【2020中考专题复习】5.第17讲相似三角形(含位似)

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中考复习：相似三角形的性质、图形的位似(共17张PPT)

典型例题评析
（2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC， AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论 (3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE 与 BC 交于点 E，BE： EC=2：3，点 D 在线段 AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断 AB、DF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．．
回归课本
1.（2016.重庆市 A 卷）△ABC 与△DEF 的相似比为 1： 4 ，则△ ABC 与△ DEF 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 2．（2016.广西南宁）有 3 个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1，S2，则 S1：S2 等于（） A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 ．
巩固训练
1、（2017 毕节）如图，在正方形 ABCDAF=45°，将△ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使点 E 落在点 E'处，则下列判断不正确的是（）
A．△AEE′是等腰直角三角形 B．AF 垂直平分 EE' C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F 是等腰三角形 2. （2017 绥化）如图，△A′B′C′是△ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是 4：9，则 OB′：OB 为（）
随堂检测反馈
1．1.(2015·东莞)若两个相似三角形的周长比为 2∶3，则
它们的面积比是__ 2.(2015·沈阳)如图， △ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的，则 AB︰DE＝__． 3.(2015·酒泉)如图， D、 E 分别是△ABC 的边 AB、 BC 上的点， DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（） A． B． C． D．

2020年中考数学专题复习：相似三角形

2020年中考数学专题复习：相似三角形知识要点1、相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形。

定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形的判定定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。

定理：平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定2：三边成比例的两个三角形相似。

判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

判定4：两角分别相等的两个三角形相似。

3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4、位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

这时的相似比又叫位似比。

考点一：比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。

例1、（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A ．B ．C ．D ．练习：1.（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF ∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A． = B． = C． = D． =2.（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =考点二：相似多边形的性质例2．（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27练习：1．（2018•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．242．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：13．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12考点三：相似三角形的判定例3．（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m练习：1．（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ C ）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m2．（2018•资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．3．（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．考点四：位似图形及坐标的位似例4. 如图，点O是四边形ABCD和四边形EFGH的位似中心，已知AE＝2，EO＝1，则四边形ABCD与四边形EFGH的位似比是 .练习：1. 在平面直角坐标系中，已知点E (－4，2)，F (－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)2. 如图，△OAB 与△ODC 是位似图形，试问：(1)AB 与CD 平行吗？请说明理由；(2)如果OB ＝3，OC ＝4，OD ＝3.5，试求△OAB 与△ODC 的位似比及OA 的长．考点五：相似三角形综合运用例5．（2018•东营）如图，CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC ；（2）若BD=AD ，AC=3，求CD 的长．练习：1．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．2．（2018•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．。

中考数学专题复习《相似(含位似)》课件

知识点3：相似三角形
概对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形.相似三角形对应边的比叫念作相似比.
1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例；性 2.相似三角形的对应高线的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比质
.
13..平相行似于三三角角形形的一周边长的比直等线于和相其似他比两，边面相积交比，等所于构相成似的比三的角平形方与. 原三角形相似； 2.两组角对应相等的两个三角形相似；判 3.两边对应成比例且两边夹角相等的两个三角形相似；定 4.三边对应成比例的两个三角形相似； 5.两直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或
知识点5：图形的位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，概念对应边互相平行，那么这样的图形叫作位似图形，这个点叫做位
似中心，此时的相似比又称为位似比.
1.位似图形任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； 2.位似图形任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)；性质 3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k.
知识点1：比例线段及性质
比例线段
比例 Байду номын сангаас项
比例的性
质
黄金分割：概念【温馨提示】一条线段上有两个黄金分割点
知识点2：平行线分线段成比例
图示
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，简称平基本
行线分线段成比例. 事实
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得推论的对应线段成比例.
作图步骤
(1)确定位似中心; (2)确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点; (3)描出新图形.

