2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标19同角三角函数的基本关系与诱导公式201805072191

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2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练1．[xx·洛阳模拟]下列各数中与sinxx°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32答案 C解析 xx°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sinxx°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3 答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．[xx·华师附中月考]已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13答案 C解析 ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )A.13 B ．－13C ．－223D.223答案 B解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.选B. 6．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1的值为( ) A ．0 B.95 C.43 D.53答案 B解析 sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B. 7．[xx·福建泉州模拟]已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a <0)，则cos ()540°－α的值是________．答案 35解析 c os(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α.因为a <0，所以r ＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.9．[xx·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.答案－125解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.10．[xx·淮北模拟]sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ( －π－π3 )＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 1．[xx·湖北荆州联考]若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．选B.2．[xx·新乡模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θcos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 ∵sin θcos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.3．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos2＋α＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan 945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．[xx·南京检测]已知f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝sin αcos α－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)因为α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，sin α＝－15.所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝－cos α＝265.2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(xx湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(xx课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(xx山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(xx重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(xx四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p 为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组xx模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ ;④p且q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是. 答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(xx江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)5.(xx江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(xx江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组xx模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(xx江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(xx江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(xx江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(xx江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组xx模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p 或q”“ ”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ”是假命题;③命题“ ∨q”是真命题;④命题“ ∧ ”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(xx江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,sin x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(xx江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为－5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为－3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝－1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝－1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为α为钝角，所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝－125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式习题课件理

5．(2017·郑州期末) 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°的值为 ()
12 A.2 B. 2 C. 2 D. 3 解析 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°＝
2 cos1s0in°－40s°i·n120c°o＋s4s0i°n10°＝ 2cossi1n08°0°＝ 22.故选 B.
8．cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos290°＝( ) A．90 B．45 C．44.5 D．44
解析原式＝ (cos21°＋ cos289°) ＋ (cos22°＋ cos288°)
＋…＋(cos244°＋cos246°)＋cos245°＋cos290°
＝ (cos21°＋ sin21°) ＋ (cos22°＋ sin22°) ＋ … ＋ (cos244°＋
10．已知 3cos2α＋4sinαcosα＋1＝0，则sinsi2nα4－α－sincoαsc4oαsα ＝( )
A．－2 B．2 C．－12 D.12
解析 ∵3cos2α＋4sinαcosα＋1＝0，
∴4cos2α＋4sinαcosα＋sin2α＝0，
∴(sinα＋2cosα)2＝0，∴tanα＝－2.
4．(2017·化德县校级期末)设 cos(－80°)＝m，那么
tan100°等于( )
1－m2 A. m
B．－
1－m2 m
m C. 1－m2
D．－
m 1－m2
解析 ∵cos(－80°)＝m， ∴cos80°＝m，sin80°＝ 1－cos280°＝ 1－m2. ∴tan100°＝－tan80°＝－ 1－m m2.故选 B.
sin4α－cos4α sinαsinα－cosα

2019届高考数学(文)大一轮：第3章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值．解：(1)原式＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二三角函数式求值考向1 给值求值【例2】已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值．解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值．解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三三角恒等变换的综合应用【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0，解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷．策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°，所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围．【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)，所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1，所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1，解得－12≤p≤12. 【点评】题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【解】解法1(先化简后求值)：原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数学案文(含解

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案－5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。

全国近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练(20

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第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标］1．［2018·洛阳模拟]下列各数中与sin2019°的值最接近的是（）A。

错误!B。

错误!C．－错误!D．－错误!答案C解析2019°＝5×360°＋180°＋39°，∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.2．已知sin（π＋θ)＝－错误!cos(2π－θ）,|θ｜＜错误!，则θ等于( )A．－错误!B．－错误!C.错误!D。

错误!答案D解析∵si n(π＋θ)＝－错误!cos（2π－θ）,∴－sinθ＝－错误!cosθ,∴tanθ＝错误!.∵｜θ|＜错误!，∴θ＝错误!。

3．[2018·华师附中月考]已知tan(α－π）＝错误!，且α∈错误!，则sin错误!＝（）A。

错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!答案B解析tan（α－π)＝错误!⇒tanα＝错误!。

又因为α∈错误!，所以α为第三象限的角，所以sin错误!＝cosα＝－错误!.4．已知f（α）＝错误!，则f错误!的值为( )A.错误!B．－错误!C．－错误!D。

