存贮模型
存贮模型
存储模型物资的存储是经济生活中的常见现象。
例如，为了保证正常生产，工厂不可避免地要存储一些原材料和半成品。
当销售不畅时，工厂也会形成一定的产成品存储（积压）；商品流通企业为了其经营活动，必须购进商品存储起来；但对企业来说，如果物资存储过多，不但占用流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管成本，甚至还会因库存时间延长而使存货出现变质和失效带来损失。
反之，若物资存储过少，企业就会由于缺少原材料而被迫停产，或失去销售机会而减少利润，或由于缺货需要临时增加人力和成本。
因此寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。
假定在单位时间内(或称计划期)的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成n等分的时间区间T，在每个区间开始订购或生产货物量，形成循环存储策略。
存储问题是确定何时需要补充和确定应当补充多少量，因为需求率是常数，可采用当库存水平下降到某一订购点时订购固定批量的策略。
为此先要建立一个数学模型，将目标函数通过决策变量表示出来，然后确定订购量和订购间隔时间，使费用最小。
1 不允许缺货的经济批量模型为进行存储状态分析，特作如下假定：①需求是连续均匀的，设需求速率为D；②当存储量降至零时，可立即补充，不会造成缺货（即认为供应速率为无穷）；③每次订货费为a ，单位货物的存储费为b ，都为常数；④每次订货量都相同，均为Q 。
存储状态的变化图图1设)(t I 表示一个运行周期开始后经时间t 后的库存量，T 为一个运行周期，∈--=t nT t D Q t I ),()([ nT , T n )1(+),Λ,1,0=n在一个周期`T 内的平均库存量为[]Q DtQt dt t I T TT 21022101)(=-=⎰上述公式也可由求三角型面积得到。
由于DT Q =，所以一个周期长度为=T D Q 。
设货物的单价或生产成本为p ，所以一个运行周期内（订货一次）货物存储费用为a ，货物的买价为Qp ，储存费用为'21Qb （'b 为一个周期内单位货物的储存费）。
数学建模——存储模型
数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
存贮论模型LINGO方法
优化建模
11 . 2 经济订购批量存贮模型（EOQ）
11 . 2 .1基本的经济订购批量存贮模型（EOQ） 模型定义： 不允许缺货、货物生产 (或补充)的时间 很短（通常近似为0）. 经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设： ( l ) 短缺费为无穷，即 Cs＝∞， ( 2 ) 当存贮降到零后，可以立即得到补充； ( 3 ) 需求是连续的、均匀的； ( 4 ) 每次的订货量不变，订购费不变； ( 5 ) 单位存贮费不变。 在一个周期内，最大的存贮量为Q，最小的存贮 量为0，且需求的连续均匀的，因此在一个周期内， 其平均存贮量为Q/2，存贮费用为CpQ/2.
( 5 ) wi（i =1,2,…,m）表示第 i 种物品的单位库存占用．
优化建模
1 具有资金约束的 EOQ 模型 对于第i ( i = 1 , 2 ， … ，m）种物品，当每次订货 的订货量为Qi 时，年总平均费用为
C D Di 1 TCi C PiQi 2 Qi
每种物品的单价为Ci，每次的订货量为Qi，则CiQi 是该种物品占用的资金. 因此，资金约束为
优化建模
优化建模
例 11 . 3
物资 i
1 2 3 4
年需求量 单价Ci 存贮费Cpi 单位占用库容wi Di ( 元／件) ( 元／(件 · (米 3 ／件) 年))
600 900 2400 12000 300 1000 500 500 60 200 100 100 1.0 1.5 0.5 2.0
存贮论模型的基本概念 输入(供应)
储存
输出(需求)
优化建模
1 存贮模型的基本要素 ( l ) 需求率: 单位时间内对某种物品的需求量, 用D表示． ( 3 ) 订货间隔期: 两次订货之间的时间间隔, 用T表示.
