专题2 分类讨论思想

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专题2 分类讨论思想

A．a≤－2 C．1≤a＜98 或 a≤－2
B．a＜98 D．－2≤a＜98
【解析】分 a＞0，a＜0 两种情况讨论．∵抛物线 y＝ ax2－x＋1(a≠0)与线段 AB 有两个不同的交点，∴令12 x＋12 ＝ax2－x＋1，则 2ax2－3x＋1＝0，∴Δ＝9－8a ＞0，∴a＜98 ，①当 a＜0 时，aa＋－11＋＋11≤≤01，，解得：a≤ －2，∴a≤－2，②当 a＞0 时，aa＋－11＋＋11≥≥01，，解得： a≥1，∴1≤a＜98 ，综上所述：1≤a＜98 或 a≤－2.
综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9 人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．
4．甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学
在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地.2小时后，小明
的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们
C．1或3 D．4或6
3．已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则
1 a
＋1b ＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8. 其中正确的是 ①③④ (把所有正确结论的序号都选上).
类型三由数学运算要求引起的讨论
(2)已知 y1＝kx1 和 y2＝k2x＋b 在同一坐标系中的图象如图所示，若 max{kx1 ，k2x＋b}＝kx1 ，结合图象，直接写出 x 的取值范围； (3)试用分类讨论的方法，求 max{x＋2，x2－4} 的值.
解：(1)max{ 11 ，3}＝ 11 ；
(2)∵max{kx1 ，k2x＋b}＝kx1 ，∴kx1 ≥k2x＋b，∴ 从图象可知：x 的取值范围为－3≤x＜0 或 x≥2；

