mfcB样条曲线
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
二 B样条曲线的数学表达式 1 通常,给定m+n+1个顶点Pi(i=0,1,2,…,m+n”),
可以定义m十1段n次的参数曲线为:
n
Pi,n (t) Pik • Fk,n (t)
(0 t 1)
k 0
式中:
Fk,n(t)为n次B样条基函数,也叫B样条分段混合函数。 其形式为:
C Fk,n
(t)
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为:
B0,3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1,3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2,3 = 3t2 - 3t3 =
(二 )起始点与终止点切矢量的方向 通过对基函数求导,可以证明起始点与终止点的 切矢量与第1和第n(最后)条边一致(走向一致)。
基函数的导数:
B'i,n
(t)
n! i!(n
i)!
t(i 1
t)ni
'
Bi ,n
(t)
n! i!(n
i)!
t(i 1
t)ni
n! i·ti(1 1 t)ni (n i)t(i 1 t)ni1 i!(n i)!
贝塞尔曲 线
起始点
终止点
五 贝塞尔曲线的数学表达式:
Bezier曲线的数学基础:在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下:
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
B样条曲线图片版
1960年,de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。
给出了B样条基函数的递归算法
1974年,Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式, 得到了B样条函数。
从B样条函数到B样条曲线
样条函数的定义
5.B网逼近性质
B网大致反映了B样条曲线的形状,这有利于人机交互设计.
6.变差缩减性
设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在 该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征 多边形的交点个数。
B样条曲线的性质
7. 连续阶性:
曲线在重数为 m 的节点处,连续阶能达到k-1-m 。 连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性:
节点矢量中两端节点具有重数k,所有内节点重数为k-1,这样的节 点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后,各曲线段就具有了相对的独 立性,移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
区间 的一个分割 : a x0 x1 xn b 定义于分割上的函数 g(x)满足两条件:
Ø 在[xi , xi1]上, g(x)是x的 k次多项式 Ø 节点 k次样条函数
g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
谢谢!
均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质
图3.1.23 三次均匀的B样条曲线
B样条曲线与曲面..
四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性,但有二点不足:1)特征多边形顶点数决定了它的阶次数,当n 较大时,不仅计算量增大,稳定性降低,且控制顶点对曲线的形状控制减弱;2)不具有局部性,即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数,从而改进上述缺点。
B样条曲线的数学表达式为:∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中,0 ≤ u ≤ 1; i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出:B样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n),则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中:N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数,也称B样条分段混合函数。
其表达式为:∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中:0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1.均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P (i = 0,1,…,n )定义n 段一次(k =0,1,n=1)均匀B 样条曲线,即每相邻两个点可构造一曲线段P i (u ),其定义表达为:[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P=(1-u )P i -1 + u P i= N 0,1(u )P i -1 + N 1,1(u )P i第i 段曲线端点位置矢量:i i i i P P P P ==-)1(,)0(1,且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2 二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P (i=0,1,…,n )定义n -1段二次(k =0,1,2, n=2)均匀B 样条曲线,每相邻三个点可构造一曲线段P i (u )(i=1,…,n -1),其定义表达为:[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P= !21(1 - 2 u + u 2)P i -1 + !21(1 + 2 u - 2u 2)P i + !21u 2 P i +1= N 0,2(u )P i -1 + N 1,2(u )P i + N 2,2(u )P i +1端点位置矢量:)(5.0)0(1i i i P P P +=-,)(5.0)1(1++=i i i P P P ,即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