相似三角形-专题(完整版-可打印)

相似三角形的判定--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有（填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称：相似三角形的判定（2）高清ID号：394499关联的位置名称（播放点名称）：例4及变式应用】【变式】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,∴∠AEF=∠CDF=90°,又∵∠AFE=∠CFE,∴△AEF∽△CDF.∴AF EFCF FD, 即AF·FD=CF·FE．3.（2014秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【答案与解析】解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴=代入①=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG 是解题关键．4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，，，是的中垂线，，，，．，．又， ∽，，．【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径. 举一反三：【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB 于E. 求证：DE ACEF BC=.【答案】过点F 作FG ∥BC,交AB 于G.则△DBE ∽△FGE △AGF ∽△ABC∵DE DBEF GF=, 又∵AF=BD,∴.DE AFEF GF= ∵△AGF ∽△ABC∴AF ACGF BC =, 即DE ACEF BC=.相似三角形的判定--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．（2015•大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4.在△ABC和△DEF中，①∠A=35°，∠B=100°，∠D=35°，∠F=45°；②AB=3cm，BC=5cm，∠B=50°，DE=6cm，DF=10cm，∠D=50°；其中能使△ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件( ).A.只有①B.只有②C.①和②分别都是D.①和②都不是5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF ∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.（2015•伊春模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为．8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.（2014秋•射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E 是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用 1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

相似三角形的位似定理与位似点

相似三角形的位似定理与位似点相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但可能不同的大小。

在研究相似三角形时，我们需要掌握位似定理和位似点的概念，这些概念有助于我们在解题时进行推理和判断。

一、位似定理位似定理是研究相似三角形时最主要的定理之一，它表明相似三角形的对应角度相等。

具体而言，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

我们可以将位似定理表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

通过位似定理，我们可以利用已知信息来推导未知信息。

例如，如果我们知道两个三角形的某些角度相等，我们可以得出它们是相似的结论。

这种关系对于解决实际问题具有很大的帮助。

二、位似点位似点是指在两个相似三角形中，对应边上的点成比例。

也就是说，如果两个三角形的对应边上的点成比例，则它们是相似的。

我们可以将位似点表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有（AB/DE）=（AC/DF）=（BC/EF）。

位似点的概念能够帮助我们求解相似三角形中未知长度的边。

通过观察对应边上的点的比例关系，我们可以利用已知长度来推导出未知长度。

三、应用示例下面，我们通过一个具体的问题来应用位似定理和位似点的概念。

问题：在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 70°。

如果BC边的长度为8 cm，求出AB和AC边的长度。

解答：根据已知条件，我们知道∠B = 50°，∠C = 70°。

现在我们可以利用位似定理来判断三角形△ABC与另一个三角形是否相似。

假设△ABC与△DEF相似，根据位似定理，我们得出∠B = ∠E = 50°，∠C = ∠F = 70°。

根据题目要求，我们已知BC边的长度为8 cm。

现在我们可以利用位似点的概念来求解AB和AC边的长度。

根据位似点，我们可以得到（BC/EF）=（AB/DE）=（AC/DF）。

数学相似三角形的知识点归纳

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。

数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

2020年中考数学相似三角形专题复习(共19张PPT)

由(1)得：△ABF∽△BEC，
∴ AF = AB , 即 AF = 8 ,
BC BE
5 45
解得：AF= 2 5
解答题
3.在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,点 D 与点 B 在 AC 同侧,∠DAC>∠BAC,且
DA=DC, 过点 B 作 BE∥DA 交 DC 于点 E, M 为 AB 的中点,连接 MD,ME.
(
3)如图
3,当∠ADC=α时,求
ME MD
的值.
(3)如图 3，延长 EM 交 AD 于 F，
∵BE∥DA,
∴∠FAM=∠EBM,
∴EC=BE,
∵AM=BM, ∠AMF=∠BME,
∴AF=CE,
∴△AMF≌△BME,
∴DF=DE,
∴AF=BE, MF=ME ,
∴DM⊥EF, DM 平分∠ADC,
延长 BE 交 AC 于点 N， ∴∠BNC=∠DAC, ∵DA=DC,∴∠DCA=∠DAC, ∵∠ACB=900,
解答题
1.如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 分别在边 AC,AB 上，AG⊥DE 于
点 G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC.
(1) 求证：△ADE≌△ABC;
(2)若 AD=3,AB=5,求 AF 的值。
AG
解：(1)∵AG⊥DE，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=900
∵∠EAF=∠GAC, ∴∠AED=∠ACB,
∵∠EAD=∠BAC, ∴△ADE∽△ABC
解答题
1.如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D 分别在边 AC,AB 上，AG⊥DE 于
点 G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC.
(1) 求证：△ADE≌△ABC; (2)若 AD=3,AB=5,求 AF 的值。

相似三角形及锐角三角函数

九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。

2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3. 相似比：相似多边形对应边的比。

二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。

✓对应边成比例。

✓对应高的比等于相似比。

✓对应中线的比等于相似比。

✓对应角平分线的比等于相似比。

✓周长比等于相似比。

✓面积比等于相似比的平方。

五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为（） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。

