第三章 3.1.1函数的平均变化率

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①求:当x1=4,x2=5时,函数增量 y和平均变化率ΔyΔx; ②求:当x1=4,x2=4.1时,函数增量 y和平均变化率ΔyΔx. (2)求函数y=f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取 x都为13,哪一点附近的平均变化率 最大? 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 解 (1)因为f(x)=2x2+3x-5, 所以 y=f(x1+ x)-f(x1) =2(x1+ x)2+3(x1+ x)-5-(2x21+3x1-5) =2[( x)2+2x1 x]+3 x =2( x)2+(4x1+3) x. ΔyΔx=2Δx2+4x1+3ΔxΔx=2 x+4x1+3. ①当x1=4,x2=5时, x=1,
(1)在平均变化率的定义中,自变量x的增量 x>0.( × ) (2)对于函数f(x)在区间[x1,x2]内的平均变化率也可以表示为fx2-fx1x2-x1.( √ ) (3)ΔyΔx=fx0+Δx-fx0Δx是f(x)在区间[x0,x0+ x]( x>0)上的平均变化率,也可以 说是f(x)在x=x0处的变化率.( × )
A.1 B.-1 C.2 D.-2 考点 题点 答案 B 解析 ΔyΔx=1-33-1=-1.
3.在曲线y=f(x)=x2+2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2+ x,6+ y),则ΔyΔx为( )
A. x+1Δx+4
B. x-1Δx-4
C. x+4
D.4+ x-1Δx
考点
题点
答案 C
(2)当 t=0.1时,v=5×0.1+210=210.5(m/s). (3)当 t=0.01时,v=5×0.01+210=210.05(m/s).
1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 s2.1-s22.1-2=3+2×2.1-3+2×20.1=2. 2.如图,函数y=f(x)在1到3之间的平均变化率为( )
y=2( x)2+(4x1+3) x=2+19=21,ΔyΔx=21. ②当x1=4,x2=4.1时, x=0.1,
y=2( x)2+(4x1+3) x=0.02+1.9=1.92. ΔyΔx=2 x+4x1+3=19.2. (2)在x=1附近的平均变化率为 k1=f1+Δx-f1Δx=1+Δx2-1Δx=2+ x; 在x=2附近的平均变化率为k2=f2+Δx-f2Δx=2+Δx2-22Δx=4+ x; 在x=3附近的平均变化率为 k3=f3+Δx-f3Δx=3+Δx2-32Δx=6+ x. 当 x=13时,k1=2+13=73, k2=4+13=133,k3=6+13=193. 由于k1<k2<k3,所以在x=3附近的平均变化率最大. 类型二 求物体的平均速度 例2 一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,求该质点在t=1,2,3附近, t =13时,平均速度的值,并比较在哪一时刻附近的平均速度最大. 考点 题点 解 s(t)在t0到t0+ t之间的位移增量为s(t0+ t)-s(t0)=(t0+ t)2+1-(t20+1)=2t0 t+( t)2, ΔsΔt=2t0Δt+Δt2Δt=2t0+ t, 将t0=1,2,3, t=13分别代入上式得, 当t0=1时,平均速度ΔsΔt=73; 当t0=2时,平均速度ΔsΔt=133; 当t0=3时,平均速度ΔsΔt=193.
答案 观察图象可看出,ΔyΔx表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率. 梳理 (1)函数的平均变化率的定义 已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义,
Hale Waihona Puke 令 x=x-x0; y=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+ x)-f(x0). 则当 x≠0,比值fx0+Δx-fx0Δx=ΔyΔx叫做函数y=f(x)在x0到x0+ x之间的平均变 化率. (2)平均变化率的实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用:刻画函数在区间[x0,x0+ x]上变化的快慢. (4)几何意义:已知P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化 率ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1表示割线P1P2的斜率.
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
考点 平均变化率的概念
题点 平均变化率的应用
答案 B
解析 在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),
但是在t0- t处,W1(t0- t)<W2(t0- t),
即||W1t0-W1t0-ΔtΔt<||W2t0-W2t0-ΔtΔt,
所以在相同时间 t内,甲厂比乙厂的平均治污率小.
解析 ΔyΔx=f2+Δx-f2Δx=2+Δx2-4Δx= x+4.
4.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为28π3,则m的值
为________.
考点
题点
答案 2
解析 V=4π3m3-4π3×13=4π3(m3-1),
∴ΔVΔR=4π3m3-1m-1=28π3.
一、选择题 1.如果质点M按规律s=3+t2运动,则在时间[2,2.1]内的平均速度是( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B
解析 v=3+2.12-3+220.1=4.1.
