12.5.1因式分解(提公因式)课件
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提公因式法一ppt课件
(1) 8a
3
b 12ab 4ab
2 4 2 3
1) 4ab( 2a b 3b )
4
(2) 4 x
2 x y 2 x (4 2 x 2 y)
3 3
4. 把下列各式分解因式：
(1) (2)
8 x 2 xy 3 2 4m 6m 2m a b 5ab 9b
3 2
1.填空:（口答）
(1) (2)
(3)
2R 2r 2 ( R r ) 2 3 2 3x 6 x 3 x ( x 2)
7a 21a 7a( a 3 )
2
1 2 1 2 1 gt1 gt 2 g (4) 2 2 2
(t t )
2 1 2 2
2.把下列各式分解因式：
2
(3)
(4)
2x 4x 2x
3 2
1. 提公因式法是最基本的分解因式 的方法之一，其一般步骤是什么？ 2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 如何检验分解因式正误？ 4.你还有什么新的认识与体会吗？
ab bc
2
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
公因式的定义： 一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
例如：
多项式
公因式
ab bc 2 3x 3 y 2 7a 21a
3x 6 x
3 2
b
3
7a 2 3x
观察上述举例，分析并猜想： 确定一个多项式的公因式时， 要从 和 数字系数 字母及 其指数 分别进行考虑。
一、因式分解的概念 把一个多项式化为几 个整式的积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分 解因式.
3
b 12ab 4ab
2 4 2 3
1) 4ab( 2a b 3b )
4
(2) 4 x
2 x y 2 x (4 2 x 2 y)
3 3
4. 把下列各式分解因式：
(1) (2)
8 x 2 xy 3 2 4m 6m 2m a b 5ab 9b
3 2
1.填空:（口答）
(1) (2)
(3)
2R 2r 2 ( R r ) 2 3 2 3x 6 x 3 x ( x 2)
7a 21a 7a( a 3 )
2
1 2 1 2 1 gt1 gt 2 g (4) 2 2 2
(t t )
2 1 2 2
2.把下列各式分解因式：
2
(3)
(4)
2x 4x 2x
3 2
1. 提公因式法是最基本的分解因式 的方法之一，其一般步骤是什么？ 2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 如何检验分解因式正误？ 4.你还有什么新的认识与体会吗？
ab bc
2
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
公因式的定义： 一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
例如：
多项式
公因式
ab bc 2 3x 3 y 2 7a 21a
3x 6 x
3 2
b
3
7a 2 3x
观察上述举例，分析并猜想： 确定一个多项式的公因式时， 要从 和 数字系数 字母及 其指数 分别进行考虑。
一、因式分解的概念 把一个多项式化为几 个整式的积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分 解因式.
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
因式分解(共4课时) ppt课件
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
PPT课件
23
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
aaa222
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
悦崃中学 王军
第1 课时
第2 3 课时
Байду номын сангаасPPT课件
第4 课时
1
PPT课件
2
教学目标
1.理解因式分解与整式乘法的区别 2.懂得寻找公因式，正确运用提公因式法进
行因式分解。 3.培养学生善于类比归纳的能力。
PPT课件
3
复习回顾
口答：
xx 1 __x_2___x__ x 1x 1 ___x_2 __1__ 2x3x 7 _6_x_2__1_4_x_
八年级数学上：12.5因式分解(第1课时)课件华师大版版
拓展 提升
1．已知：a＋b＝3，ab＝2，求下列各 式的值： (1)a2b＋ab2； (2)2（a+b)-3ab(a+b) 2. 先化简，再求值： 5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102.
