[推荐学习]高考数学考点解读+命题热点突破专题21分类与整合思想化归与转化思想文
高考数学理科(二)分类与整合思想、转化与化归思想
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的根本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1.假设一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，那么这条直线的方程为()x＋y－7＝0x－5y＝0＋y－7＝0或2x－5y＝0D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0答案C解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为2y＝x，即2x－5y5＝0；当a≠0时，设直线方程为x＋y＝1，求得a＝7，那么直线方程为x＋y－7＝0.aa2.Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，那么S5－S4的值为()答案D解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为S n＝2a n－2，n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，两式相减得a n＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1，那么数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，S5－S4＝a5＝25＝32.3.集合A＝－1，1，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，假设A∩B＝B，那么所有符合条件的实数m组成的集合是()2A.{0，－1，2}B.－1，0，12C.{－1，2}D.－1，0，12答案A解析因为A∩B＝B，所以B?A.假设B为?，那么m＝0；假设B≠?，那么－m－1＝0或1m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.应选A.21sinπx2，－1<x<0，4.设函数f(x)＝x－1假设f(1)＋f(a)＝2，那么实数a的所有可能取值的集合是________.e，x≥0.答案2－2，1解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.a≥0时，f(a)＝1＝e a－1，所以a＝1.2当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa)＝1，π所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)，2211所以a＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a＝.22因为－1<a<0，所以a＝－22.那么实数a的取值集合为－2，1.2二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，那么它的体积为()832383A.33 C.93或3答案D解析当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×1×4＝43；2当长、宽分别为4和6时，体积V＝4×23×1×6＝833323.x≥0，6.变量x，y 满足的不等式组y≥2x，表示的是一个直角三角形围成的平面区域，那么实数k等于kx－y＋1≥0()11或－1A.－2B.22答案Dx≥0，解析不等式组y≥2x，表示的可行域如图阴影局部所示(含边界)，由图可知，假设要使不等式组kx－y＋1≥0 2x≥0，y≥2x，表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足. kx－y＋1≥0结合图形可知斜率k的值为0或－1.27.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，假设曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，那么曲线C的离心率为________.答案1或322解析不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0.假设该曲线为椭圆，那么有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，c2c 3t1|F1F2|＝3t＝2c，e＝a＝2a＝6t＝2；假设该曲线为双曲线，那么有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，c2c＝3t3|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝2t ＝.a2a2综上，曲线C的离心率为13或. 228.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，假设△OPF为等腰三角形，那么这样的点P的个数为________.答案 4解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，假设设P(x，y)，那么|FO|＝p，|FP|＝x －p2＋y2，x－p2＋y2＝p，那么有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.9.实数a，x，a>0且a≠1，那么“a x>1〞的充要条件为( )A.0<a<1，x<0B.a>1，x>0C.(a－1)x>0D.x≠0答案C3解析x x0由a>1知，a>a，当0<a<1时，x<0；当a>1时，x>0.故“a x>1〞的充要条件为“(a－1)x>0〞.10.假设函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，那么实数a的取值范围为()A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案B解析当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.22242当a≠0时，函数f(x)＝ax＋4x－3＝ax＋a－3－a，其对称轴为x＝－a.当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.22当a<0时，只有当－a≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2).应选B.2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，假设存在x0∈R，使得f(x00a的11.设函数f(x)＝x)<0和g(x)<0同时成立，那么实数取值范围为()A.(7，＋∞)B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案A解析由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知，当a>6时，假设g(x0)<0，那么x0<2，∴要使f(x0)<0，那么需a>6，解得a>7. f2<0，当a<－2时，假设g(x0)<0，那么x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝a<－1，2a，＋∞上为增函数，故函数f(x)在区间2f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.综上，实数 a的取值范围为(7，＋∞).4一、特殊与一般的化一般特殊化，使理得直接、，也可以通一般的特殊情形找到一般思路；特殊一般化，可以使我从宏整体的高度把握的一般律，从而到达成批理的效果；于某些、填空，可以把中化的量用特殊代替，得到答案或者思路 .1.据某超市两种蔬菜A，Bn天价格分a1，a2，a3，⋯，a n和b1，b2，b3，⋯，b n，令M＝{m|a m＜b，m＝1，2，⋯，n}，假设M中元素个数大于3B的价格，作：m n，称蔬菜A在n天的价格低于蔬菜4A＜B，有三种蔬菜A，B，C，以下法正确的选项是()A.假设A＜B，B＜C，A＜CB.假设A＜B，B＜C同不成立，A＜C不成立＜B，B＜A可同不成立D.A＜B，B＜A可同成立答案C解析特例法：例如蔬菜A10天价格分1，2，3，4，⋯，10，蔬菜B10天价格分10，9，⋯，1，A＜B，B＜A同不成立，故C.212.抛物y＝ax(a>0)的焦点F，作一直交抛物于P，Q两点.假设段PF与FQ的度分p，q，p＋1等于()qa1D.4B.2a a答案C2211解析抛物y＝ax(a>0)的准方程x＝a y(a>0)，焦点F0，4a.焦点F作直垂直于y，|PF|＝|QF|＝1，∴1＋1＝4a.2a p q3.函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小－3，数a的取范是()A.(－∞，－1]B.[12，＋∞)C.[－1，12] D.－3，122答案D解析当a＝0，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，然足条件，故排除A，B；a＝－32，函数f(x)＝32x3－92x，929 9 2f′(x)＝x－＝(x－1)，2 2 2当－1≤x≤1，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上减函数，5所以f(x)min＝f(1)＝3－9＝－3，满足条件，故排除 C.22综上，选D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a，b，c成等差数列，那么cosA＋cosC＝________.1＋cosAcosC答案45解析令a＝b＝c，那么△ABC为等边三角形，且cosA＝cosC＝1，211代入所求式子，得cosA＋cosC＝2＋2＝4.1＋cosAcosC1151＋×22二、命题的等价转化将题目条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.5.由命题“存在x0∈R，使e|x01|－m≤0〞是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，那么实数a的值是() A.(－∞，1) B.(－∞，2)答案C解析命题“存在x0∈R，使e|x01|－m≤0〞是假命题，|x－1|可知它的否认形式“任意x∈R，e－m>0〞是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.6.如下列图，三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2 34，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2 41，那么三棱锥P－ABC的体积为( )答案 C解析因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，那么可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如下列图)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，可知三棱锥 P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.6不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，x2＋y2＝100，x＝6，那么由，可得x2＋z2＝136，解得y＝8，y2＋z2＝164，z＝10.从而知V P－ABC＝V AEBG－FPDC－V P－AEB－V C－ABG－V B－PDC－V A－FPC＝V AEBG－FPDC－4V P－AEB＝6×8×10－4×166×8×10＝160.7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，那么当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f0>0，f(p)在[0，4]上恒为正等价于f4>0，即x－3x－1>0，解得x>3或x<－1.x2－1>0，8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么y＋3的取值范围是________.x－14答案3，＋∞解析设k＝y＋3，那么y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过Px－1的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，其中k PB不存在.