计算机图形学实验报告B样条曲线
千里之行,始于足下。
计算机图形学实验报告B样条曲线B样条曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法。
它通过插值曲线的控制点来定义曲线的形状,并且具有较好的平滑性。
本次实验中,我们使用C++语言实现了B样条曲线的生成和显示,并进行了相应的实验和分析。
实验目的:1.了解B样条曲线的原理和算法;2.掌握B样条曲线的生成和显示方法;3.通过实验观察和分析B样条曲线的性质。
一、B样条曲线的原理B样条曲线是一种基于控制点的插值曲线,它通过一系列连续的基函数(B 样条基函数)来插值控制点,从而生成曲线。
B样条曲线的基本原理如下:1.选择一组控制点P0,P1,…,PN-1;2.定义一组节点向量U={u0,u1,…,um},其中u0<=u1<=…<=um;3.通过插值曲线的标准等式,通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
二、B样条曲线的算法1.计算节点向量U;2.定义B样条基函数;3.计算曲线上每个点的坐标。
三、实验步骤和结果1.计算节点向量U:在实验中,我们选择均匀节点向量,即ui=i,其中i=0,1,…,m。
这样的节点向量比较简单,而且能够生成比较平滑的曲线。
第1页/共3页锲而不舍,金石可镂。
2.定义B样条基函数:B样条基函数是用来插值曲线的重要部分,它可以通过递归定义来实现。
在实验中,我们使用了三次B样条基函数,其递归定义如下:N(i,1)(u)={1,u∈[ui,ui+1];0,否则}N(i,k)(u)=[(u-ui)/(ui+k-1-ui)]*N(i,k-1)(u)+(ui+1-u)/(ui+k-ui+1)*N(i+1,k-1)(u)3.计算曲线上每个点的坐标:通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
具体计算方法如下:P(u)=sum(B(i,k)(u)*Pi,i=0 to n-1),其中B(i,k)(u)=N(i,k)(u)/sum(N(j,k)(u))四、实验结果和分析在实验中,我们通过改变控制点的位置和数量,生成了不同的B样条曲线,并进行了显示和分析。
b样条曲线曲率简易求解算法
b样条曲线曲率简易求解算法摘要:一、背景介绍二、B样条曲线的基本概念1.控制点2.节点3.次数三、B样条曲线的曲率求解方法1.切线方向求解2.曲率求解公式四、简易求解算法步骤1.确定控制点2.计算切线方向3.计算曲率4.应用曲率求解公式五、算法实例演示六、算法优缺点分析1.优点2.缺点七、结论与展望正文:一、背景介绍在计算机图形学、计算机辅助设计等领域,B样条曲线(B-spline curve)是一种广泛应用的曲线表示方法。
它具有较好的局部性和灵活性,可以方便地控制曲线的形状。
然而,B样条曲线的曲率求解一直是一个较为复杂的问题。
本文将介绍一种简易的B样条曲线曲率求解算法,以期为相关领域的研究和实践提供参考。
二、B样条曲线的基本概念1.控制点:B样条曲线由一系列控制点确定,这些控制点共同决定了曲线的形状。
2.节点:节点是B样条曲线上的关键点,它们将曲线划分为若干段,每段的曲率由相邻节点决定。
3.次数:B样条曲线的次数表示曲线上最多可以取样的点的数量。
次数越高,曲线越平滑。
三、B样条曲线的曲率求解方法B样条曲线的曲率求解方法主要包括切线方向求解和曲率求解公式。
1.切线方向求解:在B样条曲线上,相邻两个节点之间的切线方向可以通过插值基函数计算得到。
基函数的值决定了切线方向上的权重,从而影响曲线的弯曲程度。
2.曲率求解公式:B样条曲线的曲率可以通过切线方向的改变率求得。
在相邻两个节点间,曲率表示为切线方向的变化量除以节点间距。
四、简易求解算法步骤1.确定控制点:根据需求设定一定数量的的控制点,以确定B样条曲线的初始形状。
2.计算切线方向:利用插值基函数计算相邻节点间的切线方向。
3.计算曲率:根据切线方向的改变率,计算B样条曲线的曲率。
4.应用曲率求解公式:将计算得到的曲率应用于B样条曲线,得到最终的曲线形状。
五、算法实例演示以下是一个简单的B样条曲线曲率求解算法实例。
设定四个控制点分别为(0,0),(1,2),(2,4),(3,6),次数为3。
b样条曲线算法 c语言
b样条曲线算法c语言B样条曲线算法是一种用于生成平滑曲线的算法,它在计算机图形学、几何建模和动画等领域有着广泛的应用。
下面是一个使用C语言实现B样条曲线算法的示例代码:```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define N 10 // 控制点数量typedef struct {double x, y; // 控制点坐标} Point;// 计算B样条曲线上的点void computeBSpline(Point *controlPoints, int numControlPoints, double t) { double u = floor(t); // 获取下标double v = t - u; // 获取权重int i, j;double basisFunctions[N][N];double curve[2];// 初始化基函数表for (i = 0; i < N; i++) {for (j = 0; j <= i; j++) {if (j == 0) {basisFunctions[i][j] = 1.0;} else if (j == i) {basisFunctions[i][j] = pow(v, i - j);} else {basisFunctions[i][j] = pow(v, i - j - 1) * (1.0 - v) / (controlPoints[i].x - controlPoints[j].x);}}}// 计算曲线上的点for (i = 0; i <= N; i++) {curve[0] += controlPoints[i].x * basisFunctions[i][i];curve[1] += controlPoints[i].y * basisFunctions[i][i];}printf("(%f, %f)\n", curve[0], curve[1]);}int main() {Point controlPoints[N] = {{0, 0}, {1, 2}, {2, 0}, {3, 2}, {4, 0}}; // 控制点坐标列表for (double t = 0; t <= 4; t += 0.1) { // 生成曲线上的点,t为参数,范围为[0,4] computeBSpline(controlPoints, N, t);}return 0;}```在上面的代码中,我们首先定义了一个控制点结构体`Point`,然后定义了一个`computeBSpline`函数,用于计算B样条曲线上的点。
