复数的概念1
第一章复变函数
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
001第1讲 _共轭复数
3 1 5 . 2 2 z z Re( z ) Im( z ) 2 2 2
2
2
23
共轭复数的性质
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
证
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
我们称 N 为北极, S 为南极.
x
S O
y
17
虚数单位的特性:
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
i 3 i i 2 i; i 5 i 4 i 1 i; i 7 i 4 i 3 i;
……
i i i 1; i 6 i 4 i 2 1;
11
4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1 (cos1 i sin1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
复数知识点归纳(一)2024
复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。
正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。
- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。
3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。
- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。
- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。
4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。
- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。
- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。
5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。
- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。
- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。
总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。
复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。
复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。
深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
复数的概念1
因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来
说，也解决了在原有数集中某种运算不
是永远可以实施的矛盾，分数解决了在
整数集中不能整除的矛盾，负数解决了
在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还
是无解的，因为没有一个实数的平方等 于－1.由于解方程的需要，人们引入了一 个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了 复数
x满足( )
A.x=－D.x12≠1B且.xx=≠－－22或－
1 2
C.x≠－2
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－ 5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝， 则实数m的值为( )
A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1
4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数 对(x，y)表示的点的个数是______.
5.复数z=a+｜b｜i，z’=c+｜d｜i(a、b、c、 d∈R)，则z=z’的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)， 如果z是纯虚数，求m的值.
7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根， 试求实数m的值.
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
返回
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理
量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进
无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的
正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它
复变函数第一章
Re z 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z 0表 示 下 半 复 平 面 .
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )
数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证 明 若 z是 实 系 数 方 程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落于第二象限时，加
y arctan 2 x 2
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为Ｕ(z0 ,δ) (U ( z0 , )) 即， U ( z0 , ) {z z z0 }
z0
(U ( z0 , ) { z 0 z z0 }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
《复变函数》第1章
3
3
23
23
arg z
23 6
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2
5.
6
(或
arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)
i
sin(
复变函数与积分变换(第一章)
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
复变函数第一章
1.1.4.复数四则运算的几何意义 .1.4.复数四则运算的几何意义 , θ θ 设有两个复数 z1 = r1(cos 1 + i sinθ1） z2 = r2 (cos 2 + i sinθ2）
则，z1 z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式
2i ( 1 ) z = − 12 − 2i, ( 2 ) z = , ( 3 ) z = −3 + 4i −1+ i
例3：求下列方程所表示的曲线
(1) |z + i| = 2, ( 2) |z − 2i| = |z + 2|, ( 3 ) Im(i + z) = 4
________
7 1 z1 ∴ ( )=− + i z2 5 5
__ 1 3i 例2： z = - − 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i
− ( 1 − i) − 3i(i) − 1 + i + 3 2 + i （ 2 + i)( 1 − i) = = 解： z = = i( 1 − i) i +1 1+ i 2
x
(3)幅角主值的求法 (3)幅角主值的求法 y arctan x , ( x > 0 , y > 0 ) arctan y + π （ x < 0 , y > 0 ) , x arg z = arctan y − π , ( x < 0 , y < 0 ) x y arctan , ( x > 0, y < 0) x
复变函数与积分变换第一章 复变函数和解析函数
|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).
1
一般情况下, n z z n
n个根就是以原点为中心、
y
w1
w0
1
半径为 r n 的圆的内接正多边
o
x
形的n个顶点所表示的复数.
w2
w3
1.1.5 复球面与无穷远点
第一章 复变函数与解析函数
§1.1 复 数
1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式
i2 1. 由该等式所定义的数称为虚数单位
cosq i sinq n (cos nq i sin nq )
称为De Moivre公式.
如果定义负整数幂为
zn
1 zn
,
那么
De Moivre公式仍然成立. 设
z1 r1(cosq1 i sinq1 ), z2 r2(cosq2 i sinq2 ),
当 z2 0 (即 r2 0 )时,
y
y
为起点而以点P为终点的向
量表示(如图).
o
Pz x iy
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上
的投影分别为x和y.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|. 显然 z r x2 y2 ,
q r1
o
q1
q2
•
r2
z2
z2 r2(cosq2 i sinq2）.