高中数学思想二分类讨论思想专题练习

高中数学思想二分类讨论思想专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或322. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞-B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．136.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭7.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C.D.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ． B ．1 C. D ．210.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C.2 D ．3二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________.ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________. 13.若数列，则__________. 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极60︒{}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m ()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()xF x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x大值点？说明理由．高中数学思想二分类讨论思想专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或32答案 D解析 ∵m 是2,8的等比中项，∴m 2＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为双曲线，其中a ＝1，c ＝5，e ＝ca ＝5；当m ＝－4时，曲线为椭圆，其中a ＝2，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D.2. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]答案 D解析 f (x )＝e x ＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，由题意得f (x )>0恒成立，所以t －1e x ＋1>－1恒成立，即t >－e x 恒成立，所以t ≥0.①若t ∈[0,1]，则f (x )是增函数，当x →＋∞时，得f (x )max →1，当x →－∞时，得f (x )min →t ，所以值域为(t,1)．因为三角形任意两边之和大于第三边，所以t ＋t ≥1，解得12≤t ≤1；②若t ∈(1，＋∞)，则f (x )是减函数，当x →＋∞时，得f (x )min →1，当x →－∞时，得f (x )max →t ，所以值域为(1，t )，同理可得1＋1≥t ，所以1<t ≤2，综上得t ∈[12，2]．3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-【答案】C 【详解】由题意，可得集合()(){}{}101A x x a x a x a x a =---<=<<+，所以{R C A x x a =≤或1}x a ≥+，又由集合{}{}2log 102B x x x x =<=<<，因为R B C A ⊆，所以2a ≥或10a +≤，解得1a ≤-或2a ≥，所以实数a 的取值范围是][,(),12∞-⋃+∞-，故选：C .4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠【答案】C 【详解】解析：指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上是单调递减的，由11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，0a b >>. 所以11a b<，则11a b ->-.故C 正确；0a b ->，但不一定有1a b ->，则不一定有()ln 0a b ->，故A 错误；函数2xy =在(),-∞+∞上是单调递增的，0b a -<.则0221b a -<=，故B 错误；当01c <<时，函数c y log x =在0,上单调递减，则log log c c a b <.故D 错误. 故选：C5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩ 故实数t 的最大值为13-. 故选：C.6.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】()0f x =，得1log a x x a =，即11log xax a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题意知函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点．当1a >时，11log ,xay x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭草图如下，显然有两交点．当01a <<时，函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点时，注意到11,log xay y x a ⎛⎫== ⎪⎝⎭互为反函数，图象关于直线y x =对称，可知函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象与直线y x =相切，设切点横坐标0x ，则0111ln 1x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01e,e .e x a -=⎧⎪⎨⎪=⎩ 综上，a 的取值范围为1e e (1,)-⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭.故选：D ．7.已知函数，若，且，则的取值范围是（）ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -A. B. C.D.【答案】A【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，由可知函数的图象与直线有两个交点，而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；记（），.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，.所以.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】A 【解析】[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()y f x =()()f m f n t ==()()f m f n =()f x y t =0x ≤()y f x =y (0,1)01t <≤m n <0m ≤0n >01t <≤0ln(1)1n <+≤01n e <≤-()f m t =112m t +=22m t =-()f n t =ln(1)n t +=1t n e =-()1(22)21t t g t n m e t e t =-=---=-+01t <≤()2tg t e '=-0ln 2t <<()0g t '<()g t ln 21t <≤()0g t '>()g t ()g t ln 2(ln 2)2ln 2132ln 2g e =-+=-0(0)12g e =+=(1)2112g e e =-+=-<32ln 2()2g t -≤<()3231f x ax x =-+'.显然()00f '≠，令()0f x '=得：2331x a x-=，()0x ≠ 令()2331x t x x -=，()0x ≠，()()()4311x x t x x+-'=-知：当(),1x ∈-∞-时，()0t x '<，()t x 为减函数；当()1,0x ∈-时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()0,1x ∈时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()1,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 为减函数，作出()t x 的大致图象如图所示，则当()12a t <-=-时，()t x 存在唯一的正零点.故选A9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ．B ．1 C. D ．2 【答案】B【解析】由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；当时，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，，从而在，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得.()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()()sin cos f x a x x x '=+[]20x π∈，sin cos 0x x x +>0a =()32f x =-0a <()[]002x f x π∈'<，，()f x [0]2π， [0]2π，()203f =-0a >]2[0x π∈，，()0f x '>()f x [0]2π， [0]2π，()223322f a πππ-=⋅-=1a =10.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C.2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，得，若函数在上单调递减，则，即，所以，故②正确；不妨设，则，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令，则，①当，即时，抛物线与直线有公共点，联立两个方程消去得，，所以；当，即时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，，所以有最小值，故③正确，故选C ．二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________. 【答案】【解析】因为，所以.当时，，可得；当时，()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -()232f x x ax b '=++()f x (0,1)(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩()()01(32)0g g b a b ⋅=⋅++≥32()235f x x x x =--+()()015(1235)0f f ⋅=⋅--+>0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩23z a b =-2133z b a =-33z ->-9z <2133zb a =-230a b ++=b 2690a a z ++-=2(3)0z a =+≥09z ≤<33z-≤-9z ≥0z ≥23z a b =-{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a (,9]-∞B A ⊆Φ≠Φ=B B 或Φ=B 1253+<-a a 6<a Φ≠B，可得，综上：． 12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________.【答案】或【解析】分类讨论：当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为；当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为；综上可得，双曲线方程为：或. 13.若数列，则__________. 【答案】【解析】令，得，所以．当时，．与已知式相减，得，所以，时，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥22533126a a a 96≤≤a 9≤a 60︒22113x y -=223177y x -=x 22221x y a b -=by x a=±22603{ 231btan aa b ==-=221{ 3a b ==22113x y -=y 22221y x a b -=ay x b=±22603{ 321btan aa b ==-=227{ 37a b ==223177y x -=22113x y -=223177y x -={}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+226n n +1n =4a 1=16a 1=2n ≥)1(3)1(a a a 21-n 21-+-=+++n n 22)1(3)1()3(22+=----+=n n n n n a n 2)1(4+=n a n 1n =1a．所以，所以，∴． 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.答案 18＋23或12＋4 3解析该几何体有两种情况：第一种，由如图①所示的棱长为2的正方体挖去一个三棱锥P －ABC 所得到的，所求的表面积为6×22－3×(12×2×2)＋34×(22)2＝18＋23(cm 2)．第二种，由如图②所示的棱长为2的正方体挖去三棱锥P －ABC 与三棱锥M －DEF 所得到的，所求的表面积为6×22－6×(12×2×2)＋2×34×(22)2＝12＋43(cm 2)．n a 2)1(4+=n a n 441+=+n n a n 12231n a a an +++=+n n n n 622)448(2+=++-三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围.【解析】若为真：对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为，∴，解得，∴为真时：；若为真：，成立，∴成立.设，易知在上是增函数，∴的最大值为，∴，∴为真时，，∵”为真，“”为假，∴与一真一假，当真假时，∴，当假真时，∴，综上所述，的取值范围是或. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点. （1）()'af x x x=+. 由切线的斜率为2得()'112f a =+=. ∴1a =.（2）()21ln 2g x a x x =+()1a x -+，0x >， ∴()'a g x x x =+()()()11x a x a x---+=. 1.当01a <<时，m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m p []1 1x ∀∈-，224822m m x x -≤--()222f x x x =--()()213f x x =--()f x []1 1-，3-2483m m -≤-1322m ≤≤p 1322m ≤≤q []1 2x ∃≤，212x mx -+>21x m x -<()211x g x x x x -==-()g x []1 2，()g x ()322g =32m <q 32m <p q ∨p q ∧p q p q 132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩32m =p q 132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或12m <m 12m <32m =由()'0g x >得0x a <<或1x >，()'0g x <得1a x <<， ∴()g x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增.又()21ln 2g a a a a =+()11ln 12a a a a a ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭0<，()()22ln 220g a a a +=+>，∴当01a <<时函数()g x 恰有一个零点. 2.当1a =时，()'0g x ≥恒成立，()g x 在()0,+∞上递增.又()11202g =-<，()4ln40g =>，所以当1a =时函数()g x 恰有一个零点. 3.当1a >时，由()'0g x >得01x <<或x a >，()'0g x <得1x a <<， ∴()g x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增. 又()1102g a =--<， ()()22ln 220g a a a +=+>，∴当1a >时函数()g x 恰有一个零点.综上，当0a >时，函数()()()1g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．…… 由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()x F x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x ()6x a f x x e ⎛'⎫=-⎪⎝⎭06a x <<()()0f x f x '<，6ax >()()0f x f x '>，()00,110666a a a f f f ⎛⎫⎛⎫<=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,166a a x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()00f x =00x x <<()0f x <0x x >()0f x >()f x ()0,+∞0x 1a >ln 0a >()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,a e ∈0ln a x <()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()[]2ln 1,1,6x g x x x x x e =--+∈()()3ln ,033x xg x x g x x''-='=->()g x '()1,e ()()110,1033eg g e ''=-=-()01,t e ∈()01g t '=()01,x t ∈()()0,g x g x '<()0,x t e ∈()()0,g x g x '>()1,x e ∈()()(){}max 1,g x g g e <()()21610,066e g g e -=-<=<()1,x e ∈()0g x <()0ln 0,0ln f a a x <<<0ln x a <<()()()()()0,0,0,xxe af x F x e a f x F x -'-<=0ln a x x <<()()()()()0,0,0,x xe af x F x e a f x F x -><=-<'，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记，因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解， ()()1,1,4a e ∈⊂ln a ()F x ()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,4a ∈ln a ()F x ()1,4a ∈0ln a x <()1,4a ∈()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()()2ln 1,1,46x g x x x x x =--+∈()()ln ,1,4,3x g x x x '=-∈()33x g x x '-'=3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ''>()g x '3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()3312ln 0,2ln202223g g ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭03,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00g t '=03,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<()0,2x t ∈()()0,g x g x '>3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()200000min ln 16t g x g t t t t ==--+()00g t '=00ln 3t t =()()2000min 16t g x g t t ==-+03,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()220000311106628t t g t t -=-+=-≤-<3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0g x <()3,2,ln 02a f a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭所以对任意，函数存在极大值点为．3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭()F x ln a。