(s,S)策略随机存贮模型
(s,S)策略随机存贮模型在国民经济各个部门和生产过程的各个环节中都有大量的库存现象。
在工厂中为了使得生产过程能连续地、均衡地进行下去,并保证按时交货,必须贮备一定数量的原料、辅助材料、燃料、劳动工具等,必须储备一定数量的在制品,半成品,也必须储备一定的成品。
商业部门为了保证满足社会需要,也要贮存一定数量的商品。
在商店里若存贮商品数量不足就可能发生缺货现象,从而失去销售机会,导致利润减少;如果存贮数量过多,一时售不出去,会造成商品积压,占用流动资金过多而使流动资金周转不开,这样也会给国家造成经济损失。
银行里每天随时都可能有人来提取现款。
人们来不来提款,提多少款,虽有一定规律,但都不是确定的,因此,银行也应保持一定数量的现金。
诸如此类还有如水电站雨季到来之前,水库应蓄水多少?等等。
当前我国物资管理中存在不少问题,其中最突出的就是库存储备过大,占用资金过多,资金利用和周转率不高,根据发达国家的经验,随着市场竞争的加剧,在原材料、设备和劳动力成本压缩的空间趋于饱和后,对成本的控制将转为物流领域。
而在物流领域中,库存管理占有很重要的地位。
因此,我们有必要对库存问题进行研究。
本论文利用概率论和运筹学知识来研究需求是连续型随1/ 14机存贮问题,因为随机存贮问题在现实生活中比确定型存贮问题更为普遍。
本论文先讨论如何得到这些概率分布的统计方法,再利用所获得的概率分布来讨论随机存贮问题。
1数理统计在概率论的许多问题中,概率分布通常总是已知的,或者假设为已知,而一切计算与推理就是在这已知的基础上得出来的。
但在实际中,情况往往并非如此。
一个随机现象所服从的分布是什么概型可能不知道,或者由于现象的某些事实而知道其概型,但不知其分布函数中所含的参数。
如我们考察某工厂生产的电灯泡的质量,在正常生产的情况下,电灯泡的质量是具有统计规律性的,它可以表现为电灯泡的平均寿命是一定的,电灯泡的寿命这个用来检查产品质量的指标,由于生产过程中的种种随机因素的影响,各个电灯泡的寿命是不相同的,由于测定电灯泡是一一进行测试,而只能从整批电灯泡中取出一小部分来测试,然后根据所得到的这一部分电灯泡的寿命的数据来推断整批电灯泡的平均寿命。
存储模型
间内，存贮以速度r减少。T、t均为待定参数。
由图易知 (p r)t r(T t)
可得
pt rT,
t rT p
即以速度 p生产 t 时间的产量等于T时间内的需求量。
T时间内的存贮量
t
( p r)xdx
0
T时间内的存贮费为
T
1
t
(
2
(rT p
rx)dx r)tTc2
解 已 知c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产 批量为56件。
四、模型三
模型三——允许缺货，生产时间很短。模型一、 二是在不允许缺货的情况下推导出来的，模型三是 允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。
这里除假设允许缺货，其余条件与模型一相同，
1 2
(
p
r
)tT
则T时间内总的平均费用F（T）为
则有
与模型一中式相比较，它们只差因子 p pr
当p （生产速度很大）时，则生产时间很短，
即为模型一。
例2 某厂每月需某产品100件，生产能力为每月 500件，每批装配费为5元，每月每件产品存贮费 为0.4元，求最优生产周期、生产时间和生产批 量。
一、存贮问题的基本要素
一般的存贮问题通常包含下面5个基本要素。
（一）需求
需求是存贮系统的输出，需求量可以通过供 销渠道获得，它可以是确定的，如自动生产线上 每个班组对某种零件的需求量；它也可以是随机 的，如市场每天对某种商品的销售量。
（二）补充（订货或生产）
补充是存贮系统的输入，存贮物品的补充可以 由工厂生产获得，也可以通过订货得到。从订货到 货物入库，通常需要一段时间，称为滞后时间。由 于滞后时间的存在，管理者为了能及时补充，就必 须提前订货，所提前的时间称为提前时间。滞后时 间可以是随机的，也可以是确定的。
存储模型
时补充存贮，补充量Q＝S-x（即将存贮补充到S）。
3.（t，s，S）混合策略每隔t时间检查存贮量x，当
x＞s时不补充；当x≤s时，补充存贮量使之达到S。
（四）费用
1.订货费它包括两部分，一部分是订购一次货物
所需的订购费用（如手续费、出差费等），它是仅
与订货次数有关的一种固定费用。另一部分是货物 的成本费 kx（x 为订货数量， k 为单价），成本费随 订货数量变化而变化。 2.保管费包括货物的库存费和货物的损坏变质等
假设每隔 T 时间补充一次，则订货量必须满足 T
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费 为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT T 时间内的存贮 量（如图）为
T
1 2 (rT rt )dt rT 0 2
1 2 则T时间内的存贮费为 rT c2 2 1 2 故T时间内的总费用 c1 krT rT c2 2 为确定订货周期 T 及每次订货量 Q，考虑 T 时间内
例2
某厂每月需某产品100件，生产每件产品存贮费
为 0.4 元，求最优生产周期、生产时间和生产批 量。
解 已 知 c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产
批量为56件。
