《公共经济(财政)学：原理与模型》第10章 税收效应分析 第02节 税收与生产、消费和劳动(附：斯拉斯基

《公共经济（财政）学：原理与模型》第10章 税收效应分析第10．2节 税收与生产、消费和劳动====================== ====================== 附录：一、全微分与偏微分对于两个或更多个自变量的函数，全微分度量的是由于每一个自变量的微小变化而引起的因变量的改变量．（讲！）如果),(y x f z =，全微分dz 的数学公式如下：dy z dx z dz y x += (5．11)其中，x z 和y z 分别是z 关于x 和y 的偏导数，dx 和dy 是x 和y 的微小改变量．即，全微分可以通过求函数关于每一个自变量的偏导数并代入上述公式求得．例12 求全微分 1．已知：3438y xy x z ++=y x z x 843+= 298y x z y +=将其代入公式，得到dy y x dx y x dz )98()84(23+++=2．已知：)1()(+-=x y x z 22)1(1)1()1)(()1)(1(++=+--+=x y x y x x z x 11)1()1(1)1()0)(()1)(1(22+-=++-=+---+=x x x x y x x z y全微分是dy x dx x y d z ⎪⎭⎫⎝⎛+-++=11)1(12如果其中的一个自变量为常数，例如0=dy ，则有全微分：dx z dz x =偏微分度量的是：当假设另一个自变量保持不变时，一个自变量的微小变化所引起的因变量的改变．二、全导数现在我们研究这样一种情形：),(y x f z =，而)(x g y =，即当x 和y 不是相互独立的变量时，x 的变化会通过函数f 对z 产生直接的影响，通过函数g 对z 产生间接的影响。

正如图5—3中路径图所示．当x 和y 非相互独立时，要想度量x 的变化对z 的影响，必须给出全导数的概念．全导数是x 对z 的直接影响x z ∂∂/与通过y 对z 的间接影响dxdyy z ⋅∂∂之和．即，全导数为 dxdy z z dx dz y x += (5．12)例13 求全导数的另一方法：先求z 的全微分dy z dx z dz y x +=再将方程两边同除以dx (在心里可以这样想).于是有dxdy z dx dx z dx dz y x += 由于1/=dx dx ，有dxdyz z dx dz y x +=例14 已知y x y x f z 76),(3+==其中834)(2++==x x x g y ，关于x 的全导数dx dz /为dxdy z z dx dz y x += 其中7,182==y x z x z ，和38/+=x dx dy ，代入上式有215618)38(71822++=++=x x x x dxdz为了检验答案，将8342++=x x y 代入原函数得到z 关于x 的一元函数，然后求导数：5621286)834(762323+++=+++=x x x x x x z所以，2156182++=x x dxdz三、全导数的运用：含有多个内生变量的比较静态分析在含有多个内生变量的经济模型中，比较静态要求每一个内生变量都有惟一的均衡条件成立．有n 个内生变量的系统一定有n 个均衡条件．要想刻画某个外生变量对任何或所有内生变量的影响，首先求出每个均衡条件关于该外生变量的全导数，然后再联立求出所要求的偏导数．如果函数有连续导数，且由所有函数的关于外生变量的偏导数组成的雅可比行列式不为零，则由隐函数定理：内生变量的最优值可以表示为外生变量的函数，而且比较静态导数可由克莱姆法则求得。

