2018版高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参数方程练习新人教A版选修4_4

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高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、圆的参数方程

＝4，
圆心坐标为(2,1)，圆的半径为 2，
由直线与圆相切，则有|2aa2＋＋11|＝2，解得 a＝34. 答案：34
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题型三圆的参数方程的应用已知圆的极坐标方程为 ρ2－4 2ρcosθ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
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题型二圆的参数方程点 M 在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O 为原点，x 轴的
正半轴绕原点旋转到 OM 形成的角为 φ，以 φ 为参数，求圆的参数方程．
【思路探索】画出示意图，找出圆上的点 M 与参数 φ 之间的关系，然后写出参数方程．
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2．圆的参数方程
x＝rcos θ，
x2＋y2＝r2 的参数方程为__y_＝__r_s_in__θ___ (θ 为参数)．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的参数方程为yx＝＝__ba__＋＋____rr__sc__ion__s__θθ__， (θ 为参
数)．
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解：yx＝＝1＋3＋cossinθ，θ (θ 为参数)化为普通方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝1，它表示以 C(1， 3)为圆心，以 1 为半径的圆，设 P 为圆上的任意一点，
θ， 2θ＝2cos2θ
(θ 为参数，
θ∈R)，消去参数 θ，得 x2＝4y，∴其焦点 F(0,1)，
∵A(1,0)，∴|AF|＝ 2.
答案： 2
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5．设方程yx＝＝1＋3＋cossinθ，θ (θ 为参数)表示的曲线为 C.求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最值．

参数方程的概念及圆的参数方程

x a r cos 所以 y b r sin
-5
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
(x a)2 ( y b)2 r 2
x a r cos
y
b
r
sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。
小结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
x 100 t 1、{y h 1 gt2 (t为参数，表示时间 )
2
2、设经过时间t，动点的位置是M (x, y),则
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以
看作由圆心为原点O、半径为r的圆 5
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
(a,b)
O1
P(x,y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的, 由平移公式, 有
v(a,b)
r P1(x1, y1)
x x1又
xy11
r r
cos sin
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
已知曲线C的参数方程是
x
y
3t 2t
2
1
(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，

参数方程的概念、圆的参数方程

的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y
之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一
参数方程的表示与应用
x 1 2t，【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参 2 y at ，
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一点)位置时转过的角度.
【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系并不一定是函数关系.
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间

高中数学第二讲参数方程 2-1-1 参数方程的概念与圆的参数方程课件新人教A版选修4-4

5．(高考真题·安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度
x＝t＋1，单位．已知直线l的参数方程是 y＝t－3 (t为参数)，圆C的极坐
标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. 14
B．2 14
C. 2
D．2 2
答案 D 解析由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x －2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝ 2 ，故弦长＝2 r2－d2 ＝ 2 2.
题型二直线的参数方程
例2 (高考真题·湖南)极坐标ρ＝cosθ和参数方程
x＝－1－t， y＝2＋t (t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
【解析】极坐标方程ρ＝cosθ化为普通方程为x2＋y2＝
x，x2＋y2＝x为圆的方程，参数方程
x＝－1－t， y＝2＋t
【解析】 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，
由于炸弹作平抛运动，依题意，得 xy＝＝120000t0，－12gt2，即xy＝＝120000t0，－5t2. 令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)．所以飞机投弹t s后炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m)．
化为普通方程
为x＋y－1＝0，x＋y－1＝0为直线的方程，故选D.

课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程

为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程．【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．

