八年级数学下册第十九章一次函数全章教案
【人教版】数学八下：第19章《一次函数》全章名师教学设计
【人教版】数学八下：第19章《一次函数》全章名师教学设计一. 教材分析人教版数学八下第19章《一次函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步深入学习一次函数的知识。
一次函数是实际问题中应用最广泛的一种函数，本章内容主要包括一次函数的定义、性质、图像以及一次函数在实际问题中的应用。
通过本章的学习，使学生能理解和掌握一次函数的基本概念和性质，能运用一次函数解决一些简单的实际问题，为后续学习其他函数知识打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念，对函数有一定的认识。
但在实际应用中，对一次函数的理解和运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生理解和掌握一次函数的知识，提高学生运用一次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数的图像。
3.能够运用一次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数图像的绘制。
3.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解和掌握一次函数的知识。
2.实践操作法：让学生动手绘制一次函数的图像，提高学生的实践能力。
3.问题驱动法：提出实际问题，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的相关课件，包括图片、动画等。
2.练习题：准备一些一次函数的相关练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出一次函数的概念。
例如：某商店进行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
2.呈现（10分钟）讲解一次函数的定义和性质，通过课件展示一次函数的图像，让学生直观地理解一次函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生动手绘制一次函数的图像，加深对一次函数的理解。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数单元(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-一次函数的定义：确保学生理解一次函数y=kx+b中，k、x、b分别代表的意义，以及k≠0的条件。
-一次函数的性质：包括图像的直线特征、斜率k的增减性、y轴截距b的几何意义。
3.一次函数图像的绘制：学习如何根据一次函数的解析式绘制其图像，掌握图像与解析式之间的关系。
4.一次函数的应用：掌握一次函数在实际问题中的应用，如求解线性方程组、计算斜率等。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学符号进行表达和交流的能力，通过一次函数的学习，使学生能够准确地用数学语言描述一次函数的定义、性质及其图像特点。
其次，在讲解一次函数在实际问题中的应用时，我应该尽量选择贴近学生生活的例子，让他们感受到数学知识在实际生活中的重要性。同时，鼓励学生在课堂上积极分享自己在生活中遇到的一次函数问题，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
此外，课堂上的小组讨论环节，我发现有些同学参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我打算在今后的教学中，多设计一些有趣且具有挑战性的讨论主题，激发学生的兴趣。同时，加强课堂引导，鼓励每一位同学都参与到讨论中来。
举例解释：
-在解析式推导上，难点在于如何引导学生从已知信息中找到两个点，进而求出斜率k和截距b。例如，给出两个点的坐标，通过计算斜率来求解k，再利用其中一个点的信息求解b。
-在图像识别上，难点在于如何区分一次函数图像与其他函数图像的不同，特别是当图像有部分重合或平行时。可以通过对比不同类型函数的图像特点来帮助学生突破这一难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的定义和图像特点这两个重点。对于难点部分，如一次函数解析式的推导，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
人教版初中数学八年级下册第十九章：一次函数(全章教案)
第十九章一次函数教材简析本章的主要内容有：(1)函数、一次函数与正比例函数的概念；(2)函数的表示方法；(3)一次函数的图象与性质；(4)一次函数的应用．函数是刻画各种运动变化的常用模型，其中最为简单的是一次函数，它可以解决现实生活中的许多问题，本章将主要向学生讲授一次函数的相关知识．本章是中考中的必考内容，主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，结合函数图象对简单的实际问题进行信息分析，通过分析函数关系式对变量的变化规律进行预测等，题型多样．教学指导【本章重点】通过学习变量间的关系初步体会函数的概念，明确函数的三种表示方法，一次函数的图象、性质及其应用．【本章难点】函数的概念和一次函数的应用．【本章思想方法】1．分类讨论思想：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得出结论．在本章中，有时确定一次函数的表达式时，要根据一次函数所对应的直线位置来求解，做到不重复、不遗漏．2．数形结合思想：本章在解决与一次函数有关的函数值大小比较时，利用数形结合解决这类问题最快最优．另外解决一次函数图象的综合题时，也常用数形结合法．3．函数与方程思想：将具体问题抽象为函数模型，根据函数之间的关系建立方程，通过方程解决问题的方法称为函数与方程思想．在本章中，经常根据实际问题抽象出一次函数模型，并根据函数图象的交点建立一元一次方程来求某些特殊值．课时计划19.1函数4课时19.2一次函数6课时19.3课题学习选择方案1课时19.1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．【过程与方法】经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．【情感态度与价值观】培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．二、重难点目标【教学重点】1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x .4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t .(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是12，g ，变量是h ，t .(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W .【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．活动2 巩固练习(学生独学)1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C )A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足v t ＝s ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )A ．s 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．s 是常量3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x 份报纸的总价为y 元，先填写下表，再用含x 的式子表示y .x 与y ＝0.4x ，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量： (1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm 3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm 3，t ℃时球的体积为V cm 3；(3)等腰三角形的顶角为x 度，试用x 表示底角y 的度数． 解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．(2)V ＝1000＋0.051t .其中1000,0.051是常量，t 、V 是变量．(3)y ＝180－x 2 ＝90－x 2(0＜x ＜180°)．其中90，12 是常量，x 、y 是变量．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．【解答】由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2,0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)常量与变量⎩⎪⎨⎪⎧定义判断练习设计请完成本课时对应训练！第2课时函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量中的自变量与函数．2．进一步掌握确定函数关系式的方法．3．会确定自变量的取值范围．【过程与方法】1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．【情感态度与价值观】积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯．二、重难点目标【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法．2．确定自变量的取值范围．【教学难点】认识函数、领会函数的意义．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式．3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，y＝b，函数有唯一的值b 与之对应，则这个对应值b叫做x＝a时的函数值．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积 C ．等腰三角形的底边长与面积 D ．圆的周长与半径【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A 选项是函数关系；正方形的面积＝(正方形的周长)216，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；等腰三角形的面积＝12×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D 选项是函数关系．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值y 为( )A ．32B ．25C ．425D ．254【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？【分析】∵2<52<4，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．【例3】写出下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？ 【解答】(1)全体实数． (2)分母1－x ≠0，即x ≠1. (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0， 解得x ≥1且x ≠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A ．水稻的产量与用肥量 B ．小明的身高与饮食 C ．球的半径与体积 D ．家庭收入与支出2．