b样条曲线的一般表达式
B 样条曲线的一般表达式B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具,具有很好的局部性和灵活性。
本文将介绍 B 样条曲线的一般表达式,以及其应用场景和优点。
B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具,由Schatzman 和 Thomas 于 1967 年提出。
与常见的多项式插值和样条插值不同,B 样条曲线采用基函数和控制点来描述曲线,具有很好的局部性和灵活性。
B 样条曲线的一般表达式为:$$P(x) = sum_{i=0}^n lambda_i B_i(x)$$其中,$P(x)$表示曲线在$x$点的值,$lambda_i$是控制点,$B_i(x)$是基函数。
B 样条曲线的基函数是通过 B-spline 函数生成的。
B-spline 函数是一种用于描述曲线或曲面的数学函数,具有很好的局部性和光滑性。
B-spline 函数的定义如下:$$B_i(u) = begin{cases}u^0 & text{if } u leq i(i-u)^i & text{if } i < u leq i+1u^i & text{if } u > i+1end{cases}$$其中,$u$表示曲线或曲面上的某个点,$i$表示 B-spline 函数的阶数。
B 样条曲线的控制点是指在曲线或曲面上选取的一些点,通过这些点的值可以控制曲线或曲面的形状。
B 样条曲线的控制点可以通过以下公式计算:$$lambda_i = frac{1}{p_i - p_{i-1}}$$其中,$p_i$表示曲线或曲面上的第$i$个控制点,$p_{i-1}$表示曲线或曲面上的第$i-1$个控制点。
B 样条曲线的优点在于,它可以很好地适应曲线的局部性和复杂性,同时具有很好的计算效率和精度。
B样条曲线图片版
B样条曲线的性质
7. 连续阶性:
曲线在重数为 m 的节点处,连续阶能达到k-1-m 。
连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性:
节点矢量中两端节点具有重数k,所rnstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后,各曲线段就具有了相对的独 立性,移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
控制顶点是唯一一组
B样条曲线的性质
2. 凸包性:
k 阶P(t)在区间(ti, ti+1) , k-1<=i<=n 上的部分位于k个点Pi-k+1…,Pi的 凸包内,整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。
每3个控制顶点构成一个凸包
B样条曲线的性质
3. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为
的一点P(t)至多与k个控制顶点
B样条曲线的类型
3. 非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k],只要在数学上成立(节点序 列非递减,两端节点重复度≤k,内节点重复度≤k-1)都可选取。 例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线的性质
1. 表示唯一性:
给定节点向量、给定控制顶点的k阶B样条曲线表示唯一。
区间 的一个分割 :ax0 x1 xn b
节点
定义于分割上的函数 g(x)满足两条件: k次样条函数
Ø 在[xi,xi1]上, g(x)是x的 k次多项式
Ø g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
b样条曲线原理
b样条曲线原理
b样条曲线是一种用来插值和逼近离散数据的数学方式。
它是
一条平滑的曲线,由一系列连续的曲线段组成。
每个曲线段由一个基函数控制,这个基函数在局部区域内起作用。
b样条曲线的主要原理是通过控制点和基函数的权重来确定曲
线的形状。
在插值问题中,我们首先需要定义一组控制点,这些点是我们想要曲线经过的点。
然后,我们选择一种基函数,如三次b样条。
基函数的选择取决于所需的曲线平滑度和形状。
基函数控制点的权重是通过求解线性方程组得到的。
线性方程组的系数矩阵由控制点和基函数共同决定。
解出的权重即确定了曲线的形状。
b样条曲线的关键特点是它的局部性质。
每个控制点只影响曲
线的一小部分。
这使得曲线在插值和逼近过程中能够自由地调整。
如果我们修改一个控制点的位置,只有与这个控制点相邻的曲线段会受到影响,而其他曲线段则保持不变。
b样条曲线的另一个重要特点是它的光滑性。
通过适当选择基
函数和控制点的位置,我们可以确保曲线在控制点处是连续且可导的。
这使得b样条曲线在计算机图形学和计算机辅助设计等领域得到广泛应用。
综上所述,b样条曲线是一种通过控制点和基函数控制形状的
平滑曲线。
它具有局部性和光滑性的特点,适用于插值和逼近
问题。
通过调整控制点的位置和权重,我们可以灵活地控制曲线的形状。
B样条基础
2. B样条定义
设有控制顶点P0,P1,…,Pn,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为:
P(t)
P N
i 0 i
n
i,k
(t)
其中 Ni,k(t)是 k-1次 B样条曲线的基函数,也称B样条分段混合函 数,其中每一个称为B样条。
B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定 的k阶分段多项式,也即为k阶(k-1次)多项式样条。