1、复数的概念与坐标表示
第一讲——复数的概念与坐标表示知识要点1．复数的概念形如(,)+∈a bi a b R 的数叫做复数，用字母z 表示，即(,)=+∈z a bi a b R 。
其中a 叫做复数z 的实部，记作Re z ，b 叫做复数z 的虚部，记作Im z ，i 叫做虚数单位，规定：21=-i 。
（1）对于复数=+z a bi ，如果没有特殊说明，则有,∈a b R ；（2）=+z a bi 是复数的代数形式，并规定：00,0i bi bi ⋅=+=；（3）复数=+z a bi , 当0=b 时，复数=z a 是实数；当0≠b 时，z 叫做虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数；当且仅当0==a b 时，0=z 。
（4）复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
复数(,) z a bi a b R =+∈00b b =⎧⎨≠⎩（）（）实数虚数 口答：1、下列复数：0，13i -，13i -，3-，6i 中，实数是__________，虚数是__________，纯虚数是___________，实部与虚部都是0的复数是___________。
答：实数：0，3-；虚数：13i -，13i -，6i ；纯虚数：13i -，6i ；实部与虚部都是0的复数：0。
2．两个复数相等如果两个复数1(,)=+∈z a bi a b R 和2(,)=+∈z c di c d R 的实部与虚部分别相等，即=a c 且=b d ，那么这两个复数相等，记作+=+a bi c di 。
两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等，即： +=+a bi c di ()()0⇔-+-=a c b d i 00-=⎧⇔⎨-=⎩a c b d =⎧⇔⎨=⎩a c b d3．复平面建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面（如图所示），在这里x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。
第14讲复数(1)-解析与答案
第14讲 复数（一）模块1 复数的概念1．复数的表示形式（1）代数形式：z a bi ，其中,a b R .这里，a 称为复数z 的实部，用 Re z 表示；b 称为复数z 的虚部，用 Im z 表示. 当0b 时，z 就是实数；当0b 时，称z 为虚数；当0b 且0a 时，复数z 称为纯虚数. （2）几何形式：复数z a bi ,a b R 与复平面内的点 ,Z a b 或由原点发出的向量OZ 一一对应. （3）三角形式： cos sin z r i ，其中0,r R .这里，r 称为复数z 的模，用z 表示； 称为复数z 的幅角，而当02 时，称为复数z 的幅角主值，用 arg z 表示，不难发现tan b r a .（4）指数形式：i z re ，其中0,r R . 这里，cos sin i e i 也就是著名的欧拉公式.（5）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数. 一般用z 来表示z 的共轭复数，当z a bi 时，z a bi ；共轭复数在复平面内关于x 轴对称；当 cos sin z r i 时， cos sin z r i ，也就是说共轭复数的模相等而幅角互为相反数； 当i z re 时，i z re .2．复数与一元二次方程（1）对所有的实系数一元二次方程20ax bx c (0)a ， 若240b ac ，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根242b ac b x a 互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．3．复数的运算法则：（1）加减法： a bi c di a c b d i ； （2）乘法： a bi c di ca bd ad bc i ，111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i r r i ，（3）除法：2222a bi ac bd bc adi c di c d c d，111112122222cos sin cos sin cos sin r i r i r i r（4）棣莫弗定理（乘方）：cos sin cos sin nn r i r n i n复数的运算满足：交换律，结合律，分配律.（5）若 cos sin nk w r i，则22cos sin k k k w i n n， 其中0,1,2,,1k n .4．复数的性质： 共轭复数的性质： （1）1212z z z z ；（2）11121222,z zz z z z z z ， n n z z ；（3）1Re 2z z z，1Im 2z z z ； （4）z 是实数的充要条件是z z ，z 是纯虚数的充要条件是z z 且0z ； （5）z z ； （6）22z z z z .5．