如图，△ABC 底边BC 上的高是6 cm ，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是BC ，因变量是 △ABC 的面积； (2)如果三角形的底边长为x (cm)，三角形的面积y (cm 2)可以表示为y ＝3x ； (3)当底边长从12 cm 变到3 cm 时，三角形的面积从36cm 2变到9cm 2； (4)当点C 运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？ 解：当点C 运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体，它的原长为10 cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm ；(2)设一长方体盒子高为30 cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm 3)也随之改变．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数．(2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：(2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？ (3)当t 每增加1秒时，v 的变化情况相同吗？在哪1秒时，v 的增加量最大？(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是v随着t的增大而增大．(3)当t每增加1秒，v的变化情况不相同，在第9秒时，v的增加量最大．(4) 120×10003600＝1003≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．活动3拓展延伸(学生对学)【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)何时水箱内的水恰好放完？【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)．(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升．(3)令y＝0，即200－2t＝0，解得t＝100.100分＝1时40分，7时30分＋1时40分＝9时10分，故9：10水箱内的水恰好放完．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x的值，实际上就是解方程．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评) 函数⎩⎪⎨⎪⎧概念自变量的取值范围函数值练习设计请完成本课时对应训练！19.1函数19.1.2函数的图象第1课时函数的图象教学目标一、基本目标【知识与技能】1．学会用列表、描点、连线画函数图象．2．学会观察、分析函数图象信息．【过程与方法】在研究函数图象的过程中体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力．【情感态度与价值观】1．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．2．认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识．二、重难点目标【教学重点】1．函数图象的画法．2．观察分析图象信息．【教学难点】分析概括图象中的信息．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P75～P79的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．什么是函数图象？解：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．2．在学习函数图象时，可以通过以下两点帮助理解：(1)函数图象上的任意点P(x，y)中的x、y都满足其函数解析式；(2)满足函数解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上．3．用函数图象描述实际问题时，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．4．如何作函数图象？具体步骤有哪些？画函数的图象，一般运用描点法．用描点法画函数图象的一般步骤：(1)列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值．自变量的取值不应使函数太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜；(2)描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连结起来．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的大致函数图象是()A BC D【互动探索】(引发学生思考)行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加，但增加的比高速路上慢，故B 符合题意．【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供的信息及生活实际，判断图象各阶段的变化情况和特征．【例2】作出函数y ＝－6x的图象．【互动探索】(引发学生思考)先列表取值，再描点，最后连线． 【解答】列表：【互动总结】(学生总结，老师点评)画函数图象要经过列表、描点、连线三个步骤，列表时自变量取值要有代表性(自变量不可以只取正数，也不可以只取负数)．自变量不为0，表示图象不是连续的，在自变量为0时，图象断开，分为两段．活动2 巩固练习(学生独学)1．周末小石去博物馆参加综合实践活动，先骑行共享单车前往，0.5小时后到达公交车站，他在公交车站等了一段时间，遇到了叔叔，搭上了叔叔的电瓶车前往．已知小石离家的路程s (单位：千米)与时间t (单位：小时)的函数关系的图象大致如图．则小石叔叔电瓶车的平均速度为( C )A．30千米/小时B．18千米/小时C．15千米/小时D．9千米/小时2．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是(B)A B C D3．在所给的平面直角坐标系中画出函数y＝－2x＋2的图象，并根据图象回答问题：(1)当x＝－1时，y的值；(2)当x为何值时，y＞0?(3)若0≤x≤3，求y的取值范围．解：列表如下：(1)根据表格，当x＝－1时y＝4.(2)根据图象，观察可得，当x＜1时，y＞0.(3)根据图象，观察可得，若0≤x≤3，则－4≤y≤2.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小明从家到学校的路程是多少米？(2)小明在书店停留了多久？(3)本次上学途中，小明一共骑行了多少米？一共用了多长时间？(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全范围．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全范围内吗？【互动探索】根据图象，获取其中的信息，图象中横、纵坐标表示的是什么？函数值随自变量的变化趋势是怎么样的？【解答】(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米．(2)根据图象，从8分钟到12分钟这段时间内距离不变，故小明在书店停留了4分钟． (3)一共骑行的总路程为1200＋(1200－600)＋(1500－600)＝1200＋600＋900＝2700(米)，共用了14分钟．(4)由图象可知：0～6分钟时，平均速度为12006＝200(米/分)；6～8分钟时，平均速度为1200－6008－6＝300(米/分)；12～14分钟时，平均速度为1500－60014－12＝450(米/分)．所以，12～14分钟时，小明骑车速度最快，不在安全范围内．【互动总结】(学生总结，老师点评)解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了数形结合思想．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 函数的图象⎩⎪⎨⎪⎧作法意义应用练习设计请完成本课时对应训练！第2课时函数的三种表示方法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．总结函数三种表示方法，并总结三种表示方法的优缺点．2．会根据具体情况选择适当方法．【过程与方法】经历回顾思考训练提高归纳总结能力．【情感态度与价值观】1．积极参与活动，提高学习兴趣．2．在数学活动过程中形成合作交流意识及独立思考习惯．二、重难点目标【教学重点】函数三种表示方法．【教学难点】会根据具体情况选择适当方法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．函数的三种表示方法分别是解析式法、列表法、图象法．2．用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法．3．把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．4．用图象来表示函数关系的方法叫做图象法．5．函数的三种表示方法的优缺点有哪些？活动1小组讨论(师生互学)【例1】有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：(1)(2)当所挂重物为x(克)时，用h(厘米)表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量．【互动探索】(引发学生思考)能从表格中直接读出挂重物体的质量与对应的弹簧总长度的值吗？如何根据表格写出所挂物体的质量与弹簧的总长度之间的函数关系？【解答】(1)5÷0.5×1＝10(克)，即要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．(2)h＝10＋0.5x(0≤x≤50)．(3)令10＋0.5x＝25，解得x＝30，即当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．【互动总结】(学生总结，老师点评)列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用，如成绩表、银行的利率表等．【例2】如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系，请根据图象回答下列问题：(1)汽车一共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？【互动探索】(引发学生思考)从函数图象中我们得到哪些信息？这些信息与所求问题有何关系？【解答】(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)．(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时．(3)①由纵坐标看出汽车到达B 点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B 点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝1603(千米/时)；②由纵坐标看出汽车从B 到C 没动，此时速度为0千米/时；③由横坐标看出汽车从C 到D 用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；④由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)．(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．【互动总结】(学生总结，老师点评)图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．