四、模型三
支出的费用。
3.缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用， 如停工停产造成的损失和罚款等。
（五）目标函数
为了衡量存贮策略的好坏，必须建立一个衡
量指标，这个指标称为目标函数。通常把目标函
数取为该策略的平均费用或平均利润。
二、模型一
模型一——不允许缺货，生产时间很短 为了使模型简单，易于理解，便于计算，可作以
存贮问题建模
数学建模
模型结果分析
❖如果缺货损失非常大，以至于可以忽略存储费c2 ， 则一般不允许缺货。
❖从数学角度，即令 c3 ，则
T*
2c1 c2r
c2 c3 c3
T0*
2c1 c2r
Q*
2c1r c2
c3 c2 c3
Q0*
2c1r c2
❖ 不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例
数学建模
模型结果分析
数学建模
问题分析与模型假设
问题分析 ❖ 最佳以进企货业周的期总取支决出于最企小业为的目利标润来或决损定失进的货大周小期。 ❖ 只有产品的存储与缺货信息，没有明确的销售信息。 模型假设 ❖ 1）进货周期为T，最大存储量为Q，产品销售速度
为r，每周期进货费为c1，单位时间单位产品存储费 为c2、缺货损失费为c3； ❖ 2）销售至T1 (<T)时库存不足，出现缺货，但所缺货 物将在下周期订货时补足； ❖ 3）时刻t（0<t<T）时货物存储量为q(t)。
模型求解
❖根据二元函数极值必要条件，令 C 0, C 0
T
Q
❖解得最优解 T * 2c1 c2 c3 , Q* 2c1r c3
c2r c3
c2 c2 c3
❖于是每周期的最优订货量 R* rT * 2rc1 c2 c3
c2 c3
❖ 易见，T与进货费c1成正比，与存储费c2、缺货损失 费c3及销售速度r成反比，这些均与一般常识吻合。
q
存
Q0
储
r
量
A
匀
O
T0
t
图1.9 不允许缺货时的货物存储量 q(t)
速 减 少
数学建模
模型建立与求解
4制造系统建模方法—库存系统模型
61
设t´时刻的库存量为Q ´，有Q ´=Q-Rt ´，则一
固定一个库存的最高限额S（如库房容积限制等） 以及一个库存最低标准s，通过经常检查实际库存量， 当X≤s时即发出订单，补充库存到最高限额S。发出 订货弹道货物入库这段时间tL内要继续消耗库存，设 单位时间内的平均消耗量（需求量）为R，订购批量 为Q=S-X+RtL。
（3 ）混合式策略:定期检查库存量，当实际库存 量X≤s时发出订单。优点：避免了订货点法需要经常 检查的麻烦，并且能减少订购次数，订货费用也低。 缺点：需求波动大时可能发生缺货。为避免缺货，缩 短检查周期---订货点法。
物资本身的费用由需求方负担，从存贮系统的输入 转移到输出，在分析模型的经济数量指标是不计入。在 仓库单独经营核算、物资在存贮其间发生价格变动、决 定是否接受优惠批发价格时，需考虑物资的购入 成本。
1.4 存贮策略 存贮系统明确了决策环境（输入方式、需求性
质、数量规律、是否允许缺货、以及可供选择的条 件等），需决策：什么时候应补充库存物资？每次 订购（或生产）多少？最低库存量水平与提前订购 期的关系？在计划期内需外出定购的次数多少？
存贮物资的输出是为了满足需求，需求或输出 的规律大致有以下几种：
①连续均匀：
库存量
R
R
QA
A
输入速率 A=∞ 输出速率 R=dQ/dt
o
t
t
时间
②断续的： 库存量
Q
时间 O
③需求来自存贮系统的变化，仓库管理者无法控制。
④需求量可能是随机性的：可以通过长期的统计，找 到统计规律性，做出概率分布，建立存贮模型。
2.1 订购物资存贮模型
确定性的定购物资存贮模型：输入物资从货源采 购而来，输入速率A→∞，每一周期订购一次且数量不 变，提前订购时间确定；存贮费率一定，没有安全存 贮量的要求；需求率是确定性的。 2.1.1 不允许出现物资短缺的情形
存储模型、森林救火(数学建模)
问题
3.3 森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 分析 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
bt1,
t t b
2 1 x
b
dt
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x
t2 t
B(t2)
t2 0
B(t)dtb2t
2
t12
2
2t12 2(x)
假设3）4） f 1 ( x ) c 1 B ( t 2 )f , 2 ( x ) c 2 x ( t 2 t 1 ) c 3 x 目标函数——总费用 C (x)f1(x)f2(x)
第三章 简单的优化模型
3.1 存贮模型 3.3 森林救火
供应链与物流管理
经济、管理科学近几十年获得了飞速 发展，并取得丰硕的成果。这些成果 的重要标志之一就是更加数学化和定 量化。
下面介绍供应链与物流管理中的一个 典型模型：存储模型
随机型存贮模型
一、简单单周期模型（报童模型） 二、有初始库存量的单周期模型
单周期存贮模型：指在周期开始时订货一次，本周期不再 订货。 随机性存贮模型，以总费用的期望值作为衡量存贮策略优 劣的标准。
一、简单单周期模型（报童模型）