由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离|2k－k＋3|＝r＝1，解得k＝4，所以y＋3的取值范围是4，＋∞.k2＋13x－13三、函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟〞，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.9.函数f(x)＝lgx＋a－2，假设对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，那么实数a的取值范围是________.x答案(2，＋∞)a2解析根据题意，得x＋x－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x＋3x在[2，＋∞)上恒成立，又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2，所以a>2. 710.(2021江·苏)在平面直角坐标系22→→xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x＋y＝50上，假设PA·PB≤20，那么点P的横坐标的取值范围是________.答案[－52，1]解析方法一因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52).因为A(－12，0)，B(0，6)，→2→2所以PA＝(－12－x，－50－x)或PA＝(－12－x，50－x)，→2→2PB＝(－x，6－50－x)或PB＝(－x，6＋50－x).→→2因为PA·PB≤20，先取P(x，50－x)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2.2x＋5<0，即x<－52时，上式恒成立.2x＋5≥0，即x≥－5时，(2x＋5)2≤50－x2，2解得－52≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x，－ 50－x2)时，x≤－5.又－5 2≤x≤5 2，所以－5 2≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[－5 2，1].方法二设P(x，y)，→→那么PA＝(－12－x，－y)，PB＝(－x，6－y).→→2∵PA·PB≤20，(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在EDF上.2x＋y＝50，由得F点的横坐标为1，2x－y＋5＝0又D点的横坐标为－52，8∴P点的横坐的取范[－52，1].11.函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的函数.足－1≤a≤1的一切a的，都有g(x)<0，数x的取范________.答案－2，13解析由意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1).－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，3x2－x－2<0，解得－2<x<1.∴23x＋x－8<0，3故当x∈－2，1，足－1≤a≤1的一切a的，都有g(x)<0.31，e2都成立，数a的取范12.函数f(x)＝lnx.假设不等式mf(x)≥a＋x所有m∈[0，1]，x∈e________.答案(－∞，－e2]12解析由意得，a≤mlnx－x所有的m∈[0，1]，x∈e，e都成立，H(m)＝lnx·m－x，m∈[0，1]，x∈1，e2是关于m的一次函数，e 因x∈1e，e2，所以－1≤lnx≤2，lnx·0－x≥a，a≤－x，a≤－e2，所以所以所以令lnx·1－x≥a，a≤lnx－x，a≤lnx－xmin.g(x)＝lnx－x1≤x≤e2，所以g′(x)＝1－x，ex所以函数 g(x)在1，1上是增函数，在[1，e2]上是减函数，e所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，所以a≤2－e2.2上知a≤－e.1.如果a1，a2，⋯，A.a1a8>a4a51＋a8>a4＋a5a8各都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )1a8<a4a51a8＝a4a5答案 B解析取特殊数列 1，2，3，4，5，6，7，8，然只有1×8<4×5成立，即a1a8<a4a5. 92.设函数f(x)＝3x－1，x<1，x那么满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()2，x≥1，22A.3，1B.[0，1]C.3，＋∞D.[1，＋∞)答案C解析由f(f(a))＝2f(a)得f(a)≥1.a<1时，有3a－1≥1，a≥23，∴23≤a<1；当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，应选C.22y3.过双曲线x－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，假设|AB|＝4，那么这样的直线l 有( )条条条条答案C解析因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求；2当直线l与实轴垂直时，由3－y＝1，解得y＝2或y＝－2，2所以此时线段AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条.综上可知，有3条直线满足|AB|＝4.n n＝p n－1(p是常数)，那么数列{an)4.数列{a}的前n项和S}是(A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案D解析∵S n＝p n－1，a1＝p－1，a n＝S n－S n－1＝(p－1)p n－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{a n}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，a n＝0(n≥2)，此时{a n}既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，那么四面体PQEF的体积()10D.是变量且有最大值是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值是常数答案解析可得棱D点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值.由C1D1∥EF，C1D1?平面EFQ，EF?平面EFQ，C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体 PQEF的体积为常数.x＋y－3≤0，x－y＋1≥0，6.设点P(x，y)满足约束条件x≥1，y≥1，那么y－x的取值范围是( ) x y3，＋∞B.－3，3C.－3，1D.[－1，1]A.2222答案Bx＋y－3≤0，x－y＋1≥0，解析作出不等式组所表示的可行域，如图阴影局部所示(包括边界)，其中A(2，1)，B(1，x≥1，y≥1y，f(t)＝t－1，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB，2)，令t＝x t显然OA的斜率1最小，OB的斜率2最大，即1≤t≤2.由于函数f(t)＝t－1在1，2上单调递增，故－3≤f(t)≤3，22t222即y－x的取值范围是－3，3 xy22.lnx，x＞0，7.函数f(x)＝m，x<0假设f(x)－f(－x)＝0有四个不同的实根，那么m的取值范围是()x，A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.0，1 e答案D解析假设m≤0，那么f(x)＝f(－x)只可能有2个实根，所以m＞0，若f(x)＝f(－x)有四个实根，根据对称性可知当x＞0时，lnx＝－m有两个实根，即－m＝xlnx有两个实根，设x11y＝xlnx，那么y′＝lnx＋1，令lnx＋1＝0，解得x＝1，当x∈1时，y′<0，函数单调递减，当x＞1时，y′>0，函数单调递增，所e0，e e1时，y＝xlnx有最小值－111以当x＝，即－<－m<0，即0<m<，应选D.e e e e8.函数f(x)＝x(e x－e－x)－cosx的定义域为[－3，3]，那么不等式f(x2＋1)>f(－2)的解集为()A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案C解析因为f(－x)＝－x(e－x－e x)－cos(－x)＝x(e x－e－x)－cosx＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，令g(x)＝x1f(x)＝x(e x xe－e x，易知g(x)在[0，3]上为增函数，令h(x)＝－cosx，易知h(x)在[0，3]上为增函数，故函数－e－x)－cosx在[0，3]上为增函数，所以f(x2＋1)>f(－2)可变形为f(x2＋1)>f(2)，所以2<x2＋1≤3，解得－2≤x< 1或1<x≤2，故不等式f(x2＋1)>f(－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，那么a＋b＝________.答案－32解析当a>1时，函数f(x)＝a x＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，无解.当0<a<1时，函a－1＋b＝0，13 xa＝，数f(x)＝a＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得2所以a＋b＝－.a＋b＝－1，b＝－2，210.设F1，F2为椭圆x2＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，94且|PF1|>|PF2|，那么|PF1|的值为________.|PF2|答案7或22解析假设∠PF2F1＝90°，|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，所以|PF1|＝144，所以|PF1|73，|PF2|＝|PF2|＝.32假设∠F1PF2＝90°，那么|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，22所以|PF1|＋(6－|PF1|)＝20，且|PF1|>|PF2|，|PF1|所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.|PF1|7综上知，＝或2.11.(2021浙·江)向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，那么|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.12答案 4 2 5解析设a，b的夹角为θ，|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝a＋b2＋a－b2＝5＋4cosθ＋5－4cosθ.y＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，那么y2＝10＋225－16cos2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，y2∈[16，20]，y∈[4，25]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4，25].|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是25.22x yF1，F2，假设椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，那么椭圆12.椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为C离心率的取值范围是______________.答案3，12解析当点P在短轴端点时，∠F1PF2到达最大值，即∠F1BF2≥120°时，椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，当∠F1BF2＝120°时，e＝c＝sin60＝°3，a2而椭圆越扁，∠F1BF2才可能越大，椭圆越扁，那么其离心率越接近1，所以椭圆C离心率的取值范围是3，1.213。