【例3】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y (升)，行驶路程为x (千米)．(1)写出y 与x 的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶多少千米？【互动探索】(引发学生思考)剩余油量为y(升)与行驶路程为x(千米)之间满足什么样的等量关系？根据自变量的取值怎样求函数值？由函数值怎样求出自变量的取值？【解答】(1)由题意，得y＝－0.6x＋48.(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升．当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．(3)令y＝0，即－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下，最远能行驶80 km.【互动总结】(学生总结，老师点评)解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．活动2巩固练习(学生独学)1．下面说法中正确的是(C)A．两个变量间的关系只能用关系式表示B．图象不能直观的表示两个变量间的函数关系C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D．以上说法都不对2．某学习小组做了一个实验：从一幢100 m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：A．苹果每秒下落的路程越来越长B．苹果每秒下落的路程不变C．苹果下落的速度越来越快D．可以推测，苹果落到地面的时间不超过5秒3．如图，直角边长为2的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为(B)。
一次函数教案-数学八年级下第十九章19.2一次函数19.2.2人教版
第十九章一次函数19.2一次函数19.2.2 一次函数1教学目标1.1知识与技能：[1]理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线；[2]熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，掌握k 与 b 的取值对直线位置的影响。
1.2 过程与方法：[1]经历一次函数的作图过程，探索某些一次函数图象的异同点；[2]体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂。
1.3情感态度与价值观：[1]体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
[2]在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
2教学重点 / 难点2.1教学重点[1]理解掌握一次函数的图象的特征和相关的性质。
2.2教学难点[1]理解一次函数的概念。
3专家建议本节课是以类比的思想方法为主线，研究什么是一次函数这是在学生学习了函数、正比例函数的定义、图象与性质，并初步了解了如何研究一个具体函数〔从定义到图象与性质〕的根底上学习的。
学生原有知识与学习经历对本节课的类比学习奠定扎实的学习根底，在前后知识的类比学习中，学生可以进一步理解函数的知识，体验研究函数的根本思路，促进学生的认知构造的不断的完善，进而开展学生的类比、抽象与概括能力而这些目标的达成必须是在充分发挥学生的主体作用，给予学生足够的活动、探究、交流、反思的时间与空间，让在学生在类比中学习、在类比中思考的前提下才能完成的。
4教学方法启发、引导、类比、发现第1页共1页5 教学用具多媒体课件，教学用直尺、三角板等。
6 教学过程6.1 情境创设【师】前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法， 下面请同学们根据画图象的步骤： 列表、 描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出以下函数的图象。
( 1) y1 x ； ( 2) y 1 x2 ； 22 (3) y 3x ； (4 )y ＝ 3x 2 ＝＋ ． 【师】提示学生要注意在同一个平面直角坐标系中完成以上四个图象。
八年级数学下册 第十九章 一次函数数学活动教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学
第十九章一次函数数学活动【教学目标】知识与技能1．会根据两个变量的部分对应值建立函数模型；2．会用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律；过程与方法经历根据两个变量的部分对应数据建立函数模型的过程，体会函数建型过程中的归纳思想、数形结合思想；情感、态度与价值观初步体会函数模拟思想并形成节约用水的意识．【教学重难点】重点：根据两个变量的部分对应值建立函数模型难点：用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律；【导学过程】【新知探究】活动1（1）根据下表数据，在平面直角坐标系中画出世界人口增长曲线图；（2）选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的函数解析式；（3）按照这样的增长趋势，估计2020 年的世界人口总数．活动2、一个水龙头漏水，有人认为漏这一点水没有什么大不了，你也这样认为吗？水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的试验与研究：（1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5分钟记录一次容器中的水量。
并填写下表。
（2）建立直角坐标系，以横轴表示时间t,纵轴表示水量w，描出以上述试验所得数据位坐标的各点，并观察它们的分布规律。
（3）试写出w关于t的函数解析式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量。
为了估计一个水龙头一个月（30 天）漏水量、一年（365 天）漏水量，大家在课前进行了必要的数据收集，现在请各研究小组展示自己获得的数据．为了估计一月和一年的漏水量，我们能收集该水龙头一个月和一年的漏水量吗？这样做可行吗？有了变量之间的部分对应值，要求其余对应值，我们需要做什么？这是什么函数？怎样求函数解析式？请在平面直角坐标系中画出相应的点．从图象上看，这个函数应该是什么函数？能求出这个函数的解析式吗？各小组通过努力，解决了问题，发现滴水之漏，随着时间累积，浪费巨大．刚才交流过程中，各小组得到的函数解析式不尽相同，结果也不尽相同，为什么？怎样检验得到的函数解析式是否符合实际意义？解决这个问题分哪几步进行？【知识梳理】本课我们解决了一类新问题，请带着下面问题总结经验：1.这一类新问题有什么特点？2.怎样解决这类问题？分了哪些步骤？3.从这类问题的解决过程中，你对应用函数解决问题有哪些体会？【随堂练习】1.某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？（2）当x＝12时，请设计最省钱的购买方案.2.我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.3.“一方有难，八方支援”.在抗击“5.12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点.按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y.求y与x的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费.。
人教版八年级数学下册 第19章 一次函数 全章优秀教案
第19章一次函数19.1.1变量与函数(1)教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义。
能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义。
②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力。
③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心。
教学重点与难点重点：函数概念的形成过程。
难点：正确理解函数的概念。
教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子。
教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶。
行驶里程为s千米,行驶时间为t小时。
先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：2.已知每张电影票的售价为10元。
如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评。
(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验。
动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示) 。
设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报。
通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息。
(最新)人教版八年级下册数学第19章《一次函数》全章教学案含解析
第十九章一次函数1.了解常量、变量的意义和函数的概念,体会“变化与对应”的思想,了解函数的三种表示方法(列表法、解析式法和图象法),能结合图象分析简单的函数关系.2.能确定简单的实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.3.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义,能根据已知条件确定它们的表达式,会画它们的图象,能结合图象讨论这些函数的增减变化,能利用这些函数分析和解决简单的实际问题.1.通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.2.进行探究性课题学习,以选择方案为问题情境,进一步体会建立数学模型的方法与作用,提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立并表示函数模型,利用函数模型解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.本章主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质和应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习.本章是在学习了平面直角坐标系的基础上进行学习的,为画一次函数的图象进而研究性质奠定了基础.一次函数是初中阶段研究的第一个具体的函数,它的研究方法具有一般性和代表性,并为后面学习反比例函数、二次函数奠定了基础.一次函数和一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程等有着密切的联系,学习一次函数将为它们的解法提供新的方法和途径,并使学生更为深刻地理解数形结合的重要思想.本章在整个教材中具有承上启下的作用.【重点】结合实例掌握变量、常量和函数的概念,掌握函数的三种表示方法,能结合图象讨论函数的基本性质,运用一次函数的图象和性质解决实际问题.【难点】函数的概念以及一次函数的图象和性质的应用.本章内容是初中数学教学中的重点,也是难点.要重视学生对基本概念的理解,及时了解学生在学习过程中的状况,探索有效地教与学的各种方式.在具体的实施过程中应注意:1.加强与学生已学知识的联系.