2020年中考数学相似三角形讲义

相似三角形知识点总结1.比例线段的有关概念：在比例式a = c（a：b = c：d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b db、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2:AB-BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2.比例性质：①基本性质：a = c O ad = bc②合比性质：a = c n a±b = 3 b d b d b da c m a + c + •一+ m a= =…=一(b + d + …+ n 丰 0) n =—③等比性质:b d n b + d + …+ n b3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：L〃12〃］。

AB DE AB DE BC EF贝U = , = , = ，・…BC EF AC DF AC DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4.相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方中考试题分类汇编——相似三角形1、（2013•新疆）如图，Rt A ABC 中，N ACB=90°, N ABC=60°, BC=2cm, D 为BC 的中点，若动点 E 以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A f B O A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0镇＜6）,连接口£,当4 BDE 是直角三角形时，t的值为（）A. 2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3.5 或4.52、（2013•新疆）如图，△ABC 中，DE II BC, DE=1, AD=2, DB=3,贝U BC 的长是（）3、（2013•内江）如图，在-ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE、BD,且AE、BD 交于点F, S△ DEF：S△ ABF=4：25,贝U DE：EC=（）A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：24、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6, AD=9, N BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F, BG±AE 于G, BG=4：2U4 EFC 的周长为（）D. 8A.11B.10C.95、（2013•雅安）如图，在"ABCD 中，E 在AB 上，CE、BD 交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,则DF= A D6、(2013•雅安)如图，DE是^ ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S^ CEF：S四边形C ED的值为( )A. 1：3B. 2：3C. 1：4D. 2：57、(2013•宜昌)如图，点A, B, C, D 的坐标分别是(1, 7), (1, 1), (4, 1), (6, 1),以C, D, E 为顶点的三角形与△ ABC相似，则点E的坐标不可能是( )-A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)8、(9-2图形的相似• 2013东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及%，那么%的值( )A.只有1个B,可以有2个C.可以有3个D.有无数个9、(2013•鄂州)如图，R3 ABC 中，N A=90°, AD±BC 于点D,若BD：CD=3：2,则tanB=( )11、(2013哈尔滨)如图，在^ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则4AMN的面积与四边形MBCN的面积比为().,、1 ,、1 ,、1 ,、2(A) (B) (C) (D)—2 3 4 312、（2013年河北）如图4,菱形ABCD中，点M, N在AC上，ME±AD, NF±AB.若NF = NM = 2, ME = 3, 则AN =A. 3B. 4C. 5D. 6使^ ABC- △ ACD.(只填一个即可)△15、(2013•巴中)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，h为 __ .而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度则河的宽度AB 等于18、（2013•眉山）如图，△ ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且当卷［，若△ AEF 的面积为2,则 EB r C 217、（13年北京4分）如图，为估算某河的宽度在河对岸边选定一个目标点A ,在近岸取点B , C , D ,使得AB ±BC , CD X BC ,点E 在BC 上，并且点AE , D 在同一条直线上。

九年级数学下学期-相似三角形(图形的位似及应用)

位似多边形+应用1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【作位似变换】【方法点拨】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【典型例题】【例1】下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（）.A. 3倍B.21C.31 D.不知A B 的长度，无法判断【例2】如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A 的坐标为（﹣2，4），B 的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C 的坐标是，△ABC 的周长是（结果保留根号）；（3）把△ABC 以点C 为位似中心向右放大后得到△A 1B 1C ，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A 1B 1C 的图形并写出点A 1的坐标．【变式1】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．【变式2】在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【变式3】如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标：A′（），B′（），C′（）；（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．用相似三角形解决问题要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点四、相似三角形的应用1.测量高度要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

人教版初三数学下册相似三角形知识点

人教版初三数学下册相似三角形知识点1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对3、如图，AB∥EF∥CD，图中共有对相似三角形，写出来并说明理由；4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．当堂检测1．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC 的长．2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．巩固提高1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(1)求证：∠CBE＝36°；(2)求证：AE2＝AC·EC.2．如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．(1)在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；(2)在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的相似比为2∶1，画出放大后小金鱼的图案．3．已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.(1)求AEAC的值；(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．。