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅．【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，a －，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。
高三分类讨论思想、转化与化归思想专题训练
分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一 分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3，则数列{a n }的通项a n ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1， 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ， 解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等. [应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)已知m ∈R ，则函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________.解析(1)原不等式可转化为⎩⎨⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2，或⎩⎨⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞).(2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数f (x )＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，f (x )是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，f (x )max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，f (x )max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数f (x )的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m＜0，所以函数f (x )在[0，1]上是减函数，于是f (x )max ＝f (0)＝m . 由①，②可知，这个函数的最大值为f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)(2)f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. [应用3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想[应用1] 换元法【例2－1】已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝|a|2≤1－a2，解得a2≤23，所以a的最大值为63.答案6 3探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.[应用2] 特殊与一般的转化【例2－2】已知f(x)＝33x＋3，则f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.解析f(x)＋f(1－x)＝33x＋3＋331－x＋3＝33x＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x＋3＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，…，∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝2 016.答案 2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.[应用3] 常量与变量的转化【例2－3】 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎨⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12， 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________.解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________. 解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域. k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，14.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －15.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，则a的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4， 故a 的最大值是4. 答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________. 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ， ∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →，∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3. 答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72.答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________.解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ， f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎨⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎨⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎨⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列， 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n ＞5时，a n ＜0； 当n ＝5时，a n ＝0； 当n ＜5时，a n ＞0. 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 则T n ＝n （8＋10－2n ）2＝9n －n 2.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40， 当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）.10.已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R)，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ).(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a（x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0， 故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎨⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减； 由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形， 所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ， 则l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)， 所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。
高考数学考点解读 命题热点突破专题21分类与整合思想化归与转化思想文
专题21 分类与整合思想、化归与转化思想 文【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.【命题热点突破一】分类与整合思想1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论. (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.例1、(1) 设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．①张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0的值；②若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 (1)B(2)解：①由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”为事件A ， 则事件A 的对立事件为“X＝5”．因为P(X ＝5)＝23P 0，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1－23×P 0＝79，所以P 0＝13.②设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B(2，P 0)， 所以E(X 1)＝2×23＝43，E(X 2)＝2P 0，从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝83，E(3X 2)＝3E(X 2)＝6P 0.若E(2X 1)>E(3X 2)，则83>6P 0，即0<P 0<49；若E(2X 1)<E(3X 2)，则83<6P 0，即49<P 0<1；若E(2X 1)＝E(3X 2)，则83＝6P 0，即P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P 0＝49时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等．【特别提醒】分类与整合思想是最重要的数学思想方法之一，是高考考查的重点，涉及的试题各类题型均有．从高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中．【变式探究】(1)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s)|0≤p<s ≤4，0≤q<s ≤4，0≤r<s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中元素的个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50(2)已知函数f (x )＝m ln x ＋2m x －exx2.①若m ≤0，求函数f (x )的单调区间；②若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求m 的取值范围． 【答案】(1)A(2)解：①函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝m x －2m x 2－e x·x 2－e x·2x x 4＝（mx －e x）（x －2）x 3. 