抛物线及其标准方程1
高二数学抛物线及标准方程1
一、椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线 的距离的比是常数e的点的轨迹.
y
N F M
y
N
M
F
o
F'
x
F'
o
x
当e＞1时，是双曲线。 当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e=1时，它又是什么曲线？
二、抛物线的定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .
3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程 .
众人都是花团锦簇，只有她白白净净，而且平时她都是淡紫色、青藕色，今天这各壹反常态の月白色确实是让他想不注意她都困难。不过，他与十三小格壹样，也只是注意咯壹 下就晃咯过去，转而跟他の十三弟热聊起来。第壹卷 第442章 失礼人员到齐，寿宴正式开始，各式菜品陆陆续续地端咯上来。水清原本就没有心情，胃口也不好，因此哪壹各 菜她都不想吃。可是，当着那么多人，她也不可能端坐壹旁、纹丝不动，无论如何也要装装样子，于是只好强忍着无奈，有壹搭没壹搭地偶尔抬壹下筷子，胡乱吃壹口。反正也 不用管是啥啊菜品，反正吃到嘴里都是壹各味，只要做出“吃”の姿态就可以咯。就在水清装模作样地掩人耳目之际，此时又有壹道新菜上来咯，只见壹各小丫环正端进屋来の 这壹道菜是清蒸鲈鱼，红莲见状赶快从送膳丫环の手中接过鱼盘，端上餐桌。水清根本还没有注意看清楚是啥啊菜呢，立即就闻到壹股鱼腥味道，直接窜进她の鼻子，还不待她 有任何思考和反应，就觉得喉咙壹紧，壹股酸水就冒上来，她赶快掏出娟帕捂住咯嘴。可是这道清蒸鲈鱼不偏不倚，正好就被红莲放在咯年侧福晋の面前！水清被这股鱼腥味道 搅得胃里翻江倒海，刚刚还能用娟帕抵挡壹下，暂时予以缓解，此时如此近距离の接触，让这股持续不断の鱼腥味道不停是窜向她の鼻子，促使她の喉咙不停地发紧，没壹会儿 小小の绢帕就败下阵来。她实在是无法继续坚持下去，只得赶快离席，连句话都说不出来。月影早就发现仆役壹直用绢帕掩着嘴，可是碍于王爷和福晋都在场也不敢去问，现在 见水清已经顾不得失礼而快速离席，她赶快递上自己の帕子，以期能暂时解咯仆役の燃眉之急。但是月影の帕子今天用咯百合熏香，浓烈熏香の帕子适得其反，直接就让水清呕 咯出来。这壹下子，简直就是壹发不可收拾，即使两各人到咯房外，水清仍然是呕吐不止，两条小小の绢帕完全就是杯水车薪，只壹小会儿，帕子全都湿透咯。由于谁也没有多 带绢帕，水清就只好对着花圃不停地吐着，不过因为她这些天来壹直没怎么吃东西，因此她吐出来の，只是酸水，到最后竟然吐の全都是胆汁。眼看着天仙妹妹壹言不发地离席 而去，所有人都面面相觑，不明所以。排字琦担心五爷又要追究水清の失礼行为，壹顿训斥和责罚肯定是少不咯。想着今天年妹妹落寞の样子，明摆着上壹次の责罚还没有缓过 劲儿来呢，今天要是再被责罚壹通，估计天仙妹妹连死の心都有咯，于心不忍の排字琦于是赶快打咯壹各圆场：“让十三叔见笑咯，你小四嫂这些日子胃不太舒服，刚刚来の时 候脸色都不太好呢。”“四嫂您真是客气咯，小四嫂身子不舒服，愚弟怎么会见笑呢。不晓得太医看过咯没有。”“这些天太医倒是经常来，不过我也没有仔细打听，不晓得这 胃痛症到底看得怎么样咯。”王爷虽然也是对水清莫名其妙地壹言不发冲出门外很是诧异，现在听排字琦这般解释才清楚咯事情の原委，反正十三小格也不是外人，谈不上啥啊 失礼，既然她生咯病赶快找太医诊治就是，于是也没有再多说啥啊。第壹卷 第443章 欺君王府虽然不比皇宫，但毕竟也是皇子府邸，大部分の制度仍是比照皇宫，只是没有皇 宫复杂、繁琐而已。其中壹项制度就是侍寝记忆。皇子皇孙关系着皇家血脉，皇室子嗣记忆是壹项极为重要而严格の制度。因此，王府也有各位女眷の侍寝记忆和月信记忆。在 皇宫，这项事务由敬事房负责管理，在王府，则由专门の太监负责记忆。在皇宫，皇上宠幸妃嫔需要靠翻绿头牌，那是因为妃嫔数量太多；在皇子府邸，就那么些有数の诸人， 因此主子们不用翻牌，想怎样就怎样。与侍寝记忆相关の壹项记忆就是月信记忆，虽然王爷、福晋几乎从来不查看这些内容，但根据制度规定，所有情况全部记忆在案，以备阅 查。在年氏の名档下面，侍寝记忆仍是空白，但是并不意味着她就可以免报月信情况，而且还是必须按时上报。开始谁也没有注意这件事情，但是负责记忆の太监有好长壹段时 间没有见到月影，今天想起这件事情，他觉得有些奇怪，就翻咯壹下记忆簿，翻到年侧福晋の册页后，果然不出所料，这位侧福晋已经有两各月没有上报月信咯！壹看到这各结 果，把负责记忆の太监吓出壹身冷汗，这是他办差不力の直接证据！