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

2019届高三数学一轮复习三角函数与解三角形：第二讲同角三角函数含解析精品

第二讲同角三角函数【基础扫描】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠k π＋π2（k ∈Z ）. 【知识运用】考点一：利用同角三角函数求值【例1】(1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【变1】1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213 B ．－513 C.513 D.2132．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.35 3．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．考点二：弦的齐次问题【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．① 4sin α－cos α3sin α＋5cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③34sin 2a ＋12cos 2α.【变2】1．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.2.已知tan α＝2，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值．考点三： sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用【例3】已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．【变3】1．(1)若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝________． (2)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α＝________．2．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 3.．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．【强化练习】一、单选题1．设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1sin 3θ=，则cos θ=（） A. 3 B. 232．已知错误！未找到引用源。

2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝得 2sin
2 α cos α＝－，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝

2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.5三

答案： 3
3
考点疑难突破
三角函数公式的应用
[典例导引] 3 π (1)已知 cosα＝－，α 是第三象限角，则 cos ＋α 为( 5 4 2 A. 10 7 2 C. 10 2 B．－ 10 7 2 D．－ 10 )
(2)(2017 届河北名师俱乐部模拟 )已知 2cos2θ－1 π ＝( ＋ θ cos 4 2 A. 3 3 C. 4 )
解析：cos33° cos87° ＋sin33° cos177° ＝cos33° cos87° －sin33° sin87° ＝cos(87° ＋33° )＝cos120° 1 ＝－ . 2 故选 B.
答案：B
α 3 2．若 sin ＝，则 cosα 等于( 2 3 2 A．－ 3 1 C. 3
(3)两角和与差的正切公式
tanα＋tanβ π 1－tanαtanβ α，β，α＋β≠ ＋kπ，k∈Z， tan(α＋β)＝______________ 2 tanα－tanβ π 1＋tanαtanβ α，β，α－β≠ ＋kπ，k∈Z tan(α－β)＝______________ . 2
式的化简余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正 5 年 17 考二倍角公式进行三
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦公式 cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ (2)两角和与差的正弦公式 sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ ， . ， .
π θ ∈0，4 ，且

2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

解析
3 (1)错误．sin 120° ＝sin(180° －60° )＝sin 60° ＝2，
1 cos 120° ＝cos(180° －60° )＝－cos 60° ＝－2. sin α π (2)错误．在tan α＝cos α中α≠kπ＋2，k∈Z. (3)错误．对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式 π α≠2＋kπ，k∈Z. (4)正确．诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.
2．三角函数的诱导公式 cos α，公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝____________ tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. －sin α ，cos(π＋α)＝____________ －cos α 公式二：sin(π＋α)＝____________ ， tan α tan(π＋α)＝____________. cos α ，－sin α ，cos(－α)＝____________ 公式三：sin(－α)＝____________ tan(－α)＝____________. －tan α －cos， α 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝____________ tan(π－α)＝－tan α.
解析
5 B．－3 5 D．3
sin α－cos α tan α－1 2－1 1 ＝＝＝ . sin α＋cos α tan α＋1 2＋1 3
1 2 4．(2016·四川卷)sin 750°＝_________.
1 解析 sin 750° ＝sin(720° ＋30° )＝sin 30° ＝2.
(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次