当m≤0时，mx －e x <0，所以当x ∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．②若m≤0，由(1)知，函数f(x)在(0，2)上单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在极值点．当m>0时，设函数g(x)＝mx －e x， 则g′(x)＝m －e x.(i )当0<m≤1，0<x<2时，g′(x)<0，∴g(x)<g(0)＝－1，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．【命题热点突破二】化归与转化思想(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.例2、(1)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．(2)P ，Q 为△ABC 内不同的两点．若3PA →＋2PB →＋PC →＝0，3QA →＋4QB →＋5QC →＝0，则S △PAB ∶S △QAB ＝________． 【答案】(1)①④ (2)2∶5(2)如图所示，以A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系． 设△ABC 的面积为S ，P(x 1，y 1)，B(m ，0)，C(a ，b)，则3(x 1，y 1)＋2(x 1－m ，y 1)＋(x 1－a ，y 1－b)＝(0，0)，解得y 1＝b 6，即△PAB 的高为△CAB 的高的16，故△PAB 的面积为16S.设Q(x 2，y 2)，则3(x 2，y 2)＋4(x 2－m ，y 2)＋5(x 2－a ，y 2－b)＝(0，0)，解得y 2＝512b ，即△QAB 的高为△CAB 的高的512，故△QAB 的面积为512S.所以S △PAB ∶S △QAB ＝16∶512＝2∶5.【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．【变式探究】。
高考数学二轮专题突破课堂讲义 第21讲 转化与化归思想
第21讲 转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式．应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等．分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等．1. 已知正实数x 、y 满足1x ＋1y＝1，则x ＋y 的取值范围是________．答案：[4，＋∞)解析：1x ＋1y ＝1得x ＋y ＝xy ，由基本不等式得xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即x ＋y≥4.2. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，则实数a 的最小值为________．答案：－52解析：∵ x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12都成立，∴ a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，而y ＝－x －1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调增，y max ＝－52，故a min ＝－52.3. 已知平面向量a 、b 、e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝2，|a －b |＝2，则a·b 的最小值为________.答案：54解析：如图所示，建立直角坐标系． ∵ |e |＝1，∴ 不妨设e ＝(1，0)． ∵ a ·e ＝1，b ·e ＝2，∴ 可设a ＝(1，m)，b ＝(2，n)．∴ a －b ＝(－1，m －n)． ∵ |a －b |＝2，∴ 1＋（m －n ）2＝2，化为(m －n)2＝3，∴ (m ＋n)2＝3＋4mn≥0，∴ mn ≥－34，当且仅当m ＝－n ＝±32时取等号．∴ a ·b ＝2＋mn≥2－34＝54.4. 已知函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 答案：0＜b ＜1解析：∵ f′(x)＝3x 2－3b ＝0，x ＝±b ，显然b ＞0，∴ 单调区间为(－∞，－b)，(－b ，b)，(b ，＋∞)，∴ x ＝b 时取极小值，即0＜b ＜1，则0＜b ＜1.题型一 把向量问题转化为三角和不等式问题例1 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA →·PB →的最小值．解：设∠APB＝θ，0＜θ＜π，则PA →·PB →＝|PA||PB|cos θ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1tan θ22cos θ＝cos2θ2sin2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2sin2θ2，换元：令x ＝sin 2θ2，0＜x ＜1，则PA →·PB →＝（1－x ）（1－2x ）x ＝2x ＋1x －3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22∈(0，1)时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，以点(x ，y)为圆心，R ＝xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为________．答案：(x －4)2＋(y －4)2＝256解析：∵ 32＋x ＋32＋y ＝1，∴ x ＝8＋yy －1.令z ＝y －1，则y ＝z ＋1，z>0，∴ xy ＝y 2＋8y y －1＝（z ＋1）2＋8（z ＋1）z ＝z 2＋10z ＋9z ＝z ＋9z＋10≥6＋10＝16，当且仅当z ＝9z，即z ＝3时，取等号．此时y ＝4，x ＝4，半径xy ＝16. ∴ 圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝256. 题型二 把不等式问题转化为函数问题例2 若不等式x 2＋px>4x ＋p －3对一切0≤p≤4均成立，求实数x 的取值范围．解：不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3对一切0≤p≤4均成立，即(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)＞0对一切0≤p≤4均成立，令f(p)＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，4（x －1）＋（x 2－4x ＋3）＞0，解得x>3或x<－1，即实数x 的取值范围是x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．已知p 、r 、q 成等比数列，p 、r （r －1）2、q 成等差数列，当1<p<3<q<7时，则实数r 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 解析：由p ，r ，q 成等比数列，p ，r （r －1）2，q 成等差数列，得pq ＝r 2，p ＋q ＝r(r －1)，由此我们联想到韦达定理，即两根之和为r （r －1）2，两根之积为r 2，所以p ，q 为方程x 2－r(r －1)x ＋r 2＝0的两根，且一根在(1，3)内，另一根在(3，7)内．记f(x)＝x 2－r(r －1)x ＋r 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）>0，f （3）<0，f （7）>0，解得3<r<72，所以实数r 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 题型三 把数列问题转化为方程问题例3 在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 n ＋1(n∈N *)．(1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2) 若S 1、t (S 1＋S 2 )、3(S 2＋S 3) 成等差数列，求实数t 的值．解：(1) 由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n∈N *)，得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n∈N *)，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n .(2) 由(1)得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，且S 1＋3(S 2＋S 3)＝2t(S 1＋S 2)，则13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49×2，得t ＝2.已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，数列{b n }是等比数列，b 1b 2b 3＝27. (1) 若a 1＝b 2，a 4＝b 3，求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3是正整数且成等比数列，求a 3的最大值．解：(1) 由题得a 2＝5，b 2＝3，所以a 1＝b 2＝3，从而等差数列{a n }的公差d ＝2，所以a n＝2n ＋1，从而b 3＝a 4＝9，所以b n ＝3n －1.(2) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 1＝5－d ，b 1＝3q，a 3＝5＋d ，b 3＝3q.因为a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，所以(a 1＋b 1)·(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2＝64. 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝m ，a 3＋b 3＝n ，m 、n∈N *，mn ＝64,则⎩⎪⎨⎪⎧5－d ＋3q ＝m ，5＋d ＋3q ＝n ，整理，得d 2＋(m －n)d ＋5(m ＋n)－80＝0.解得d ＝n －m ＋（m ＋n －10）2－362(舍去负根).因为a 3＝5＋d ，所以要使得a 3最大，即需要d 最大，即n －m 及(m ＋n －10)2取最大值．因为m 、n∈N *，mn ＝64,所以当且仅当n ＝64且m ＝1时，n －m 及(m ＋n －10)2取最大值.从而最大的d ＝63＋7612，所以，最大的a 3＝73＋7612.题型四 函数综合问题的转化例4 已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a ＞0，b ＞0.(1) 若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求a 、b 的值；(2) 令h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，－b 3，求：① 函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；② 若|h(x)|≤3在x∈[－2，0]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1) 由f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，P(2，c)为公共切点，可得f′(x)＝2ax ，k 1＝4a ，g ′(x)＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b.又f(2)＝4a ＋1，g(2)＝8＋2b ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174，b ＝5.