2. B样条定义
de Boor-Cox(德布尔—考克斯)递推定义:
1 t i t t i 1 N i,1 (t) 0 t t i 或 t t i 1
,
k=1
约定:
0 0 0
t ti t i k t N i,k (t) N i,k 1 (t) N i 1,k 1 (t), t i k 1 t i t i k t i 1
Bézier Curves
图8-5
Bezier曲线的例子
2. Bernstein基函数的性质
i i t (1 t)ni 0 t 1 中,n为基本 在Bernstein基函数 Bi,n (t) Cn 曲线的次数。由排列组合和导数运算规律可以推导出 Bernstein 基函 数的如下性质:
i 0 i 0
P(1 t) ,
t 0,1
3. Bé zier曲线的性质
(3) 凸包性 由于
B
i 0
n
i,n
(t) 1,
t 0,1 并且
0 B i,n (t) 1 (0 t 1 ,
t 0,1,...n )
说明当t在[0,1]区间变化时,对某一个t值,P(t)是特征多边形各 顶点的加权平均,权因子依次是Bi,n(t)。 在几何图形上,意味着Bezier曲线P(t)在 t 0,1 中各点是控制 点Pi的凸线性组合,即曲线落在Pi构成的凸包之中。
B样条曲线曲面(附代码)
B样条曲线曲⾯(附代码)样条曲线1.1 B样条曲线⽅程B样条⽅法具有表⽰与设计⾃由型曲线曲⾯的强⼤功能,是形状数学描述的主流⽅法之⼀,另外B样条⽅法是⽬前⼯业产品⼏何定义国际标准——有理B样条⽅法 (NURBS)的基础。
B样条⽅法兼备了Bezier⽅法的⼀切优点,包括⼏何不变性,仿射不变性等等,同时克服了Bezier⽅法中由于整体表⽰带来不具有局部性质的缺点(移动⼀个控制顶点将会影响整个曲线)。
B样条曲线⽅程可表⽰为其中,d i(i=0,1...n)为控制顶点(坐标),N i,k(i=0,1...n)为k次规范B样条基函数,最⾼次数是k。
基函数是由⼀个称为节点⽮量的⾮递减参数u的序列U:u0≤u1≤...≤u n+k+1所决定的k次分段多项式。
B样条的基函数通常采⽤Cox-deBoor递推公式:(2)式中i为节点序号,k是基函数的次数,共有n+1个控制顶点。
注意区分节点和控制顶点,节点是在节点⽮量U中取得,控制顶点则是坐标点,决定B样条的控制多边形。
Cox-deBoor递推公式是B样条曲线的定义的核⼼,该公式在程序中的实现可采⽤递归的⽅式:1function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)2 % 计算基函数Ni,k(u),NodeVector为节点向量34if k == 0 % 0次B样条5if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))6 Nik_u = 1.0;7else8 Nik_u = 0.0;9 end10else11 Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);12 Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2); % ⽀撑区间的长度13if Length1 == 0.0 % 规定0/0 = 014 Length1 = 1.0;15 end16if Length2 == 0.017 Length2 = 1.0;18 end19 Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...20 + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);21 endCox-deBoor递推公式所给程序可⽤于计算基函数N i,k(u)的值,程序中对不同类型的B样条曲线区别在于节点⽮量 NodeVector 的取值不同。
b样条曲线法原理
b样条曲线法原理
b样条曲线法(B-splinecurve)是一种广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助制造(CAM)等领域中的曲线表示方法。
它是一种基于局部控制点的曲线表示方法,通过将多个局部控制点之间的曲线段拼接在一起形成曲线。
其原理是将整个曲线分解为多个小的控制曲线段,每个控制曲线段由一组控制点决定。
这些控制点可以用来控制曲线的形状和方向。
在b样条曲线法中,控制点的数量和位置可以灵活地调整,从而可以得到各种各样的曲线形状。
b样条曲线法使用了基函数(basis function)来计算控制点与曲线之间的关系。
基函数通常被定义为B样条基函数,并且具有许多有用的性质,例如,它们是正的、局部支持的,以及满足递推关系等。
使用b样条曲线法可以得到平滑的曲线,它们可以用来表示各种复杂的几何形状,例如汽车外形、飞机翼形等。
此外,b样条曲线法还可以用于插值、逼近和曲面拟合等问题。
在实际应用中,b样条曲线法也常常与其他技术如Bezier曲线、NURBS曲线等结合使用,以得到更加灵活和高效的曲线表示方法。
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b样条曲线算法 c语言
b样条曲线算法 c语言B样条曲线是一种常用的数学曲线插值和逼近方法,广泛应用于图形学、计算机动画、CAD/CAM等领域。
其算法相对复杂,但是由于其灵活性和精度,使得它成为曲线设计的一个重要工具。
B样条曲线的定义是通过一系列控制点和节点向量来定义的。
控制点是指曲线上的点,节点向量是指一组非递减的实数序列。
根据节点向量的不同,B样条曲线可以分为均匀B样条曲线和非均匀B样条曲线两种。
均匀B样条曲线的节点向量是均匀分布的,即节点向量的差值相等。
非均匀B样条曲线的节点向量可以任意指定,由此可以实现对曲线的更灵活控制。
而且,非均匀B样条曲线更适合于曲线的局部调整和细节表达。
为方便理解,下面将以均匀B样条曲线为例进行介绍。
均匀B样条曲线的算法包括节点向量的计算和曲线插值两个过程。
首先是节点向量的计算。
节点向量的长度等于控制点数加上曲线次数加一。
曲线次数是指插值多项式的次数,通常取3或4。
设控制点数为n,曲线次数为k,则节点向量的长度为n+k+1。
节点向量的计算通常采用均匀分布的方式,即节点向量的差值相等。
节点向量的计算公式为:t[i] = i / (n + k + 1), i = 0, 1, ..., n + k其中,t[i]表示节点向量中的第i个元素。