在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已渗透了变化的思想,要注意引导学生在原有知识的基础上理解变量和函数的概念.2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解和准确应用.运用数学的语言和符号去理解、描述现实世界的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.4.给学生充分的自主探索时间.19.1函数19.1.1变量与函数(2课时)19.1.2函数的图象(2课时)19.2一次函数19.2.1正比例函数(2课时)19.2.2一次函数(3课时)19.2.3一次函数与方程、不等式(1课时)19.3课题学习选择方案单元概括整合4课时6课时1课时1课时19.1函数1.理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值.2.掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质.3.全面理解函数的三种表示方法,会根据具体情况选择适当方法表示函数.1.在探究问题的过程中,体会从具体的实例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.2.学生通过自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤.1.从图象中获得变量之间的关系的有关信息,并预测变化趋势,进行科学决策,应用于社会生活.2.让学生通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值,渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力.【重点】会用描点法画函数的图象,并能利用函数的三种表示方法解决实际问题.【难点】函数的概念的理解.19.1.1变量与函数理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值.在探究问题的过程中,体会从具体的事例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.通过列举自己身边的事例,体验数学与生活的密切联系,学会观察与发现,激发同学们探究问题的兴趣.【重点】函数的概念和函数自变量的取值范围.【难点】求函数自变量的取值范围.第课时1.了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.【重点】认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系.【难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】预习教材内容导入一:当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温等.在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识.[设计意图]利用学生较熟悉的生活实例引入本课学习的内容,调动学生学习的积极性.导入二:飞机从武汉飞往北京,在这个行驶的过程中,哪些量没有发生改变,哪些量发生了改变?学生说出自己的看法:如飞机上乘客的人数不变;飞机离地面的高度在改变;飞机油箱中的汽油在不停的减少,飞机离武汉越来越远,离北京越来越近,….教师也可以让学生举出自己熟悉的例子,据此引出今天学习的课题:变量与函数.[设计意图]由学生经历的事情提问题,能引起学生的好奇心.1.变量与常量的概念问题:汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?(出示教材表19-1)表19-1t/h12345s/km学生填表,并思考.1.根据题意填写下表:t/h12345s/km2.在以上这个过程中,变化的量是.不变化的量是.3.试用含t的式子表示s.教师引导学生交流:从题意中可以知道汽车是匀速行驶,那么它1h行驶60km,2h行驶2×60km,即120km,3h行驶3×60km,即180km,4h行驶4×60km,即240km,5h行驶5×60km,即300km……t/h12345s/km60120180240300因此其中行驶里程s与时间t是变化的量,速度60km/h是不变的量.行驶里程s km与时间t h之间有关系:s=60t.s随t的增大而增大.[设计意图]挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量.问题:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?学生分析问题,并同桌交流.1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元;第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元;第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元.2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为.教师解析:第一场电影的票房收入为150×10=1500(元).第二场电影的票房收入为205×10=2050(元).第三场电影的票房收入为310×10=3100(元).用含x的式子表示y为y=10x,y随x的增大而增大.[设计意图]通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.问题:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20 cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?学生活动填表,并讨论.(1)填表:半径r(cm)102030圆面积S(cm2)(2)S与r之间满足下列关系:S=.教师解析:(1)半径r(cm)102030圆面积S(cm2)31412562826(2)S=πr2.圆的半径越大,它的面积就越大.[设计意图]挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.问题:用10m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边长y 分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?学生活动小组讨论后,教师进行解析:因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10m的一半,即5m.若矩形一边长为3m,则它的邻边长为5-3=2(m).若矩形一边长为3.5m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).若矩形一边长为4m,则它的邻边长为5-4=1(m).若矩形一边长为4.5m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.[设计意图]在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗?学生分组讨论,交流自己的看法.按照有无变化,我们发现其中有些量(例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……)的值是变化的,有些量的值始终不变(例如速度60km/h;电影票的单价10元……),因此可分为两类.师生共同总结出变量和常量的定义并板书.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量. [设计意图]通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念.2.问题讲解在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.问题(1):下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗?这一问题中涉及哪几个量?它们变化吗?学生结合图,说出每一时刻所对应的温度值,教师进行确认.问题(2):弹簧原长22cm,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:x/kg0123456y/cm2222.52323.52424.525在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?学生讨论发现:弹簧的原长不变,为22cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度.问题(3):你能举出生活中类似的例子吗?可以小组讨论.学生讨论、举例,在上述实例的解决过程中,体会在一个变化过程中各个量的变化规律,进而发现有的量变化、有的量不变.教师引导学生概括:在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,出现了各种各样的量,有些量,它们始终保持不变,我们称之为常量,而有些量,在某一变化过程中,可以取不同数值,我们称之为变量.[设计意图]在本环节中,设计了问题情境,并让学生举出生活中类似的例子,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.[知识拓展](1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现.如s=vt中,若v=20,此式子为s=20t,可见s,t为变量,若t=10,此式子为s=10v,s,v为变量,变量与常量的身份可以相互转化.(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发生变化.(3)常数也叫常量,如S=πr2,其中常量是π.3.例题讲解(补充)若球体体积为V,半径为R,则V=πR3.其中变量是、,常量是.〔解析〕根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意π是一个常量.答案:V Rπ(补充)写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:(1)圆的周长C与半径r的关系式;(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(小时)的关系式.〔解析〕先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解.解:(1)C=2πr,2π是常量,r,C是变量.(2)s=60t,60是常量,t,s是变量.[设计意图]通过上述几个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念.本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要的意义.1.确定事物变化中的变量与常量.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.2.尝试运算寻求变量间存在的规律.3.利用学过的有关知识公式确定关系式.[设计意图]通过小结、课堂训练和学生反思,进一步理顺学生的学习思路,加深对变量、常量有关概念的理解.1.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是,其中变量是,常量是.解析:∵钢笔的价格是4元/支,∴总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是y=4x,∴变量为x,y,常量为4.答案:y=4x x,y42.在圆的周长公式C=2πR中,下列说法正确的是()A.π,R是变量,2是常量B.R是变量,C,2,π是常量C.C是变量,2,π,R是常量D.C,R是变量,2,π是常量解析:∵C=2πR,∴变量为C,R,常量为2,π.故选D.3.分别指出下列各关系式中的变量与常量.