分类讨论思想的简单应用

分类讨论思想的简单应用思想分类讨论是指将某一思想按照某种标准进行分类，以便更好地理解和应用这一思想。

思想分类讨论的简单应用涉及到对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，以便更好地理解和应用这一思想。

本文将围绕思想分类讨论的简单应用展开讨论，以期对读者有所帮助。

思想分类讨论的简单应用是对某一思想进行分析。

对某一思想进行分析，可以帮助我们更好地理解这一思想的内涵和外延，以及其与其它思想之间的关系。

对于马克思主义思想，我们可以通过对其社会历史背景、基本原理和实践应用进行分析，更好地理解这一思想的内在逻辑和价值取向。

在实际生活和工作中，我们可以通过思想分类讨论的简单应用，更好地理解和应用各种思想，提升自我认知和自我修养。

在管理实践中，我们可以通过对不同领导思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解员工心理和行为动因，制定更科学的管理策略和方法，提高管理效能和员工满意度。

在社会治理中，我们可以通过对不同政治思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解社会需求和公共利益，制定更可行的政策和措施，提高社会治理效果和人民福祉。

在文化交流中，我们可以通过对不同文化思想的分析、比较、总结和归纳，更好地理解彼此差异和共通之处，促进文明互鉴和民族交流，增进世界和平和发展。

思想分类讨论的简单应用是一种思维工具和方法论，可以帮助我们更好地理解和应用各种思想，提升个人素养和社会能力。

通过对某一思想进行分析、比较、总结和归纳，我们可以更清晰地认识其内涵和外延，更准确地把握其核心观点和实践路径，更有效地运用其理论思想和实践经验。

希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。

【2000字】希望本文所述能够对读者有所启发，并在实际生活和工作中产生积极意义。

【2000字】。

全国高考数学复习：专题(含参函数的单调性讨论)重点讲解与练习(附答案)

全国高考数学复习：专题（含参函数的单调性讨论）重点讲解与练习【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021ꞏ全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3](2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．[例4]设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．[例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性．10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．考点三导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．[例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．考点四导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e xꞏ(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性参考答案【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性． 1．解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021ꞏ全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2． ①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42．当x ∈⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0．所以f (x )在⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上单调递增． 4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2， x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a ，x 2＝－1＋1－1a ．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )．因为e －ax >0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0． [例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ．当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3．当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x． ①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间． 7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x． (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a 2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a 2a ，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，4k k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性． 10．解析函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1． ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a 2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a 2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a 2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a 2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x －x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )ꞏ1x －x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞1时，f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．考点四导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ꞏ(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析 (1)g′(x)＝(e x)′ꞏ(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x －a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。

二次函数的专题

二次函数综合题类型专题一：数学思想方法【例题1】数形结合思想：解不等式1032--x x ＜0。

【例题2】分类讨论思想：已知如图26—2所示，抛物线n x x y +--=52经过点()0,1A ，与y 轴交于点B 。

（1）求抛物线所对应的关系式。

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且PAB ∆是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标。

【例题3】联系转化法：求证：抛物线32++-=m x y 和直线()x m y 12+-=一定有两个交点。

专题二：二次函数的平移问题【例题】已知二次函数142+-=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线。

（1）求平移后的抛物线解析式。

（2）若直线m y =与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围。

（3）若将已知的抛物线解析式改为c bx ax y ++=2（a ﹥0，b ,0），并将此抛物线沿x 轴方向向左平ab -个单位，试探索问题（2）。

专题三：求二次函数的解析式【例题】已知抛物线()b x x a y ++-=812的图像的一部分如图26—4所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点()7,0-A 和点B 。

（1）求a 的取值范围。

（2）若OB OA 2=，求抛物线的解析式。

专题四：综合题【例题1】已知：如图26—11所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，090=∠A ，=BC 10=CD ，54sin =C 。

（1）求梯形ABCD 的面积。

（2）点F E 、分别是CD BC 、上的点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，联结EF 。