(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则h′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵ 函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，－b 3，∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，－b 3时，有3x 2＋2ax ＋b≤0恒成立．此时x ＝－b 3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根， ∴ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 32＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3＋b ＝0，得a 2＝4b ，∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.又函数h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞上单调递增，若－1≤－a 2，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a －a24；若－a 2＜－1＜－a 6，即2＜a ＜6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 若－1≥－a 6时，即a≥6时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.综上所述，M(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0<a ≤2，1，a>2.② 由①可知h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞上单调递增，∴ h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2为极大值，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6为极小值， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝－a 354＋1. ∵ |f(x)＋g(x)|≤3在x∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）≥－3，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6≥－3，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a 2＋4a －7≥－3，－a 354＋1≥－3， 解得⎩⎨⎧4－22≤a≤4＋22，a ≤6，∴ a 的取值范围是4－22≤a ≤6.已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋lnx (a∈R )．(1) 当a ＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若x ∈[1，3]，使f(x)<(x ＋1)lnx 成立，求实数a 的取值范围；(3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)上恒在直线y ＝2ax 下方，求实数a 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋lnx (a∈R )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝－12x 2＋lnx ，f ′(x)＝－x ＋1x ＝1－x2x.由f′(x)＞0，结合定义域，解得0＜x ＜1，故得函数f(x)的单调递增区间为(0，1)．(2) f(x)＜(x ＋1)lnx ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＜xlnx (a∈R )，∵ x ∈[1，3]，∴ a ＜lnx x ＋12.令g(x)＝lnx x ＋12，则x ∈[1，3]，使f(x)＜(x ＋1)lnx 成立，等价于a ＜g(x)max .∵ g ′(x)＝1－lnx x2，由g′(x)＝0，结合x∈[1，3]，解得x ＝e.当1≤x＜e 时，g ′(x)≥0；当e ＜x ≤3时，g ′(x)＜0.故得g(x)max ＝g(e)＝1e ＋12，∴ 实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e ＋12. (3) 令h(x)＝f(x)－2ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2－2ax ＋lnx ，h(x)的定义域为(0，＋∞)．函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)上恒在直线y ＝2ax 下方，等价于h(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立，即h(x)max ＜0.h ′(x)＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝（x －1）[（2a －1）x －1]x.① 若a ＞12，令h′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝12a －1.当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(1，x 2)上，h ′(x)＜0，即h(x)为减函数，在(x 2，＋∞)上，h ′(x)＞0，即h(x)为增函数，故h(x)的值域为(h(x 2)，＋∞)，不合题意；当x 2≤x 1＝1，即a≥1时，同理可得在(1，＋∞)上，h ′(x)＞0，即h(x)为增函数，故h(x)的值域为(h(x 1)，＋∞)，也不合题意．② 若a≤12，则有2a －1≤0，此时，在区间(1，＋∞)上，恒有h′(x)＜0，从而h(x)为减函数，h(x)max ＝h(1)＝－a －12≤0，结合a≤12，解得－12≤a ≤12.综合①②，可得实数a 的取值范围是－12≤a ≤12.1. (2014·全国卷Ⅰ)已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，a ＝2，且(2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 3解析：由a ＝2且 (2＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，即(a ＋b)(sinA －sinB)＝(c －b)sinC ，由正弦定理得(a ＋b)(a －b)＝(c －b)c, ∴ b 2＋c 2－a 2＝bc ，故cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴ ∠A ＝60°，∴ b 2＋c 2－4＝bc ，4＝b 2＋c 2－bc≥bc，∴ S △ABC ＝12bcsinA ≤ 3.2. (2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案：(－1，3)解析：因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x －1)>0f(|x －1|)>f(2)．因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x －1|<2，解得－1<x<3.3. (2014·湖北卷)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66解析：当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x>2a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，由f(x)＝x －3a 2，x>2a 2，得f(x)>－a 2；当a 2<x ≤2a 2时，f(x)＝－a 2；由f(x)＝－x ，0≤x ≤a 2，得f(x)≥－a 2.∴ 当x>0时，f(x)min ＝－a 2. ∵ 函数f(x)为奇函数，∴ 当x<0时，f(x)max ＝a 2.∵ 对x ∈R ，都有f(x －1)≤f(x)，∴ 2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66. 4. (2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案：1＋7解析：因为C 坐标为(3，0)且|CD|＝1，所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，所以设D 的坐标为(3＋cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，则|OA →＋OB →＋OD →|＝（3＋cos θ－1）2＋（sin θ＋3）2＝8＋2（2cos θ＋3sin θ）.因为2cos θ＋3sinθ的最大值为22＋（3）2＝7，所以|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为8＋27＝1＋7.5. (2014·上海卷)若实数x 、y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 答案：2 26. (2013·江苏卷)设函数f(x)＝lnx －ax ，g(x)＝e x－ax ，其中a 为实数．(1) 若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围；(2) 若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．(1) 解：由f′(x)＝1x －a≤0即1x ≤a 对x∈(1，＋∞)恒成立，∴ a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x max ， 而由x∈(1，＋∞)知1x<1，∴ a ≥1.由g′(x)＝e x－a ，令g′(x)＝0，则x ＝lna. 当x<lna 时g′(x)<0，当x>lna 时g′(x)>0， ∵ g(x)在(1，＋∞)上有最小值， ∴ lna>1，∴ a>e.综上所述，a 的取值范围为(e ，＋∞)．(2) 证明：∵ g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，∴ g ′(x)＝e x －a≥0即a≤e x对x∈(－1，＋∞)恒成立，∴ a ≤[e x]min ，而当x∈(－1，＋∞)时，e x >1e ，∴ a ≤1e . 分三种情况：当a ＝0时，f ′(x)＝1x>0，∴ f(x)在x∈(0，＋∞)上为单调增函数．∵ f(1)＝0，∴ f(x)存在唯一零点．当a<0时，f ′(x)＝1x－a>0，∴ f(x)在x∈(0，＋∞)上为单调增函数．∵ f(e a )＝a －ae a ＝a(1－e a)<0且f(1)＝－a>0. ∴ f(x)存在唯一零点．当0<a≤1e 时，f ′(x)＝1x－a ，令f′(x)＝0得x ＝1a.∵ 当0<x<1a 时，f ′(x)＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x >0；当x>1a 时，f ′(x)＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x<0，∴ x ＝1a 为最大值点，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a·1a ＝－lna －1. ① 当－lna －1＝0时，a ＝1e ，f(x)有唯一零点x ＝1a ＝e ；② 当－lna －1>0时，0<a ≤1e，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a≤1e ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e －a·1e ＝－1－a e <0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a·1a ＝－lna －1>0， 且函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1a 上的图象不间断， ∴ 函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1a 上存在零点． 