(1)三角形的一边长为5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S=h;(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α(度),则另一个锐角β(度)与α(度)间的关系式是β=90-α.解:(1)∵S=h,∴变量为S,h,常量为.(2)∵β=90-α,∴变量为β,α,常量为-1,90.4.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?解:根据圆的面积公式S=πr2,得r=,面积为10cm2的圆半径r=≈1.78(cm).面积为20cm2的圆半径r=≈2.52(cm).用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r=.第1课时1.变量与常量的概念:变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量.常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量.2.例题讲解:例1例2一、教材作业【必做题】教材第71页练习.【选做题】教材第81页习题19.1第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.甲、乙两地相距s千米,某人行完全程所用的时间t(小时)与他的速度v(千米/时)满足vt=s,在这个变化过程中,下列判断中错误的是()A.s是变量B.t是变量C.v是变量D.s是常量2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式是()A.Q=8xB.Q=8x-50C.Q=50-8xD.Q=8x+503.(2015·临沂中考)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地运输匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于行驶速度v(单位:千米/时)的函数关系式是()A.t=20vB.t=C.t=D.t=4.长方形相邻两边长分别为x,y,面积为30,则用含x的式子表示y为,则这个问题中,是常量;是变量.5.汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,那么油箱内剩余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的关系式是.6.根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量与常量.(1)多边形的内角和W与边数n的关系;(2)甲、乙两地相距y千米,一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(小时)表示自行车离乙地的距离s(千米).【能力提升】7.某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表示y.份数/份1234…价钱/元…x与y之间的关系式是.8.现有笔记本500本,学生x人,若每人5本,则余下y本笔记本,用含x的式子表示y为y=,其中常量是,y和x都是量.9.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7℃,已知山脚下的温度是23℃,则温度y(℃)与上升高度x(米)之间的关系式为.【拓展探究】10.圆柱形物体如下图(横截面)那样堆放.试确定圆柱形物体的总数y与层数x之间的关系式.【答案与解析】1.A(解析:某人行完全程,甲、乙两地距离不变,故s是常量,因此A不正确.)2.C(解析:单价是8元的笔记本,买这种笔记本x本用了8x元,故Q=50-8x.故选C.)3.B(解析:根据时间=,有t=.故选B.)4.y=30x,y(解析:由长方形的面积=长×宽进行求解.)5.Q=40-5t(解析:根据剩余油量=总油量-已用油量进行求解.)6.解:(1)W=(n-2)×180°,变量为W,n;常量为-2,180°.(2)s=y-10t,变量为s,t;常量为-10,y.7.0.40.81.21.6y=0.4x(解析:根据总金额=单价×数量进行求解.)8.500-5x500,-5变(解析:根据剩余笔记本数=总的笔记本数-已发的笔记本数进行求解.)9.y=23-x10.解析:要求变量间的关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法.解:由题意可知:堆放1层,总数y=1,堆放2层,总数y=1+2,堆放3层,总数y=1+2+3,…,堆放x层,总数y=1+2+3+…+x,即y=x(x+1).本节课以问题为载体、以学生为主体、以合作交流为手段、以能力提高为目的.在探究知识上,以学生自主探究分组交流为主线,发挥学生的主体作用.在课堂教学中选择贴近生活的实例,与变量和常量的概念紧密结合,能使课堂效果达到最佳状态.在某个变化过程中,变量和常量是相对而言的,学生理解较困难,解题时学生容易出现把π看成变量这种错误.教学时通过对比教学多举出变量和常量是相对而言的事例,让学生真正理解变量和常量的概念.练习(教材第71页)解:(1)变量为x,y;常量为4.(2)变量为t,w;常量为0.2,30.(3)变量为r,C;常量为π.(4)变量为x,y;常量为10.函数的起源函数的概念在17世纪已经引入,牛顿(Isaac Newton,1642~1727,英国科学家)的《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是雏形的函数概念.笛卡儿(R.名言:“我思故我在”)引入变量后,随之而来的便是函数的概念.他指出y和x是变量(“未知量和未定的量”)的时候,也注意到y依赖于x而变.这正是函数思想的萌芽,但是他没有使用“函数”这个词.最早把“函数”(function)这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646~1716,德国数学家),但其含义和现在不同,他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线段长度等所有与曲线上的点有关的量”.1718年,瑞士数学家约翰·贝努利(John Bernoulli,1667~1748,欧拉的数学老师)将函数概念公式化,给出了函数的一个定义,同时第一次使用了“变量”这个词.他写到:“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量”.他的学生,瑞士数学家欧拉(Leonard Euler,1707~1783,被称为历史上最“多产”的数学家)将约翰·贝努利的思想进一步解析化,他在《无限小分析引论》中将函数定义为:“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”,欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.我国“函数”一词,是《代数积拾级》中首先使用的.这本书把函数定义为:“凡此变数中含彼变数,则此为彼之函数”.这里的“函”指包含的意思.这个定义相当于欧拉的解析表达式定义:在一个式中“包含”着变量x,那么这个式子就是x的函数.函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一,而变量这个词却逐渐被新的词所代替.第课时初步了解函数三种表示方法以及三种表示方法的优缺点,会根据具体情况选择适当方法表示函数.1.经历回顾思考,训练提高归纳总结能力.2.利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能力.通过分析具体的问题中的一个变量的值对应着另一个变量的值,体会到函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型.【重点】函数表示方法的应用.【难点】确定实际问题中函数自变量的取值范围.【教师准备】带有网格的纸,三角板.【学生准备】三角板,铅笔,带有网格的纸.导入一:你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的?铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化.这就是我们今天要继续学习的内容.[设计意图]结合学生熟悉的故事导入新课,激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.导入二:1.有根弹簧原长10cm,每挂1kg重物,弹簧伸长0.5cm,设所挂的重物为m kg,受力后弹簧的长度为l cm,根据上述信息完成下表:m/kg01233.5…l/cm受力后弹簧的长度l是所挂重物质量m的函数吗?2.有一辆出租车,前3公里内的起步价为8元,每超过1公里收2元,有一位乘客坐了t(t>3)公里,他付费y 元,用含x的式子表示y.3.如图所示的是某地某一天的气温变化图:学生自由思考,自由发言.上面用图、表格或关系式表达的问题反映了两个变量之间的关系.[设计意图]出示题目,同时提出新的问题,让学生在解决旧知的基础上提出问题,从而激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.1.自变量、函数和函数值思路一[过渡语]前面我们学习了变量与常量,下面我们一起来思考下面的问题:(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?中国人口数统计表年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71学生通过观察发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.引导学生归纳:上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.教师总结:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.学生分析上面两个问题中的自变量和函数,并交流.。
人教版八年级数学册下第十九章;一次函数单元教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一次函数的定义、图像与性质，以及一次函数在实际问题中的应用。
2.难点：
-斜率k和截距b对一次函数图像的影响，特别是如何通过斜率判断图像的走势。
-将实际问题抽象为一次函数模型，建立数学模型解决实际问题。
-理解一次函数与线性方程、不等式之间的关系，并能灵活运用。
9.教学反思：在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和手段，根据学生的实际情况调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：教师以生活中的一次函数实例作为导入，例如“同学们，你们坐出租车的时候，有没有注意过计费方式？其实，出租车计费就涉及到了我们今天要学习的一次函数。”通过这个实例，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
7.评价与反馈：在教学过程中，教师应及时关注学生的学习情况，通过提问、练习、讨论等方式，了解学生的掌握程度，给予针对性的指导和鼓励。
8.课后作业设计：课后作业应注重巩固基础知识，同时兼顾拓展提高。布置一定数量的基础题，确保学生掌握一次函数的基本概念和性质；适当布置一些综合题，培养学生的解题能力和创新意识。
2.提出问题：请同学们思考，一次函数在我们的生活中还有哪些应用？这个问题旨在引导学生关注一次函数在现实生活中的作用，激发学生学习兴趣。
3.过渡语：接下来，我们就一起走进一次函数的世界，探索它的奥秘。
（二）讲授新知
1.讲解一次函数的定义：教师以简洁明了的语言，向学生讲解一次函数的定义，即y=kx+b（k≠0），并解释其中k和b的含义。
1.学生对函数的概念理解尚不深入，需要通过具体的一次函数实例，帮助他们巩固和拓展对函数的认识。
2.学生在图像识别和性质分析方面存在一定难度，特别是斜率k和截距b对图像影响的理解，需要教师耐心引导和实例演示。
八年级数学下册-第19章-一次函数教案-(新版)新人教版
后许多问题便迎刃而解.
