高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点同步训练

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高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必修1

2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1; 只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。

高中数学 2.4.1函数的零点基础过关训练新人教B版必修

§2.4 函数与方程2．4.1 函数的零点一、基础过关1．函数f (x )＝x －4x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝03．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时，－7<x <－1，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007 5．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.6．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．7．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．二、能力提升9．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是 ( )A.0，－12 B ．0，12C ．0,2D ．2，－1210．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．三、探究与拓展13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．答案1．C 2.C 3．C 4．D5．0或926．m ≥17．证明设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0.所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．8．解令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.9．A 10．B11．3 012．解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．13．解设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点bb高一数学

内容(nèiróng)总结
第二章函数。课后拔高(bá ɡāo)提能练。| 学习目标 |
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即 k＋ x＋2＝x，
∴k＝x－
x＋2＝x＋2－
x＋2－2＝
x＋2－122－94.
∴只需 y＝k 与 y＝x－ x＋2的图象有两个交点，
∴－94<k≤－2，故选 A．
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二、填空题 7．若集合{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}，则实数 a，b 的和 a ＋b＝________. 解析：由题得－－11＋ ×33＝＝－ b，a， ∴a＝－2，b＝－3，∴a＋b＝－5. 答案：－5
令 h(x)＝x2－5x＋4，当 x∈[0,3]， h(x)的图象如图示．h(0)＝4，h(3)＝－2，h52＝－94.
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∴当－94<m≤－2 时，y＝m 与 y＝x2－3x＋4 的图象有两个交点，故选 A．
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6．设 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab 的两个零点分别是－3,2. (1)求 f(x)； (2)当函数 f(x)的定义域为[－1,1]时，求其值域．解：(1)由题可得－－33＋ ×22＝＝－－ba－－ aa 8a， b， ∴ab＝＝5－. 3， ∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
2．已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 2,4 且 a>0，则 ax2
＋bx＋c>0 的解集是( )
A．{x|2<x<4}
B．{x|x<2 或 x>4}

高中数学第二章函数 2.4.1 函数的零点学案新人教B版必修1(2021年最新整理)

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2．4 函数与方程2．4.1 函数的零点1．理解函数零点的概念．（重点）2．会求一次函数、二次函数的零点．（重点）3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．（重点、难点）［基础·初探］教材整理1 函数的零点阅读教材P70~P71“例”以上部分内容，完成下列问题．1．定义如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．性质（1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．（2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√"，错误的打“×”)（1）所有的函数都有零点．( ）(2)若方程f（x）＝0有两个不等实根x1，x2,则函数y＝f(x）的零点为（x1,0)，（x2，0）．( ）（3）f（x)＝x－错误!只有一个零点．（)【答案】(1）×（2)×（3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P70“倒数第2行”～P71“例"以上的内容，完成下列问题．判别式ΔΔ〉0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两相异实根x1，x2（x1〈x2)有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1,x2有一个二重零点x1＝x2没有零点已知函数f（x）＝x2－2x＋a的图象全部在x轴的上方,则实数a的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】函数f（x)的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a<0，a>1.【答案】（1，＋∞）［小组合作型］求函数的零点(1)函数y＝1＋x的零点是( )A．(－1，0）B．x＝－1C．x＝1 D．x＝0(2)求下列函数的零点．①f（x）＝－x2－2x＋3；②f(x）＝x4－1.【精彩点拨】求函数对应方程的根，即为函数的零点．【自主解答】（1）令1＋错误!＝0，解得x＝－1，故选B。

