x 的取值是12≤x ≤30的整数． ∵k =﹣200＜0， ∴y 随x 的增大而减小，
∴当x =13时利润最大，即13名工人进行苹果采摘，17名工人进行加工，获利最大． 点评：本题考查的是一次函数的应用，根据题意列出关于x 、y 的关系式是解答此题的关键． 5. （2015•浙江省台州市，第24题）定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点
（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3求BN 的长；
（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点
（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） （4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究AMF S ∆，BEN S ∆和MNHG S 四边形的数量关系，并说明理由
6．(2015•江苏南京,第25题10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
【答案】答案见试题解析．
【解析】
试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．
试题解析：满足条件的所有图形如图所示：
考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质．。