另外，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，f ′(x)＝1x －a>0，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调增，∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上只有一个零点．下面考虑f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上的情况，先证f(ea －1)＝lnea －1－aea －1＝a －1lne －aea －1＝a(a－2－ea －1)<0.为此我们要证明：当x>e 时，e x >x 2，设h(x)＝e x －x 2，则h′(x)＝e x－2x ，再设l(x)＝e x －2x ，∴ l′(x)＝e x－2.当x>1时，l ′(x)＝e x －2>e －2>0，l(x)＝e x－2x 在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h ′(x)＝e x －2x>h′(2)＝e 2－4>0.从而h(x)＝e x －x 2在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e 时，h(x)＝e x －x 2>h(e)＝e e－e 2>0.即当x>e 时，e x >x 2.当0<a<1e时，即a －1>e 时，f(ea －1)＝lnea －1－aea －1＝a －1lne －aea －1＝a(a －2－ea －1)<0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a·1a ＝－lna －1>0，且函数f(x)在[]a －1，ea －1上的图象不间断，∴ 函数f(x)在(a －1，ea －1)上存在零点．又当x>1a 时，f ′(x)＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x<0，故f(x)在(a －1，＋∞)上是单调减函数，∴ 函数f(x)在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综上所述，当a≤0时，f(x)的零点个数为1；当0<a≤1e 时，f(x)的零点个数为2.(本题模拟高考评分标准，满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，离心率为22.分别过O 、F 的两条弦AB 、CD 相交于点E(异于A 、C 两点)，且OE ＝EF.(1) 求椭圆的方程；(2) 求证：直线AC 、BD 的斜率之和为定值．(1) 解：由题意，得c ＝1，e ＝c a ＝22，故a＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. ①(5分)(2) 证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，② 直线CD 的方程为y ＝－k(x －1)，③(7分)由①②，得点A 、B 的横坐标为±22k 2＋1， 由①③，得点C 、D 的横坐标为2k 2±2（k 2＋1）2k 2＋1，(9分) 记A(x 1, kx 1)，B(x 2, kx 2)，C(x 3, k(1－x 3))，D(x 4，k(1－x 4))， 则直线AC 、BD 的斜率之和为kx 1－k （1－x 3）x 1－x 3＋kx 2－k （1－x 4）x 2－x 4＝k·（x 1＋x 3－1）（x 2－x 4）＋（x 1－x 3）（x 2＋x 4－1）（x 1－x 3）（x 2－x 4）＝k·2（x 1x 2－x 3x 4）－（x 1＋x 2）＋（x 3＋x 4）（x 1－x 3）（x 2－x 4）(13分)＝k·2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k 2＋1－2（k 2－1）2k 2＋1－0＋4k 22k 2＋1（x 1－x 3）（x 2－x 4）＝0.(16分)1. 已知△ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3OA →＋4OB →－5OC →＝0.则∠C＝__________．答案：π4解析：3OA →＋4OB →－5OC →＝0，∴ 3OA →＋4OB →＝5OC →，∴ 9OA →2＋16OB →2＋24OA →·OB →＝25OC →2.又OA ＝OB ＝OC ，∴ OA ⊥OB ，即∠C＝π4.(注意结合图形，把问题转化)2. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数．已知对任意正整数n 、m ，当n ＞m 时，S n －S m ＝q m·S n －m 总成立．(1) 求证：数列{a n }是等比数列；(2) 若正整数n 、m 、k 成等差数列，求证：1S n ＋1S k ≥2S m.证明：(1) 因为对任意正整数n 、m ，当n ＞m 时，S n －S m ＝q m·S n －m 总成立，所以当n≥2时，S n －S n －1＝q n －1S 1，即a n ＝a 1·q n －1，且a 1也适合．又a n ＞0，故当n≥2时，a n a n －1＝q(非零常数)，即{a n }是等比数列．(2) 若q ＝1，则S n ＝na 1，S m ＝ma 1，S k ＝ka 1，所以1S n ＋1S k ＝n ＋k nka 1＝2m nka 1≥2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋k 22·a 1＝2mm 2a 1＝2ma 1＝2S m； 若q≠1，则S n ＝a 1（1－q n）1－q ，S m ＝a 1（1－q m）1－q ，S k ＝a 1（1－q k）1－q ，所以1S n ＋1S k≥21S n S k＝2（1－q ）2（1－q n ）（1－q k ）a 21. 又(1－q n)(1－q k)＝1－(q n＋q k)＋q n ＋k≤1－2q n ＋k＋q n ＋k＝1－2q m＋q 2m＝(1－q m )2，所以1S n ＋1S k ≥21S n S k ＝2（1－q ）2（1－q n ）（1－q k ）a 21≥2（1－q ）2（1－q m ）2·a 21＝2S m.综上可知，若正整数n 、m 、k 成等差数列，不等式1S n ＋1S k ≥2S m(当且仅当n ＝m ＝k 时取“＝”)总成立．3. 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2图象上一点P(1，b)的切线斜率为－3，g(x)＝x 3＋t －62x 2－(t＋1)x ＋3(t ＞0)．(1) 求a 、b 的值；(2) 当x∈[－1，4]时，求f(x)的值域；(3) 当x∈[1，4]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1) f′(x)＝3x 2＋2ax ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝－3，b ＝1＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增．又f(－1)＝－4，f(0)＝0，f(x)min ＝f(2)＝－4，f(x)max ＝f(4)＝16，∴ f(x)的值域是[－4，16]．(3) 令h(x)＝f(x)－g(x)＝－t 2x 2＋(t ＋1)x －3，x ∈[1，4]．∴ 要使f(x)≤g(x)恒成立，只需h(x)≤0，即t(x 2－2x)≥2x－6.①当x∈[1，2)时，t ≤2x －6x 2－2x，解得t≤2＋3；②当x ＝2时，t ∈R ；③当x∈(2，4]时，t ≥2x －6x 2－2x ，解得t≥14.综上所述，所求实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2＋3.。
高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅． 【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。
分类整合思想、转化化归思想
当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以 f(x)在(－1，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增． (2)当 m≤2 时， x∈(－m， ＋∞)时， ln(x＋m)≤ln(x ＋2)，故只需证明当 m＝2 时，f(x)>0. 1 x 当 m＝2 时，函数 f′(x)＝e － 在(－2，＋∞) x＋2 单调递增． 又 f′(－1)<0，f′(0)>0，故 f′(x)＝0 在(－2，＋∞) 有唯一实根 x0，且 x0∈(－1，0)． 当 x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；
2．转化化归思想的简单应用 例2已知函数 f(x)＝ex，x∈R. (1) 若直线 y＝kx＋1 与 f (x)的反函数的图象相切， 求实数 k 的值； (2) 设 x>0, 讨论曲线 y＝f (x) 与曲线 y＝mx2(m>0) 公共点的个数； f（a）＋f（b） f（b）－f（a） (3) 设 a<b, 比较 与 2 b－a 的大小， 并说明理由．
(Ⅲ)当 Δ＝36－36a>0，即 0<a<1 时，令 f′(x) ＝3x2－6x＋3a＝0，∴x1＝1－ 1－a，x2＝ 1＋ 1－a，且 0<x1<x2<2，即 x 0 (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，2) 2 f′(x) 3a ＋ 0 － 0 ＋ 3a 极大 极小 f(x) 3－3a 递增 递减 递增 3a－1 值 值
【点评】本题第(1)问根据导数的几何意义即可求 解；第(2)问根据函数 f(x)的导函数求解函数 f(x)的单调 区间，需要对参数 a 进行分类讨论，从而通过函数 f(x) 的导函数是否大于零判断函数 f(x)的单调性． 利用分类讨论策略解题的关键是分类标准的确 定，分类讨论时要注意根据具体的问题情境确立分类 的标准，做到不重不漏，分类解决问题后要根据问题 的要求进行合理的整合．
高考数学 分类与整合的思想
高考数学 分类与整合的思想在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合－分－合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法．分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查,有以下几个方面。
一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类？例如（1）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形等等；（2）有的运算法则和定理,公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为1=q 和1≠q 两种情况;对数函数的单调性就分为a ＞1，a ＜1两种情况;求一元二次不等式的解又分为0,0<>a a 及00,0<∆=∆>∆，共六种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等等；（3）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧,异侧,二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置等；（4）对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；（5）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等。