初中数学-相似三角形及位似

解:△BCP1∽△ BCP6
C
证明:∵∠C=90°,AC=8,BC=6
AB AC2 BC2 82 62 10
在△BCP1和△BCP6中 ∵∠B= ∠B BC2=36,
A P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 B
BP1·BP6=9×4=36 ∴BC2= BP1·BP6
BP6 BC BC BP1
3.相似三角形的性质: (1).相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,周长的比都等于相似比. (2).相似三角形的面积比等于相似比的平方.
(三).位似图形
两个相似多边形,如果对应顶点的连线相交于一点,这
样的相似叫位似.交点叫位似中心.
D1
D1
D
A
A1
A1
D
A
O O
B
C
B1
B
C
B1
CF CE BF AE
CF DH BF DB
∵BD DA
CF DH BF DA
∵ DH CE DA EA
CF CE BF AE
注:解此题运用了平行线中8字型,A字型中的比例，此题还有四种证法
6.如图,在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,将 AB十等分,P1, P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9为分点,分别连结C与各分点,请你在图中找出一对相似三角形,并说明理由.
注：解此题运用了梯形中位线性质，梯形问题转化为三角形问题的方法,记住两个结论。
4.如图在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,M,N分别
是AB,AC边的中点，F,E是BC边上的点,且EF=5cm,
则阴影部分的面积为 30cm2

【中考数学考点复习】第五节相似三角形(含位似)课件

似
2．位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点
性质 3．位似图形对应边平行(或共线)且成比例
4．位似图形对应角相等
5．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，类似比为k，那
么位似图形对应点的坐标比为__k_或__－__k__
第五节类似三角形(含位似)
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比例的性质
1．已知a6＝b5＝4c，且 a＋b－2c＝6，则 a 的值为
DE∥BC，找∠ADE＝ ∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C
解题 ∠B或∠AED＝∠C
思路
结论 △ADE∽△ABC
射影定理型
△AED∽△ABC 射影定理型：△ACD∽△CBD∽△ABC， CD2＝AD·BD
第五节类似三角形(含位似)
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4. 如图，在▱ ABCD中，点E在边AD上，且AE＝ED，连接BE并延长交
上的动点，以 O 为圆心作半径为 1 的圆，若该圆与△ABC 重叠部分的面
积为π，则 OC 的最小值为
．
第 6 题图
第五节类似三角形(含位似)
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【思维教练】利用勾股定理可得AB的长，根据⊙O的面积及⊙O与 △ABC重叠部分的面积可判断出此圆全部在△ABC内，当⊙O与BC相切时，OC取最小值，利用相似三角形的判定及性质，即可求出OC的最小值.
结论
△AOB∽△DOC
△AOB∽△COD
3.燕尾型：即AB与CD不平行，且 4.三平行型：即AB∥EF∥CD 有公共角∠E，找∠A＝∠C或解题 ∠ABF＝∠CDF 思路
△ABF∽△CDF，结论
△ADE∽△CBE
△AFB∽△CFD， △CEF∽△CBA， △BEF∽△BCD
第五节类似三角形(含位似)

中考数学点对点-相似三角形问题(解析版)

∴△FEC∽△EDC，
∴ ，
∵EC＝＝＝3 ，
∴ ，
∴FE＝2
【对点练习】2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________．
2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3．三角形相似的判定方法
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。
（3）两个三角形相似的判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例题解析与对点练习
【例题1】（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）
A．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR
【答案】A
【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC ，OM＝2 ，OD ，OB ，OA ，OR ，OQ＝2 ，OP＝2 ，OH＝3 ，ON＝2 ，由 2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果．

相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）　（B）　（C）　（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、cm　（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

中考数学复习相似三角形(含位似) 课件

性质3 (等比性质)
如果那么
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
bananbnn＝，_且__abb_111_＋__b_2＋…＋bn≠0，
3. 黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 AC BC ，那么就说线段AB被 AB AC
概念点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，
思维导图
比例线段
比例的性质黄角形的性质与判定
图示基本事实
推论
平行线分线段成比例
相似三角形
相似多边形及其性质
图形的位似
性质
判定概念
性质概念
性质
教材知识逐点过
考点1 比例线段及其性质
1. 比例线段
比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比_等__于__另外两条线段的比，即a c ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称
第4题图
【模型变式1】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
连接DC，EB交于点O，则DO∶CO＝__1_∶__2___，
SDEO SABC
1
＝___1_2____．
变式1题图
【模型变式2】如图，在▱ABCD中，AE∶DE＝2∶1，连接BE，交AC
24
于点F，AC＝12，则AF的长为___5_____．
3. 相似三角形的周长比等于_相__似__比___，面积比等于__相__似__比__的__平__方______ 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2. __两__组__角__对应相等的两个三角形相似判 3. 两边对应成比例且__夹__角____相等的两个三角形相似定 4. 三边_对__应__成__比__例__的两个三角形相似 5. 两个直角三角形满足一组锐角相等或两直角边对应成比例或斜边和一直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