高中数学第二章函数 2.4 函数与方程(2)同步练习新人教B版必修1

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．用二分法研究函数f(x)＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0,0.5) f(0.25)B ．(0,1) f(0.25)C ．(0.5,1) f(0.75)D ．(0,0.5) f(0.125)2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A ．ε越大，零点的精确度越高 B ．ε越大，零点的精确度越低 C ．重复计算次数就是ε D ．重复计算计数与ε无关3．函数f(x)＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2,4]上的零点必在________内．( ) A ．[－2,1]B ．[52，4]C ．[1，74]D ．[74，52]4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经过计算f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程精确到0.1的一个近似解为________．1．右下图是函数f(x)的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[-2.1，-1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1]2．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2C ．0D ．无法确定3．已知连续函数y ＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(a<b)，则y ＝f(x)( ) A ．在区间[a ，b]上可能没有零点B．在区间[a，b]上至少有一个零点C．在区间[a，b]上零点的个数为奇数D．在区间[a，b]上零点的个数为偶数4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )A．6 B．7 C．8 D．95．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且在(－2,2)上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)的值( )A．大于0 B．小于0C．等于0 D．可正可负也可为零6．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？7．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确到0.01)1．若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24)，(0,12)，(0,6)，(0,3)内，则下列命题正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,2)内有零点B．函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点C．函数f(x)在区间(3,24)内无零点D．函数f(x)在区间(2,24)内无零点2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )A．a<－1 B．a>1C．－1<a<1 D．0≤a<13．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则函数f(x)：①当x<－1时，恰有一零点(有一零点且仅有一零点)；②当－1<x<0时，恰有一零点；③当0<x<1时，恰有一零点；④当x>1时，恰有一零点．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．45．对于函数f(x)＝x3＋x＋m，若满足f(a)<0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内至多有__________个零点．6．若一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则a的取值范围是__________．7．某方程有一无理根在区间D内，若用二分法求此根的近似值，那么：(1)区间D＝(1,3)时，将D等分n次后，所得近似解可精确到多少？(2)一般情况，是否有必要尽可能多地将区间D等分？8．作出函数y＝x3与y＝3x－1的图象，并写出方程x3＝3x－1的近似解．(精确到0.1)9．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，自己设计精确度求方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解．答案与解析1．A ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴函数f(x)的一个零点x 0∈(0,0.5)，第二次计算f(0＋0.52)＝f(0.25)．2．B 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．3．D 由于f(－2)<0，f(4)>0，f(－2＋42)＝f(1)<0，f(1＋42)＝f(52)>0，f(1＋522)<0，∴零点介于[74，52]之间．4．0.7 ∵f(0.687 5)·f(0.75)<0，∴函数的零点在区间(0.687 5,0.75)上，由精确度可知近似解为0.7.5．1.4 由题中表中对应的数值可得函数零点必在区间(1.406 5,1.438)上，由精确度可知近似解为1.4. 课堂巩固1．B 由不变号零点的特征易判断得该零点在[1.9,2.3]内．2．B ∵ac<0，∴a≠0，且b 2－4ac>0，故二次函数与x 轴有两个交点，即函数有两个零点．3．B ∵f(a)·f(b)<0，∴由函数零点的性质判断得f(x)在[a ，b]上至少存在一个零点．4．B 函数f(x)的零点所在区间的长度为1，用二分法经过7次分割后区间的长度为127<0.01.5．D 设x 0为函数在区间(－2,2)上的零点，若x 0∉(－1,1)，则f(－1)·f(1)>0；若x 0∈(－1,1)，则f(－1)·f(1)<0；若x 0＝－1或x 0＝1，则f(－1)·f(1)＝0. 6．解：可以利用二分法的原理进行查找．如图所示，他首先从中点C 查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 中点E 来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m ～100 m 之间，即一两根电线杆附近．7．解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用，所以1.44就是所求函数一个精确到0.001的正零点的近似值．点评：此类问题的求解，首先是大致区间的确定，要使区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性，另外在计算第n 步时，区间[a n ，b n ]的两端点近似值相等时，则该近似值就是所求零点的近似解．课后检测1．C 由题意可得f(x)有唯一的零点在(0,3)内，∴f(x)在区间(3,24)内无零点．2．B 令f(x)＝2ax 2－x －1，a ＝0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)·f(1)＝－1×(2a －2)<0，∴a>1.3．C 由零点的定义及精确到0.1知近似根为1.4. 4．B 函数f(x)的图象是由y ＝x(x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到的，易知f(x)：当x<－1时有一个零点；当－1<x<0时无零点；当0<x<1时有两个零点；当x>1时无零点．5．1 易知该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又f(a)<0，f(b)>0，故该函数在(a ，b)内有且只有一个零点．6．(－∞，0) 由题意知，两根之积x 1·x 2＝1a<0，∴a<0.点评：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两正根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac≥0，－b a>0，c a >0，有两负根的条件为⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac≥0，－b a<0，c a >0，有一正一负两根的条件为ca<0，即ac<0，此时不必讨论判别式，∵b 2－4ac>0恒成立．7．解：(1)设无理根为x 0，将D 等分n 次后的长度为d n .包含x 0的区间为(a ，b)，于是d 1＝1，d 2＝12，d 3＝122，d 4＝123，…，d n ＝12n －1.所以|x 0－a|≤d n ＝12n －1，即近似值可精确到12n －1.(2)由于12n －1随n 的增大而不断地趋向于0，故对于事先给定的精确度ε，总有自然数n ，使得12n －1≤ε.所以，只需将区间D 等分n 次就可以达到事先给定的精确度ε.所以，一般情况下，不需尽可能多地将区间D 等分．8．解：由图象可以知道，方程x3＝3x－1的解在区间(－2，－1)，(0,1)和(1,2)上，那么，对于区间(－2，－1)，(0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈－1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.5。