求EFC ∆面积的最大值，并说明此时F E 、的位置。

【课后练习】1、抛物线()2122-+-=x y 可由抛物线22x y -=向______平移______个单位，再向______平移_______个单位得到。

苏教版初一数学绝对值专题2 绝对值的分类讨论

绝对值的分类讨论【知识概要】我们都知道：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零．即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或者精简为 ⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a 这两个列表是对“绝对值”这一概念的代数化概括，在绝对值的计算和化简方面发挥的作用极大．同时，这一概括也包含了初中数学的一个重要思想——分类讨论．下面我们就来看看“分类讨论”思想是如何渗透到与绝对值有关的题目中的，又是如何去解决这一类题目的．【例题讲解】【例1】<考点：化简>(1)如果a ，b 均为非零有理数，则bb a a +可取的值有个，是； (2)如果a ，b ，c 均为非零有理数，那么cc b b a a ++可取的值有个，是； (3)如果有理数0≠n a （n 为非负整数），那么201220122011201122111......a a a a a a a a y ++++=可取的值有个，是；(4)如果有理数0≠n a （n 为非负整数），那么201320132012201222112......a a a a a a a a y ++++=可取的值有个，是．归纳：当相加的代数式有n 个时，它可取的值有)1(+n 个．当n 为奇数时，可取的值是21+n 对相反数；当n 为偶数时，可取的值是0和2n 对相反数．【例2】<考点：化简取值>a ，b ，c 均为整数，且120132012=-+-a c ba ，试求ac c b b a -+-+-的值．【例3】<考点：零点分段法>(1)化简325-++x x ； (2)化简321++-+-x x x ．【例4】<考点：零点分段法结合最值问题>已知14162+--++=x x x y ，求y 的最大值．【例5】<考点：多个绝对值符号化简>解方程：7122=++-x x ．【例6】<考点：多重绝对值符号化简>求方程312=+-x x 的不同的解的个数．【例7】<考点：带字母的多重绝对值符号化简> 关于x 的方程a x =--12有三个整数解，求a 的值．【随堂练习】1、若0ab >，求a b ab a b ab++的值．2、三个有理数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且caca bc bc ab ab c c b b a a x +++++=，则代数式321ax bx cx +++的值为多少？3、若a ，b ，c 都是整数，且19919=-+-a c ba ，则a c cb b a -+-+-的值是多少？4、(1)化简1213-++x x ； (2)化简6311---++x x x ．5、非零整数m 、n 满足05=-+n m ，那么所有整数组()n m ,共有多少组？分别是哪些？6、求413=+-x x 的解．。

专题二学习讨论心得范文

专题二学习讨论心得范文在专题二的学习过程中，我深刻认识到了讨论的重要性，并在和同学们的讨论中得到了很多启发和收获。

在这篇心得中，我将分享我对讨论的理解和经验，并总结出了一些讨论的技巧和要点。

首先，我意识到讨论可以帮助我更全面地理解和掌握知识。

在讨论中，每个人都可以分享自己的观点和理解，从而达到相互借鉴和学习的效果。

通过听取他人的观点，我可以从不同的角度思考问题，发现自己不曾考虑过的因素，并完善自己的观点。

讨论还可以促使我更深入地了解所学知识，通过与他人的互动，我可以更加深刻地理解学习内容，并能够应用到实际问题中。

其次，我发现讨论是一种提高表达能力的有效方式。

在讨论中，每个人都有机会发表自己的观点和论据，并用语言来阐述自己的思考过程。

通过讨论，我可以提高自己的口头表达能力和说服力，锻炼自己的逻辑思维和辩证能力。

讨论还能够培养我的团队合作意识和沟通能力，在与他人的互动中，在寻求共识的过程中，我必须学会倾听他人的意见，尊重他人的观点，并与他人达成一致。

另外，我还领悟到讨论是一个开阔视野的途径。

在讨论中，每个人都有机会分享自己的经验和看法，通过与他人的交流，我可以了解到不同的观点和思维方式，开拓自己的视野。

讨论还能够让我接触到各种各样的问题和挑战，让我不断思考和探索。

在讨论中，我还可以从他人的成功和失败中学习，吸取经验教训，提高自己的综合运用能力。

在和同学们的讨论中，我也总结出了一些讨论的技巧和要点。

首先，我发现一个好的讨论是建立在充分准备的基础上的。

在参与讨论之前，我会提前阅读相关资料并做好准备工作，使自己对问题有一定的了解，并能够有条理地表达自己的观点。

其次，我认识到在讨论中要善于倾听和尊重他人的观点。

每个人都有自己的思考和观点，在讨论中，我要耐心倾听他人的意见，并尊重他人的观点，这样才能够建立一个良好的讨论氛围。

另外，我还发现在讨论中要慎重选择证据和论据，尽量使用客观可信的信息来支持自己的观点，这样可以增加自己的说服力和可信度。

分类讨论思想方法

→明确讨论对象，确定对象的全体 →确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 →归纳小结，综合得出结论。
2．逻辑划分应遵循的原则：
分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。
3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用统一式。
（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用分列式。
三、灵活运用逻辑划分的思想方法
1．通过“补集”间接求解。 2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，
则它的体积为___D______。
A. 8 3；B. 4 3 ；C. 2 3 ；D. 4 3 或 8 3 。
9
9
9
99
Ⅱ、示范性题组：
例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较| 的大小。
log a (1 x)|与|
log a (1 x)|
【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1
当0<a<1时， |log a (1 x)|－| log a (1 x) |＝ log a (1 x) －
log a (1 x) log a (1 x 2 ) >0;
当a>1时，| log a (1 x)|－| log a (1 x)|＝……

2≥0
或

；

技法专题第2讲分类讨论思想、转化与化归思想

问题的C思o想py策r略ig．h对t 问20题1实9-行20分1类9与A整sp合o，s分 e P类t标y准L等td于. 增加
一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.
分类讨论思想在解题中的应用
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
①当 m≤0 时，g′(x)≤0，则 g(x)的单调递减区间是(－∞，
＋∞)；
②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－ 2m 或x＞ 2m ，则
g(x)的单调递减区间E是v(a－lu∞a，ti－on2omn) l，y.( 2m，＋∞)． ated w综i上th所A述s，pmos≤e0.S时l，idge(xs)的fo单r调.N递E减T区3间.5是C(－li∞en，t＋P∞ro)；file 5.2
Evaluation only. ated witfh(a)A＝s－p3o，se则.Sf(l6i－deas)＝for .NET 3.5 Client P(rofi)le 5.2
AC．o－p74yright 2019-201B9．A－sp54 ose Pty Ltd.
C．－34
D．－14
解析：由于 f(a)＝－3，
综上知，||PPFF21||＝72或 2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按
直角顶点不同的位E置v进a行lu讨at论io．n only. ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
C(2o)涉py及r几ig何h问t 2题0时19，-2由0于1几9 A何s元p素os的e形P状ty、L位t置d.变化

中考专题1-3

专题1 分类讨论思想名师专题讲座分类讨论是一种重要的数学思想，也是近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一要准确，二要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有疏漏。

