高考小题限时练 3

高考小题限时练3
1．(2017·江苏泰州中学摸底)已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________. 答案 {1,2}
解析 A ∩B ＝{x |x >0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．
2．(2017·江苏溧水中学质检)命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5＞0”的否定是________________． 答案 ∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0
解析 因为全称命题的否定是存在性命题，
所以，命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5＞0”的否定是
∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0.
3．(2017·江苏灌南华侨中学月考)已知复数z ＝(1＋i)(2－i)(i 为虚数单位)，则z ＝________. 答案 3－i
解析 ∵z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，∴z ＝3－i.
4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7个剩余分数的方差为________．
答案 367
解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917
＝91， 解得x ＝4.
所以s 2＝17
[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367
. 5．(2017·扬中、六合等七校联考)在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是________．
答案 13
解析 由题设可知P (S 1>2S 2)＝13
.
6．(2017·无锡一中期中)执行如图所示的流程图，则输出的M 值应为________．
答案 2
解析 由题意，执行流程图，可得
i ＝1，满足条件，则M ＝11－2
＝－1， i ＝2，满足条件，则M ＝11－(－1)＝12
， i ＝3，满足条件，则M ＝11－12
＝2， i ＝4不满足条件，退出循环，输出M 的值为2.
7．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8＝________.
答案 9
解析 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝13，
7a 1＋21d ＝35，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
d ＝1，
所以a 8＝9. 8．如图，正四棱锥P －ABCD 的底面一边AB 长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为______ cm 3.
答案 4
解析 设侧面三角形的高为h cm ，
则4×12
×23h ＝83，解得h ＝2， 故棱锥的高为H ＝22－(3)2＝1(cm)，
所以棱锥的体积为V ＝13
×(23)2×1＝4(cm 3)． 9．已知sin 2α＝13
，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 23
解析 cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23
. 10．(2017·江苏梁丰中学质检)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．
答案 相交
解析 圆的标准方程为M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，
则圆心为(0，a )，半径R ＝a ，
圆心到直线x ＋y ＝0的距离d ＝
a 2， ∵圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，∴2 a 2－a 2
2＝22，即a 2＝4，a ＝2，
则圆心为M (0,2)，半径R ＝2，圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为N (1,1)，半径r ＝1，则MN ＝2，
∵R ＋r ＝3，R －r ＝1，
∴R －r ＜MN ＜R ＋r ，即两个圆相交．
11．如图，若C 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点
和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC ＝OF ，AB ∥OC ，则该椭圆的离心率为________．
答案 63
解析 方法一 设C (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝c 2，
y 0x 0＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝ac a 2＋b 2，y 0＝bc a 2＋b 2，
代入椭圆方程得a 2c 2a 2＋b 2a 2＋b 2c 2
a 2＋
b 2
b
2＝1， 整理得2c 2＝a 2＋b 2.
又a 2＝b 2＋c 2，故2c 2＝a 2＋a 2－c 2，
∴e 2＝23，又0<e <1，故e ＝63
. 方法二 过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，
则△AOB ∽△ODC ，
故可设⎩⎪⎨⎪⎧ OC ＝a 2＋b 2k ，OD ＝ak ，
DC ＝bk ，其中k >0，
由题意得⎩⎨⎧ (ak )2a 2＋(bk )2b
2＝1，a 2＋b 2k ＝c ，
又a 2＝b 2＋c 2，故⎩
⎪⎨⎪⎧
k 2＝12，2a 2＝3c 2，故e ＝63. 12．(2017·南京一中实验学校月考)若正实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则
1x ＋y ＋x ＋y z 的最小值是________．
答案 3
解析 由题意，x ，y ，z ＞0，且满足x ＋y ＋z ＝1.
则1
x ＋y ＋x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋z x ＋y ＋x ＋y z ≥2
z x ＋y ·x ＋y z ＋1＝3， 当且仅当z ＝x ＋y ＝12
时，取等号． ∴1
x ＋y ＋x ＋y z 的最小值是3. 13．(2017·江苏启东中学月考)若曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝12e
x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则t s
＝________. 答案 e 2e
解析 曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝a x
， 在P (s ，t )处的斜率为k ＝a s
. 曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝x e
， 在P (s ，t )处的斜率为k ＝s e
. 由曲线y ＝a ln x (a ≠0)与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得a s ＝s e
，并且t ＝s 2
2e
＝a ln s ， 得ln s ＝12
，∴s 2＝e. 则a ＝1，∴t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e 2e
. 14．已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案 ⎝
⎛⎦⎤－∞，21510 解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，
所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1
x ＋y －3≥a . 令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t
≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增． 方法一 等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，
令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，
则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，
故f (t )≥f (25)＝25＋1
25＝21510，所以a ≤21510. 方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2
(x >2)， 故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋
5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2
＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25， 数形结合可知当t ≥25时，符合题意，
故f (t )≥f (25)＝25＋
125＝21510， 所以a ≤21510.。