(名师整理)最新中考数学专题复习《位似图形和相似三角形的应用》精品教案

1中考数学人教版专题复习：位似图形和相似三角形的应用一、教学内容位似图形和相似三角形的应用1. 了解位似图形的概念、画法和性质.2. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度或宽度.3. 能利用位似图形和相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.二、知识要点1. 位似图形（1）定义：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比.ABC DEA'B'C'D'E'（2）画法：画位似图形的方法根据位似中心与图形的位置关系可以分为三种：①位似中心在图形的一侧；②两个图形分居在位似中心的两侧；③位似中心在两个图形的内部.OADC BC'D'A'B'ABCDA'B'C'D'O A BC DA'B'C'D'O22. 测量物体的高度（1）利用阳光下的影子A B C A'B'C'人的影长（可测）人被测物体的影长（可测）被测物体（2）利用标杆A BCDEFM N旗杆标杆（3）利用镜子的反射A BCDE人旗杆三、重点难点本讲重点是位似图形的概念和性质、相似三角形的应用. 难点是应用相似三角形解决实际问题.四、考点分析从历届中考题来看，相似形在中考中的位置越来越重要，试题分值也逐渐增加，特别是相似三角形的判定和性质的应用，在解答题中出现的频率较高，近两年来，相似形在实际生活中的应用性问题也开始出现.3【典型例题】例1. 如图所示，试回答下列问题，并说明理由.（1）分别在△ABC 的边AB 、AC 上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了；（2）分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了？ABCDE ABCED(1) (2)分析：解答此题的关键是正确理解位似图形的定义，即（1）必须是相似图形；（2）所有对应顶点的连线都经过同一点. 这两条缺一不可. 若再要判定是放大了还是缩小了，就看位似比是大于1还是小于1就行了.解：（1）是，缩小了. 理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A ，位似比AD AB ＜1.（2）是，无法确定放大还是缩小，理由是△ADE ∽△ABC ，且对应点的连线都经过一点A . 但ADAB 的值可能大于1，也可能小于1，无法确定.例2. 如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD 以O 点为位似中心的位似四边形A'B'C'D'.（1）沿OA 方向放大为原图形的2倍；（2）沿AO 方向放大为原图形的2倍.ABC DO分析：此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2∶1，而（1）问是沿OA方向，即从O点向A点的方向，而（2）问是沿AO方向，即从A点向O点的方向放大.解：如图1所示.①连接OA，并延长OA到A'，使AA'＝OA；②连接OB，并延长OB到B'，使BB'＝OB；③连接OC，并延长OC到C'，使CC'＝OC；④连接OD，并延长OD到D'，使DD'＝OD；⑤连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.A'B'C'D'A BC DO图1（2）如图2所示.①连接AO，并延长AO到A'，使OA'＝2OA；②连接OB、OC、OD，并延长BO、CO、DO到B'、C'、D'，使OB'＝2OB，OC'＝2OC，OD'＝2OD.③连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.则四边形A'B'C'D'是四边形AB CD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.45A'B'C'D'图2ABC DO例3. 如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙1.60m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（）A . 3.85mB . 4.00mC . 4.40mD . 4.50mABCD E分析：找出图中的相似三角形，列出相应的比例式AD AB ＝DEBC ，代入求值即可. BC ＝1.6m ，DE ＝1.4m ，DE ∥BC ，BD ＝0.55m ，设AB ＝x m ，则AD ＝（x －0.55）m . 由△ADE ∽△ABC ，可得AD AB ＝DEBC ，即x －0.55x ＝1.41.6，解得x ＝4.40，故选C . 解：C例4. 如图所示，小明为了测量一高楼MN 的高度，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC ＝1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度. （精确到0.1m ）ABCMN分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样△BCA 与△MNA 的相似关系就明确了.6解：因为BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∠BAC ＝∠MAN ，所以△BCA ∽△MNA ，所以MN BC ＝ANAC ，即MN ∶1.6＝20∶1.5，所以MN ＝1.6×20÷1.5≈21.3（m ）.评析：这是一道实际应用题，利用了两角对应相等的两个三角形相似，且相似三角形对应边成比例.例5. 一条河的两岸是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有4棵树，则河宽是多少米？分析：先按题意画图，如图所示，可得AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，由题意可知△ADE ∽△ACB ，从而AD AC ＝DECB ，可求河宽.ABCDE解：如图所示，AD ＝16m ，DE ＝20m ，BC ＝50m ，CB 、DE 表示互相平行的河两岸，AD ⊥DE ，图中CB 、DE 两端的点表示树木，本题求DC 的长，因为DE ∥CB ，所以△ADE ∽△ACB .