在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同地情况作出符合题意的解答。

例如，对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍;在不同的取值范围内，将代数式表达成不同的形式；对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。

许多中考题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

分类的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个标准；分类讨论应逐级进行。

历年考题评析例1 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D 不重合），过点A 作AF ⊥AE ，交边CB 的延长线于点F ，联结EF ，交边AB 于点G 。

设DE=x ，BF=y 。

（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域。

（2）如果AD=BF ，求证：△AEF ∽△DEA.(3)当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE 的长；如果不能，请说明理由。

解（1）在矩形ABCD 中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3.即得∠D=∠ABF.AF ⊥AE, ∠EAF=∠BAD=90°.又∠EAF=∠BAE+∠BAF, ∠BAD=∠DAE+∠BAE, ∠DAE=∠BAF.于是，由∠D=∠ABF, ∠DAE=∠BAF,得△DAE ∽△BAF.AD DE AB BF =.由DE=x,BF=y,得34,.43x x y =即得y=y 关于x 的函数解析式是43x y=，定义域为0＜x ＜4.(2)AD=BF,AD=BC,BF=BC.在矩形ABCD 中，AB ∥CD,1.FG FBGE BC==即得FG=EG.于是，由∠EAF=90°,得AG=FG. ∠FAG=∠AFG. ∠AFE=∠DAE.于是，由∠EAF=∠D, ∠AFE=∠DAE,得△AEF ∽△DEA.(3)当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能成为等腰三角形.此时，①当AG=EG 时，DE=9;4②当AE=GE 时，3;2DE =③当AG=GE 时，7.8DE = 名师点拨此题分类讨论的思想体现在第3小题，注意的问题是等腰三角形只涉及两边相等，可能的情况都要考虑到，否则容易漏解，导致失分.CFx 例2 如图，Rt △ABO 在直角坐标系中，∠ABO=90°，点A （-25，0），∠A 的正切值为43，直线AB 与y 轴交与点C.(1)求点B 的坐标,(2)将△ABO 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在x 轴正半轴上的B '处，试在直角坐标系中画出旋转后的△A B O '',并写出点的坐标.（3）在直角坐标系上是否存在点D 使△ABO 与△CDO 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.BH ⊥AO 于H,由4tan 4,3,5.3A BH k AH k AB k ====，设则 4tan 3Rt ABO A ∆=在中，， .4100(3)25,tan .,1520,3333,.,,90,44390,.41005253.54154Rt AOC AC A OC OA y kx k k y x ABO A B O AOB A OB AOB A COA A OB A COA OA D D x x CO AO x x OD AB x ︒︒'∆====='''''==∆∆∠=∠∠+∠=∠+''''∠=∠=∠==在中，，设的解析式为则则旋转至在直线上存在点符合条件，设点的坐标为（，），则OD=当时，即，也即161001540035259440010093CO AB x OD AO x =∆∆===∆∆时，COD 与AOB相似，此时D(16,12).当时，即，也即时，COD 与AOB 相似，此时D(,).名师点拨此题分类讨论的思想体现在第3小题，判断两个三角形相似可能分几种对应情况，对应边对应角均可以变换，不能仅讨论一种情况.例3 见图（a ），在Rt △BAC 中，∠A=90°AB=3，AC=4. ⊙B 与⊙A 外切于点D ，并分别与BC 、AC 边交于点E 、F.(1)EC=x,FC=y,求y 关于x 的关系式，并写出定义域.（2）如果△FEC 与△ABC 相似，求AD:BD.（3）如果⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，求AD:BD.(c)(b)(a)C【解】(1)在Rt △BAC 中，∠ A=90°，AB=3，AC=4，BC=5．⊙B 与⊙A 外切于点D ，并分别与BC 、A C 边交于点E 、F,AD=AF ，BD=BE ，AF+AB+BE=2AB=6，CE+CF=(AB+BC+CA)一(AF+AB 十BE)=6．EC=x ，FC=y ，z+y=6，y=6-x ，2<x<5．(2)如果△FEC ∽△ABC ，那么FC ：AC=EC ：BC ，(6-x)：4= x ：5, 103x =，AD ：BD= 45:4:533=；如果△EFC ∽△ABC ，那么EC:AC=FC:BC ，x:4=( 6-x):5，827,::2:7.333x AD BD ===(3)如果⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，有两种情况：①⊙C 与⊙A 、⊙B 都外切(见图(c))，则CE=CF ，CE=x ，CF=6-x ，x= 6-x ，x =3，AD ：BD=1：2；②⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切(见图(c))，则CA+AF=CB+BE ，CA=4，AF=AC-CF=4-6+ x= x -2，CB=5。

分类讨论思想方法

分类讨论思想1、专题概述分类讨论是一种逻辑方法与数学思想，在高考中占有重要位置，其原因有：〔1〕分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，具有较强的综合性、探索性，有利于知识面的考查；〔2〕有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性；〔3〕它需要有一定的分析能力与分类技巧，有利于培养学生思维的条理性和概括性；〔4〕分类讨论思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

解分类讨论问题的实质是将整体问题化为假设干个部分解决，从而增加了题设条件，它表达了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这正是分类讨论的根本原因。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：〔1〕问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如绝对值的定义、指对数函数的定义、直线的斜率与倾斜角等，这种分类讨论题型可以称为概念型。

〔2〕问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法那么有X 围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n 项和的公式，分q ＝1和q ≠1两种情况，这种分类讨论题型可以称为性质型。

〔3〕解含有参数的题目时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值而要不同的求解或证明方法，因此必须根据参数的不同取值X 围进行讨论，这称为含参型。