二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏； 三是分类之后如何研究； 四是如何整合.【分析及解】 本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求,因此,就要针对甲,乙是否被挑选上,甲,乙去何处游览进行研究. 对甲,乙是否被挑选上可分为4类.(1) 有甲有乙：这时有72222324=A A C 种；(2) 有甲无乙：这时有72331334=A A C 种； (3) 无甲有乙：这时有72331334=A A C 种；(4) 无甲无乙：这时有2444=A 种由以上，不同的选择方案共有24024723=+⨯种，因此选（B ）.【分析及解】(Ⅰ)将31=x ,42=x 代入方程()012=+-x x f 得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a ()()222≠-=∴x x x x f (Ⅱ)不等式可化为<-x x 22()xkx k --+21, 进而有()0212<-++-x k x k x . 这等价于()()(),012>---k x x x解到这里就要针对k 与2,1的大小关系进行分类:(1) 当21<<k 时,解集为()()1,2,x k ∈+∞U ; (2) 当2=k 时, 解集为()()1,22,;x ∈+∞U (3) 当2>k 时, 解集为()()1,2,x k ∈+∞U .【分析及解】本题是浙江文科卷的压轴题，主要考查函数图象的对称，二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，分类讨论的数学思想以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想1. 引言1.1 转化与化归思想在高考数学题中的重要性在高考数学题中，转化和化归思想是非常重要的。
转化思想指的是将原问题转化为一个易解的问题，从而简化问题的求解过程。
在解决高考数学题时，很多题目可能会涉及到复杂的计算或者几何图形，如果能够巧妙地运用转化思想，将题目转化为熟悉的形式，就会大大减少解题的难度。
而化归思想则是将原问题化归为已知问题或者基本形式，通过对问题的重新组织和变换，将其简化为易于解决的形式。
化归思想通常适用于代数题目，通过找到问题之间的联系和规律，可以有效地解决复杂的代数问题。
在高考数学中，很多题目都需要考生灵活运用转化和化归思想，只有具备这种思维方式，才能更快地解决问题，提高解题效率。
转化与化归思想在高考数学题中扮演着至关重要的角色。
培养这种思维方式不仅可以帮助考生更好地解决数学问题，还有助于提高数学学科的学习兴趣和能力。
对于高考数学考生来说，掌握转化与化归思想是至关重要的，也是解决数学难题的有效方法之一。
2. 正文2.1 转化思想在高考数学题中的运用转化思想在高考数学题中的运用是非常重要的。
在解决数学问题的过程中，常常需要通过转换问题的形式或者思路来找到解决问题的方法。
转化思想可以帮助我们从不同角度去看待问题，找到问题的本质，从而更有效地解决问题。
在高考数学题中，转化思想通常可以表现为将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，然后再逐步解决。
在解决代数方程的过程中，可以通过代数运算的性质将方程化简，将未知数提取出来，从而得到更简单的形式。
又在解决几何题的过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法将原问题转化为一个更易解的几何问题。
转化思想的运用可以帮助我们更快地找到解题的突破口，提高解题的效率。
通过不断练习和积累经验，我们可以逐渐提高转化思想的运用能力，更加熟练地解决高考数学题。
在备战高考的过程中，我们应该注重培养转化思想，不断尝试将问题转化为更简单的形式，从而更好地应对各种数学题目。
高考数学化归思想
题目高中数学复习专题讲座化归思想 高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法 重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n＜x n +1；求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x 1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式 错解分析 第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 （1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去） 故P 的坐标为(a a 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a- 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0解得a ≤2（舍去）或a故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不C 35=10答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21) （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t=1 的变化情况如下表当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( ) A （0，1） B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3）2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n nT S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94 3 某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,答案 A 3 解析答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x只须f ′(0)<0且f ′(1)>0 答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k -- 又N 为AB 中点，有21（x 1+x 2）=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A （–1，0）、B （3，4CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点 课前后备注。
高考数学深化复习+命题热点提分专题21分类与整合思想化归与转化思想文
专题21 分类与整合思想、化归与转化思想1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A.1B.－12C.1或－12D.－1或12 【答案】 C【解析】 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a1（1－q3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.2.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B3.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，142 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，142 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，142 【答案】 A 【解析】 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，f (x )＝ln x －14x ＋34x－1， 所以f ′(x )＝1x －14－34x2＝4x －x2－34x2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12. 函数g (x 2)＝－x 2＋2bx 2－4，x 2∈[1，2].当b ＜1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b－5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b≤2，－12≥b2－4，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b－8. 解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.故选A. 4．定义函数y ＝f(x)，x∈D，若存在常数c ，对任意x 1∈D，存在唯一的x 2∈D，使得f （x1）＋f （x2）2＝c ，则称函数f(x)在D 上的均值为c.已知f(x)＝lg x ，x∈[10，100]，则函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为( )A.32B.34C.710D ．10 【答案】A5．已知g(x)＝ax ＋a ，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－1，0≤x≤2，－x2＋1，－2≤x<0，对∀x 1∈[－2，2]，∃x 2∈[－2，2]，使g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞) B．[－1，1]C ．(0，1]D ．(－∞，1]【答案】B【解析】对∀x 1∈[－2，2]，∃x 2∈[－2，2]，使g(x 1)＝f(x 2)成立等价于当x∈[－2，2]时，函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．易知当x∈[－2，2]时，函数f(x)的值域为[－3，3]．。
高考数学二轮复习 专题二十一 分类与整合思想、化归与
心 知
对任意 b>a>0，f（b）b－ －fa（a）<1 恒成立，则 m 的取值
识
聚 范围是________．
焦
[答案] [14，＋∞)
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第21讲 分类与整合思想、化归与转化思想
[解析] 对任意的 b>a>0，f（b）b－－fa（a）<1 恒成立，
核 心
等价于 f(b)－b<f(a)－a 恒成立．(*)
知 识
设 h(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx －x(x>0)，
聚 焦
∴(*)等价于 h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由 h′(x)＝1x－xm2－1≤0 在(0，＋∞)上恒成立，
得 m≥－x2＋x＝－x－122＋14(x>0)恒成立，
∴m≥14对m＝14，h′（x）＝0仅在x＝12时成立，
1×（11－－22n）＝2n－1.
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第21讲 分类与整合思想、化归与转化思想
核
2．[2015·福建卷] 函数 f(x)＝－ 3＋x＋ log6a，x，x≤x2>，2 (a>0，且 a≠1)
心 的值域是[4，＋∞)，则实数 a 的取值范围是________．
知
识 [答案] (1，2]
[答案] 45
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第21讲 分类与整合思想、化归与转化思想
[解析] 方法一：若 x1＋x2＝－3，则只能 x1＝－1，y1＝0，
核 此时 y1＋y2＝－2，－1，0，1，2，(x1＋x2，y1＋y2)有 5 种
心 情况，根据对称性知，当 x1＋x2＝3 时，(x1＋x2，y1＋y2)也
知 识 聚
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第21讲 分类与整合思想、化归与转化思想
高三数学二轮复习专题辅导转化与化归思想
（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集_获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；
（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；
（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；
题型3：不等式问题
例3．（1）（2012高考真题重庆理2）不等式_的解集为（）
A._B._C._D._对
解析：A；原不等式等价于_或_，即_或_，所以不等式的解为_，选A.