报童问题:报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验， 已知，需求量r份报纸的概率P (r)，报童每售出一份报纸赚k元，如果报纸 未能售出，每份赔h元，问报童每日最好准备多少份报纸?
No Image
二、有初始库存量的单周期模型
两个任务： 1、确定存贮上限S 2、确定订货点s
1、确定存贮上限S
2、确定订货点s
例：某工厂生产某种部件，该部件外购价为850元/件，订货手续费每次 2825元，若自产，则每件成本1250元，单件存贮费45元，该部件需求概 率见下表：
80
90
100
110
120
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
在选择外购策略时，若订购数少于实际需求量，则工厂将自产差额部分， 假定初期存货为零，求工厂的订购策略。
对于随机性存贮问题，本书只介绍了一次性进货模型，另外还有多周期 存贮模型、带有滞后时间的存贮模型等，大家可以参考韩伯棠教授编写 的《管理运筹学》书本，学习相关的知识。
需要解决最优订货量Q的问题。如果订货量Q过大，报童就会因 不能售出报纸造成损失；如果订货量Q过小，报童就要因缺货 失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量Q，才 能使这两种损失的期望值之和最小呢?
销售量 （百张）
5
6
7
8
9
10
0.05 0.10 0.20 0.20 0.25 0.15 0.05
存储 存贮模型的建立及求解
第四章: 存贮模型§4.1 不允许缺货的确定性贮存模型工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。
商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。
水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。
不论是原料、商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。
原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。
在此我们设想是在为一个商店老板制定一个好的进货策略。
一、 模型假设：1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为r （吨）；2．商店采用周期进货策略：每隔时间T （天）进货Q （吨）；且假设每次进货是在存货全部售出后即刻进行，不允许缺货，即T r Q ⋅=；3．每次进货需支付订货费（等一次性费用）1c ，在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用2c ；4．以)(t q 表示在时刻t 该货物的存量；二、 模型建立根据假设，不难得到如下最优化问题：{}T r Q Tt tr Q t q t s T dt t q c c C MinT ⋅=≤≤⋅-=⋅⋅+=⎰0)(../)(021 可以进一步化简，得0221>⋅⋅+=T T r c T c C Min ，即本模型本质上只有一个独立的决策变量T ，其中目标函数C 表示在进货周期为T 时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用。
三、 模型求解 令0=dTdC ，即02//221=⋅+-r c T c ，得最优的进货周期212rc c T =，进而得每次的进货量212c rc rT Q ==（即经济理论中著名的经济订货批量公式）。
四、 点评从模型的解可以发现，当订货费越高，需求量越大时，一次订货量应越大；当贮存费越高，一次订货量应越小。
这些关系是符合常识的，但仅凭常识是不能得到准确的依从关系。
存贮模型
解 根据（4－28）～（4－31）可得 2 2040 (170 500) t 0.176 170 1040 500
2 500 2040 1040 S 137 170 (170 500)
Q 1040 0.176 183 2 170 500 2040 1040 C (t , S ) 23202 170 500 那么，每年订货次数应为 1 1 5.68
C (t , S ) 23235
同样可得
1 1040 t ,Q Q 5 5
500 1040 S 155 170 500 5
C (t , S ) 23394
所以每年应订货6次，每次订货批量为 1040/6吨，每的的总存贮费用为23 235元。 二、随机性存贮模型 前面我们讨论的模型 其数据都是确定的，这类 存贮模型 叫确定性存贮模型。以下我们讨论含 有随机数据存贮模型 。为此，我们先通过一个 例题介绍一直建立这种模型的基本思想。
2040 1 C (t ) 170 1040 0.152 22858 0.152 2 于是每年的订货次数应为
1 1 6.58 t 0.152
由于订货的次数应为正整数，故可以比较订货 次数分别为6次和7次的费用。若订货次数为 1 6，可得每的总费用为 C ( ) 22973 。若订货 6 次数为7，可得每 年的总费用为 C ( 1 ) 22908 。
t
0.176
同样，由于订货次数应为正整数，故可分别比 较订货次数为5次和6次的费用。若每年订货6 次，则订货周期批量分别为
1 1040 t ,Q 6 6
相应的