高中数学 2.4.1函数的零点同步测试新人教B版必修1

第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C ．4．(2019·湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ，又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．6．函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个．二、填空题7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－17或x ＝1.∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－17，1.(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2，令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0，解得x 1＝x 2＝－32.∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－32.10．已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－ba ＝4.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10，∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.一、选择题1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点，又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点，即f (－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca，∴ba ＝－3，c a＝2，于是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c ax 2＋b ax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1、12，故选C ．3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A ．4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0]D ．[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时，x ＝－32<0成立，排除选项A 、B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可得当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24，∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2＋6)2， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36， ∴m ＋a2＝－3. 又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2，∴c ＝9.三、解答题7．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98.综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝98}．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6，∴m 的取值范围为m ≤－59.(2)若函数有两个不同零点x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．。

高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数函数的单调性函数的最大（小）值函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设，是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)．记作：其中，叫做自变量，自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域．叫做因变量，与的值相对应的值叫做函数在处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合的函数关系的有（）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数的图象是由 t 的映射的是（）N（2）函数图象如图所示：y的距离与点y=f(x)如图为函数的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题．判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】求函数对应方程的根，即为函数的零点．【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0，则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。

2019高中数学第二章函数 2.4 函数与方程练习新人教B版必修1

...2.4 函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课时过关·能力提升1用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为()A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.2函数f(x)=的零点是()A.0和-3B.0C.-3D.0,-3和-2f(x)=0得x=0或-3,但当x=-3时,f(x)无意义,故f(x)只有一个零点0.3已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数是()A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有f(x)在(1,2)上有且只有一个零点.4已知函数f(x)=mx2+8mx+21,当f(x)<0时,-7<x<-1,则实数m的值为()A.1B.2C.3D.4,-1和-7分别是函数f(x)=mx2+8mx+21的两个零点,因此由根与系数的关系有=(-1)×(-7)=7,解得m=3.5如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出的下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是()A.[-2.1,-1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1]...[1.9,2.3]上.6若关于x的方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.[0,1)f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,则有f(0)·f(1)=-1×(2a-2)<0,故a>1.7若f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是()A. B.C. D.,得解得<m<.8已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)f(x)=g(x) -x-3,且f(-1)=g(-1)+1-3<0,f(0)=g(0)-3=-2<0,f(1)=g(1)-1-3<0,f(2)=g(2)-2-3>0,f(3)>0.由f(1)·f(2)<0,故零点在区间(1,2)内.9函数f(x)=x-的零点是.f(x)=0,即x-=0,解得x=2或x=-2.-210若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则a的取值范围是.,两根之积x1·x2=<0,故a<0.-∞,0)11设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是.x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2,令g(x)=0,得x=1;当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5,令g(x)=0,得x=±(正值舍去),则x=-.故g(x)的零点为1和-.-12二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:则不等式ax2+bx+c>0的解集是.f(-2)=f(3)=0,且当x∈(-2,3)时,y<0,故当x∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax2+bx+c>0.x|x<-2或x>3}★13在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长,大约有200多根电线杆!想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?.如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D 查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50 m~100 m之间,即一二根电线杆附近.14已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数,且a≠0)满足条件f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等的实根.(1)求f(x)的解析式.(2)是否存在实数m,n,使得f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.由f(2)=0,得4a+2b=0.由方程f(x)=x,得ax2+(b-1)x=0.因为方程f(x)=x有两个相等的实根,所以Δ=(b-1)2=0.解方程组故f(x)=-x2+x.(2)由(1)知,f(x)=-x2+x=-(x-1)2+,即2n≤,解得n≤.故函数f(x)在[m, n]上是增函数.由解得m=-2或m=0,n=-2或n=0.因为m<n,且n≤,所以存在满足条件的实数m,n,且m=-2,n=0.。