例3 为了表示的简化，假定模型只有两个内生变量和两个外生变量，且为隐式广义函数，在函数中先列写内生变量，再列写外生变量，用分号把前者和后者分开．（当然，模型可以很容易扩展到任意多个内生变量)(n 和任何多个外生变量)(m ，这里n 不必等于m ．）0),;,(21211=x x y y F 0),;,(21212=x x y y F为求得系统关于外生变量1x 的比较静态偏导数，首先求出两个函数关于1x 的全导数．01112211111=∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂x F x y y F x y y F01212221112=∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂x F x y y F x y y F 用短横表示均衡值，代入、整理并用矩阵记号表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂1211121122122111x F x F x y x y y F y F y F y F B JX =假设所有函数有连续一阶和二阶导数，而且所有函数(i F )的关于所有内生变量(i y )的由全部一阶偏微分构成的雅可比行列式J 不等于零，即021122211≠∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=y F y F y F y F J利用克莱姆法则求解关于1x 的比较静态导数．特别地，假定0≠J ，则该比较静态导数为JJ x y i i=∂∂1 (13.6)因此，为了求解比较静态导数1/x y i ∂∂，我们用向量B 替换J 的第一列，构造一个新矩阵1J ，然后代入上式(13．6)21122211*********212211122122111111y F y F y F y F y F x F y F x F y F y F y F y F y F x F y F x F J J x y ∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂-==∂∂ 同样地，21122211111212112212211112121111212y Fy F y F y F x F y F x F y F y F y F y F y F x F y F x F y F J J x y ∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂==∂∂ 用类似方法，可以得到关于2x 的偏导数．例4 假设商品服务市场(IS 曲线)和货币市场(LM 曲线)的均衡分别由下面式子给出0),(),,;,(0001=--=i Y C C Y P M C i Y F 0,10<<<i Y C C (13．7) 0/),(),,;,(0002=-=P M i Y L P M C i Y F 0,0<>i Y L L (13．8) 这里，),(i Y L =货币需求，0M =货币供给，0C =自控消费，P =价格水平，它使P M /0成为货币实际供给而不是名义供给．为了简化，让P 保持不变．0C 的变化对Y 和i 的均衡水平的影响用比较静态分析说明如下： (a)求出均衡条件(13．7)、(13．8)关于所需的外生变量的导数，这里的外生变量是0C0100000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅--∂∂C i L C Y L C i C C Y C C Y i Y i Y(b)整理并用矩阵形式表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡--01100C i C Y L L C C i Yi YB JX =(c)接着，检验以确定雅可比行列式0≠J ，使隐函数定理成立．Y i i Y L C L C J +-=)1(应用符号， 0)())(())((<-=+-+-+=J因此，0≠J ，所以隐函数定理的条件得到满足．(d)通过用向量B 替换矩阵J 的第1列来构造一个新的矩阵1J ，并代入(13．6)来求解一阶偏微分，0/C Y ∂∂.i ii L L C J =-=11因此，0)()()1(10>--=+-==∂∂Y i i Y i L C L C L J J C Y 即，自控消费0C 的增加将导致收入的均衡水平的增加。

(e)通过用向量B 替代J 的第二列构造2J ，并代入(13．6)，求解第二个偏微分0/C i ∂∂．Y YY L L C J -=-=0112和0)()()1(20>-+-=+--==∂∂Y i i Y Y L C L C L J J C i 即，0C 的增加也将导致利率的均衡水平的增加。

0M 的改变对Y 和i 影响请见下题例4（+）．例4（+） 假定例4中模型,00/),(0,100),(00<>=-<<<=--i Y i Y L L P M i Y L C C i Y C C Y利用比较静态分析，货币供应0M 的变化对Y 和i 的均衡水平的影响，要求P 是常量。

解：求出关于0M 的全导数，0000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂M i C M Y C M Y i Y 0100=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅P M i L M Y L i Y把它们设置为矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡--P M i M Y L L C C i Yi Y /10100 B JX =这里)())(())(()1(<-=+-+-+=+-=J L C L C J Y i i Y接着，构造一个新矩阵行列式1J ，求解一阶微分0/M Y ∂∂。

PC L PC J iii =-=/101 和0)()(])1[(10>--=+-==∂∂Y i i Y i L C L C P C J J M Y 即，货币供应0M 的增加会导致收入的均衡水平的增加。

对于0/M i ∂∂，PC PL C J YYY -=-=1/1012 和0)()(])1[(120<-+=+--==∂∂Y i i Y Y L C L C P C J J M i 即，0M 的增加将导致均衡利率的下降。

（重点，讲！） 四、斯拉斯基方程问题 一个消费者想在满足约束Y b p a p b a =+情况下，使效用),(b a u 最大化，Y 是一个常数。

给出拉格朗日函数)(),(b p a p Y b a u U b a --+=λ并假定二阶充分条件满足，即0≠=J H ，那么一阶条件中的内生变量能表示为外生变量的隐函数，如下： 0),,;,,(1=-=a a b a p U Y p p b a F λλ0),,;,,(2=-=b b b a p U Y p p b a F λλ (13．20) 0),,;,,(3=--=b p a p Y Y p p b a F b a b a λ (a)用矩阵形式表示函数关于a p 的全导数． (b)求a p a ∂∂/． 解：（a ）由全导数定义式(5．12)，即dxdyz z dx dz y x +=及(13．20)，于是有011111=∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=a a a a a p F p F p b b F p a a F dp dF λλ 即01=-∂∂⋅-∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=λλa a a a a a a p p p b b U p a a U dp dF 022222=∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=aa a a a p F p F pb b F p a a F dp dF λλ即002=-∂∂⋅-∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=a b a b a b a p p p b b U p a a U dp dF λ 033333=∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=aa a a a p F p F pb b F p a a F dp dF λλ 即003=-∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅-=a p p b p p a p dp dF aa b a a a λ 写成矩阵形式便是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----a p p b p a p p p U U p U U a a a bab bb baa abaa00λλ 022>-++-=aa b ba b a ab b a bb a U p U p p U p p U p J因为由约束优化的二阶充分条件有0>=H J ．但单独的二阶偏导数的符号无法从理论上确知。