万壹被人发现就糟糕咯，于是他慌忙来到怡然居找月影，希望她能赶快给补报上来。月影壹听小太监说明来 意，这各气就不打壹处来：“陆公公，您这么说话，月影我可是不能认同。我家主子の月信情况，我当然是最清楚。我办差壹向仔细，从来没有耽误过事情，也没有办错过差事。 我家主子没有月信，您让我报啥啊？”“月影姑娘，我这可是在好心提醒你。这件事情，我也没有说就是你の错误，我只是好心提醒你，赶快补上，省得被总管查出咯错处，不 要说我，就是你也逃不咯办差不力の干系。”“陆公公，我办差壹向仔细，从没有出过岔子。我现在就明白无误地告诉你，有就是有，没有就是没有，您总不能让我胡编乱造吧， 这可是欺君之罪！”“你，你，月影姑娘，我今天才算是认清咯你，我好心好意地提醒你，你居然是狗咬吕洞宾，不识好人心！这可是你说の，有就是有，没有就是没有，那咱 们走着瞧，看看到底是谁犯咯欺君之罪！”陆公公被月影气得七窍生烟！他好心好意提醒月影，可能是前些日子太忙，忘记咯上报，结果，这各丫头居然反咬
课件1：2.3.1 抛物线及其标准方程
定义法
求抛物线的方程除了用直接法外，还可以用定义法 （看动点的轨迹是否符合抛物线的定义）。
当堂检测
1.若动点P到点A2,0和直线x=2的距离相等，则动点P的轨迹是 D
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
2.已知抛物线的准线方程是x=-1.5,则此抛物线的焦 点坐标是（1.5，0），其标准方程是 y2=6x 。
解题反思：
2
2
p值的几何意义是重点，p表示焦点到准线的距离，它是x系
数的一半，是焦点横坐标的两倍；而准线与对称轴垂直，垂
足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于x系数的 1。 4
例2. 已知点M与F(4,0)的距离比它到直线L:x+6=0的距离小2， 求点M的轨迹方程。
解：方法一 设点M（x,y),由题意知点M在x=-6的右侧，
所以 （x 4)2 ( y 0)2 2 x 6,
即（x 4)2 ( y 0)2 x 4, 化简整理得y 2 16 x.
直接法
方法二 由题意知：M到直线x+4=0的距离与到点（4，
0）的距离相等，所以由抛物线的定义知:
M点的轨迹是以（4，0）为焦点，以x=-4为准线的抛
物线。所以p=8，因此其方程为y2=16x. 解题反思：
所以方程 y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程.
它所表示的抛物线的焦点Ｆ在 x 轴的正
半轴上，坐标是（ p ，0 ）；它的
L
y
准线方程是 x p
2
，其中p的几何意
Ko
Fx
义是焦点到准线的2距离（焦参数）.
例1.（1）已知抛物线的焦点是F(3,0),写出它的标准方 程和准线方程。 （2）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的
2.4.1抛物线及其标准方程 (1)
位置,
∴把点(x,-0.5)代入x2=-3y得x2=-3〓(-0.5),
∴x≈〒1.22.
因此,高度为4.5m处,允许的宽度约为2〓1.22=2.44<3,
【易错误区】求抛物线焦点和弦长时的误区 【典例】(2013·南昌高二检测)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线 准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的 面积为 .
2.4.1 抛物线及其标准方程
喷泉
抛物线的生活实例
抛球运动
春湾镇那乌古桥
展示课前实践作业
请同学们准备以下工具,两个同学分工协作, 按下列方法画出动点轨迹.
1.在纸一侧固定直尺 2.将直角三角板的一条直角边 紧贴直尺 3.取长等于另一直角边长的绳子 4.固定绳子一端在直尺外一点
5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出轨迹
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点
为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示.
因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10,
所以点A的坐标是(10,12).
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上,得
122=2p〓10,所以p=7.2.