3.长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为
14，面积为10，则a2b＋ab2的值是多少？
1、什么叫因式分解？
[归纳总结] 运用提公因式法因式分解的基本步骤： (1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式． 注意：(1)公因式既可以是单项式，也可以是多项式． (2)确定一个多项式的公因式时，不仅要考虑字母因式，还 要考虑系数．对于系数，取各项系数的最大公因数作为公因式 的系数，对于字母因式，取相同字母因式的最低次幂． (3)若首项系数是负数，一般要先提出负号． (4)提公因式时，如果某项就是公因式或与公因式互为相反 数，提取后不能漏掉± 1. (5)将多项式因式分解时，必须分解到不能再分解为止．
[归纳总结] 在计算求值时， 若式子各项还有公因数， 先 提取公因数再计算，可使运算简便.
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3 (1)上述分解因式的方法是___ ，共应用了____次． (2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2004，则需 应用上述方法2004次，结果是____ ． (3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n （n为正整数)．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的 式子变形叫把这个多项式因式分解。
人教版《因式分解》ppt课件
因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
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归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
七年级下数学第章《提取公因式》课件
⑶ 362x -9
公因式：3
⑷ 2()2-3 ()
公因式 ()
33-15x3y
1.试找出33-15x3y公因式： 3 .
提
2.多项式与公因式的商： y2-5x2 . 取
3.你现在能把多项式33-15x3y
公
进行因式分解吗？
因
式
法
33-15x3y = 3 （y2-5x2）
练一练：
多项式
公因式 因式分解结果
2a2b 4abc 2ab 2ab( a 2c ) 5ab2c 15b3c2 5b2c 5b2c( a 3bc ) 4a3b2 10a2b3c 2a2b2 2a2b2 (2a 5bc)
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。
方法:
1.系数:提取最大的公约数;
2.字母:提取相同字母最低次幂。
公因式
1. 3x2-3y
3
2. 23a b
a
3.30 m b2 + 5n b3 5b2 ；
4.多项式3a()+8()的公因式是
（；）
5.多项式15a2b3 - 6a3的公因式是 3a2b ；
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因， 并给出正确的解。
⑴3a2c - 6a3 3a2(c - 2) = 3a2c (1 - 2a)
添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号 里的各项都不变号；
括号前面是“—”号，括到括号 里的是各项都变号。
() ()2= (+)2 ()3= ()-3
添括号：
3= (3)
-1-2 (1+2x)
2-(
)
。。。。
《提公因式法》分解因式PPT精品教学课件
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程.
因式分解定义
•把一个多项式化成几个整式 积的形式,这种变形叫做把 这个多项式分解因式.
● 想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
分解因式与整式乘法是互逆过程
练习一 理解概念
第二章 分解因式
提公因式法
做一做
计算下列个式: 根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= _3_x_2_-3_x
(1) 3x2-3x=_3_x_(_x_-_1_)
(2)
m(a+b+c) =m_a_+_m__b+mc (m+4)(m-4)= _m_2_-_16 (2)
ma+mb+mc=_m_(_a_+_b_+c)
(3) m2-16=_(_m_+_4_)_(_m_-_4)
(3)
(x-3)2=
x2-6x+9
________2 __
a3-a (4) a(a+1)(a-1)= ____
(5) a3-a=_a_(a_+_1_)_(a-1)
1541提公因式法课件
公因式 4
a
b2
最大公约数 相同字母最低次幂
步骤 一看系数 二看字母 三看指数
练一练
找出下列各多项式中的公因式：
（1） 8x+64 8
提示：从公因式的
（2） 2ab2+ 4abc
系数，字母，字母的指数）
2ab
（3） m2n3 -3n2m3 m2n2
( 4)、a2b-2ab2+ab ab
问:多项式中的公因式是如何确定的？
变号。
例4 把2a(b+c)-3(b+c)分解因式
试一试:
x
(1)24x3y-18x2y
(2)-7ab-14abx+49aby
(3) 2a(y-z)-3b(y-z) a3
(4) p(a2+b2)-q(a2+b2)
小结
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
式,这种变形叫做把这个多项式因式 分解（或分解因式）.
想一想:因式分解与整式乘法有何关系?