C2 500 1040 S Q 129 ，从而 C1 C2 170 500 6
存贮模型讲课ppt课件
简要概述本次讲课的主要内容，包括存贮模型的 基本概念、应用场景、优缺点等。
重点解析
深入解析存贮模型的核心知识点，帮助听众更好 地理解和掌握。
案例分析
通过实际案例，展示存贮模型在实际问题中的应 用和效果，加深听众对存贮模型的认识。
对未来研究的展望
技术发展
探讨存贮模型在未来的技术发展趋势，如人工智能、大数据等技 术在存贮模型中的应用。
通过存贮模型的建立和分析，可以为企业提供科学的决策依据，降低运营成本，提 高市场竞争力。
存贮模型的分类和特点
存贮模型可以根据物品的需求量、存贮容量、 补货策略等因素进行分类，如确定性存贮模型 和随机性存贮模型。
确定性存贮模型的特点是需求量、补货周期等 参数是确定的，而随机性存贮模型则考虑了需 求量、补货周期等参数的不确定性。
安全可靠。
物联网中的存贮模型应用
数据采集
对物联网设备产生的数据进行采集、处理和 存储。
数据传输
将处理后的数据传输到云平台或其他应用系 统，实现数据共享和利用。
数据处理
对采集到的数据进行清洗、分析和处理，提 取有价值的信息。
数据安全
采用加密、认证等手段确保物联网数据的安 全可靠。
06 总结与展望
总结
存贮模型讲课ppt课件
目录
• 存贮模型概述 • 存贮模型的原理 • 存贮模型的实例分析 • 存贮模型的发展趋势和挑战 • 存贮模型的实践应用 • 总结与展望
01 存贮模型概述
存贮模型的背景和意义
存贮模型是用于描述物品存贮和运输过程中相关问题的数学模型，具有实际应用价 值。
随着物流、供应链等领域的快速发展，存贮模型在优化资源配置、提高物流效率等 方面发挥重要作用。
存储论四个模型公式
存储论四个模型公式存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。
存贮论的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有随机因素的随机存贮模型。
1 存贮模型中的基本概念所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和供需之间矛盾的作用。
存贮模型的基本形式如图 1 所示。
1．存贮问题的基本要素（1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。
（2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。
（3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。
2．存贮模型的基本费用（1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关，记为。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为。
3．存贮策略所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。
下面是一些比较常见的存贮策略。
（1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充一个固定的存贮量Q 。
（2）(t,S) 策略：每隔一个固定的时间t 补充一次，补充数量以补足一个固定的最大存贮量S 为准。
因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。
当存贮（余额）为I 时，补充数量为Q = S −I 。
（3）(s,S) 策略：当存贮（余额）为I ，若I > s ，则不对存贮进行补充；若I ≤s ，则对存贮进行补充，补充数量Q = S −I 。
补充后达到最大存贮量S 。
s 称为订货点（或保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。
在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能得知。
若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮I ，然后根据I 是否超过订货点s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t,s,S)策略。
数学建模——存储模型
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
存贮模型
模型一 不允许缺货的存储模型1. 模型准备（背景介绍）存储原料或货物对于企业、商品流动各部门都是不可少的。
存储过多，会导致占用资金过多、存储费用过高等问题。
但存储量过少，会导致订货批次增多而增加订货费用，有时造成的缺货可发生经营的损失。
因此，怎样选择库存和订货是一个需要研究的问题。
如：某工厂平均每天需要某种原料20吨，已知每吨原料每天的保管费为75.0元，每次的订货费用为75元，如果工厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充，请为该工厂做出最佳决策：即多长时间订一次货，每次订多少货才能使每天所花费的总费用最少。