高中数学第二章函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零

2.4.1 函数的零点教学建议1.本节课内容是在初中学习一元二次方程的解法和一元二次函数性质的基础上进一步对一般函数进行研究的,是通过特殊例子的讨论推导出的一般规律;在教学过程中应注意初、高中知识的衔接,加深学生对初中知识的理解.2.学习本节内容,应注意由特殊到一般的数学思想方法的运用,灵活运用数形结合的思想方法,提高对函数与方程思想的应用能力.充分利用二次函数图象及一次函数图象与x轴交点与零点的关系来理解函数、方程及不等式的关系,进而理解一般的函数图象与x轴的交点坐标、方程的根、不等式的解集之间的联系.有条件的可充分发挥计算机在零点计算与函数作图中直观形象的优势,加深对本节内容的理解.3.教学中让学生掌握用函数理论解答方程问题的三种主要题型:(1)构造函数,确定方程的实根的个数问题;(2)构造函数,讨论方程的实根的存在性和唯一性问题;(3)构造函数,讨论方程的实根的范围问题.用函数理论解答方程问题的主要理论依据:①函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根;②一元二次方程的实根的分布规律,其载体是二次函数、二次方程和二次不等式.备用习题1.函数f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4的一个零点是( )A.0B.1C.-1D.2解析：用代入法,∵f(0)=-4,f(1)=-48,f(-1)=0.f(2)=-162,∴-1即为f(x)的一个零点.故选C.答案：C2.关于函数f(x)=x3-3x+2的零点的叙述:①-2是函数的一个零点;②函数的二重零点是1;③对于任意a,b∈(-2,1),f(a)f(b)≥0;④函数f(x)=g(x)+4,则函数g(x)的零点是-1、2,其中正确叙述的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：∵f(x)=x3-3x+2=(x3-1)+(-3x+3)=(x+2)(x-1)2,∴f(x)=0的根为x=-2,x=1(二重根),①②正确;根据“连续函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号”,不能为零,③不正确;由f(x)=g(x)+4,得g(x)=f(x)-4=x3-3x-2=(x-2)(x+1)2,则函数g(x)的零点是-1、2,④正确.故选D.答案：D3.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是_______.①有三个实根②x>1时恰有一实根③当0<x<1时恰有一实根④当-1<x<0时恰有一实根⑤当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根)解析：结合图象知f(x)的图象是由原函数图象沿y 轴向上平移0.01得到的.故只有①⑤正确.答案：①⑤4.函数f(x)=mx 2+(m-3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m 的取值范围.解析：由f(0)=1知图象过(0,1)点,当m=0时,f(x)=-3x+1,此时图象交x 轴于点(31,0),适合. 当m≠0时,问题转化为方程mx 2+(m-3)x+1=0,有一正根和一负根或有两正根.当m<0时,有⎪⎩⎪⎨⎧<=>--=∆,01,04)3(212m x x m m 满足题意. 当m>0时,需有⎪⎩⎪⎨⎧>∙>+≥∆,0,0,02121x x x x 解得0<m≤1.综上，得m≤1.。