(x+y)(x-y)
整式乘法
x2-y2
x2-y2 因式分解 (x+y)(x-y) x2-y2 因式分解 (x+y)(x-y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
练一练“理解概念”
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
•多项式各项系数都是整数时,取 •各项系数的最大公约数
•相同字母最低次幂
解:原式= 4ab2 (8a3b2÷ 4ab2-12ab3c ÷ 4ab2) =4ab2 (2a2-3bc)
如何检验
华东师大版八年级上册数学说课稿《12.5因式分解(1)》
华东师大版八年级上册数学说课稿《12.5因式分解（1）》一. 教材分析《12.5因式分解（1）》这一节的内容是华东师大版八年级上册数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式乘法，是解决许多数学问题的基础。
本节课的内容是在学生已经掌握了整式的乘法、幂的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探索、总结因式分解的方法，进而解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的乘法和幂的运算有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说还是有一定难度的。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够正确地进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过探索、总结因式分解的方法，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握因式分解的方法，能够正确地进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生探索、总结因式分解的方法，以及如何运用因式分解解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用引导发现法、实例演示法、小组合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，帮助学生更好地理解和掌握因式分解的方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将一个多项式转化为几个整式的乘积，从而引出因式分解的概念。
2.探究：让学生通过小组合作，探讨如何进行因式分解，并总结出因式分解的方法。
3.讲解：根据学生的探究结果，进行讲解，明确因式分解的方法和步骤。
4.练习：让学生通过练习题，巩固所学的内容，并及时进行反馈和讲解。
5.应用：让学生解决一些实际问题，运用因式分解的方法进行解答。
《提公因式法》分解因式PPT课件3
(5) a(a+1)(a-1)=
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
提公因式法PPT课件(华师大版)
分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是
4 27
；两
项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，
所以公因式是
4 27
xy2.
(3)视察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公 因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”，应将“－”提取变为－(27a2b3－ 36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最 大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低 次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中
有公因式的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
知识点 2 提公因式法分解因式
提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
总结
准确地找出公因式是分解因式的关键，(3)题将(x－ 2y)3和(2y－x)3化成同底数幂时，要注意符号的变化．
1 2x(－x＋y)2－(x－y)3分解因式应提取的公因式
是( )
A．－x＋y
B．x－y
C．(x－y)2
D．以上都不对
2 (中考·邵阳)把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2)
12.5 因式分解
第2课时 提公因式法
公因式的定义 提公因式法分解因式
知识点 1 公因式的定义
试一试(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)中m的特点.
公因式的定义：多项式中的每一项都含有一个相同 的因式，我们称之为公因式．
提公因式法课件
公因式为：4ab2
把8a3b2-12ab3c+4ab2分解因式.
【解析】8a3b2-12ab3c+4ab2 =4ab2•2a2-4ab2•3bc+4ab2•1 =4ab2(2a2-3bc+1).
这个是不能 掉的哟！
把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
a(x－3)
2b(x－3)
a
(x-3)
2b(x-Biblioteka )都含有(x-3)这个因式
把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
【解析】a（x－3）+2b（x－3） =(x－3)(a+2b).
把（x-3） 这个公因式 提取出来
把a（x－y）+b（y－x）分解因式
仔细观察可以看出 （x－y)与(y－x）互为相反数
(y-x)=－(x-y)
a（x－y）
－b（x－y）
提公因式法
整式乘法
(x+1)(x-1)
x2-1
因式分解与整式乘法是方向相反的等式变形.
(x+1)(x-1)
x2-1 因式分解
由乘法的分配律，我们知道
p(a+b+c) = pa+pb+pc
那么，反过来
pa+pb+pc = ？
pa+pb+pc
P
它的各项都有一个 公共的因式P,我们把 因式P ,叫做这个多项 式各项的 _公__因__式__ .
pa+pb+pc = p(a+b+c )
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分 解因式的方法叫做提公因式法.