然后是曲线插值的计算。
B样条曲线的插值公式如下:C(t) = Σ[i=0 to n] N[i, k](t) * P[i],其中,C(t)表示曲线上的点,N[i, k](t)表示插值多项式,P[i]表示控制点。
插值多项式的计算通常采用递推的方式。
设N[i, 0](t)为0阶插值多项式,即节点向量中第i个元素t[i] <= t < t[i+1]时为1,否则为0。
N[i, k](t)为k阶插值多项式的计算公式为:N[i, k](t) = (t - t[i]) / (t[i+k] - t[i]) * N[i, k-1](t) + (t[i+k+1] - t) / (t[i+k+1] - t[i+1]) * N[i+1, k-1](t)其中,N[i, 0](t)为0阶插值多项式,即节点向量中第i个元素t[i] <= t < t[i+1]时为1,否则为0。
b样条曲线的定义域
• B样条曲线的基本概念 • B样条曲线的数学表达 • B样条曲线的应用场景 • B样条曲线的计算方法 • B样条曲线的优化与改进 • B样条曲线的实例展示
目录
Part
01
B样条曲线的基本概念
定义与性质
B样条曲线的定义
B样条曲线是一种参数曲线,定义在给定的节点区间上,通过控制多边形的顶点来逼近给 定的曲线。
基函数
多维B样条曲线的基函数是$N_{i,k}(t_1, t_2, ..., t_n)$,其中$i$表示控制点序列中的第$i$个点,$k$表示B样条曲线 的阶数。
控制点
多维B样条曲线的控制点是一个多维向量,改变控制点的值会影响曲线的形状。
均匀与非均匀B样条曲线
01
定义
均匀B样条曲线是指各段曲线的节点参数均匀分布,即各段曲线的长度
参数化优化
参数化方法选择
针对不同的应用场景和需求,选 择适合的参数化方法,如基于能 量的参数化方法、保形参数化方 法等。
优化目标设定
根据实际需求,设定优化的目标 函数,如最小化能量、最大化保 形性等。
求解优化问题
采用合适的优化算法,如梯度下 降法、牛顿法等,求解优化问题 ,得到最优的参数化结果。
自适应节点插入技术
03
多维B样条曲线实例
f_{0}(x)g_{1}(y)f_{1}(x)g_{0}(y)+f_{1}(x)g_{1}(y) & (x,y) \in [0,1] \times [1,2] \\
f_{0}(x)g_{2}(y)f_{1}(x)g_{1}(y)+f_{2}(x)g_{0}(y)f_{2}(x)g_{1}(y)+f_{3}(x)g_{0}(y) & (x,y)
计算机图形学实验报告B样条曲线
姓名:黄仁化学号:051017实验内容:B样条曲线实验目的:了解B样条曲线成条特点B样条曲线的方程定义为:P(t)=∑P i N i.k(t)i=0其中,P i(i=0,1,…,n)是控制多边形的顶点,N i.k(t)(i=0,1,…,n)称为k 阶(k-1次)B样条基函数,其中每一个称为B样条,它是一个由称为节点矢量的非递减的参数t的序列T:t0≤t1≤…≤t n+k所决定的k阶分段多项多,也即为k阶(k-1次)多项式样条。
B样条曲线算法描述:1.三次B是由Beizier曲线改进得到,由连续的四个离散点拟合一小段,它过四个点中最外的两端点,但不一定过当中的两点,各个小段合在一块组成一光滑曲线。
2.三次B样条曲线的基函数为G03(t)=1/6(-t^3+3*t^2-3*t+1)G13(t)=1/6(3*t^3-6*t^2+4)G23(t)=1/6(-3*t^3+3*t^2+3*t+1)G33(t)=1/6*t^33.三次B样条曲线段P3(t)=1/6*[t^3t^2t1][-1 3 -3 13 -6 3 0-3 03 0(T)1 41 0][p0 p1 p2 p3]-->(转置)四个离散点为p0 p1 p2 p34.B样条算法#include<graphics.h>#include<conio.h>#define N 10float px[N]={20,75,122,187,225,242,280,318,349,402}; float py[N]={98,265,154,152,243,298,102,202,248,130}; main(){float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3;int k,x,y;float i,t,dt;int graphDriver=DETECT;int graphMode=0;initgraph(&graphDriver,&graphMode,""); setbkcolor(WHITE);setcolor(RED);line(50,300,600,300);line(100,10,100,320);dt=1/(float)N;for(k=0;k<N;k++){if(k==0)moveto(px[k]+100,300-py[k]);lineto(px[k]+100,300-py[k]);}setlinestyle(0,0,3);for(k=0;k<N-3;k++){a0=(px[k]+4*px[k+1]+px[k+2])/6;a1=(px[k+2]-px[k])/2;a2=(px[k]-2*px[k+1]+px[k+2])/2;a3=-(px[k]-3*px[k+1]+3*px[k+2]-px[k+3])/6;b0=(py[k]+4*py[k+1]+py[k+2])/6;b1=(py[k+2]-py[k])/2;b2=(py[k]-2*py[k+1]+py[k+2])/2;b3=-(py[k]-3*py[k+1]+3*py[k+2]-py[k+3])/6;for(i=0;i<N;i+=0.1){t=i*dt;x=100+a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t;y=300-(b0+b1*t+b2*t*t+b3*t*t*t);if(i==0.0)moveto(x,y);lineto(x,y);}}getch();closegraph();}运行结果。
B样条曲线曲面和NURBS曲线曲1
B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面(学习笔记和上机练习)非均匀有理B 样条,通常简称为NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines)。
NURBS 是非有理B 样条、有理以及非有理B ézier 曲线曲面的推广。