高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想一、选择题1．过点P (2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．3x －2y ＝0 B ．x ＋y －5＝0C ．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D ．不能确定【解析】 当截距为零时，得直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，代入P (2,3)，得a ＝5，故其方程为x ＋y －5＝0，故选C.【答案】 C2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 【解析】 当6为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为43，所以V ＝6×34⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝83 3.当4为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为2，所以V ＝4×34×22＝43，故选D. 【答案】 D3．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞]上是增函数，则a 的值为( )A.13B.14C.23D ．1 【解析】 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则1－4m >0，所以m <14.若a >1，则函数f (x )＝a x 单调递增，此时有a 2＝4，a ＝2，m ＝a －1＝1a ＝12，此时不成立，所以a ＝2不成立．若0<a <1，则函数y ＝a x 单调递减，此时有a －1＝4，a ＝14，m ＝a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，此时成立，所以a ＝14.【答案】 B4．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1【解析】 结合图象及目标函数最优解不唯一可知，直线y ＝ax ＋z ，一定和直线x ＋y －2＝0或直线2x －y ＋2＝0平行，故a ＝－1或a ＝2.【答案】 D5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A ．4B ．3 C.52 D.125【解析】 ∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (4,4)， 设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ， ∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2 ab12. ∴ab 12≤14，即xy ≤14， 此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 【答案】 C二、填空题6．(2014·辽宁高考)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．【解析】 要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ＝(2a ＋b )2≤c＋3(2a ＋b 2)2，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥2a ＋b 24，当且仅当2a ＝b 时取等号，此时c ＝b 2，所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b 2＝4(1b ＋12)2－1≥－1，故1a ＋2b ＋4c 的最小值为－1. 【答案】 －17．(2014·北京东城区质检)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.【解析】 圆C 2的圆心到直线l 的距离为|0－－4|12＋－12＝22>2，此时直线l 与圆C 2相离．根据新定义可知，曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为22－2＝2，对函数y ＝x 2＋a 求导得y ′＝2x ，令y ′＝1⇒2x ＝1⇒x ＝12，故曲线C 1在x ＝12处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋a ＝x －12，即x －y ＋a －14＝0，∴2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －142，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，∴a ＝94或－74(舍去)．【答案】 948．(2014·福建厦门质检)已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0a ≥2，或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a ∈∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13三、解答题9．(2014·安徽江南十校)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)试比较T n 与nS n 的大小．【解】 (1)证明 由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1(n ≥2)，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n(n ≥2)，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即a n ＝n 2n ，代入已知得S n ＝2－n ＋22n ，令数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ，则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，由错位相减法得A n ＝4－n ＋42n ，所以数列{S n }的前n 项和T n ＝2n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋42n ＝2n ＋n ＋42n －4.(3)由S n ＝2－n ＋22n 得S n ＋1－S n ＝n ＋22n －n ＋32n ＋1＝n ＋12n ＋1>0知数列{S n }为递增数列，所以当n ＝1时，T 1＝S 1；当n ≥2时，T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋S n ＋…＋S n ＝nS n .10．(2014·天津高考)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，1a)1a(1a，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )↘13a2所以，f (x )的单调递增区间是(0，a )；单调递区间是(－∞，0)，(a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1a)＝13a2. (2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a)时，f (x )＞0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f x|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f 1，0)，A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．。
高考数学思想解析：化归与转化思想PPT共25页
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
高三数学高考专题讲座：化归与转化的思想在解题中的应用 试题
卜人入州八九几市潮王学校化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进展变换，将原问题转化为一个新问题〔相对来说，对自己较熟悉的问题〕，通过新问题的求解，到达解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法〞。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进展不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或者对所得结论进展必要的验证。
4．化归与转化应遵循的根本原那么：〔1〕熟悉化原那么：将生疏的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决。
〔2〕简单化原那么：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或者获得某种解题的启示和根据。
〔4〕直观化原那么：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
〔5〕正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2021年消费利润逐月增加，且每月增加的利润一样，但由于厂方正在改造建立，元月份投入资金建立恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率一样，到12月投入建立资金又恰好与12月的消费利润一样，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是〔〕A.m>NB.m<NC.m=N[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的HY 额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。
假设直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+〔n-1〕d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。
等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。
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专题21 分类与整合思想、化归与转化思想 文【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.【命题热点突破一】分类与整合思想1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论. (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.例1、(1) 设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．①张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0的值；②若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 (1)B(2)解：①由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”为事件A ， 则事件A 的对立事件为“X＝5”．因为P(X ＝5)＝23P 0，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1－23×P 0＝79，所以P 0＝13.②设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B(2，P 0)， 所以E(X 1)＝2×23＝43，E(X 2)＝2P 0，从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝83，E(3X 2)＝3E(X 2)＝6P 0.若E(2X 1)>E(3X 2)，则83>6P 0，即0<P 0<49；若E(2X 1)<E(3X 2)，则83<6P 0，即49<P 0<1；若E(2X 1)＝E(3X 2)，则83＝6P 0，即P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P 0＝49时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等．【特别提醒】分类与整合思想是最重要的数学思想方法之一，是高考考查的重点，涉及的试题各类题型均有．从高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中．【变式探究】(1)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s)|0≤p<s ≤4，0≤q<s ≤4，0≤r<s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中元素的个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50(2)已知函数f (x )＝m ln x ＋2m x －exx2.①若m ≤0，求函数f (x )的单调区间；②若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求m 的取值范围． 【答案】(1)A(2)解：①函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝m x －2m x 2－e x·x 2－e x·2x x 4＝（mx －e x）（x －2）x 3. 当m≤0时，mx －e x <0，所以当x ∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．②若m≤0，由(1)知，函数f(x)在(0，2)上单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在极值点．当m>0时，设函数g(x)＝mx －e x， 则g′(x)＝m －e x.(i )当0<m≤1，0<x<2时，g′(x)<0，∴g(x)<g(0)＝－1，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．【命题热点突破二】化归与转化思想(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.例2、(1)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．(2)P ，Q 为△ABC 内不同的两点．若3PA →＋2PB →＋PC →＝0，3QA →＋4QB →＋5QC →＝0，则S △PAB ∶S △QAB ＝________． 【答案】(1)①④ (2)2∶5(2)如图所示，以A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系． 设△ABC 的面积为S ，P(x 1，y 1)，B(m ，0)，C(a ，b)，则3(x 1，y 1)＋2(x 1－m ，y 1)＋(x 1－a ，y 1－b)＝(0，0)，解得y 1＝b 6，即△PAB 的高为△CAB 的高的16，故△PAB 的面积为16S.设Q(x 2，y 2)，则3(x 2，y 2)＋4(x 2－m ，y 2)＋5(x 2－a ，y 2－b)＝(0，0)，解得y 2＝512b ，即△QAB 的高为△CAB 的高的512，故△QAB 的面积为512S.所以S △PAB ∶S △QAB ＝16∶512＝2∶5.【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．【变式探究】(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11D .232【答案】(1)C (2)C【高考真题解读】1．[2015·安徽卷] 已知数列{a n }是递增的等比数列．a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【答案】2n－1【解析】设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.2．[2015·福建卷] 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，2]3．[2015·山东卷] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．【答案】1【解析】∵y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．[2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．【答案】120【解析】由题意知，万位上排4时，有2×A 34个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A 34个，故共有5×A 34＝120(个)．5．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sinC ，则cos A 的值为________．【答案】．－14【解析】∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14.6．[2014·陕西卷改编] 设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .若对任意b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，则m 的取值范围是________．【答案】[14，＋∞)7．[2015·湖北卷改编] 已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为________．【答案】45【解析】方法一：若x 1＋x 2＝－3，则只能x 1＝－1，y 1＝0，此时y 1＋y 2＝－2，－1，0，1，2，(x 1＋x 2，y 1＋y 2)有5种情况，根据对称性知，当x 1＋x 2＝3时，(x 1＋x 2，y 1＋y 2)也有5种情况；若x 1＋x 2＝－2，此时x 1＝－1，0均可，y 1可以等于0，－1，1，故y 1＋y 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况，根据对称性知，当x1＋x2＝2时，(x1＋x2，y1＋y2)也有7种情况；若x1＋x2＝－1，此时x1＝－1，0，1均可，y1可以等于0，－1，1，故y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况，根据对称性知，x1＋x2＝1时，(x1＋x2，y1＋y2)也有7种情况；若x1＋x2＝0，此时x1＝－1，0，1均可，y1可以等于0，－1，1，y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7种情况．综上可知，共有2×5＋2×7＋2×7＋7＝45(种)情况，即A⊕B中元素的个数为45.。