复数的模的性质：（1）max Re ,Im Re Im z z z z z ； （2）1212m n z z z z z z ；（3）112220z z z z z ； （4）121212z z z z z z .【经典例题】【例1】 （1）若复数z 满足 325z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为________. （2）复数21iz i（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限. （3）复数11z i的模为________. （4）复数,z w 满足3z ，74z w z w i ，则 2z w z w ________. 【教师建议】复数计算，共轭，模 【解析与答案】（1）5i ；（2）四；（3； （4）2274i z w z w z w zw zw ， 由于22,,Re 0z w R zw zw ，则227,4z w zw zw i ，而3z ，故22w ，故222242z w z w z w zw zw18i ，故2218z w z w i【例2】 若z C ，且286z i ，求3210016z z z. （2）二次函数 210ax x a R 的两根的模都小于2，求实数a 的取值范围.（3）设R ，若二次方程 2110i x i x i 有两个虚根，求实数 的取值范围.【教师建议】1.复数开方方法；2.实（复）系数二次函数的解.【例3】 （1）31 ________.（2）已知1,mnii m n N ，则mn 的最小值是________.（3）计算102282000i【教师建议】三角形式计算 【解析与答案】（1）-8；（2）72（3）256i .【例4】 设x是模为1的复数，则函数 2211f x xx的最小值为________.（2）设,p q是复数 0q ，若关于x的方程220x px q的两根的模相等，证明：pq是实数. 【教师建议】复函数最值（利用三角形式，三角函数最值）【解析与答案】（1）设ix e，则 22221112cos211i if x x e ex.（2）21212,z z p z z q，2221221222122122iii iz z z zpe e e eq z z z z为非负实数，因此pq是实数.【例5】 已知复数z满足1z ，则1z iz的最小值为________.（2）设复数z满足1z 且152zz，则z ________.（3）（2002联赛）已知复数12,z z满足122,3z z.若它们所对应向量的夹角为060，则1212z zz z________.【解析与答案】（1）1112iz iz i z1.（2）2151122z z z z zz（3）几何意义，余弦定理【例6】 已知复数z 的模大于1，155cos sin 22iz z，则z ________.（2）已知复数12,z z 满足121232,3,322z z z z i ，试求12z z 的值. 【解析与答案】 （1）25551cos sin 12222i zz z z z z，代入得 2cos sin z i （2） 1212216323072131323z z z z i z z【例7】 求证：当1a 或1b ，当a b 时，有11a bab. 【解析与答案】【例8】 若1231z z z ，求223123111z z z z z z 的值【解析与答案】【例9】 若12,,,0z z A C A ，且12120z z Az Az . 求证：12()()z A R z A .【解析与答案】【例10】 （全国高考题）设z C ，解方程313zz iz i . 【解析与答案】模块2 复数的几何意义1．复数及其预算的几何意义复数 ,z x yi x y R 与复平面内的点 ,Z x y 及向量OZ （O 是坐标原点）之间构成一一对应关系，这就使得复数本身以及运算中有着深刻的几何意义. （1）复数加减法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法法则来进行. 两个复数的差12z z 与连接两向量终点并指向被减数的向量对应.（2）复数乘除法的几何意义记 11112222cos sin ,cos sin z r i z r i ，两个复数的积12z z 对应的向量就是把向量OZ 按逆时针方向旋转一个角 （若0 ，则应将OZ 按顺时针方向旋转一个角 ），再将它的模变为原来的2r 倍. 复数的除法也有类似的几何意义.2．复平面解析几何（1）复平面上两点间的距离公式复数12,z z 在复平面上对应的点为12,,Z Z d 表示两点12,Z Z 之间的距离，则有12d z z . （2）复平面上的曲线方程如果复数z 对应着复平面上一点 ,Z x y 就可得出一些常用曲线的复数形式的方程： ①方程0z z r 表示以0Z 为圆心，r 为半径的圆； ②方程12z z z z 表示线段12Z Z 的垂直平分线；③方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，a 为长半轴的椭圆； ④方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，实轴长为2a 的双曲线.