一、要对B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面有所了解应先了解B 样条基函数 B 样条基函数的定义和性质令{}m u u u U ,...,,10=是一个实数列,即i u ≤1+i u ,i=0,1,…,m-1。
其中,i u 称为节点,U 称为节点矢量,用)(,u N p i 表示第i 个p 次(p +1阶)B 样条基函数,其定义为⎩⎨⎧=,0,1)(0,u N i 若i u ≤u <1+i u 值为1,其他值为0 )()()(1,11111,,u N u u u u u N u u u u u N p i i p i p i p i i p i ip i -++++++-+--+--= (2)由(2)式可知:(1))(0,u N i 是一个阶梯函数,它在半开区间),[1+∈i i u u u 外都为零; (2)当p >0时,)(,u N p i 是两个p -1次基函数的线性组合;(3)计算一组基函数时需要事先指定节点矢量U 和次数p ; (4)(2)式中可能出现0/0,我们规定0/0=0;(5))(,u N p i 是定义在整个实数轴上的分段多项式函数,只在区间][,0m u u 上有意义; (6)半开区间),[1+i i u u 称为第i 个节点区间,长度可以为零,因相邻节点可以相同; B 样条基函数的一些重要性质:1 如果),[1++∉p i i u u u ,则)(,u N p i =0。
2 对于所有的p i ,和u ,有)(,u N p i ≥0.3 对于任意的节点区间),[1+i i u u ,当),[1+∈i i u u u 时,∑-==ipi j pj u N1)(,。
b样条曲线生成原理
b样条曲线生成原理1. 引言b样条曲线是在计算机图形学和计算机辅助设计中常用的一种曲线表示方法。
它具有良好的平滑性和灵活性,可用于绘制复杂的曲线形状。
b样条曲线的生成原理涉及控制点、节点向量和基函数等关键概念,本文将深入探讨b样条曲线的生成原理及相关知识。
2. 控制点和节点向量在b样条曲线中,控制点是影响曲线形状的关键元素。
使用一系列控制点来定义曲线的形状。
节点向量则决定了b样条曲线的拟合效果。
节点向量是一个有序的非递减序列,它决定了曲线上各部分的权重。
3. b样条基函数b样条曲线的生成原理基于b样条基函数。
b样条基函数是关于节点向量的一组多项式函数,用于将控制点与节点向量结合起来计算曲线上的点坐标。
常用的b样条基函数有B样条、N样条、三次b样条等。
3.1 B样条基函数B样条基函数是b样条曲线生成中常用的一种基函数。
它是由节点向量确定的一组分段多项式函数,每个分段函数只对节点向量中一段有效。
B样条基函数具有局部性,只对部分区域有非零值,这使得b样条曲线具有平滑的特性。
3.2 N样条基函数N样条基函数是另一种常用的b样条基函数。
与B样条基函数类似,N样条基函数也是由节点向量确定的分段函数,但它的局部性较弱。
N样条基函数在全局范围内都有非零值,因此可以生成更为复杂的曲线形状。
3.3 三次b样条基函数三次b样条基函数是b样条曲线生成中最常用的基函数之一。
它是一种局部三次多项式函数,在局部区域内具有较好的拟合性能。
三次b样条基函数可以通过递推公式计算得到,其形式简单,计算效率高。
4. b样条曲线的生成算法4.1 插值算法插值算法是一种常用的b样条曲线生成算法。
它通过给定的控制点生成曲线,使得曲线经过这些控制点。
插值算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行插值计算,生成曲线上的点坐标。
4.2 逼近算法逼近算法是另一种常用的b样条曲线生成算法。
它通过给定的控制点生成曲线,使得曲线与控制点之间的误差最小。
逼近算法使用节点向量和b样条基函数对控制点进行逼近计算,调整权重使得曲线与控制点的拟合度达到最优。
mfcB样条曲线
mfcB样条曲线void CMy134********Doc::Bsample(CClientDC *pDC,int mode) {CPoint p[1000];//设置一个数组存储完整的 Bsample 曲线控制点int i,j;i=0;j=0;p[i++]=group[j++];//先将第 1,2 号点存入数组p[i++]=group[j++];while(j<=PointNum-2)//存入奇、偶号点,生成并存入插入点{p[i++]=group[j++];p[i].x=(group[j].x+group[j-1].x)/2;p[i++].y=(group[j].y+group[j-1].y)/2;p[i++]=group[j++];};for(j=0;j{Bsample_4(pDC,mode,p[j],p[j+1],p[j+2],p[j+3]);}}void CMy134********Doc::Bsample_4(CClientDC *pDC,int mode,CPoint p1,CPoint p2,CPoint p3,CPoint p4){int i,n;CPoint p;double t1,t2,t3,t4,dt;CPen pen;n=10;//参数 t 的间隔,分 10 段,即用 10 段直线表示一段曲线if(mode)//mode=1 时,以异或方式画可擦除的黑色曲线,用于调整形状{//pDC->SetROP2(R2_NOT);pen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0));}else//mode=0 时,画红色的正式曲线{pDC->SetROP2(R2_COPYPEN);pen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));}CPen *pOldPen=pDC->SelectObject(&pen);dt=1.0/n;i=0;t1=(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)/6; //计算(1-t)3t2=3*i*dt*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)-3*i*dt+4; //计算 t (1-t) 2t3=3*i*dt*i*dt*(1.0-i*dt)+3*i*dt+1; //计算 t2 (1-t)t4=i*dt*i*dt*i*dt/6; //计算 