因式分解的基础知识
因式分解的基础知识一、什么是因式分解呀？因式分解呢，就像是把一个复杂的数学式子拆成几个简单式子的乘积形式。
比如说，我们有一个式子$x^2 - 4$，它就可以分解成$(x + 2)(x - 2)$。
这就好像把一个大的东西，分解成一个个小的零件一样，在数学里是超级有用的哦。
二、因式分解的常见方法1. 提公因式法这是最基础的方法啦。
就像我们看到式子$2x + 4$，这里面$2$就是公因式，我们就可以把它提出来，变成$2(x + 2)$。
感觉就像是从一堆东西里找出相同的部分，先把这个相同的部分拿出来一样。
再比如说$3x^2 - 6x$，公因式就是$3x$，提出来就变成$3x(x - 2)$啦。
2. 公式法这里面有几个重要的公式要记住哦。
平方差公式：$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
像前面说的$x^2 - 4$，这里$a=x$，$b = 2$，就可以直接用这个公式分解啦。
完全平方公式：$a^2+2ab + b^2=(a + b)^2$，还有$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$。
例如$x^2+4x + 4$，这里$a = x$，$b = 2$，就符合完全平方公式中的$a^2+2ab + b^2$这种形式，所以可以分解成$(x + 2)^2$。
三、因式分解的小技巧1. 先看有没有公因式每次拿到一个式子，首先要做的就是看看有没有公因式可以提出来。
这就像我们打扫房间，先把大的垃圾清理掉一样。
如果不先提公因式，后面可能会变得很复杂哦。
2. 多观察式子的形式看看这个式子是更接近平方差公式呢，还是完全平方公式。
有时候式子可能需要稍微变形一下才能看出来。
比如$9x^2 - 16y^2$，这就是典型的平方差公式的形式，直接分解成$(3x + 4y)(3x - 4y)$。
但是如果是$x^4 - 1$，我们可以把它写成$(x^2)^2 - 1^2$，这样就可以用平方差公式先分解成$(x^2 + 1)(x^2 - 1)$，然后$x^2 - 1$还可以再用平方差公式分解成$(x + 1)(x - 1)$，所以最终结果就是$(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$。
《用提公因式法进行因式分解》数学教学PPT课件(2篇)
结论总结
1.找出多项式各项公因式的方法： 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数。 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一
个，即字母最低次幂。
结论总结
2.提公因式法分解因式步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的 乘积）；
寻找公因 式的关键: 1、定系数 2、定字母 3、定指数
3
系数：最大
2指数：取最低的 x
字母：
公约数
相同字
所以，公因式母是 3x2
公因式的系数：应该取各项系数的最大公约数。
公因式的字母：要取各项中的相同字母。
公因式的指数：相同字母取最低次数。
下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3
下列各多项式的公因式是什么？
(4) 9m2n - 6mn
单项式
(5) -6x2y - 8xy2
公因式
(6) 4(m+n)2
+2(m+n)
多项式
例1.把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
第一步，找出公因式， 把多项式各项写成公 因式与一个因式的积； 第二步，提取公因式 ， 剩余的因式组成另一
式因式与多项式因式的积？ 2、结果中每个多项式是不是
例2.把 -4x3 –12x2 +4x 分解因式.
× =-2x(2x2+6x-2)
公因式要提 尽
提公因式法中应注意什么？
（1）公因式要提尽 （2）小心漏掉1 （3）当多项式的第一项为负数时，通常要先 把符号提出来，注意括号内的各项都要变号。
《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
①11a²b－7b²；②5 a²(m－n)－10b²(n－m)；
③x³－x＋1；④(a＋b) ²－4(a－b) ².