复数的几何意义构建了代数与几何之间的相互联系，当中的要害之处在于怎样选取恰当坐标系，进而建立几何元素的复数表示，以借助复数的运算来探究平面几何问题的解决方案.【经典例题】【例11】 （1）（2009复旦）复平面上点012z i 关于直线:22l z i z 的对称点的复数表示是________. （2）设复数z 满足1z ，则2221z z z i的最大值为________.【教师建议】复数几何意义 【解析与答案】（1）i ；（21 .（2）22211z z z i z i表示单位圆上与 1,1距离最大值，为1【例12】 任给8个非零实数128,,,a a a ，证明：下面6个数132415261728354637485768,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中，至少有一个数是非负的.【解析与答案】令212,1,2,3,4i i i z a a i ， 212,i i i z a a【例13】 （全国高中数学联赛题）给定实数,,a b c 已知复数123,,z z z 满足1233122311.1.z z z z z z zz z求123az bz cz 的值. 【解析与答案】【例14】 设复数cos sin (0180)z i ，复数,(1),2z i z z 在复平面上对应的三个点分别是,,P Q R .当,,P Q R 不共线时，以线段,PQ PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，点S 到原点距离的最大值是________. 【解析与答案】模块3 多项式与单位根1．多项式的根一般地，以x 为未知数的一元n 次多项式 f x 可以写成：1110n n n n f x a x a x a x a这里n 为确定的自然数 0n a ，称为 f x 的次数，记作 deg f x .2．多项式相等：两个多项式如果次数相同且同次项系数相等，则此两多项式相等. 竞赛中出现的多项式多为整系数的，称为整系数多项式.如果 1110n n n n f x a x a x a x a 是复系数一元n 次多项式，那么它对应的方程 0f x 就称为复系数一元n 次方程，它的根也称为多项式 f x 的根.类似地，如果 f x 是实系数（或有理系数，整系数等）多项式，则称对应方程为实系数（或有理系数，整系数等）一元n 次方程.3．代数基本定理一元n 次多项式在复数中至少有一个根.根的个数定理：一元n 次多项式有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）推论：若有1n 个不同的x 值使得n 次多项式 f x 与 g x 值相等，那么 f x g x .4．实系数多项式虚根成对定理：若实系数多项式 f x 有一个虚根a bi ，那么a bi 也是它的根，且两根有共同的重数k . 推论1：任何奇次实系数多项式至少有一个实根.推论2：任何次数大于0的实系数多项式均可在实数范围内分解成若干个一次因式与具有共轭虚根的二次因式之积.5．韦达定理的一般形式为：如果一元n 次多项式 1110n n n n f x a x a x a x a 的根是12,,,n x x x ，那么112n n nax x x a ，212131n n n na x x x x x x a， 312312421n n n n na x x x x x x x x x a，12n x x x .6．单位根对于方程10n x （n 是自然数且2n ），由复数开方法则，就得到它的n 个根.利用复数乘方公式，有12222cos sin cos sin kk k k k i i n n n n. 这说明：这n 个n 次单位根可以表示为211111,,,,n ，它们在复平面内对应的点构成一个内接于单位圆的正n 边形.关于n 次单位根，有如下一些性质： （1） 111k k n ；（2） 1,1i j i j i j n ； （3）2111110n ；（4） 设m 是整数，则1211m m mn,当 是 的倍数时；0,当 不是 的倍数时.（5） 1101n n k k k k x x ，特别的，当1x 时， -111n k k n .【经典例题】【例15】 （1）证明：sin x 不是多项式； （2）. 【解析与答案】【例16】 若多项式 3248f x x x x a 有模等于2的虚根，试确定实数a 并解出所有的根.【例17】 若多项式 43262f x x x ax bx 有4个实根，证明：这些根中必有一个小于1【例18】 设,,0,,,a b R b 是三次方程30x ax b 的3个根，求以111111,,为根的三次方程. 【解析与答案】【例19】 （1）设1002200012001x x a a x a x ，求03198a a a 的值.