2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )
平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________________.(用“<”连接)
考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用
答案 v1<v2<v3 解析 v1=kOA,v2=kAB,v3=kBC,
由图象知,kOA<kAB<kBC. 8.函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=________. 考点 平均变化率的概念
由上面的计算知,t=3附近的平均速度最大. 引申探究 若该质点在2到2+ t之间的平均速度不大于5,则 t( t>0)的取值范围是什么? 解 s(t)在t0到t0+ t之间的位移增量为s(t0+ t)-s(t0)=(t0+ t)2+1-(t20+1)=2t0 t+( t)2. ΔsΔt=2t0Δt+Δt2Δt=2t0+ t. 当t0=2时, 由题意,得4+ t≤5,得 t≤1. 又因为 t>0,故 t的取值范围是(0,1]. 反思与感悟 已知物体的运动方程,即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系,求其 在[t0,t0+ t]内的平均速度,根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0,t0+ t]内的平 均变化率.
∴ΔyΔx=4Δx+2Δx2Δx=4+2 x.
4.函数y=f(x)在x0到x0+ x之间的平均变化率fx0+Δx-fx0Δx中, x不可能( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.大于0或小于0
考点
题点
答案 C
5.函数y=f(x)=x2+x在x=1到x=1+ x之间的平均变化率为( )
题点 平均变化率的应用 答案 5 解析 函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是ΔyΔx=ft-f-2t--2=t2- t--22-2t+2=2, 即t2-t-6=2t+4,所以t2-3t-10=0, 解得t=5或t=-2(舍去). 所以当函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2时,t的值是5. 9.在曲线y=2x2+1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1+ x,3+ y),则ΔyΔx=________. 考点 题点 答案 2 x+4 解析 ΔyΔx=21+Δx2+1-3Δx=2 x+4. 10.已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S= r2,其中r∈(0,+∞),则当半径r ∈[1,1+ r]时,圆的面积S的平均变化率为________. 考点 题点 答案 2 + r 解析 当r∈[1,1+ r]时,圆的面积S的平均变化率为 ΔSΔr=π1+Δr2-πΔr=π+2π·Δr+Δr2π-πΔr=2 + r.
跟踪训练2 动点P沿x轴运动,运动方程为x=10t+5t2,式中t表示时间(单位:s),x表示距 离(单位:m),求在20≤t≤20+ t时间段内动点的平均速度,其中 (1) t=1;(2) t=0.1;(3) t=0.01. 考点 题点 解 动点在20≤t≤20+ t时间段内的平均速度为 v=1020+Δt+520+Δt2-10×20-5×202Δt =210Δt+5Δt2Δt=5 t+210, (1)当 t=1时,v=5×1+210=215(m/s).
类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数y=f(x)=3x2+5,求f(x): (1)在0.1到0.2之间的平均变化率; (2)在x0到x0+ x之间的平均变化率. 考点 题点 解 (1)因为f(x)=3x2+5, 所以在0.1到0.2之间的平均变化率为f0.2-f0.10.2-0.1=3×0.22+5-3×0.12-50.2- 0.1=0.9. (2) y=f(x0+ x)-f(x0) =3(x0+ x)2+5-(3x20+5) =3x20+6x0 x+3( x)2+5-3x20-5 =6x0 x+3( x)2, 函数y=f(x)在x0到x0+ x之间的平均变化率为 ΔyΔx=6x0Δx+3Δx2Δx=6x0+3 x. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量 y=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量 x=x2-x1. (3)得平均变化率ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1. 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)=2x2+3x-5.
§3.1 导 数
3.1.1 函数的平均变化率
学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
知识点 函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示的平面直角坐标系.A是出发点,H是山 顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标 为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2). 思考1 若旅游者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少? 答案 自变量x的改变量为x2-x1,记作 x,函数值y的改变量为y2-y1,记作 y. 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度? 答案 对山路AB来说,用ΔyΔx=y2-y1x2-x1可近似地刻画其陡峭程度. 思考3 观察函数y=f(x)的图象,平均变化率ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1表示什么?
B.k1>k2 D.无法确定
考点
题点
答案 D
解析 k1=fx0+Δx-fx0Δx=2x0+ x,
k2=fx0-fx0-ΔxΔx=2x0- x.
又因为 x可正可负且不为0,
所以k1,k2的大小关系不确定. 二、填空题
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的
∴m2+m+1=7,
∴m=2或m=-3(舍).
理解平均变化率要注意以下几点: (1)平均变化率fx2-fx1x2-x1表示点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))连线的斜率,是曲线陡峭程 度的“数量化”. (2)为求点x0附近的平均变化率,上述表达式常写为fx0+Δx-fx0Δx的形式. (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量 x取值越小,越能准确 体现函数的变化情况.
A. x+2
B.2 x+( x)2
C. x+3
D.3 x+( x)2
考点
题点
答案 C
解析 ΔyΔx=f1+Δx-f1Δx
=1+Δx2+1+Δx-12+1Δx= x+3.
6.函数f(x)=x2在x0到x0+ x之间的平均变化率为k1,在x0- x到x0之间的平均变化率为k2,
则k1,k2的大小关系是( ) A.k1<k2 C.k1=k2
所以乙厂的治污效果较好.
3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及附近一点(1+ x,f(1+ x)),则ΔyΔx等于(
)
A.4 C.4+2( x)2
B.4+2 x D.4x
考点
题点
答案 B
解析 y=f(1+ x)-f(1)=[2(1+ x)2-1]-1=4 x+2( x)2,
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