2、归纳：题目中只给出了列表法，我们通过分析求出解
析式并画出了图象，从这个例子可以看出函数的三种不同
表示法可以转化。 三、课堂训练
１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函
数？
8
（1）y=-8x． （2）y= x ． （3）y=5x2+6． （3）y=-0．5x-1．
２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速
度每秒增加２米．
（1）一个小球速度 v 随时间 t 变化的函数关系．它
是一次函数吗？
Hale Waihona Puke （2）求第 2．5 秒时小球的速度．
３．汽车油箱中原有油 50 升，如果行驶中每小时用
油 5 升，求油箱中的油量 y（升）随行驶时间 x（时）变
化的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．y 是 x 的
一次函数吗？
15℃就减少 6℃，那么海拔增加 xkm 时，气温从 15℃减少 解析式。
6x℃．因此 y 与 x 的函数关系式为：
形成一次 函数的概念
y=15-6x （x≥0） 当然，这个函数也可表示为： y=-6x+15 （x≥0）
练习巩固一次函数的 概念。
小结反思
数学来源于生活 又去指导生活。 培养学生的发现 能力。 学生利用函数知 识解决实际生活 中的问题。 巩固新知 内化提高
解答：
１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．
２．（1）v=2t，它是一次函数．
（2）当 t=2．5 时，v＝2×2．5=5
所以第 2．5 秒时小球速度为 5 米／秒．
３．函数解析式：y=50-5x
自变量取值 范围：0≤x≤10
y 是 x 的一次函数． 4、教材 81 页练习 1、2 四、小结归纳 通过本节课学习，本节学习了一次函数的意义，知道了其
人教版数学八年级下册教学设计：第19章 一次函数(一)
人教版数学八年级下册教学设计：第19章一次函数（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第19章一次函数（一）是学生对一次函数的定义、性质和图像的深入学习。
本章内容主要包括一次函数的定义，一次函数的图像，一次函数的性质，以及一次函数的应用。
这些内容在学生的数学学习中起着承前启后的作用，为后续学习更高级的数学知识奠定基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经接触过一次函数的基本概念，对本章内容有初步的了解。
但他们对一次函数的性质和图像的深入理解还有待提高。
此外，学生对于实际问题中的一次函数应用还不够熟练。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的性质。
2.学会绘制一次函数的图像，并能分析图像的性质。
3.能够将实际问题转化为一次函数问题，并运用一次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数图像的绘制和分析。
3.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题驱动引导学生思考，案例教学法帮助学生理解和应用知识，小组合作学习法鼓励学生互相交流和合作。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和实际问题。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）引导学生回顾已学过的一次函数的基本概念，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
呈现（15分钟）1.讲解一次函数的定义，通过PPT展示一次函数的图像，让学生直观地理解一次函数的特点。
2.讲解一次函数的性质，通过PPT示例展示一次函数的增减性和过原点的性质。
操练（15分钟）1.让学生独立完成教材中的例题，引导学生运用一次函数的性质解决实际问题。
2.让学生分组讨论，共同完成一个实际问题的一次函数模型建立和求解。
巩固（10分钟）1.让学生完成PPT上的练习题，检验学生对一次函数定义和性质的掌握情况。
2.教师对学生的练习情况进行反馈，针对学生的错误进行讲解和指导。
拓展（10分钟）1.让学生思考一次函数在实际生活中的应用，引导学生将所学知识与生活实际相结合。
人教版八年级数学教案：第十九章一次函数(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y = kx + b的表达式，其中k为斜率，b为截距。它是描述两个变量线性关系的重要数学工具，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明的利润与他卖出的书本数量成正比，每卖出一本书利润为5元。我们，y为获得的利润。
1.加强对重点难点的讲解，通过更多具体的例子和图形演示，帮助学生深入理解一次函数的性质和图像变换。
2.在实践活动和小组讨论中，更加关注学生的参与度和思考过程，引导他们围绕主题进行深入探讨，鼓励他们提出自己的观点和想法。
3.注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在学习过程中发现问题、解决问题，从而提高他们对一次函数知识的运用能力。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数学建模意识，将一次函数应用于解决实际问题，使学生能够运用数学知识构建模型，解决现实生活中的问题。
4.培养学生的数据分析能力，通过对一次函数数据的处理和分析，让学生掌握数据处理的基本方法，形成数据驱动的思维习惯。
5.激发学生的数学探究精神，鼓励学生在一次函数的学习过程中提出问题、探索规律，培养创新意识和合作交流能力。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数(图象信息)教学设计
4.课后反思：请学生撰写一篇关于本节课学习的反思，内容包括：
-一次函数图象的绘制方法和注意事项；
-一次函数图象在实际问题中的应用；
-本节课的收获和仍存在的疑问。
通过课后反思，帮助学生巩固所学知识，发现自身不足，为后续学习奠定基础。
5.家长参与：鼓励家长参与孩子的学习过程，共同完成以下任务：
（四）课堂练习
1.教学活动：设计具有梯度性的课堂练习，让学生在练习中巩固所学知识。
（1）基础题：绘制给定的一次函数图象，分析斜率和截距。
（2）提高题：根据实际问题，确定一次函数的解析式，并利用图象解决问题。
2.学生练习：学生在规定时间内完成练习，教师进行个别辅导。
3.答疑解惑：针对学生存在的问题，教师进行集中讲解，帮助学生突破学习难点。
（五）总结归纳
1.教学活动：对本节课的内容进行总结，梳理一次函数图象的知识点。
（1）回顾一次函数图象的绘制方法及其性质。
（2）强调一次函数图象在解决实际问题中的应用。
2.学生总结：让学生谈谈对本节课知识的理解和感悟，提高学生的归纳总结能力。
3.教师寄语：鼓励学生在课后继续探索一次函数图象的奥秘，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
二、学情分析
八年级学生在学习了一次函数的基本概念和性质后，对本章节的图象信息有了初步的认识。在此基础上，学生对一次函数的图象信息进行深入学习，有利于巩固已学知识，提高学生的数学思维能力。然而，学生在图象信息处理方面仍存在一定的困难，如对图象的直观认识不足，对图象平移、斜率等概念的理解不够深入。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
-通过实际问题的解决，使学生认识到数学在生活中的价值，提高学生的数学素养。
人教版数学八年级下册第十九章《数学活动 一次函数的应用问题》教案
人教版数学八年级下册第十九章《数学活动一次函数的应用问题》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册第十九章《数学活动一次函数的应用问题》主要让学生通过解决实际问题，进一步理解一次函数的性质和应用。
本章内容主要包括一次函数的图像与实际问题相结合，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了了一次函数的基本性质和图像，能够理解一次函数的斜率和截距。
但部分学生对于如何将一次函数与实际问题相结合，解决实际问题还有一定的困难。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的应用。
2.能够运用一次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.一次函数在实际问题中的应用。
2.如何引导学生将实际问题转化为一次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实际问题引导学生思考，运用一次函数的知识解决问题。
同时，采用案例分析法，分析一次函数在不同实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，如购物问题、行程问题等。
2.准备一次函数的图像资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个购物问题，引导学生思考如何用数学知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现一次函数的图像，让学生观察一次函数的特点。
同时，引导学生思考一次函数与实际问题之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，尝试用一次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）选取几个小组的解题过程和答案，进行讲解和分析，巩固学生对一次函数应用的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数在实际问题中的应用范围，讨论一次函数在其他领域的应用。
6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容和解决实际问题的方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关一次函数应用的实际问题，让学生课后思考和练习。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和解决问题的方法。
教学过程每个环节所用的时间仅供参考，具体时间根据实际教学情况调整。
八年级数学下册第十九章一次函数全章教案
第十九章一次函数19.1.1变量思考：1、汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t2、每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y3、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）4、要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r指出上述问题中的变量和常量（在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量）练一练：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。
（5）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式。
19.1.2函数思考：1、如图是某日的气温变化图，这张图告诉我们哪些信息？这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的？2、收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和赫兹（KHz）为单位标刻的，下表中是一些对应的数：这表告诉我们哪些信息？这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，你能用一个表达式表示出来吗？一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