（2）033333nn n nC C C ________. （3）计算：024698100100100100100100100C C C C C C 【解析与答案】（1）令21,,x w w ，其中31w 且1w ，解得99031983a a a（2）21211,3nn n w w 其中22cos sin 33w i . （3）100024*********1001001001001001001001001i C C C C i C C C C利用三角形式可得024********50100100100100100100100C C C C C C 2cos24【说明】类似可求0k kn knkn kn C C C【例20】 若cos 40sin 40i ，则12392π239sin 99等于________. 【解析与答案】设222239s ，其中29i e．23410239s ．2391019s ． 1 ∵，210191s∴．注意到92921091,i i e e，19s ∴．故11111999s s ，．由于1与 是单位圆内接正九边形的相邻顶点，所以1 是单位圆内接正九边形的边长．即π12sin 9，也即12πsin 0999．【例21】 （99联赛）给定实数a b c ，，，已知复数1z ，2z ，3z 满足： 12331223111z z z z z z zz z，求123az bz cz 的值. 利用单位根形式证明1z ，2z ，3z 必有两个相等. 【解析与答案】由题设，有i i i()1e e e ．两边取虚部，有 0sin sin sin 2sincos2sincos22222sincos cos2224sin sin sin 222故2πk 或2πk 或2πk ，k Z ．因而，12z z 或23z z 或31z z ． 如果12z z ，代入原式即 313111z z z z ．故23110z z，31i z z ． 这时，1231i az bz cz z a b c．类似地，如果23z z，则123az bz cz ；如果31z z ，则123az bz cz ．所以，123az bz cz22a b c22b c a22c a b【例22】 是否存在一个凸1990边形，同时具有下列的性质(1)与(2)： （1）所有内角均相等；（2）1990条边的长度是1,2,…,1989,1990的一个排列。
复变函数1.pdf
2⎢⎣⎡cos
π 4
+
i
sin
π⎤ 4 ⎥⎦
4
1+
i
=
8
⎡π
⎢ 2⎢cos
4
⎢⎣
+ 2kπ 4
+
π i sin 4
+
2kπ
⎤ ⎥
4
⎥ ⎥⎦
即
w0
=8
2
⎣⎡⎢cos
π 16
+
i
sin
1π6⎥⎦⎤,
(k = 0,1,2,3).
w1
=
8
2⎣⎡⎢cos
9π 16
+
i sin 916π⎥⎦⎤,
w2
=
8
2⎣⎡⎢cos
当 z 的模 r = 1,即 z = cosθ + i sinθ ,
(cosθ + i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ .棣莫佛公式
例 计算（ 12-2i）3
解 由于 12-2i = 4[cos(−π / 6) + i sin(−π / 6)]
因此( 12-2i)3 = 43 (cos(−π / 6) + i sin(−π / 6))3
例如，设 z1 = −1, z2 = i, 则 z1 ⋅ z2 = −i,
Argz1 = π + 2nπ, (n = 0, ± 1, ± 2,"),
A故Arrgg3(zπz21+z=22)π2(=m+−2+πm2n+π)π,2k=π(m−, π=(+k02,=k±π01,,,
± 2,"), ± 1, ± 2,"),
10.1.1 复数的概念
第十章复数10.1 复数及其几何意义10.1.1 复数的概念基础过关练题组一复数的概念1.有下列四个命题:(1)方程2x-5=0在自然数集N中无解;(2)方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一个解,在有理数集Q中有两个解;(3)x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;(4)x4=1在R中有两个解,在复数集C中也有两个解.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.42.复数i-i2的实部等于( )A.0B.1C.-1D.i3.复数z=-2+3i的虚部为( )A.-2B.3iC.2D.34.以复数3i-√2的虚部为实部,-3+√2i的实部为虚部的复数是.题组二复数的分类5.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则( )A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=⌀6.如果复数z=m2-4+(m+2)i为纯虚数,其中i为虚数单位,则实数m的值为( )A.-2B.0C.2D.-2或27.复数z=a2+b2+(a-|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( )A.|a|=|b|B.a<0且a=-bC.a>0且a≠bD.a≥08.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k= .9.