上海市2013学年第一学期期末考试高一数学模拟试题

上海市2013学年第一学期期末考试

高一数学模拟试题

一、填空题（每小题3分，共36分）

1．函数写出命题“若00x y >>且，则2

2

0x y +>”的否命题 2．已知集合{}1,A x =，{

}2

1,B x =且A B =，则x = 0 ．

3．若集合{

}2

M x x =<，{}lg (1)N x y x ==-，则M N = )2,1( .

4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 1 . 5．函数31()lg 1x

f x x x

-=++的奇偶性为 奇函数 .

6．函数()2

234x x x f --⎪⎭

⎫

⎝⎛=π的单调递增区间是 .

7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 )2,2(- .

8．已知关于x 的方程2

65x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 )4,0( .

9．函数1

3

3,0()31,0

x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是

]),0(0,1(+∞⋃- .

10．若函数2

x b

y x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 6- . 11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x A

f x x A

∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中

的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（3）

.

（1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A A f x f x =-ð （3）()()()A B A B f x f x f x =⋅ （4）()()()A B A B f x f x f x =+ 12．对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+- 的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 0,0=+>-b a b a . 二、选择题（每小题3分，共12分）

13．条件甲：2

3log 2x =是条件乙：3log 1x =成立的（ B ）

x 1

x 2 x

y O

第12题图

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

14．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x

x

在R 上既是奇函数，又是减函数，则

)(log )(k x x g a +=的图像是（ A ）

15．已知0x 是函数1

()21x

f x x

=+

-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 (B ) A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <>

C ．()()120,0f x f x ><

D ．()()120,0f x f x >> 16．设)(x f 是定义在R 上的函数．

①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x 对于任意R x ∈1都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上递增； ④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减． 则以上真命题的个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（10+10+10+10+12=52分）

17．设全集U R =，集合1

{|||1},{|

2}2

x A x x a B x x +=-<=≤-． （1）求集合B ； （2）若U A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．

[1202

5

022(,2)5,)2x x x x B +-≤--∴≥-=-∞⋃+∞ 分

分[){

1215

2,52||1(1,1)2342U U

a

a B x a A a a A B a -≥+≤=-<∴=-+⊆∴≤≤ ðð分

分分

18．已知不等式2

30x x m -+<的解集为{}

1,x x n n R <<∈，函数()2

4f x x ax =-++.

（1）求,m n 的值；

（2）若()y f x =在(,1]-∞上递增，解关于x 的不等式()

2

log 320a nx x m -++-<.

解：(1) 由条件得：131n n m +=⎧⎨⋅=⎩

， 所以2

2m n =⎧⎨=⎩4 分

(2)因为()2

4f x x ax =-++在(),1-∞在(),1-∞上递增， 所以

12

a

≥，2a ≥. 2 分 ()()22log 32log 230a a nx x m x x -++-=-+<.

所以2

223022310x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩ 分， 所以⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<

><<211230x x x 或.

所以102x <<

或3

12

x <<. 2 分 19．设幂函数()(1)(,)k

f x a x a R k Q =-∈∈的图像过点(2,2). （1）求,a k 的值；

（2）若函数()()2()1h x f x b

f x b =-++-在[0,1]上的最大值为2，求实数b 的值． (1)1122(2)222k a a k -=∴==∴= 分

分

（2）2

()f x x =

22

2

()21()()1

[0,1]

h x x bx b h x x b b b x =-++-=--+-+∈

max 1)1,

(1)22b h h b ≥=== 分

2

max 2)01,

()1215

(22

b h h b b b b <<==-+=±∴=

舍）分 max 3)0,(0)1212b h h b b ≤==-=∴=- 分

综上：212b b ∴==- 或分

20．有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4

a x a x

f x x x x ⎧

+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述某人学习某学科知识的掌握程度，

其中x 表示某学科知识的学习次数（*

x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实

数a 与学科知识有关．

（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是单调递减的；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、

(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．