t3t3/=6;t2/=6;p.x=(int)(t1*p1.x+t2*p2.x+t3*p3.x+t4*p4.x);p.y=(int)(t1*p1.y+t2*p2.y+t3*p3.y+t4*p4.y);pDC->MoveTo(p);//移到起点for(i=1;i<=n;i++)//用Bsample 参数方程计算曲线上等间隔的10 个点{t1=(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)/6; //计算(1-t)3t2=3*i*dt*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)-3*i*dt+4; //计算 t (1-t) 2t3=3*i*dt*i*dt*(1.0-i*dt)+3*i*dt+1; //计算 t2 (1-t)t4=i*dt*i*dt*i*dt/6; //计算 t3t3/=6;t2/=6;p.x=(int)(t1*p1.x+t2*p2.x+t3*p3.x+t4*p4.x); p.y=(int)(t1*p1.y+t2*p2.y+t3*p3.y+t4*p4.y); pDC->LineT o(p);}pDC->SelectObject(pOldPen);}。
b样条曲线算法
B样条曲线算法介绍B样条曲线是一种用于数值分析和计算机图形学中的数学曲线表示方法。
它通过一系列控制点和节点向量来定义曲线的形状。
B样条曲线具有良好的平滑性和局部控制性,被广泛应用于汽车造型设计、动画制作、CAD等领域。
B样条基函数B样条基函数是构建B样条曲线的基本组成部分。
一个B样条曲线由一系列的B样条基函数加权叠加而成。
B样条基函数具有局部支撑性质,只对控制点和其附近的部分产生影响,使得曲线能够局部调整。
1. 均匀B样条基函数均匀B样条基函数是一种简单的B样条基函数形式,其形状由节点向量的选择决定。
对于一个n次B样条曲线,节点向量为[t0, t1, …, tm],其中ti为节点的位置,m为节点数。
均匀B样条基函数的定义如下:N i,0(t)={1, if t∈[t i,t i+1) 0, otherwise2. 非均匀B样条基函数非均匀B样条基函数引入了节点向量的权重,可以进一步调整曲线的形状。
对于一个n次B样条曲线,节点向量为[t0, t1, …, tm],其中ti为节点的位置,m为节点数。
非均匀B样条基函数的定义如下:N i,p(t)=t−t it i+p−t iN i,p−1(t)+t i+p+1−tt i+p+1−t i+1N i+1,p−1(t)其中p为基函数的次数。
B样条曲线的插值与逼近B样条曲线可以通过插值和逼近两种方式来生成。
插值是通过给定一系列的控制点,确保曲线经过这些点来生成曲线。
逼近是通过给定一系列的数据点,在曲线上找到最逼近这些数据点的曲线。
1. 插值B样条曲线的插值方法将控制点设定为插值点。
我们可以通过求解线性方程组的方式确定控制点的位置,然后利用B样条基函数的加权叠加得到曲线。
插值曲线具有经过控制点的性质,是一种精确的曲线生成方法。
2. 逼近B样条曲线的逼近方法通过给定数据点来求解控制点的位置。
我们可以利用最小二乘法来求解控制点的位置,使得曲线尽可能地逼近这些数据点。
B样条曲线几何原理演示
+实验(二)项目名称: B样条曲线几何原理演示一、实验要求在屏幕上使用鼠标左键绘制任意点形成控制多边形,单击鼠标右键绘制三次B样条曲线的程序,同时在控制多边形的每一个控制三角形内显示曲线生成原理,效果如图。
原理:二、实验过程(有关主要代码如下:)bool Flag;//标志CPoint *pt;//顶点int CtrlPoint;//控制多边形顶点//绘制B曲线void CTestView::DrawBSpline(){CClientDC dc(this);int i,rate=10;long lx,ly;double F03,F13,F23,F33;lx=ROUND((pt[0].x+4.0*pt[1].x+pt[2].x)/6.0); ly=ROUND((pt[0].y+4.0*pt[1].y+pt[2].y)/6.0);dc.MoveTo(lx,ly);CPen NewPen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));CPen *OldPen=dc.SelectObject(&NewPen);for(i=1;i<=CtrlPoint-3;i++){for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){F03=(-t*t*t+3*t*t-3*t+1)/6;//计算F0,3(t)F13=(3*t*t*t-6*t*t+4)/6;//计算F1,3(t)F23=(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1)/6;//计算F2,3(t)F33=t*t*t/6;//计算B3,3(t)lx=ROUND(pt[i-1].x*F03+pt[i].x*F13+pt[i+1].x*F23+pt[i+2].x*F33);ly=ROUND(pt[i-1].y*F03+pt[i].y*F13+pt[i+1].y*F23+pt[i+2].y*F33);dc.LineTo(lx,ly);Sleep(100);}}dc.SelectObject(OldPen);NewPen.DeleteObject();}//绘制控制多边形void CTestView::DrawCharPolygon(){CClientDC dc(this);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);for(int i=0;i<CtrlPoint;i++){if(i==0){dc.MoveTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}else{dc.LineTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}}dc.SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}//获得屏幕控制点坐标void CTestView::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point){// TODO: Add your message handler code here and/or call default CView::OnLButtonDown(nFlags, point);if(Flag){pt[CtrlPoint].x=point.x;pt[CtrlPoint].y=point.y;if(CtrlPoint<N_MAX_POINT-1)CtrlPoint++;elseFlag=false;DrawCharPolygon();}}//调用绘制函数void CTestView::OnRButtonDown(UINT nFlags, CPoint point){// TODO: Add your message handler code here and/or call default if(CtrlPoint!