已知复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i,其中i为虚数单位.(1)若复数z是实数,求实数m的值;(2)若复数z是纯虚数,求实数m的值.+(m2-2m)i是: 10.已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=m2+m-6m(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?题组三复数相等11.适合x-2i=(x+y)i的实数x,y的值为( )A.x=0,y=2B.x=0,y=-2C.x=2,y=2D.x=2,y=012.已知x,y∈R,若x+y+(x-2y)i=-x-3+(y-19)i,则x+yi=( )A.3+5iB.-4+5iC.4-5iD.-4-5i13.求使等式3x+1+i=y-(3-y)i成立的实数x,y的值.14.(1)已知2x-y+1+(y-2)i=0,其中i为虚数单位,求实数x,y的值;(2)已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,其中i为虚数单位,求实数x,y的值.能力提升练一、单项选择题1.(★★☆)“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(疑难2,★★☆)若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2xy的值为( )B.2C.0D.1A.12二、多项选择题3.(★★☆)下列命题错误的是( )A.(-i)2=-1B.-i2=-1C.若a>b,则a+i>b+iD.若z∈C,则z2>04.(★★☆)已知复数z=cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数,则α的取值可能为( )A.π3 B.2π3C.πD.5π3三、填空题5.(★★☆)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是.6.(★★☆)使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是.7.(疑难1,★★★)若复数z=(sin θ+cos θ+1)+(sin θ-cos θ)i 是纯虚数,则sin2 021θ+cos2 021θ= .四、解答题8.(疑难1,★★☆)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,i为虚数单位,m∈R.(1)当m为何值时,z是实数?(2)当m为何值时,z是纯虚数?9.(疑难2,★★☆)定义运算|m mm m|=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=|3m+2m i-m1|,求实数x,y的值.10.(★★★)已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M ∪P=P,求实数m的值.11.(疑难2,★★★)关于x的方程3x2-m2x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实数根.答案全解全析 10.1.1 复数的概念基础过关练1.C (1)中方程的解为x=52∉N,故(1)正确;(2)中方程的两个解分别为x 1=-5,x 2=12,在整数集Z 中有一个解,在有理数集Q 中有两个解,故(2)正确;(3)显然正确;(4)x 4=1在R 中有两个解,为±1,在C 中有四个解,为±1,±i,故(4)错误.故正确命题的个数是3.2.B 由于复数i-i 2=i+1=1+i,故实部等于1.3.D 因为复数z=-2+3i,所以复数z 的虚部为3,故选D.4.答案 3-3i解析 复数3i-√2的虚部是3,-3+√2i 的实部是-3,故所求复数是3-3i.5.D 复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=⌀.故选D.6.C 因为复数z=m 2-4+(m+2)i 为纯虚数,所以{m +2≠0,m 2-4=0,解得m=2,故选C.7.D 复数z 为实数的充要条件是a-|a|=0,即|a|=a,故a≥0.故选D. 8.答案 2解析 因为z<0,所以z∈R,由题意得{k 2-5k +6=0,k 2-3k <0,解得k=2.9.解析 (1)令m 2-3m=0,解得m=0或m=3,所以当m=0或m=3时,复数z 是实数.(2)令m 2-5m+6=0,解得m=2或m=3,又m 2-3m≠0,即m≠0且m≠3,所以m=2.所以当m=2时,复数z 是纯虚数.10.解析 (1)当{m 2-2m =0,m ≠0,即m=2时,复数z 是实数.(2)当m 2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z 是虚数. (3)当{m 2+m -6m =0,m 2-2m ≠0,即m=-3时,复数z 是纯虚数.11.B 依题意得{x =0,-2=x +y ,解得{x =0,y =-2,故选B.12.B 因为x,y∈R,所以利用复数相等的充要条件可得{x +y =-x -3,x -2y =y -19,解得{x =-4,y =5,所以x+yi=-4+5i.