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 若a,b,c为△ABC的三边长,且(a-b)b+a(b-a)=a(c-a)+b(a-c),则△ABC是（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
活动探究
探究点三 问题1：利用分解因式简化计算：57×99+44×99-99 解：57×99+44×99-99 =99（57+44-1） =99×100=9900
活动探究
探究点三 问题2： 证明：257-512能被120整除 证明：257-512 =（5²）7-512 =514-512 =512×（5²-1） =24×512 =120×511 ∴257-512能被120整除．
解：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23） =（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23） =（13x-17）（30x-54） ∴a=13，b=-17，c=-54 ∴a+b+c=13-17-54=-58
课堂小结
1.当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a 2.当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b） 3. 互为相反数的偶数次幂相等； 如（1）（y-x）n=（x-y）n（n为偶数） 互为相反数的奇数次幂互为相反数； （2）（y-x）n=-（x-y）n（n为奇数） 4.当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式 的项数与原多项式的项数一致）.
【课件】2 提公因式法因式分解(2)
则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b是否正确? (1) (y-x)2 = -(x-y)2 (2) (3+2x)3 = -(2x+3)3 (3) a-2b = -(-2b+a) (4) -a+b = -(a+b) (5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x)
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
- =___(b+a)5;
=___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b- (8) (a+b)2 =+___(-a-
a);
b)2.
合作交流探究新知
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶 数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇 数(）2)a+b 与 -a-b互为相反数.
反馈练习巩固新知
（1）3(a-b)2+6(ba) （2）x(x-y)2-y(y-x)2
（3）18(a-b)3-12b(ba)2 （4）x(x+y)(x-y) -x (x+y)2
原式=3（a-b)(a-b-2) 原式=（x-y) 3 原式=6（a-b)2(3a-5b) 原式=-2xy（x+y)
课堂 小 结
合作交流探究新知
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “－”号，使等式成立：
- (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b+)2
- =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b- (4) (a-b)4 =+___(b-
a)3;
(5) (a+b)5 +
提公因式法(公开课经典课件)
正数，在提出“ ”
时，多项式的各项都 要变号。
第十三页，共二十七页。
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有 什么 关系？ (shén me)
当公因式是单项式时，提公因式法因式
分解与单项式乘多项式是一个(yī ɡè)互逆的过 程。
第十四页，共二十七页。
好礼等你拿
第十五页，共二十七页。
小亮(xiǎo liànɡ)解的有误吗？试说明理由 ，并给出正解
35 15
第二十一页，共二十七页。
你今天这节 课有什么收
获呢？
我今天学到了 ……
第二十二页，共二十七页。
课堂小结
多项式各项都含有的相同的因式(yīnshì)叫做多项式的公因式 。如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式
提出(tí chū)来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，这种因式
第二十三页，共二十七页。
作业 ： (zuòyè)
第二十四页，共二十七页。
来反 过
“人与人之间的区别，主要是脖 子以上(yǐshàng)的区别——思维方 式决定一切!” ——比尔·盖茨
平常的思维，只能让我们成为 (chéngwéi)平常的人；不平常的思维， 才能让我们做成不平常的事，从 而造就不平常的人。
因式，正确的选项（ ）D
（A)6（a-3ax ） （B）3a（1+3x）
（C）3a（2-6x） （D）6a（1-3x）
第十七页，共二十七页。
分解 下列多项式 (fēnjiě)
12x2y18xy2
解：原式= 6 xy (2x3y)
第十八页，共二十七页。
若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解(fēnjiě)
时，多项式的各项都 要变号。
第十三页，共二十七页。
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有 什么 关系？ (shén me)
当公因式是单项式时，提公因式法因式
分解与单项式乘多项式是一个(yī ɡè)互逆的过 程。
第十四页，共二十七页。
好礼等你拿
第十五页，共二十七页。
小亮(xiǎo liànɡ)解的有误吗？试说明理由 ，并给出正解
35 15
第二十一页，共二十七页。
你今天这节 课有什么收
获呢？
我今天学到了 ……
第二十二页，共二十七页。
课堂小结
多项式各项都含有的相同的因式(yīnshì)叫做多项式的公因式 。如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式
提出(tí chū)来，从而将多项式化成两个因式乘积的形，这种因式
第二十三页，共二十七页。
作业 ： (zuòyè)
第二十四页，共二十七页。
来反 过
“人与人之间的区别，主要是脖 子以上(yǐshàng)的区别——思维方 式决定一切!” ——比尔·盖茨
平常的思维，只能让我们成为 (chéngwéi)平常的人；不平常的思维， 才能让我们做成不平常的事，从 而造就不平常的人。
因式，正确的选项（ ）D
（A)6（a-3ax ） （B）3a（1+3x）
（C）3a（2-6x） （D）6a（1-3x）
第十七页，共二十七页。
分解 下列多项式 (fēnjiě)
12x2y18xy2
解：原式= 6 xy (2x3y)
第十八页，共二十七页。
若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解(fēnjiě)
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课堂小结
1、确定公因式的一般方法：
各项系数都是整数时，因式的系数应取 各项系数的最大公约数；字母取各项的相同 的字母，而且各字母的指数取次数最低的.