2019版高考数学总复习第三章三角函数解三角形19函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模

课时作业19 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用一、选择题1．(2018·四川自贡一诊)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π24，k π＋7π24(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π24，k π＋19π24(k ∈Z ) 解析：(整体代入法)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期T ＝π，所以T 4＝π4，则函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4后所得图象的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )，故选A.答案：A2．(2018·武汉调研)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14]D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14] 解析：本题考查正弦函数的图象与性质．由图知A ＝10，b ＝20，T ＝2(14－6)＝16，所以ω＝2πT ＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，把点(10,20)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则φ可以取3π4，所以这段曲线的函数解析式可以为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]，故选A.答案：A3．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －4π3的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需要平移⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＝π4个单位长度，又π4>0，所以应向左平移，故选A.答案：A4．直线x ＝π3，x ＝π2都是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的对称轴，且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则( ) A ．ω＝6，φ＝π2 B ．ω＝6，φ＝－π2C ．ω＝3，φ＝π2D ．ω＝3，φ＝－π2解析：因为x ＝π3，x ＝π2均为函数的对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减．所以T 2＝π2－π3＝π6，所以T ＝π3，由T ＝π3＝2πω，得ω＝6，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，代入函数可得sin φ＝1，又φ∈(－π，π]，所以φ＝π2.答案：A5．(2018·福建福州一中1月模拟，6)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2sin2x ，故把f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D. 答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω＝________.解析：∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω>0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.答案：27．先将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：先将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π4＝sin π3＝32.答案：328．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：2 三、解答题9．(2018·郴州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象； (2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解析：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 列表如下：2x ＋π3π3 π2 π 3π2 2π 7π3 x 0 π12 π3 7π12 5π6 π f (x )321－132y ＝f (x )在[0，π]上的图象如图所示．(2)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．10．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－23cos 2x2＋ 3.(1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在[0，π]上的值域．解析：(1)f (x )＝1＋sin x －3cos x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z ，由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6，k ∈Z .(2)x ∈[0，π]，则x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－3，2]，f (x )在[0，π]上的值域为[1－3，3]．[能力挑战]11．(2017·新课标全国卷Ⅰ，文科)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )ABCD解析：令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵ f (1)＝sin 21－cos1>0，f (π)＝sin 2π1－cosπ＝0，∴ 排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵ f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴ f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴ 排除选项B.故选C. 答案：C12．(2018·深圳调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为( )A ．0B ．1 C. 2 D. 3解析：本题考查三角函数的图象与性质．由题可得周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π12＝π，则ω＝2πT ＝2，那么f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，可得φ的一个值为π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则其对称轴为2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝12k π＋π6，k ∈Z ，而f (x 1)＝f (x 2)，则有x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋π6＝k π＋π3，k ∈Z ，故f (x 1＋x 2)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＋π6＝2sin 5π6＝1，故选B. 答案：B13．(2018·广州市综合测试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增．答案：D。