〔4〕由数学运算要求引起的分类讨论，如利用不等式性质时注意使用条件等。

〔5〕较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时要遵循的原那么及其须知：〔1〕被分类的对象的集合的全域是确定的；〔2〕每一次分类的标准要统一，要分清主次、科学划分；〔3〕每一次分类必须要“不漏不重〞；〔4〕如需多次分类，必须是逐级进行，不越级讨论；〔5〕要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：〔1〕确定讨论对象及其X 围；〔2〕确定分类标准，合理分类，分类互斥；〔3〕逐类进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；〔4〕最后进行归纳小结，综合得出结论。

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想

数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

分类讨论思想方法-文档资料

高考专题辅导
分类讨论思想方法
分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
→明确讨论对象，确定对象的全体 →确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 →归纳小结，综合得出结论。
2．逻辑划分应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。 3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
l o g( x ) l o g( x ) a1 a1
log 1 x )|＝…… a(
例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①C (A∪B) 且C中含有3个元素；②C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： ①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】 C
1 · 12
C
2 ＋ 8
C
2 12·
C
1 8＋
C
3 · 12
C 80 ＝1084
3 3 【另解】（排除法）： C C 1 0 8 4 2 0 8 例3.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有 f(x)>0，求实数a的取值范围。
【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）

高中高考数学专题总结复习分类讨论思想

二、分类议论思想高考动向分类议论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中常常使用的数学思想方法之一.突出考察学生思想的谨慎性和周祥性，以及认识问题的全面性和深刻性，提升学生剖析问题，解决问题的能力，能表现“侧重考察数学能力”的要求.所以分类议论是历年数学高考的要点与热门 .并且也是高考的一个难点.数学中的分类议论贯串教材的各个部分，它不单形式多样，并且拥有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类议论的常有情况（ 1）由数学观点惹起的分类议论：主假如指有的观点自己是分类的，在不一样条件下有不一样结论，则一定进行分类议论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（ 2）由性质、定理、公式惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，2在不一样条件下结论不一致，如二次函数y=ax +bx+c(a ≠，0)由 a 的正负而致使张口方向不确定，等比数列前n 项和公式因公比q 能否为 1 而致使公式的表达式不确立等.（3）由某些数学式子变形惹起的分类议论：有的数学式子自己是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0， a=0， a＜0， a＞ 0 解法是不一样的 .（4）由图形惹起的分类议论：有的图形的种类、地点也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的地点关系等 .（5）由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中常有.（6）由参数变化惹起的议论：所解问题含有参数时，一定对参数的不一样取值进行分类议论；含有参数的数学识题中，参变量的不一样取值，使得变形受限致使不一样的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确立的，标准是同一的；分类议论问题的难点在于什么时候开始议论，即认识为何要分类议论，又从几方面开始议论，只有明确了议论原由，才能正确、适合地进行分类与议论.这就要求我们正确掌握所用的观点、定理、定义，考虑问题要全面. 函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线地点关系中的鉴别式等等，常常是分类议论区分的依照.（ 2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级议论.当问题中出现多个不确立要素时，要以起主导作用的要素进行区分，做到不重不漏，而后对区分的每一类分别求解，再整合后获取一个完好的答案.数形联合是简化分类议论的重要方法.3．分类议论的一般步骤第一，明确议论对象，确立对象的范围；第二，确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类议论，获取阶段性结果；第四，概括总结，得出结论.4.分类议论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类议论是一种重要的解题策略，但这类分类议论的方法有时比较繁琐，如有可能，尽量防止分.经典例题透析种类一：不等式中的字母议论1、（ 2010·山）若于随意，恒建立， a 的取范是________.一反三：【式 1】解对于的不等式:（）.【式 2】解对于的不等式:.种类二：函数中的分类议论2、数，函数的最大，（Ⅰ），求的取范，并把表示的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求足的全部数 .分析：（ I）∵，∴要使存心，必且，即∵，且⋯⋯①∴的取范是，由①得：，∴，，（ II ）由意知即函数，的最大，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种状况进行议论：（ 1）当时，函数，的图象是张口向上的抛物线的一段，由知在上单一递加，故；（ 2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是张口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（ III ）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，进而有或，要使，一定有，，即，此时，，综上所述，知足的全部实数为：或.贯通融会：【变式1】函数的图象经过点(-1， 3)，且 f(x) 在 (-1， +∞)上恒有f(x)<3 ，求函数 f(x).分析： f(x) 图象经过点 (-1， 3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不知足题意；(2)当，则，此时，x∈ (-1，+∞)时，即 f(x)<3 ，知足题意为所求.综上，.【变式 2】已知函数有最大值2，务实数的取值.分析：令，则().(1)当即时，，解得 :或（舍）；(2)当即时，,解得 :或（舍）；(3) 当即时，，解得（全都舍去） .综上，当或时，能使函数的最大值为 2.贯通融会：【变式 1】设，（ 1）利用函数单一性的意义，判断f(x) 在（ 0， +∞）上的单一性；（2）记 f(x) 在 0<x≤1上的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的分析式 .分析：（1）设 0<x 1<x 2<+∞则f(x 2)-f(x 1)=由题设 x2-x1>0 ，ax1·x2>0∴当 0<x 1<x2≤时，，∴ f(x2)-f(x1)<0，即 f(x 2)<f(x 1)，则 f(x) 在区间 [0，]单一递减，当<x 1<x 2<+∞时，，∴ f(x 2)-f(x 1)>0，即 f(x 2)>f(x 1)，则 f(x) 在区间（，+∞）单一递加.（ 2）由于 0<x≤1，由（ 1）的结论，当 0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当>1，即 0<a<1 时， g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a) ＝.种类三：数列4、数列 {a n} 的前n 项和为S n，已知 {S n} 是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.分析：设等比数列 {S n} 的公比为q，则 q>0①q=1 时， S n=S1=a1当 n=1 时，，a2=0，∴，即当 n≥2时， a =S -Sn-1 =a -a =0，，即nn 1 1n-1n-1 (2)q ≠1时， S n=S1·q=a1·q当n=1 时，∴ ，即.当 n ≥2 ，a n =S n -S n-1 =a n-1n-2n-21·q -a 1·q =a 1·q (q-1)此∴ q>1 ，，0<q<1 ，.升：等比数列前 n 和公式分 q=1 或 q ≠1两种状况行 .一反三：【式 1】求数列： 1， a+a 2 234 3456n,a +a +a ,a +a +a +a , ⋯⋯（此中 a ≠0）的前 n 和 S .分析：数列的通 n-1 n2n-2a n =a +a +⋯ +a：（ 1）当 a=1 ， a n =n ， S n =1+2+⋯ +n=（ 2）当 a=-1 ，，∴ ，（ 3）当 a ≠±1且 a ≠0 ，，∴.【变式 2 】设 {a n} 是由正数组成的等比数列， S n是其前n项和，证明:.分析：（ 1）当 q=1 时，S n=na1，进而，（ 2）当 q≠1时，，进而由（ 1）（ 2）得 :.∵函数为单一递减函数.∴∴.【变式 3】已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列 .(Ⅰ )求 q 的值；(Ⅱ )设 {b } 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 S ，当 n≥2时，比较 S n n nn的大小，并说与 b明原由 .分析：2(Ⅰ )由题设 2a3=a1+a2，即 2a1q =a1+a1q,∵a1≠0，∴ 2q2 -q-1=0，∴或，(Ⅱ )若 q=1 ，则当 n≥2时，若当 n≥2时，故对于 n∈N +，当 2≤n≤9时， S n>b n；当 n=10 时， S n=b n；当 n≥11时， S n<b n.【变式 4 】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，此中；一般地，规定为的 k 阶差分数列，其中且 k∈ N* ， k≥2。