高中数学第二章函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零

2.4.1 函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根，图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)点．⑥我们知道，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2(重根)，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．点评：本题主要考查函数的零点．讨论函数的零点通常转化为方程的解.轴有两个交点，所以函数有两个零点．－2＝0的判别式Δ＝有两个不相等的实根．所以函数－2＝0可化为(2x＋思路2例若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径． ③有两种情况：a ＝0，或a≠0，Δ≥0.解：令f(x)＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0，由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞ 1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18，所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－舍去)．综上可得a ＞1.(2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，，，0<14a <1，14a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，，，0<14a <1，14a ，容易解得实数a 不存在．⎩⎪⎨－32a<1，，∴⎩⎪⎨a>0或a<－1.5，∴0＜a≤4.知能训练1．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 分析：转化判断函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有 f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1， f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m≤8. 由已知得Q 中：f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2≤m≤8，m<－1或m>4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．3．关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7，图象为开口向上的抛物线(如下图)．因为方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的图象与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a ＋a 2－7＜0，所以－1＜a ＜3. 拓展提升问题：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析： ①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数， (1)可能没有零点如图甲．甲乙(2)可能有一个零点如图乙．(3)可能有两个零点如图丙．丙丁(4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]例求下列函数的零点，并画出函数的图象．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图甲，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图乙，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.甲乙。

高中数学第二章函数 2.4.1 函数的零点学业分层测评新人教B版必修1(2021年最新整理)

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函数的零点（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．下列函数没有零点的是( )A．f（x)＝0 B．f(x)＝2C．f（x）＝x2－1 D．f(x)＝x－错误!【解析】函数f（x)＝2，不能满足方程f（x）＝0，因此没有零点．【答案】B2．已知f(x）是定义域为R的奇函数,且在（0，＋∞）内的零点有1 003个,则f(x)的零点个数为（)A．1 003 B．1 004C．2 006 D．2 007【解析】因为f（x)是奇函数，则f（0）＝0，且在（0,＋∞）内的零点有1 003个，所以f(x)在（－∞,0）内的零点有1 003个．因此f（x）的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007（个)．【答案】D3．函数y＝x3－16x的零点个数是（)A．0 B．1C．2 D．3【解析】令x3－16x＝0，易解得x＝－4，0，4，由函数零点的定义知，函数y＝x3－16x 的零点有3个．【答案】D4．若二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a〉b>c,则该函数的零点个数为( ）A．1 B．2C．0 D．不能确定【解析】由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c〈0，∴Δ＝b2－4ac>0。

人教版高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》课后习题(Word版含答案)

2.4.1 函数的零点1．下列函数中有2个零点的是 ( )(A) lg y x = (B) 2x y = (C) 2y x = (D) 1y x =-2．若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )(A)至少有一个零点 (B)只有一个零点(C)没有零点 (D)至多有一个零点3．函数1211lg ,2,,,x y x y y y y x x x =====的零点个数分别为___________． 4．已知函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在()0,+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为___________．5．求函数()lg 27f x x x =+-的零点个数．6．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上( )(A)一定没有零点 (B)至少有一个零点(C)只有一个零点 (D)零点情况不确定7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )(A)0 (B)1 (C)0或l (D)不确定8．用二分法求方程在精确度ε下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间(),a b 且()()0f a f b <，此时不满足a b ε-<，通过再次取中点2a b c +=．有()()0f a f c <，此时a c ε-<，而,,a b c 在精确度ε下的近似值分别为123,,x x x (互不相等)．则()f x 在精确度ε下的近似值为 ( )(A) 1x (B)．2x (C) 3x (D) ε9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +⎛⎫>⎪⎝⎭．则 ( )(A) ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 (B) ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 (C) ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 (D) ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 10．已知()()32log 19f x x x =+≤≤，判断函数()()()22g x f x f x =+有无零点?并说明理由．11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )(A)1 (B)(2) (C)3 (D)无数个 12．已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若()()120g x g x <，则 ( )(A) 1x ，2x 介于3x 和4x 之间(B) 3x ，4x 介于1x 和2x 之间 (C) 1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻 (D) 1x ，2x 与3x ，4x 相间相列13．若关于x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，则实数以的取值范围为________．14．已知函数()()14,4x f x e g x x -=-=，两函数图象是否有公共点?若有，有多少个?并求出其公共点的横坐标．若没有。

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