2019届高考数学一轮复习第3单元三角函数解三角形听课学案理

第三单元三角函数、解三角形第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= .2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式:角α的弧度数的绝对|α|=(弧长用l表示)值角度与弧度的换算①1°= rad,②1 rad=°弧长公式弧长l=扇形面积公式S=lr=|α|r23.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的、和.图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=-x(x<0)上的角的集合是.2.[教材改编](1)67°30'= rad;(2)=°.3.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=.题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在△ABC中,若sin A=,则A= .6.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是.7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则-= .8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为cm2.课堂考点探究探究点一角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=x x=·180°+45°,k∈Z,N=x x=·180°+45°,k∈Z,那么()A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是.图3-16-2[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限.式题 (1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.(2)若角α的终边在x轴的上方,则是第象限角.探究点二扇形的弧长、面积公式2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是.(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A. B. C.-D.-(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为.探究点三三角函数的定义考向1三角函数定义的应用3 (1)[2017·西安一模]函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图像过定点P,且角α的终边过点P,则sin α+cos α的值为()A.B.C.D.(2)[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定4 (1)使lg(sin θ·cos θ)+有意义的θ为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=-x上,则+= .[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用5 函数f(x)=+ln sin x-的定义域为.[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练1.【考向1】点P从点,-出发,沿单位圆按逆时针方向运动后到达Q点,若α的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sin α=()A.1B.-1C.D.-2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若cos α>sin α,则实数a的取值范围是.3.【考向3】满足cos α≤-的角α的集合为.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinαsinαcosαcosα余弦cosαcosαsinα正切tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(kπ+α)=(-1)k sin α.2.在△ABC中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sin =cos ,cos =sin .题组一常识题1.[教材改编]已知cos α=,且α是第四象限角,则sin α的值为.2.[教材改编]已知=-5,那么tan α的值为.3.[教材改编]已知sin α=,则cos= .4.[教材改编]求值:sin(-1200°)·cos 1290°= .题组二常错题◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知△ABC中,=-,则cos A等于.6.已知cosπ+α=-,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)= .7.已知=5,则sin2α-sin αcos α=.8.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是.课堂考点探究探究点一三角函数的诱导公式1 (1)已知f(α)=,则f= ()A.B.C.D.-(2)[2017·邢台一中月考]已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是()A.B.C.-D.-[总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式题 (1)[2017·龙岩六校联考] sin 300°+tan 600°的值是()A.-B.C.-+D.+(2)若sin-α=,则cos+α= .探究点二同角三角函数的基本关系考向1切弦互化2 (1)[2017·亳州三模]已知x∈,π,tan x=-,则cos-x-等于()A.B.-C.-D.(2)[2017·江西重点中学一联]设0<α<π,且sinα+=,则tanα+的值是()A.B.-C.D.-[总结反思] 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系tan α=和平方关系1=sin2α+cos2α.考向2“1”的变换3 (1)[2017·常德一中期中]已知tan x=2,则2sin2x-sin x cos x+cos2x的值为.(2)[2017·桂林模拟]已知sin x-cos x=,x∈0,,则tan x= .[总结反思] 对于含有sin2x,cos2x,sin x cos x的三角函数求值题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子,从而求解.考向3和积转换4 若sin α+cos α=-,0<α<π,则sin+α·cos-α的值为.[总结反思] 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α可以达到转换、知一求二的目的.强化演练1.【考向1】已知cos x+sin x=,x∈(0,π),则tan x等于()A.-B.-C.2D.-22.【考向2】若tan α=2,则4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=.3.【考向3】若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.第18讲三角函数的图像与性质课前双击巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)函数y=sin x y=cos x y=tan x图像定义域R Rx x∈R,且x≠kπ+,k∈Z值域周期性2π2ππ奇偶性奇函数单调性2kπ-,2kπ+上为增函数;上为减函数[2kπ,2kπ+π]上为减函数;上为增函数kπ-,kπ+上为增函数对称中心kπ+,0,0对称轴x=kπ+无常用结论1.函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx的形式,偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.[教材改编]若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.[教材改编]函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.[教材改编]函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cos x)的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.设sin x+sin y=,则M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值分别为.课堂考点探究探究点一三角函数的定义域1 (1)函数f(x)=+tan x+的定义域是.(2)函数y=lg(sin x)+的定义域为.[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组), 借助三角函数线或三角函数图像来求解.式题 (1)函数y=的定义域为.(2)函数f(x)=-2tan2x+的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值2 (1)函数y=2sin-(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ()A.2-B.0C.-1D.-1-(2)函数y=cos 2x+2cos x的值域是()A.[-1,3]B.C.D.[总结反思] 常见三角函数值域(最值)问题的求解方法:①形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数,化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=a sin x cos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).式题 (1)函数y=|sin x|+sin x的值域为()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2](2)函数y=cos x-sin x+4sin x cos x的最大值是.探究点三三角函数的性质考向1三角函数的周期性3 (1)[2017·淮北一中期中]函数f(x)=sin3x+的最小正周期是.(2)下列函数中,周期为的偶函数为 ()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tan 2xD.y=sin-4x[总结反思] 对于函数y=A sin(ωx+φ)+k或y=A cos(ωx+φ)+k,其最小正周期T=.考向2三角函数的对称性4 (1)函数y=2sin2x+的图像()A.关于原点对称B.关于点-,0对称C.关于y轴对称D.关于直线x=对称(2)[2017·潍坊三模]若直线x=π和x=π是函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)图像的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()A.B.C. D.[总结反思] (1)对于函数y=A sin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻两条对称轴分别为x=a与x=b,则周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),(b,0),则周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T=4|b-a|.考向3三角函数的单调性5 (1)[2017·衡阳八中期中]在下列给出的函数中,以π为周期且在0,上是减函数的是()A.y=cosB.y=cos(-2x)C.y=sinD.y=tan(2)已知ω>0,函数f(x)=cosωx-在,π上单调递减,则ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2][总结反思] (1)形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2】[2017·三明质检]已知函数f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)|φ|<的图像关于直线x=π对称,则cos 2φ=()A.-B.-C.D.2.【考向1】函数f(x)=2cos2x--1是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数3.【考向2】如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称, 那么|φ|的最小值为()A. B.C. D.4.【考向3】函数f(x)=sin-2x+的单调递减区间为.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f==2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=A sin(ωx+φ) 0 A0 -A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos 在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m= .8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1 (1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.式题 (1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)= .图3-19-4[总结反思] 利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3 (1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 [2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2 m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P0)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思] (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)= .