高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)

1 3 1 时，要使 P 点落在指定区域内，即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。题型 3：代数式的几何意义应用例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边界 ) 运动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的取值范围是是；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段

2024年北师大版七年级上册数学第四章基本平面图形培优提升专题2：角度计算中的三大数学思想

(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数；
解：(1)因为∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°.
因为OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，
所以∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝12∠AOB－
12∠AOC＝12×120°－12×30°＝45°.
(2)若∠AOC＝m°，∠BOC＝n°，求∠DOE的度数.
解：(2)因为OD，OE分别平分∠AOB，∠AOC，
∠AOC＝m°，∠BOC＝n°，
所以∠AOE＝∠COE＝12∠AOC＝
m 2
°，
又因为∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝(m＋n)°，
所以∠DOA＝12∠AOB＝12(m＋n)°.
所以∠DOE＝12(m＋n)°－
m 2
°＝
n 2
°.
·数学
·数学
◆类型2 分类讨论思想
·数学
图3
·数学
7.将两个完全相同的直角三角板(∠AOB＝∠OCD＝30°)按图1的方式放
置，使边OA和边OD与直线MN重合，∠AOB和∠COD的顶点与O重合.
(1)如图1，∠B图O1C＝
°；图2
(2)如图2，若OE平分∠9B0ON，求∠COE的度数；
解：(2)∵∠AOB＝30°，∴∠BON＝180°－30°＝150°， ∵OE平分∠BON，∴∠BOE＝12∠BON＝75°，
A.∠BAE－∠CAD＝90°
B.∠EAC≠∠BAD C.∠BAD＝∠CAE D.∠BAE＋∠CAD＝90°
·数学
6.如图，将一副直角三角板ABC，ADE叠加放置，其中B与
E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°.将三角板ADE从图中位置开始绕点A逆时针旋转一周，当∠DAC＝90°时，