故选B.13.解析 由复数相等的充要条件可得{3x +1=y ,1=-(3-y ),解得{x =1,y =4.故当等式3x+1+i=y-(3-y)i 成立时,x=1,y=4.14.解析 (1)因为2x-y+1+(y-2)i=0,所以{2x -y +1=0,y -2=0,解得{x =12,y =2.(2)因为(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,所以{x +y =2x +3y ,y -1=2y +1,解得{x =4,y =-2.能力提升练一、单项选择题1.B 因为1-a+a 2=(a -12)2+34>0,所以若复数4-a 2+(1-a+a 2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a 2=0,即a=±2;当a=-2时,4-a 2+(1-a+a 2)i=7i 为纯虚数.所以“复数4-a 2+(1-a+a 2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的必要不充分条件.故选B.2.A 由复数相等的充要条件知,{x +y =0,x -1=0,解得{x =1,y =-1,所以xy=-1,所以2xy =2-1=12.故选A.二、多项选择题3.BCD -i 2=1,故B 错误;虚数不能比较大小,故C 错误;若z=i,则z 2=-1<0,故D 错误.故选BCD.4.ACD 由题意可得,cos α+cos 2α=0,所以2cos 2α+cos α-1=0,所以cos α= -1或cos α=12,因为0<α<2π,所以α=π或α=π3或α=5π3.故选ACD.三、填空题 5.答案 -2解析 ∵log 2(x 2-3x-2)+ilog 2(x 2+2x+1)>1,∴{log 2(x 2-3x -2)>1,log 2(x 2+2x +1)=0,解得x=-2.6.答案 {3}解析 由已知,得{-(m 2-3m )=0,m 2-4m +3=0,m 2<10,解得m=3,所以所求的实数m 的取值集合是{3}.7.答案 -1解析 由题意得{sinθ+cosθ+1=0,①sinθ-cosθ≠0,由①得sin θ+cos θ=-1,又sin 2θ+cos 2θ=1,所以{sinθ=0,cosθ=-1或{sinθ=-1,cosθ=0.所以sin 2 021θ+cos 2 021θ=(-1)2 021+02 021=-1.四、解答题8.解析 (1)要使复数z 为实数,需满足{m 2-2m -2>0,m 2+3m +2=0,解得m=-2或m=-1.故当m=-2或m=-1时,z 是实数.(2)要使复数z 为纯虚数,需满足{m 2-2m -2=1,m 2+3m +2≠0,解得m=3.故当m=3时,z 是纯虚数.9.解析 由|a b c d|=ad-bc,得|3x +2yi-y 1|=3x+2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y 为实数,所以有{x +y =3x +2y ,x +3=y ,解得{x =-1,y =2.10.解析 因为M∪P=P,所以M ⊆P,即(m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1或(m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i. 由(m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1,得{m 2-2m =-1,m 2+m -2=0,解得m=1;由(m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i,得{m 2-2m =0,m 2+m -2=4,解得m=2.综上可知m=1或m=2.11.解析 设方程的实数根为x=m,则3m 2-a2m-1=(10-m-2m 2)i,根据复数相等的充要条件,得{3m 2-a2m -1=0,10-m -2m 2=0,解得{m =2,a =11或{m =-52,a =-715, 所以当实数a=11时,实数根为2;当实数a=-715时,实数根为-52.。
1.复数的概念复数的坐标表示
yபைடு நூலகம்
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象地说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 2 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
回 忆
复数的概念（一）精选练习及答案