人教版八年级数学下册第19章一次函数(教案)
（4）一次函数与其他函数的关系：了解一次函数与正比例函数、反比例函数的联系与区别；
举例：对比y=kx和y=k/x的图像特点，阐述一次函数与正比例函数、反比例函数的关系。
2.教学难点
（1）一次函数图像的变换：理解平移、缩放等变换对一次函数图像的影响；
3.在探究一次函数性质的过程中，锻炼学生的数据分析、数学运算能力，提升数学核心素养；
4.深化学生对一次函数与其他函数关系的理解，培养他们数学知识的整合与应用能力，增强综合素质。
具体内容包括：
（1）让学生在实际问题中运用一次函数，学会从数学角度分析问题，提高数学抽象和逻辑推理能力；
（2）引导学生通过观察、分析一次函数图像，培养直观想象力和数学建模素养；
（4）一次函数与坐标轴的交点：求解一次函数与坐标轴的交点；
难点解析：学生可能在求解过程中忽视k=0的特殊情况，需要强调并举例说明；
举例：求解y=2x+1与x轴、y轴的交点，解释当k=0时，函数图像与y轴的交点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人同时出发，速度不同，但最终在某一点相遇的情况？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
另数模型。这说明我们在教授数学应用方面还需要加强。在接下来的教学中，我会着重培养同学们的数学建模能力，让他们学会从实际问题中抽象出数学模型，并用一次函数来解决。
此外，小组讨论环节也让我看到了同学们的积极参与和合作精神。他们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点和实例。这说明同学们已经能够将所学知识应用到实际情境中，这是值得鼓励的。但同时，我也注意到部分同学在讨论中较为被动，今后我会更加关注这部分同学，鼓励他们积极参与，提高他们的自信心。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数教学设计
6.反思总结：要求学生撰写学习心得，对自己在本节课的学习过程中的收获、困惑和感悟进行总结，以便教师了解学生的学习状况，为下一步教学提供参考。
7.预习任务：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解新课的知识点，为课堂学习做好准备。
2.提出问题：让学生思考，如何用数学模型来描述这些实例中的数量关系？从而引出一次函数的定义。
3.引导学生回顾已学的相关知识：线性方程、不等式等，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.一次函数的定义：讲解一次函数的一般形式y=kx+b，解释k、b的含义，以及它们对函数图像的影响。
2.一次函数图像的绘制：介绍如何根据一次函数的解析式绘制其图像，讲解斜率k、截距b与图像的关系。
3.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享学习心得，互相学习，共同提高。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.针对不同学生的学习水平，设置难易适度的练习题，让每个学生都能得到锻炼。
3.及时反馈：教师对学生的练习情况进行反馈，指出错误，指导解题方法。
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结一次函数的定义、图像、性质和应用。
-对于优秀学生，提供拓展性的学习资源，激发他们的潜能，培养他们的创新能力。
5.教学反思：
-在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和策略，根据学生的反馈进行调整。
-教师应关注学生的学习需求，以提高教学效果，促进学生全面发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.从生活实例导入：以生活中的一次函数实例，如手机话费套餐、出租车计费等，引出一次函数的概念，让学生感受到数学与现实生活的紧密联系。
人教版数学八年级下册第十九章《一次函数》大单元教学设计
1.采用情境导入法，通过生活中的实例引出一次函数的概念，激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.利用多媒体辅助教学，以动态演示一次函数图像的绘制过程，帮助学生直观地理解一次函数的图像与性质。
3.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、互助学习等，引导学生主动探究一次函数的性质，培养学生的合作意识和创新能力。
提示：可以从点到直线的距离公式入手，结合一次函数的图像和性质进行分析。
作业要求：
1.作业本需整洁、字迹清晰，解答过程要求简洁、逻辑性强。
2.对于难题和疑问，鼓励同学们主动与同学、老师交流，共同解决。
3.家长签字，监督学生按时完成作业，培养良好的学习习惯。
5.通过变式练习，使学生巩固所学知识，提高解决问题的灵活性和准确性。
（三）情感态度与价值观
在本章节的教学中，学生将形成以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习积极性，使学生主动投入到一次函数的学习中。
2.培养学生面对数学问题时的耐心和毅力，使学生遇到困难时能够坚持不懈，勇于克服。
人教版数学八年级下册第十九章《一次函数》大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节的教学中，学生将通过学习一次函数的概念、图像、性质及应用，达到以下知识与技能目标：
1.理解并掌握一次函数的定义，能够准确识别并写出一次函数的一般形式：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
2.学会通过观察或解析式，分析一次函数的图像特征，如斜率k的正负与图像的走势，截距b与图像在y轴上的位置等。
3.通过一次函数的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
4.引导学生在学习过程中，学会与他人合作、交流，培养学生的团队精神。
新版人教版八年级数学下册第十九章一次函数教学案
课 题19.2一次函数 19.2.1正比例函数(2)教 学 目 标知识与技能1. 掌握一次函数解析式的特点及意义。
2. 知道一次函数与正比例函数关系。
3. 会根据实际问题中信息写出一次函数的表达式。
过程与方法 通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性。
情感、态度与价值观独立思考，合作探究，培养科学的思维方法。
教学重点 一次函数的概念及会根据信息列一次函数表达式 教学难点理解函数定义及与正比例函数的关系 教 法 1、引导发现法: 2、讲练结合法:学 法1、类比的方法2、阅读的方法3、分组讨论法4、练习法学 生 活 动 教 师 活 动 一、创设问题情境：1、下列式子中，哪些是正比例函数，哪些不是，为什么？ 8)1(-=y （2）28x y = （3）xy 4-= xy 3)4(-=（5）14-=x y2、画函数图像的步骤有哪些？ 二、自主学习与合作探究： 1、 画出下列正比例函数的图像： （1）、x y 2=，x y 31=（2）x y 5.1-=，x y 4-=2、观察上题画函数，完成下列问题：（1）正比例函数是一条 ，它一定经过 。
（2）因为过 点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（ ， ）和（ ， ）（3）当k > 0时，直线经过 象限，y 随x 的增大而当k 〈0时，直线经过 象限，y 随x 的减小而 2、 既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像（1）、 y=-3x （2） y=32x 解：（1）当x=_____时，y=_____, 解：当x=_____.时，y=_____,取点_______和_________, （2）描点、连线得： 三、巩固练习：例1、在同一坐标系中，分别作出下列函数的图像。
x y x y x y 21)3(,)2(,2)1(321===例2、已知函数2(3)2(3)y a x a x =-+-是关于x 的正比例函数 （1）求正比例函数的解析式。
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第十九章一次函数课题：19.1.1变量知识目标：理解变量与函数的概念以及相互之间的关系能力目标：增强对变量的理解情感目标：渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想重点：变量与常量难点：对变量的判断教学媒体：多媒体电脑，绳圈教学说明：本节渗透找变量之间的简单关系，试列简单关系式教学设计：引入：信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm，行驶的时间为th，先填写下面的表格，在试用含t的式子表示s.新课：问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：cm）？（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。
记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。
指出上述问题中的变量和常量。
范例：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；（3）运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；（4）银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。
活动：1.分别指出下列各式中的常量与变量.(1)圆的面积公式S=πr2;(2)正方形的l=4a;(3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为y=2.5x.2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量.（1）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.（2）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.思考：怎样列变量之间的关系式？小结：变量与常量作业：阅读教材5页，11.1.2函数课题：19.1.2函数知识目标：理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数能力目标：会用变化的量描述事物情感目标：回用运动的观点观察事物，分析事物重点：函数的概念难点：函数的概念教学媒体：多媒体电脑，计算器教学说明：注意区分函数与非函数的关系，学会确定自变量的取值范围教学设计：引入：信息1：小明在14岁生日时，看到他爸爸为他记录的以前各年周岁时体重数值表，你能看出小明各周岁时体重是如何变化的吗？周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13体重（kg）9.3 11.8 13.5 15.4 16.7 18.0 19.6 21.5 23.2 25 27.6 30.2 32.5 信息2：当你坐在摩天轮上时，随着旋转时间t（min）与你离开地面的高度h(m)之间的关系如图，时间/min 0 1 2 3 4 5高度/m新课：问题：（1）如图是某日的气温变化图。
①这张图告诉我们哪些信息？②这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这铁的气温变化规律的？(2)收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和赫兹（KHz）为单位标刻的，下表中是一些对应的数：波长l(m) 300 500 600 1000 1500频率f(KHz) 1000 600 500 300 200①这表告诉我们哪些信息？②这张表是怎样刻画波长和频率之间的变化规律的，你能用一个表达式表示出来吗？一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