=0){Flag=false;DrawBSpline();}CView::OnRButtonDown(nFlags, point);}//绘制绘制几何生成原理图void CTestView::DrawStruct(){CClientDC dc(this);CPen NewPen(PS_DOT,1,RGB(0,0,0));CPen *OldPen=dc.SelectObject(&NewPen);int x,y;for(int i=1;i<=CtrlPoint-2;i++){x=(pt[i-1].x+pt[i+1].x)/2;y=(pt[i-1].y+pt[i+1].y)/2;dc.MoveTo(pt[i].x,pt[i].y);dc.LineTo(x,y);dc.MoveTo(pt[i-1].x,pt[i-1].y);dc.LineTo(pt[i+1].x,pt[i+1].y);}dc.SelectObject(OldPen);NewPen.DeleteObject();}//绘制曲线菜单函数void CTestView::OnMENUBCurve(){// TODO: Add your command handler code hereRedrawWindow();MessageBox("单击左键绘制控制多边形,单击右键绘制曲线","提示",MB_OK);pt=new CPoint[N_MAX_POINT];Flag=true;CtrlPoint=0;}//绘制几何结构菜单函数void CTestView::OnMENUStruct(){// TODO: Add your command handler code hereDrawStruct();}三:实验总结效果图如下点击鼠标左键点击鼠标右键点击绘制结构。
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t3/=6;
t2/=6;
p.x=(int)(t1*p1.x+t2*p2.x+t3*p3.x+t4*p4.x);
p.y=(int)(t1*p1.y+t2*p2.y+t3*p3.y+t4*p4.y);
pDC->LineTo(p);
}
pDC->SelectObject(pOldPen);
}
p[i++]=group[j++];
while(j<=PointNum-2)//存入奇、偶号点,生成并存入插入点
{
p[i++]=group[j++];
p[i].x=(group[j].x+group[j-1].x)/2;
p[i++].y=(group[j].y+group[j-1].y)/2;
{
int i,n;
CPoint p;
double t1,t2,t3,t4,dt;
CPen pen;
n=10;//参数 t 的间隔,分 10 段,即用 10 段直线表示一段曲线
if(mode)//mode=1 时,以异或方式画可擦除的黑色曲线,用于调整形状
{
//pDC->SetROP2(R2_NOT);
t2=3*i*dt*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)-3*i*dt+4; //计算 t (1-t) 2
t3=3*i*dt*i*dt*(1.0-i*dt)+3*i*dt+1; //计算 t2 (1-t)
t3=3*i*dt*i*dt*(1.0-i*dt)+3*i*dt+1; //计算 t2 (1-t)
t4=i*dt*i*dt*i*dt/6; //计算 t3
t3/=6;
t2/=6;
p.x=(int)(t1*p1.x+t2*p2.x+t3*p3.x+t4*p4.x);
dt=1.0/n;
i=0;
t1=(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)/6; //计算(1-t)3
t2=3*i*dt*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)-3*i*dt+4; //计算 t (1-t) 2
p[i++]=roup[j++];
};
for(j=0;j<i-3;j++)//控制点分组,分别生成各段曲线
{
Bsample_4(pDC,mode,p[j],p[j+1],p[j+2],p[j+3]);
}
}
void CMy13401010419Doc::Bsample_4(CClientDC *pDC,int mode,CPoint p1,CPoint p2,CPoint p3,CPoint p4)
pen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0));
}
else//mode=0 时,画红色的正式曲线
{
pDC->SetROP2(R2_COPYPEN);
pen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));
}
CPen *pOldPen=pDC->SelectObject(&pen);
void CMy13401010419Doc::Bsample(CClientDC *pDC,int mode)
{
CPoint p[1000];//设置一个数组存储完整的 Bsample 曲线控制点
int i,j;
i=0;j=0;
p[i++]=group[j++];//先将第 1,2 号点存入数组
p.y=(int)(t1*p1.y+t2*p2.y+t3*p3.y+t4*p4.y);
pDC->MoveTo(p);//移到起点
for(i=1;i<=n;i++)//用 Bsample 参数方程计算曲线上等间隔的 10 个点
{
t1=(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)*(1.0-i*dt)/6; //计算(1-t)3