(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)= .常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=,cos2α=.3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).题组一常识题1.[教材改编] sin 75°的值为.2.[教材改编]已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是.3.[教材改编] cos 65°cos115°-cos 25°·sin 115°= .4.[教材改编]已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题◆索引:忽略角的范围,用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是.6.化简:sin x-cos x= .7.计算:= .8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为.课堂考点探究探究点一两角和与差的三角函数公式1 (1)若sin(α+β)=2sin(α-β)=,则sin αcos β的值为()A.B.-C.D.-(2)[2017·惠州模拟]已知α∈0,,cosα+=-,则cos α=.[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.式题 (1)[2017·德州二模]已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=()A.B.C. D.(2)[2017·肇庆二模]已知tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= .探究点二两角和与差公式的逆用与变形2 (1)[2017·常德一中期中]已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)= .(2)[2017·长沙三模]已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为.[总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tanβ=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) a sin α+b cos α=sin(α+φ)tan φ=.式题 (1)[2017·淮北一中期中] sin 42°cos18°-cos 138°cos72°= . (2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= .探究点三角的变换问题3 (1)[2017·宜春四校联考]已知tan(α+β)=,tanβ-=,则的值为()A.B.C.D.(2)[2017·龙岩六校联考]已知<α<,0<β<,cos+α=-,sin+β=,则sin(α+β)的值为.[总结反思] 常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.式题 (1)已知tan α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为()A.-B.C.-D.(2)[2017·运城模拟]已知α为锐角,若sinα-=,则cosα-=()A.B.C. D.第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课前双击巩固1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin 2α=.(2)公式C2α:cos 2α== = .(3)公式T2α:tan 2α=.2.常用的部分三角公式(1)1-cos α=,1+cos α=.(升幂公式)(2)1±sin α=.(升幂公式)(3)sin2α=,cos2α=,tan2α=.(降幂公式)(4)sin α=,cos α=,tan α=.(万能公式)(5)a sin α+b cos α=,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sin =±,cos =±,tan =±==.题组一常识题1.[教材改编] sin 15°-cos 15°的值是.2.[教材改编]已知f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是.3.[教材改编]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为.4.[教材改编]已知sin θ=,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为.题组二常错题◆索引:求三角函数值时符号的选取(根据求解目标的符号确定);已知三角函数值时求角的范围;a sin α+b cos α=sin(α+φ)中φ值的确定.5.sin 112.5°= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=,则α+β=.7.化简sin α-cos α=sin(α+φ)中的φ=.8.已知sin 2α=,2α∈0,,则sin α-cos α=.课堂考点探究探究点一三角函数式的化简1 (1)+=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3(2)[2017·重庆一中段考]已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升幂的作用.(3)当角α的终边在直线y=x的上方区域时,sin α>cos α;当角α的终边在直线y=x的下方区域时,sin α<cos α.式题 [2017·合肥一模]已知sin 2α-2=2cos 2α,则sin2α+sin 2α=.探究点二三角函数式的求值考向1给值求值2 (1)[2017·厦门一中模拟]已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos= .(2)已知cos x-=,则cos2x-+sin2-x的值为()A.-B.C.D.-[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.考向2给角求值3 求值:=()A.1B.2C.D.[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角4 已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,求2α+β的值.[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-,,则选正弦较好.强化演练1.【考向1】[2017·郑州质量预测]已知cosπ-2θ=-,则sin+θ的值等于()A.B.±C.-D.2.【考向3】[2018·六安一中月考]若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,则α+β的值是()A.B.C.或 D.或3.【考向1】[2017·黄冈期末]若=,则tan 2α等于.4.【考向2】[2017·淮北第一中学期中]= .探究点三三角恒等变换的综合应用5 [2017·赣州二模]已知函数f(x)=sin ωx cos ωx-cos2ωx+(ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(x)-在(0,π)上的零点为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.式题已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x).(1)求函数f(x)在-,上的值域;(2)在△ABC中,f(C)=0,且sin B=sin A sin C,求tan A的值.第22讲正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式= ==2R(其中R是△ABC的外接圆的半径)a2= ,b2= ,c2=定理的变形a=2R sinA,b= ,c=,a∶b∶c=cos A= ,cos B= ,cos C=2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数3.三角形面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bc sin A=ac sin B=ab sin C;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:=-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c= .3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.[教材改编]在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为.6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于.8.在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为.课堂考点探究探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 [2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题 (1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2 [2017·襄阳五中一模]如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思] 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos B sin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3[2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin A sin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.第23讲正弦定理和余弦定理的应用。

2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值45°π42222160°π33212390°π21 0 /120°2π332－12－ 3续表角αα弧度数sin αcos αtan α135°3π422－22－1150°5π612－32－33180°π0 －1 0270°3π2－1 0 /3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：① π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴ －2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴ π－α是第四象限角．② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴ α2是第二或第四象限角．③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上．变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴ 4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限．答案：三解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；－223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角；因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴ α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称．答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________．答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵ －π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α]＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)·(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________．答案：0解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴C ＝π4.∴ △ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．答案：31010解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________．答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1 “五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴ 2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π6X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小．【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的，所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________．答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32，即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：210解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________．答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎪⎫α－π4.[备课札记]。