2. 模型假设（分析问题）在求解时需要考虑的问题有以下两项：)1(进货费用：包括订货费用1C 元（固定费用）与货物的成本费用C 元/吨，与订货数量有关（是可变费用）。
)2(单位时间内的存储费用：2C 元/吨。
总费用21T T T +=，其中1T 为进货费用，2T 为存储费用。
模型二 最优价格模型模型假设某工厂产品的产量等于市场上的销售量，制定在这种产销平衡状态下使工厂利润最大的最优价格。
设每件产品售价为p ，成本为q ，与产量相等的销售量为Q ，在市场竞争的情况下Q是p 的减函数，记作）（＝p f Q 称为需求函数。
由于总收入与总支出分别为pQ R =与qQ C =模型一解答3. 建立模型设每隔t 天订一次货，每次订货数量为x ，每次订货费用为1C ，单位时间内每单位货物存储费用为2C ，每天内对货物的需求量为R 。
在上述假定的条件下有Rt x =，每次的进货费用为：CRt C Cx C +=+11 则平均每天的进货费用为：RC tC T +=11 每天的平均库存量为2x ，平均库存费为Rt C x C T 222212=⋅=。
则每天总费用为2)(21Rt C RC t C t T ++= 4. 模型求解制定最优存储方案，就归结为确定订货周期t ，使)(t T 达到最小值。
因为R C tC dt t dT 22121)(+-=，令0)(=dt t dT ，得驻点212RC C t =，而 02)2(133221>=''C R C RC C T 所以212RC C t =时)(t T 取得最小值，由于Rt x =，所以，每批最佳订货量为212122C R C RC C R x ==上式是经济学中著名的经济定货批量公式，它表明订货费越高，需求量越大，则每次订货批量应越大；存储费用越高，则每次订货批量应越小。
第5章存储论
1、不允许出现物资短缺：
⑴、特点
开始时，以A的速率生产入库,同时以R的速率输出，故净输入率为A-R。在批量QA的生产时间tp 内，实际的最大库存量H=(A-R)tp<QA=Atp。批量生产停止后，继续以R速率耗用库存，经tR时间物资 耗完，应即时生产入库。为此，应提前tL时间准备生产。为了不至造成缺货，在一个周期tA时间内 必须保证符合关系Atp=RtA，即生产总量等于耗用总量。生产存贮和需求过程见下图所示：
KA
A R A
18 3 18
5 6
Q
p
2RC p Ch
2 3 50 50 30 0.004
从而经济生产批量为：Q
A
Q
p
50 30 300(件 / 次)
KA
5/6
① 最优生产(存贮)周 期
t
A
t
p
KA
2C p / Ch
KA
2 50 / 3 0.004
5 100 小时 6
2、存储环节
原料、产品、设备、工具等物资存放到仓库等设备中。
存贮环节的内容是多种多样的，但都需要“保管费用”。 3、输出环节
存贮物资的输出是为了满足需求，需求或输出的规律大致有以下情况: ① 需求量是确定性。 ② 需求量是随机性的。可以通过长期的统计，找到统计规律性，作出概率分布，
建立性存贮模型来进行定量分析。 由此，存储模型可划分为：确定性存储模型和随机性存储模型。
三、存储策略
什么时候应补充库存物资？每次订购(或生产)多少？最低库存量水平与提前订购期的关系？ 在计划其内需外出订购的次数多少？等等
存储问题的数学模型
注：函数改变的百分比/自变量改变的百分比=函数的弹性，即
函数y=f(x)在x0附近有定义，如果下式成立，
y
E(y)|xx0yxxy xyxyddxy(x0) x
《5》
称《5》为函数y=f(x)在点x0处的弹性，反映函数y随自变量x变化 的剧烈程度。即自变量变化1%时，函数y变化的百分比，若E(y) 为正，表示增加的百分比；如果E(y)为负，表示下降的百分比， 总是是反映函数对自变量的灵敏程度。
下面就用弹性这个概念来计算平均费用对各个参数的灵敏 程度。这里C1=5000，C2=1，R=100。
1、周期T对生产准备费用C1的灵敏度分析
EC1(T)|C15
00,C021,R1
00 CT1
T C1
|C15
0
0,C021,R10
0
T
2C C11C2R|C1500,C021,R100 0.5
结果说明，当生产准备费用变动1%时，周期t用只是变动0.5%， 说明周期对准备费用反应不灵敏。
斜率R
t
0
T1
T
2、在此生产存储模型中，没有提到生产产品的费用？为什么？ 在什么情况下不考虑生产费用也可以求生产周期？
（在生产过程中，生产要素所涉及的价格不改变，且需求速度 不改变，即可不考虑）
四、存 四贮、模存型贮模型2 允许缺货的存贮模型 [2姜起源.谢金星.数学模型.高等教育出版社.61页]
2500
2000
1500
1000
500 0
x* 20
40
60
80
100
120
每x天生产一次的平均费用,x*为最优点
由上面的图可以看出，存在x*，每隔x*天安排一次生产，这x* 天内每天的费用都低于其它安排。称x*为生产周期。如何求这个 x*，其它类似问题是否可以一样求解呢？ 模型假设
数学建模 存贮模型
利用(8)式 Q rT1 ，得到每天的平均费用是
C(T , Q)
(10)
c1 T c2Q 2 2rT c3 rT Q2 2rT
(10)式为这个优化模型的目标函数，是
T 和 Q 的二元函数。
模型求解
用微分法求 T 和 Q 使 C(T,Q)最小。解方程组
C
T
C
问题分析
• 总结：生产周期越长，产量越多，会使平 均每天费用中的贮存费变大，生产准备费 变小。所以必存在最佳生产周期，使每天 的平均费用最小。