专题2 分类讨论思想

专题2分类讨论思想一、选择题1．等腰三角形有一个角的度数为50°，那么它的底角的度数为( )A．50°B．65C．80°D．50°或65°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．若直角三角形的两边长分别为3 cm和4 cm，则第三边长为( )A．5 cm B．7 cmC．5 cm或7 cm D．5 cm或7 cm4．(2019·达州)如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( C )5．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为( )A．－74B． 3 或－ 3C．2或－ 3 D．2或 3 或－7 4二、填空题6．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB 上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝____时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．7．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款___元．8．如图，直线y＝－34x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是____．三、解答题9．如果四个整数中的三个数分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，求它们的中位数．10．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元(b＞a)收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值，某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？11．如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D站开往A站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车(上、下车的时间忽略不计)，上行车、下行车的速度均为30千米/小时．(1)问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？(2)若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t 的函数关系式；(3)一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P处(不含B，C站)，刚好遇到上行车，BP＝x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．专题2分类讨论思想一、选择题1．等腰三角形有一个角的度数为50°，那么它的底角的度数为( D )A．50°B．65C．80°D．50°或65°2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．若直角三角形的两边长分别为3 cm和4 cm，则第三边长为( C )A．5 cm B．7 cmC．5 cm或7 cm D．5 cm或7 cm4．(2019·达州)如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是( C )5．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为( C )A ．－74B ． 3 或－ 3C ．2或－ 3D ．2或 3 或－74解析：当m ＜－2，x ＝－2时，y最大＝－(－2－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝－74(舍)，当－2≤m ≤1，x ＝m 时，y 最大＝m 2＋1＝4，解得m ＝－ 3 ；当m ＞1，x ＝1时，y 最大＝－(1－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝2，综上所述：m 的值为－ 3 或2，二、填空题6．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125 或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．7．某超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；(3)一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款__316或288__元．8．如图，直线y＝－34x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是__(－73，0)或(－173，0)__．解析：A(－4，0)，B(0.－3)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，可证△APD∽△ABO，∴PDOB＝APAB，∴13＝AP5，∴AP＝53，∴OP＝73或OP＝173，∴P(－73，0)或P(－173，0).三、解答题9．如果四个整数中的三个数分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，求它们的中位数．解：设第四个数为x，所以对x进行分类讨论：当x≤2时，这组数据按从小到大的顺序排列后为x，2，4，6，这时它的中位数为2＋42＝3；当2＜x＜4时，这组数据按从小到大的顺序排列后为2，x，4，6，这时它的中位数为x＋42且为整数，所以x不存在；当4≤x＜6时，这组数据按从小到大的顺序排列后为2，4，x，6，这时它的中位数为x＋42，当x＝4时，符合题意；当x≥6时，这组数据按从小到大的顺序排列后为2，4，6，x，这时它的中位数为4＋62＝5；综上所述，所求的中位数为3或4或5.10．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元(b＞a)收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值，某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；(3)已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？解：(1)a ＝15÷10＝1.5.用8吨水应收水费8×1.5＝12(元).(2)当x ＞10时，y ＝2x －5，b ＝2；(3)∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过30元，不符合题意；假设乙用水10吨，则甲用水14吨，∴水费是：1.5×10＋1.5×10＋2×4＜46，不符合题意；∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．设甲、乙两家上月用水分别为x 吨，y 吨，则甲用水的水费是(2x －5)元，乙用水的水费是(2y －5)元，则⎩⎨⎧y ＝x －4，2y －5＋2x －5＝46，解得：⎩⎨⎧x ＝16，y ＝12，故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．11．如图，公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A ，B ，C ，D 四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A 站开往D 站的车称为上行车，从D 站开往A 站的车称为下行车，第一班上行车、下行车分别从A 站、D 站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车(上、下车的时间忽略不计)，上行车、下行车的速度均为30千米/小时．(1)问第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？(2)若第一班上行车行驶时间为t小时，第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s千米，求s与t 的函数关系式；(3)一乘客前往A站办事，他在B，C两站间的P 处(不含B，C站)，刚好遇到上行车，BP＝x千米，此时，接到通知，必须在35分钟内赶到，他可选择走到B站或走到C站乘下行车前往A站．若乘客的步行速度是5千米/小时，求x满足的条件．解：(1)第一班上行车到B站用时530＝16小时，第一班下行车到C站用时530＝16小时；(2)当0≤t≤14时，s＝15－60t，当14＜t≤12时，s＝60t－15；(3)由(2)可知同时出发的一对上、下行车的位置关于BC中点对称，设乘客到达A站总时间为t分钟，①当x ＝2.5时，往B 站用时30分钟，还需要再等下行车5分钟，t ＝30＋5＋10＝45，不合题意；②当x ＜2.5时，只能往B 站乘下行车，他离B 站x 千米，则离他右边最近的下行车离C 站也是x 千米，这辆下行车离B 站(5－x )千米，如果能乘上右侧的第一辆下行车，则x 5 ≤5－x 30 ，解得：x ≤57，∴0＜x ≤57 ，∵1847 ≤t ＜20，∴0＜x ≤57符合题意；如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x ＞57 ，x 5 ≤10－x 30 ，解得：x ≤107 ，∴57 ＜x ≤107，2217 ≤t ＜2847 ，∴57 ＜x ≤107符合题意；如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x ＞107 ，x 5 ≤15－x 30 ，解得：x ≤157 ，∴107 ＜x ≤157，3557≤t ＜3717 ，不合题意，∴综上，得0＜x ≤107 ； ③当x ＞2.5时，乘客需往C 站乘坐下行车．离他左边最近的下行车离B 站是(5－x )千米，离他右边最近的下行车离C 站也是(5－x )千米．如果乘上右侧第一辆下行车，则5－x 5 ≤5－x 30，解得：x ≥5，不合题意．∴x ≥5，不合题意．如果乘不上右侧第一辆下行车，只能乘右侧第二辆下行车，x ＜5，5－x 5 ≤10－x 30，解得x ≥4，∴4≤x ＜5，30＜t ≤32，∴4≤x ＜5符合题意．如果乘不上右侧第二辆下行车，只能乘右侧第三辆下行车，x ＜4，5－x 5 ≤15－x 30，解得x ≥3，∴3≤x ＜4，42＜t ≤44，∴3≤x ＜4不合题意．综上，得4≤x ＜5.综上所述，0＜x ≤107 或4≤x ＜5.。

分类讨论

或24cm² 角形的面积为84cm² _____________
考点四含未知字母系数的分类讨论
• 例题4、若直线y=-4x+b与两坐标轴围成的三
角形的面积是5，则b的值为（ B ）
A. 2 5
B. 2 10
C.2 10
D. 2 10
考点四含未知字母系数的分类讨论
• 变式1、若直线y=4x+b不经过第二象限， b≤0 那么b的取值范围为_________
挑战自我
• 1、如图，在直角坐标系中， Rt△OAB的直角顶点A在x轴上， OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时， • 问在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
考点三
三角形中的分类讨论
• 例题3、在△ABC中，AB=4，BC=3，
∠BAC=30°，则△ABC的面积为 2 3 5 或2 3 5 ____________
B
B
A C D
D
C
A
考点三
三角形中的分类讨论
• 变式1、三角形一边长AB为13cm，另一边 AC为15cm，BC上的高为12cm，求此三
• 变式2、已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
小结
• 今天学习了哪几种分类讨论的题型？
达标检测
1、二次函数y=m2x2-4x+1有最小值-3，则m 等于（） A、 1 B、 -1 C、±1 D、±1/2 2、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足 A、 a≥1 B、a＞1且a≠5 C、a≥1且a≠5 D、a≠5 3、已知x、y为直角三角形两边的长，满足 x 2 4 y 2 5 y 6 0 ，则第三边的长为 _______

专题2 分类讨论思想

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