试卷复数的概念（1）一、选择题1、若z1与z2互为共轭虚数，则满足条件|z-z1|2-|z-z2|2=|z1-z2|2的复数z在平面上表示的图形是(A)双曲线 (B)平行于x轴的直线 (C)平面于y轴的直线 (D)一个点翰林汇2、设z是纯虚数，则 ( )(A)|z|2=z2 (B)|z|2=-z2 (C)=-z2 (D)z2=-z2翰林汇3、已知全集C={复数}，Q={有理数}，S={无理数}，R={实数}，P={虚数}，那么∪为( )(A)S (B)C (C)R (D)Q翰林汇4、已知M={1，2，m2-3m-1＋(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，M∩N＝{3}，则实数m为(A)-1或6 (B)-1或4 (C)-1 (D)4翰林5、若(m2-3m-4)＋(m2-5m-6)i是纯虚数，则实数m的值为 ( )(A)-1 (B)4 (C)-1或4 (D)不存在翰林汇6、设集合C={复数}，R={实数}，M={纯虚数}，其中C为全集，则 ( )(A)M∪R=C(B)R∪=C(C)M∩R={0}(D)C∩=M翰林汇7、在复平面内，与复数z=-1-i的共轭复数对应的点位于 ( )(A)第一象限 (B)第二角限(C)第三象限 (D)第四象限翰林汇8、如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(A)=C∩Ｉ(B)R∩I={0}(C)R∩I=?(D)C=R∪Ｉ翰林汇9、复数(i-)3的虚部是(A) -8 (B)-8i (C)8 (D) 0翰林汇10、设z为复数,且(z-1)2=|z-1|2那么z是 ( )(A)纯虚数(B)实数(C)虚数 (D)1翰林汇11、在复平面内，复数z满足1<|z|<2，则z所对应的点P的集合构成的图形是(A)圆 (B)直线 (C)线段 (D)圆环翰林汇试卷12、下列命题中正确的是 ( )(A)每个复数都有唯一的模和唯一的辐角主值(B)复数与复平面内的点是一一对应的(C)共轭虚数的n次方仍是共轭复数(D)任何两个复数都不能比较大小翰林汇13、设复数z=sin500-icos500则arg 等于(A)100 (B)800 (C)2600 (D)3500翰林汇14、已知π＜θ＜,复数z=|cosθ|+ i |sinθ|的辐角主值是 ( )(A)π－θ (B)π+θ(C)θ－π (D)θ翰林汇15、已知π＜θ＜,复数z=|cosθ|+ i |sinθ|的辐角主值是 ( )(A)π－θ (B)π+θ (C)θ－π (D)θ翰林汇16、设z为虚数,则z2一定是 ( )(A)非负实数或虚数 (B)负数或虚数(C)虚数(D)有可能是正数翰林汇17、下列命题正确的是 ( )(A)|z|＜1－1＜z＜1 (B)共轭复数的差一定是纯虚数(C)|z|=1 (D)共轭复数的辐角之和为零翰林汇18、复数z1=(a＋bi)n,z2=(a－bi)n(a,b R且b≠0,n N),则z1与z2的关系是 ( )(A)共轭复数 (B)共轭复数或相等实数(C)相等的实数 (D)以上都不对翰林汇19、设复数z1、z2,则z1=的一个必要不充分条件是(A)|z1－|=0 (B)=z2 (C)z1=z2 (D)|z1|=|z2|翰林汇20、复数z=2i-3的共轭复数是 ( )(A)-3＋2i (B)2i＋3 (C)-2i＋3 (D)-2i-3翰林汇二、填空题1、已知x，y是纯虚数，且满足(2x-1)＋i=y-(3-y)i，则x=___，y=___。
人教A版《复数的概念》PPT1
(1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．
新
知
(2)复数 i 的实部不存在，虚部为 0.
课 堂 小 结
( )提
素
( )养
·
合 作
(3)bi 是纯虚数．
( )课
探
时
究
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复
分 层
释
作
疑 难
数相等．
( )业
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
人教A版《复数的概念》PPT1
24
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
2．若复数 z＝a＋bi>0，则实数 a，b 满足什么条件？
提
新
素
知
养
合 作
[提示] 若复数 z＝a＋bi>0，则实数 a，b 满足 a>0，且 b＝0. 课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
人教A版《复数的概念》PPT1
返 首 页
·
人教A版《复数的概念》PPT1
·
人教A版《复数的概念》PPT1
7
·
情
课
境
堂
导
小
学
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ 结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
[提示]
究
时 分
层
释
作
疑
业
难
人教A版《复数的概念》PPT1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
烟雨迷蒙的三月间，春雨绵绵，濡湿了沉郁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ心情，沉沉的，却又空空的，于是便日日期盼春阳的抚摸，期盼春风的轻拂。