• 为了得到准确的结论，应该建立优化模型， 研究每天的平均费用和生产周期、产量、 需求量、生产准备费、贮存费之间的关系， 求出最优解。
问题分析
• 把以上问题一般化，考察如下的不允许缺 货的存贮模型： 假设产品需求稳定不变，生产准备费 和每天每件产品的贮存费均为常数，生产 能力无限，不允许缺货，确定生产周期和 产量，使每天的平均费用最小。
q (t ) rt Q ， Q rT1 (8)
模型建立
在T1 到 T 这段缺货时段内，需求 率 r 不变，q(t)按原斜率继续下降。 由于假设 3a 规定缺货量需补足，所以 在 t＝T 时数量为 R 的产品立即到达， 使下周期初的贮存量恢复到 Q．
模型建立
一个周期 T 内的贮存费是
3131存贮模型存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型问题提出问题提出在有些情况下用户允许短时间的缺货虽然缺货会造成损失但是缺货期间没有贮存费而且由于延长了生产周期从而降低了一次性生产准备费分摊在每天的费用所以如果缺货损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费可以采用允许缺货的策略
第3章 简单的优化模型
存贮模型的结构及基本概念
存贮模型的结构及基本概念一般存贮系统的结构模式可以表示为如图10—l的形式。
由于生产或销售的需求，从存贮点取出一定数量的库存货物，这就是存贮系统的输出。
由于存贮货物的不断输出而减少，则必须及时作必要的补充，这就是存贮系统的输入。
图10—1需求的方式可以是均勺连续的或间断批量的，需求的数量可以是确定性的或是随机性的。
补充的形式可以由经营单位向外订货或者自身按排生产活动。
研究补充的主要数量指标为：确定订货周期或生产周期（补充间隔期）和确定订购批量或生产批量。
10．1．1费用构成费用是评价存贮系统库存控制优劣的主要标准。
存贮系统有关的主要费用可以分为以下三类。
1．订货费订货费是从每次订货到货物入库所需的全部费用。
它主要包括两项费用：（1）订购费。
如手续费、交通费、出差费、检验费等固定费用，它仅与订购次数有关，而与订购数量无关。
（2）货物成本费。
包括货物的价格、运输费、运输的损耗等可变费用，它因订购数量的不同而变化。
2．存贮费存贮费是货物从入库到出库阶段内由于库存保管所需要的费用。
它主要包括仓库场地的租借费、货物的保管费、资金占用的利息费、货物的损耗费等，它因存贮数量的增加而增加。
3．缺货费缺货费是指库存货物供不应求时所造成的经济损失。
如生产中断的经济损失、失去销售机会的利润损失、没有完成合同的处罚等。
在建立存贮模型的过程中，根据不同存贮问题的实际背景，首先应该弄清楚哪些费用必须纳入模型，然后选择确定运用哪种存贮控制方法，使建立的模型中各项费用之和达到最小。
由于研究的存贮系统的实际背景存在许多差异，所以给研究者建立数学模型留下许多创造空间，许多研究者建立了不同的数学模型和存贮策略，本书只介绍了有限的方法让读者对于存贮论的知识有一个初步了解，感兴趣的读者可以看阅相关的存贮论专著。
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问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件 元。 件 准备费 日需求 元 贮存费每日每件1元 • 每天生产一次，每次 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费 件 无贮存费，准备费5000元。 元
每天费用5000元 元 每天费用
• 10天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次1000件，贮存费 件 贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计 元，准备费 元 总计9500元。 元
q Q′ ′ r R 0 T1 T t
2c1r c3 Q′ = c 2 c 2 + c3
注意： 注意：缺货需补足 Q′~每周期初的存贮量 ′ 每周期初的存贮量 每周期的生产量 R = rT ′ = R （或订货量） 或订货量）
2c1r c2 + c3 c2 c3
R = µ Q > Q Q~不允许缺货时的产量 或订货量 不允许缺货时的产量(或订货量 不允许缺货时的产量 或订货量)
q Q r
A
Q = rT1
T1 B T t
0
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 现假设：允许缺货
周期T, 周期 t=T1贮存量降到零 一周期 贮存费 一周期 缺货费
c2 ∫0 q (t )dt = c2 A
T1
一周期总费用
c3 ∫T q(t ) dt = c3 B
T
1
QT r(T −T1)2 C = c1 + c2 1 +c3 2 2
用于订货、供应、 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， ， 每天每件贮存费 T天订货一次 周期 每次订货 件，当贮存量降到 天订货一次(周期 每次订货Q件 天订货一次 周期), 零时， 件立即到货 件立即到货。 零时，Q件立即到货。
T =
2 c1 rc 2
目标函数——每天总费用的平均值 每天总费用的平均值 目标函数