2、提公因式法分解因式的一般步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式，即用多项式除以公因式.
自我检测
把下列各式分解因式 解：原式=3x(x2-x-3)
)
)(
2
a+b+c )
a+b)(
a-b )
(3) a +2ab+b = ( a + b )
3.观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？
LOGO
ma mb mc m(a b c)
像上面这样我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项 式 因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式 。
1、 3 x3 -3x2 –9x
3 3 2
2、 8a 2c+ 2b c 解：原式=2c(4a2+b) 4、 a(x-y)+by-bx
3、 -4a b +6 a b-2ab解：原式=-2ab(2a2b2-3a+1
解：原式=a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
= (x-y)(a-b) 5、已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
做一做 填空：（1）3a+3b=( (2)5x-5y+5z=( ) )
(3)2x - 6xy= 2x ( 3 2 2 (4)-6x +9x =-3x (
提公因式法：
) )
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就 可以把这个公因式提出来，从而将多项式化 成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方 法叫做提取公因式法。
(5)x2-y2=(x+y)(x-y)
是
合作探究 怎样分解多项式:
ma+mb+mc
ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式：多项式中的每一项都含有一个相
同的因式，我们称之为公因式。
用心观察，找到答案
多项式 公因式 4 4a 4a² b 3x
1、8x+12y 2、 8ax+12ay 3、 8a³bx+12a²b²y 4、9x²-6xy+3x
ma mb mc
因式分解 整式乘法
m(a b c)
因式分解与整式乘法是逆变形
探究新知
概
把一个多项式化为几个整式的积的 括：
形式，叫做多项式式的因式分解
比较判断： 下列各式由左到右的变形，那些是因 式分解？
不是 (1)3(x+2)=3x+6 3 2 2 (2)5a b-10a bc=5a b(a-2c) 是 1 2 (3)x +1=x(x+ ) 不是 x 2 2 2 (4)y +x -4=y +(x+2)(x-2) 不是
例 题 把下列多项式分解因式 1 -5a²+25a 解：-5a²+25a =-5a(a-5) 2 2、3a - 9ab 解：3a2 - 9ab =3a(a-3b) 3、-5x2 + 25x 3 2 2 3 4、4x y+2x y -6xy 5、-9m2n-3mn2+27m3n4 6、2(x+y)2-4x(x+y) 7、2(a-1)+a(1-a)
射洪县曹碑学校
覃
尧
创设情境
1、回忆（运用前面所学的知识填空）
(1) m(a+b+c)= (ma+mb+mc )
(2)(a+b)(a-b)= ( (3) (a+b) = ( 2、试一试 (1)ma+mb+mc= ( (2) a2 － b2 = (
2 2 2
a2 - b2 a +2ab&