所以AD AC ＝DE CB ，即AD AD ＋DC ＝DE CB ，则1616＋CD ＝2050，解得CD ＝24（m ），所以河宽为24m .评析：有关测量问题的计算，要应用相似三角形的性质——相似三角形的对应边成比例，这是解决实际问题的重要方法之一.【方法总结】71. 关于位似图形和相似图形：①位似图形一定是相似图形；②两个相似形，当对应点的连线交于同一点时，这两个图形又叫做位似图形；③位似比即相似形的相似比；④位似图形具有相似形的性质.2. 能够把实际问题转化成数学问题，利用影长计算或测量时，注意同一时刻：物体的实际高度影长＝被测物体的实际高度被测物体的影长.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图所示，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是（）ABCDEFG HMNA . 2DE ＝3MNB . 3DE ＝2MNC . 3∠A ＝2∠FD . 2∠A ＝3∠F 2. 图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A . 点PB . 点OC . 点MD . 点NPO MN3. 小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A . 0.5mB . 0.55mC . 0.6mD . 2.2m4. 如图所示，身高为1.6m 的某学生测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走8去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3.2m ，CA ＝0.8m ，则树的高度为（）ABE DA . 4.8mB . 6.4mC . 8mD . 10m*5. 下列命题中真命题的个数是（） ①两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC 与△A'B'C'中，AB A'B'＝ACA'C'，∠A ＝∠A'，那么△ABC ∽△A'B'C'； ④已知△ABC 及位似中心O ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5. A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个*6. 如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（）xyA . （－a ，－2b ）B . （－2a ，－b ）C . （－2a ，－2b ）D . （－2b ，－2a ）二、填空题91. 如图，△ABC 与△A ’B ’C ’是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________.19876543210119876543211011O A'B'C'A B C yx2. 要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ∶BC ＝5∶4，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上（如图所示），量得DE 的长为30m ，则AB 的距离为__________m .ABCDEF3. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为__________米（精确到0.1米）.EDCB4. 如图，火焰的光线穿过小孔O ，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为4.5cm ，OA ＝16cm ，OD ＝48cm ，那么火焰的高度是__________cm .10*5. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆. 小丽站在离南岸岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________米.**6. 如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________.ABCDO E FGx y三、解答题1. 如图所示，把图（1）中的图形在图（2）中放大（形状完全一样）.（1）（2）2.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）.OABCD3.用一桶农药给果树防虫，桶高0.7米，桶内有一斜放的木棒，一端在桶底，另一端恰好在桶盖小口处，抽出木棒量得木棒的总长为1米，上面浸有农药部分长0.7米，你能求出桶内药液的高度是多少吗？4.如图所示，小明手拿一把刻有厘米刻度的尺子，站在距电线杆30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺子上12cm的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长60cm，求电线杆的高度.**5.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ACQ1112【试题答案】一、选择题1. B2. A3. A4. C5. C6. C二、填空题1.（9，0）2. 243. 5.64. 1.55. 22.56.（1，0）或（－5，－2）三、解答题1.如图所示：2.下图中的A’B’C’D’就是所求.OABCD B'D'3.设桶内药液高度为x米，则0.7－x0.7＝1－0.71，解得x＝0.49米4.设电线杆的高度为x米，则603000＝12x，解得x＝600（cm）＝6（米）5.（1）狮子能将公鸡送到吊环上.当狮子将跷跷板P端按到底时可得到R t△PHQ，∵点A是PQ的中点，∴△PAB∽△PQH，且相似比是1∶2，AB＝1.2（米）∴QH＝2.4＞2（米）.13（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝13PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，△PAB∽△PQH，∴QH＝3AH＝3.6（米）.14。