高中数学课件-2 1 曲线的参数方程 p

(3)注意参数方程与普通方程互化时其方程的等价性.它与参数的选取,参数的取值范围,以及x,y的取值范围有密切的关系.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一化参数方程为普通方程
例1 将下列参数方程化为普通方程:
(1)xy＝＝t2＋t3t＋－t111
;
x＝cos2θ－1 (2)y＝sin θ＋1
(θ 为参数);
【解】 (1)法一:由 x＝2tt＋－11解得 t＝x2＋－1x(x≠2). 代入 y＝t＋3t1化简得: x－y＋1＝0(x≠2).
距离.
解:化参数方程为普通方程为 x2－y2＝4.
设 P(t＋1t,t－1t),则点 P 到直线 2x－y＋1＝0 的距离 d＝|t＋3t ＋1|.
5
(1)当 t>0 时,d≥2
3＋1 .
5
(2)当 t<0 时,∵－t－3t ≥2 3,∴t＋3t ＋1≤－2 3＋1.
∴|t＋3t ＋1|≥2
3－1,∴d≥2
【解析】由题意,得
2 y0
t，t 2所1以， y0=22-1=3.
答案：3
题型二化普通方程为参数方程
例2 已知实数 x、y 满足 x2＋y2＋2x－2 3y＝0, (1)求 x2＋y2 的最大值;
(2)求 x＋y 的最小值.
【解】原方程配方得:(x＋1)2＋(y－ 3)2＝4,它表示以(－ 1, 3)为圆心,2 为半径的圆,
d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0＜α＜2π).
当 α＝π 时,d＝0,故 M 的轨迹过坐标原点.
变式训练
4.求函数 f(θ)＝csionsθθ－－12的最大值和最小值.
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝

2 第2讲参数方程

第2讲参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化． (4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，求它们的交点坐标．解：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l 的普通方程是x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0，标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为|2－4|2＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.参数方程与普通方程的互化[典例引领]已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y 2＝2－x . 即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2]．参数方程的应用[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解】 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2018·广东惠州模拟)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，l 与C 分别交于点M ，N .(1)写出C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)；直线l 的普通方程为x －y －2＝0.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.(*) 由题意知Δ＝8a (4＋a )>0，又a >0，所以4＋a >0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1，t 2恰为方程(*)的根．易知|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|，由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|.又由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )>0，则有(4＋a )2－5(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4. 因为a >0，所以a ＝1.极坐标方程与参数方程的综合问题[典例引领](2018·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0. 解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2018·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1，0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0，即x 2－4y ＝0. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)因为点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，所以点M 的直角坐标为(0，1)．所以tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. 因为Q 为线段AB 的中点，所以点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1，0)，则|PQ |＝|t 1＋t 22|＝3 2.直线参数方程的应用已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.[注意] 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．圆的参数方程的应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．[注意] 把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．圆与椭圆参数方程的异同1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小．解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32，故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程．解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8；可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2018·惠州市第三次调研考试)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos αt 1t 2＝－3. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，所以4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.4．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0. 曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1.圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离d ＝|52|2＝5>1，所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(2)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角) 则x ＋y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 因为0≤θ<2π，所以x ＋y ∈[－2，2]．5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )． (1)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标；(2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点，求△PMN 面积的最大值．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.直线l 的直角坐标方程为y ＝x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2－2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点M ，N 的极坐标分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (2)由(1)易得|MN |＝ 2.因为P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点，设P 点坐标为(3cos θ1，sin θ1)．则P 到直线y ＝x 的距离d ＝|3cos θ1－sin θ1|2，所以S △PMN ＝12|MN |d ＝12×2×|3cos θ1－sin θ1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ1＋π62≤1，当θ1＝k π－π6，k ∈Z 时，S △PMN 取得最大值1.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ－sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·安徽省两校阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2. 所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2.所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 3．(2018·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t ，所以其普通方程为x －y －a ＋1＝0. 因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t y ＝1＋2t，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0. Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2t 1·t 2＝1－4a 2.根据参数方程的几何意义可知|P A |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|，又|P A |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136>0，符合题意．当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94>0，符合题意．1 36或9 4.综上所述，实数a的值为。

高二数学选修4-4：第二讲一曲线的参数方程 1.参数方程的概念

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求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1. 答案：1
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2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a. 解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t，解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
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参数方程参数方程的概念与圆的参数方程