范例：例1 判断下列变量之间是不是函数关系：（5）长方形的宽一定时，其长与面积；（6）等腰三角形的底边长与面积；（7）某人的年龄与身高；活动1：阅读教材7页观察1. 后完成教材8页探究，利用计算器发现变量和函数的关系思考：自变量是否可以任意取值例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x （单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系式.（2）指出自变量x的取值范围.（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）y=50-0.1x（2）0≤x≤500（3）x=200,y=30活动2：练习教材9页练习小结：（1）函数概念（2）自变量，函数值（3）自变量的取值范围确定作业：18页：2，3，4题课题：19.1.3函数图象（一）知识目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象能力目标：结合函数图象，能体会出函数的变化情况情感目标：增强动手意识和合作精神重点：函数的图象难点：函数图象的画法教学媒体：多媒体电脑，直尺教学说明：在画图象中体会函数的规律教学设计：引入：信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象，他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？新课：问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。
范例：例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家.其中x 表示时间，y 表示小名离家的距离.根据图象回答问题：（8） 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？； （9） 小明给菜地浇水用了多少时间？（10） 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ （11） 小明给玉米锄草用了多少时间？（12） 玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？例2 在下列式子中，对于x 的每一确定的值，y 有唯一的对应值，即y 是x 的函数，画出这些函数的图象：（1）y=x+0.5; (2)y=x6(x>0) 解：活动1： 教材16页练习1，2题 思考：画函数图象的一般步骤是什么？ 小结：（1）什么是函数图象（2）画函数图象的一般步骤作业：19：5，7题课题：19.1.3函数图象（二）知识目标：学会函数不同表示方法的转化，会由函数图象提取信息能力目标：正确识别函数图象情感目标：激发学生的探索精神重点：利用函数图象解决问题难点：从函数图象中提取信息教学媒体：多媒体电脑，直尺教学说明：在画图象中找函数的规律教学设计：引入：信息1：信息2：新课：函数的表示方法为列表法、解析式法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。
范例：例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.(1)由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；(2)据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7)（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35预计2小时后水位将达到10.35米。
思考：函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系？例2 已知函数y=2x-3，求：（1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标；（2）x取什么值时，函数值大于1；（3）若该函数图象和函数y=-x+k相交于x轴上一点，试求k的值.活动2：在同一直角坐标系中，画出函数y=-x与函数y=2x-1的图象，并求出它们的交点坐标. 练习：教材18页：练习1，2题小结：（1）函数的三种表示方法；（2）函数图象上点的坐标与函数关系式之间的关系；作业：20页8，9，10题19．2．1 正比例函数教学目标（一）教学知识点１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n 的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．解：１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．• • • •一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？[活动一]活动内容设计：画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x活动设计意图：通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．教师活动：引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述．学生活动：利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．活动过程与结论：１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6画出图象如图（1）．２．y=-2xx -3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．尝试练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=12x ２．y=-12xx -6 -4 -2 0 2 4 6y=12x-3 -2 -1 0 1 2 3Y=-12x3 2 1 0 -1 -2 -3比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx． [活动二]活动内容设计：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？活动设计意图：通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．教师活动：引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．学生活动：在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．活动过程及结论：经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3x解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：１．y= 32x （2，3）２．y=-3x （1，-3）小结：本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．课后作业习题11．2─1、2题．Ⅵ．活动与探究某函数具有下面的性质：１．它的图象是经过原点的一条直线．２．y随x增大反而减小．请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．解：函数解析式：y=-0．5xx 0 2y 0 -1备选题：汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，•t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达．速度＝1204=30（千米／时）．行驶１小时离开天津约为30千米．当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．解法二：用解析式来解答：由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120 即120=k×4 k=30∴S=30t．当t=1时 S=30×1=30（千米）．当S=100时 100=30t t=103（小时）．以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．毛§19．2．2 一次函数(一)教学目标（一）教学知识点１．掌握一次函数解析式的特点及意义．毛２．知道一次函数与正比例函数关系．３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．４．会用简单方法画一次函数图象．（二）能力训练要求１．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．３．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．教学重点１．一次函数解析式特点．２．一次函数图象特征与解析式联系规律．３．一次函数图象的画法．教学难点１．一次函数与正比例函数关系．２．一次函数图象特征与解析式的联系规律．教学方法合作─探究，总结─归纳．教具准备多媒体演示．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y•与x的关系．分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：y=15-6x （x≥0）当然，这个函数也可表示为：y=-6x+15 （x≥0）当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．Ⅱ．导入新课我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C•的值约是t的7倍与35的差．２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．这些问题的函数解析式分别为：１．C=7t-35．２．G=h-105．３．y=0．01x+22．４．y=-5x+50．它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．如果我们用b来表示这个常数的话．•这些函数形式就可以写成：y=kx+b（k≠0）一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．练习：１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）y=-8x．（2）y=8x．（3）y=5x2+6．（3）y=-0．5x-1．２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？（2）求第2．5秒时小球的速度．３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？解答：１．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数．２．（1）v=2t，它是一次函数．（2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5所以第2．5秒时小球速度为5米／秒．３．函数解析式：y=50-5x自变量取值范围：0≤x≤10y是x的一次函数．[活动一]活动内容设计：画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．活动设计意图：通过活动，加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律．教师活动：引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，•从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．学生活动：引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，•从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现．比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。