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； ； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产 件，当贮存量 天生产一次（ 天生产一次 周期） 每次生产Q件 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 件产品立即到来（ 为零时， 件产品立即到来 生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
平均每天费用950元 元 平均每天费用
• 50天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次5000件，贮存费 件 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费 元 准备费5000元，总计 元 总计127500元。 元
平均每天费用2550元 元 平均每天费用 10天生产一次平均每天费用最小吗? 10天生产一次平均每天费用最小吗? 天生产一次平均每天费用最小吗
T = 2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
模型分析
c1 ↑⇒ T,Q↑
模型应用
• 回答问题
c2 ↑ ⇒ T, Q ↓
r ↑ ⇒T ↓, Q ↑
c1=5000, c2=1，r=100 ， T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 天 件 元
• 经济批量订货公式（EOQ公式） 经济批量订货公式（ 公式） 公式
∂C ∂C = 0, =0 ∂T ∂Q
为与不允许缺货的存贮模型 为与不允许缺货的存贮模型 相比， 记作 记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3
2c1r c3 Q′ = c2 c2 + c3
允许 2c1 c2 + c3 T '= rc2 c3 缺货 模型 2c1r c3 Q' = c 2 c 2 + c3 记
问题
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
一周期总费用
1 1 C = c1 + c2QT + c3r(T −T1 )2 1 2 2
每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT − Q ) 2 C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT 目标函数） （目标函数） 求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min
Q = rT
一周期贮存费为
0
T
t
2
c2 ∫0 q (t ) dt = c2 A
T
Q rT 一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 总费用 2 2
~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2
每天总费用平均 目标函数） 值（目标函数）
模型求解
dC =0 dT
c1 c2 rT → Min 求 T 使C (T ) = + T 2
问题分析与思考
• 周期短，产量小 周期短， • 周期长，产量大 周期长， 贮存费少， 贮存费少，准备费多 准备费少， 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和） 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 • 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
2c1r Q = rT = c2
不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r, 当贮存量降到零时仍有需求 出现缺货， 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时立即生产出来 或立即到货
建模目的
已知， 使每天总费用的平均值最小。 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立
离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产 件，q(0)=Q, q(t)以 生产Q件 生产 以 需求速率r递减 递减， 需求速率 递减，q(T)=0.
Q r
A=QT/2
不 允 许 缺 货
不允 许缺 货模 型
T =
2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
µ=
c 2 + c3 c3
T ′ = µT ,
Q′ =
Q
µ
µ >1
T '> T , Q '< Q
c3 ↑ ⇒ µ ↓
c3 → ∞ ⇒ µ →1
T ′ → T , Q′ → Q
允许 缺货 模型
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3