参数方程参数方程的概念与圆的参数方程参数方程概念：圆的参数方程：圆是一个平面上距离中心点相等的一组点的集合，通常用半径来定义。

圆的参数方程是一种描述圆上各点位置的方程。

通常，圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。

以坐标系的原点为圆心，半径为r的圆的参数方程可表示为：x = r * cosθy = r * sinθ其中，θ是参数，表示从x轴正半轴逆时针旋转的角度。

圆的参数方程的主要优点是，以参数形式给出圆上各点的坐标，可以方便地对圆进行求导和积分操作，从而进行更复杂的几何分析。

圆的参数方程可用于描述其他几何图形，如椭圆、双曲线等，通过调整参数可以得到不同形状的图形。

例如，调整θ的取值范围可以得到一个圆弧，调整半径r的大小可以得到不同大小的圆。

参数方程的应用：参数方程广泛应用于物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域。

在物理学中，参数方程经常用于描述物体的运动轨迹，如自由落体、圆周运动等。

在计算机图形学中，参数方程可以用于绘制各种曲线、曲面和图形，如贝塞尔曲线、球面、立方体等。

在计算机辅助设计中，参数方程可以用于描述复杂曲线或曲面的形状，方便进行设计和分析。

总结：参数方程是描述一个曲线、曲面或空间中其中一点在不同参数取值下的坐标的方程。

圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。

参数方程的优点是可以方便地进行几何分析和操作。

参数方程在物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域有广泛的应用。

参数方程是一种重要的数学工具，对于深入理解和研究曲线、曲面等几何对象非常有帮助。

高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化

所以 y＝1±sin θ.
不妨取 y ＝ 1 ＋ sin θ ，则所求的参数方程为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t，把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0，因此 P 在曲线 C 上．把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t，这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验，并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．

高中数学第二节参数方程ppt课件

2．参数方程与普通方程的互化通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1，即 C 的普通方程为x92＋y2＝1，由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2，所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及其参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin

高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4

圆，则圆心 (1 ， 3 ) 到直线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的距离为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值．解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)．设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)，则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．

参数方程概念及圆的参数方程

参数方程是一种描述曲线上点坐标与参数之间关系的方程。在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，那么这样的方程就叫做这条曲线的参数方程。圆作为一种特殊的曲线，也可以用参数方程来描述。当圆心在原点时，圆的参数方程为x=rcosθ，y=rsinθ，其中r为半径，θ为参数，表示点绕圆心旋转的角度。若圆心不在原点，而是在点(x0,y0)+rsinθ。这些参数方程不仅描述了圆上点的坐标与参数之间的关系，还反映了圆的几何性质。通过参数方程，我们可以方便地研究圆上的点的运动轨迹、速度、加速度等性质。此外，参数方程还可以应用于解决与圆相关的实际问题，如平抛物体的运动轨迹、飞机投放物资的落点预测等。因此，学习和掌握圆坐标式参数方程对于深入理解圆的性质和应用具有重要意义。

参数方程的概念、圆的参数方程课件

联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)，点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个．【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ，即xy＝＝aassiinnθθ＋＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．

高中数学第二讲曲线的参数方程2圆的参数方程课件新人教A版选修4-4

3．求原点到曲线 C：xy＝＝－3＋2＋2si2ncoθs，θ (θ 为参数)的最短距离．解：原点到曲线 C 的距离为：
x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2
＝ 17＋43sin θ－2cos θ
＝
17＋4
13
3 13sin
θ－
2 13cos
θ
＝ 17＋4 13sinθ＋φ ≥ 17－4 13 ＝ 13－22 ＝数方程
圆的参数方程
(1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
角函数定义，有 cos ωt＝
x r
，sin ωt＝
y r
，即圆心在原点
O，
x＝rcosωt，半径为 r 的圆的参数方程为 y＝rsinωt (t 为参数)．其中参数 t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．
(φ 为参数)
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为 x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则参数方程为xy＝＝s1i＋n θc.os θ， (θ 为参数,0≤θ＜2π)．
13－2.
∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
求圆的参数方程
[例 1] 圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点 M 在圆上，O 为原点，以∠MOx＝φ 为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成

高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参数方程课件新人教A版选修4_4

一曲线的参数方程 1 参数方程的概念
2 圆的参数方程
[学习目标]
1.理解曲线参数方程的有关概念. 2.掌握圆的参数方程. 3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.
[知识链接]
曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示联系x，y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.
(2)对于曲线 C 的参数方程xy＝＝fg（（tt）），(t 为参数)，若点 M(x1，y1)
在曲线上，则xy11＝＝fg（（tt）），对应的参数 t 有解，否则参数 t 不存在.
跟踪演练 1
已知曲线 C
的参数方程为yx＝＝32scions
θ θ
， (θ 为参数，
0≤θ ＜2π ).判断点 A(2，0)，B－
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为 0 s，在时刻 t s 时其坐标为 M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，
1.下列方程：(1)xy＝＝mm，(m 为参数)；(2)yx＝＝nm，(m，n 为参数)；
(3)xy＝＝12，；(4)x＋y＝0 中，参数方程的个数为(
)
A.1
B.2 C.3
D.4
解析由参数方程的概念知xy＝＝mm是参数方程，故选 A. 答案 A
2.当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )

2018-2019学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程讲义含解析新人教A版选修

2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[例1] (1)在y 轴左侧的半圆(不包括y 轴上的点)； (2)在第四象限的圆弧．[解] (1)由题意，圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ∈[0,2π))，在y 轴左侧半圆上点的横坐标小于零，即x ＝r cos θ<0，所以有π2<θ<3π2，故其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ>0，y ＝r sin θ<0，解得3π2<θ<2π.故在第四象限的圆弧的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π.(1)确定圆的参数方程，必须仔细阅读题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题易忽视θ的范围而致误．(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程．解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，12为半径的圆.圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)， ∴－25≤2x ＋y ≤25，即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.故实数a 的取值范围为[1－2，1＋2]．一、选择题1．已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．已知圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选B 圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化成普通方程为(x ＋1)2＋y2＝2，圆心(－1,0)到直线y ＝x ＋3的距离d ＝|－1＋3|2＝2，故选B.3．若直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限解析：选B 根据题意，若直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，则有a <0，b <0.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)，圆心坐标为(a ，b )，又由a <0，b <0，得该圆的圆心在第三象限，故选B.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34，所以其最大值为36.二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________．解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)令2cos θ＝1，得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)，(1，－3)6．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：根据题意，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，表示圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1的圆，而直线的方程为x ＋y －1＝0，易知圆心在直线上，则AB 为圆的直径，故|AB |＝2r ＝2.答案：27．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，则直线l 与圆C 相交所得的弦长为________．解析：直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1，展开可得32ρsin θ＋12ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，可得圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－3－2|12＋(3)2＝32. ∴直线l 与圆C 相交所得弦长＝2r 2－d 2＝2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7. 答案：7 三、解答题8．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t (t 为参数，0≤t ≤π)化为普通方程，并说明方程表示的曲线．解：因为0≤t ≤π，所以－3≤x ≤5，－2≤y ≤2.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t ，所以(x －1)2＋(y＋2)2＝16cos 2t ＋16sin 2t ＝16，所以曲线的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝16(－3≤x ≤5，－2≤y ≤2)．它表示的曲线是以点(1，－2)为圆心，4为半径的上半圆．9．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 10．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．解：(1)O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，由(1)知圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝± 2.。

2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第二讲参数

参数方程和普通方程的互化平摆线、渐开线 2课时 2课时
§1 参数方程的概念
1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数 t
x＝f（t），的函数 ① y ＝ g （ t ），
并且对于 t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点 P(x， y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的
＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化
参数方程和__________ 普通方程是曲线方程的不同形式. (1)曲线的__________ ，y的取值范围 (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x _____________ 保持一致.
翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车
门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【学习计划】
内容参数方程的概念直线和圆锥曲线的参数方程参数方程化成普通方程平摆线和渐开线学习重点参数方程的概念直线的参数，圆的参数方程，椭圆的参数方程，双 5课时建议学习时间
1课时
曲线的参数方程
1 3 － 2 tan θd， x＝ 2 π π － <θ<2. ∴点 P 的参数方程为 3 1 2 y＝＋ tan θd 2 2
题型二
参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即
可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长

参数方程的概念圆的参数方程ppt课件

3，32 是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参
数的值．
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【解】
把点A(2,0)的坐标代入yx＝＝32scions
θ， θ，
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.
同理，把B－
3，32代入参数方程，得
－ 3＝2cos θ， 32＝3sin θ，
[小组合作型]
已知曲线C的参数方程是
x＝1＋2t y＝at2
(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)
在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
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【思路探究】 (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y，消去参数t，求a即可；
(θ为参数)
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圆的参数方程为：yx＝＝22s＋in2θcos θ (θ为参数)，则圆的圆心坐标为(
)
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
【解析】圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，故圆心坐标为(2,0)．
【答案】 D
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参数方程的概念
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
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【自主解答】
(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
x＝1＋2t， y＝at2，