所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点间
y
F
x
y
O
F
l
l
x
y
O
F
x
x2=-2py (p>0)
四、抛物线及其标准方程的应用
（ 1 ） y 20 x
2 2
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
N
M
K
F
(3)
二、标准方程
y 设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
由定义可知，
K o
· · F
M
x
P 2 p 2 (x ) y x 2 2
化简得
2 y
= 2px（p＞0）
抛物线的标准方程
方程 y2=2px 叫做 抛物线的标准方程. 它表示的抛物线 焦点在x轴的正半轴上, 焦点坐标是 ,它的
(-4,-2)
综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为
y2=-x或x2=-8y.
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2；
y2=12x
y2=-x
(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0;
复习:
1.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于 常数2a,(2a>F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. 2.平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝 对值等于常数2a,(2a<F1F2)的点的轨迹叫 做双曲线.
抛物线及其标准方程
观察,概括:
动点满足的条件:
平面内与一个定点F和一条直线L的距离相等 的点的轨迹
a
2
3. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的
(6, 6 2) 坐标是____________.
例题讲解
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点 坐标和准线方程;
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
抛物线及其标准方程(1)
例4.(1).已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛 物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线方程 和m的值.
（2）已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的 动点，又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值，并求出取 最小值时P点的坐标。
3 .点A(4, 2),又P为抛物线x2 4 y上动点,求P到点A距
·F
一
想
？
l
如图,设定点F到定直线l 的距离为p（p＞0）, 如何建立
坐标系,求出点M的轨迹方程最简洁?
l
y
l
ly
M
H·
H
O
M· ·F
x
· H
Mx
· K O F
·F
（1） 设M（x，y） （2）
（1）由|MF|=|MH| ，得 (x p)2 y2 | x | 即得y2=2px-p2
（2）由|MF|=|MH| ，得 (x P)2 y2 | x P | 即得y2=2px距离的比 是常数e的点的轨迹.
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
(3)当e=1时，它的轨迹是什么？ 抛物线
l M
·F
l M
F·
l
M
N
··F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经 过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线
其中 定点F 叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
l
M
H· ·F
想一想?定义中当直线l经过定点F， l
则点M的轨迹是什么？ 经过点F且垂直于l 的直线
抛物线及其标准方程
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，
抛物线的标准方程及相关公式
抛物线的标准方程及相关公式抛物线是我们在初中时就接触到的一个概念，大部分人都知道它是一种平面曲线，但是具体的表达方式可能不是所有人都能记得清。
其实，抛物线也可以用一种简单的标准方程来表达，下面我会详细介绍这个方程以及与抛物线相关的公式。
一、抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，其数学定义是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹，其中定点称为焦点，定直线称为准线。
在我们的日常生活中，许多自然现象都可以使用抛物线来描述，比如炮弹的轨迹、跳水运动员的姿态等等。
二、抛物线的标准方程在数学中，抛物线可以用一种简单的标准方程表示。
这个方程是：y = ax² + bx + c其中 a、b、c 都是常量，具体的数值由抛物线的形状以及位置决定，下面我将逐一解释这些常量。
① aa 是抛物线的开口方向和开口大小的决定因素。
如果a 大于0，那么抛物线开口向上，开口大小取决于 a 的大小；如果 a 小于 0，那么抛物线开口向下，开口大小同样取决于 a 的大小。
如果 a 等于 0，那么抛物线就变成了一条水平直线，这个时候抛物线不存在焦点和准线。
② bb 是抛物线在 x 轴上方的截距，也称抛物线的对称轴。
如果 b等于 0，那么抛物线就与 y 轴对称，即为偶函数。
如果 b 不等于 0，那么抛物线就可以沿着 y 轴方向平移，改变抛物线的位置。
③ cc 是抛物线在 y 轴上的截距。
如果 c 等于 0，那么抛物线的焦点就位于原点。
通过上述的分析，我们已经可以根据抛物线的形状和位置来确定 a、b、c 的数值，进而得到抛物线的标准方程。
三、与抛物线相关的公式在学习抛物线的过程中，还有许多与它相关的公式需要掌握。
①抛物线在 x 轴的范围根据抛物线的表现形式，我们可以得到其在 x 轴的范围为：x ∈ [-∞,∞]这个范围表明了抛物线在 x 轴上可以取到任何一个实数。
②抛物线的对称轴抛物线的对称轴就是它的顶点，顶点的 x 坐标可以通过以下公式计算出来：x = -b/2a根据这个公式，我们可以得到抛物线的顶点坐标。
抛物线及其标准方程1
●教学目标1．掌握抛物线的定义及其标准方程；2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.●教学过程1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程：①推导过程：建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点F 且垂直于直线l ，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合.设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2p x -= 设点M （x ,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x p x d y p x MF +=+-∴+=+-= 将上式两边平方并化简得y 2=2px ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是.2p x -= ②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ,x 2=2py ,x 2=－2py .这四种抛物线例1 （1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程.解：（1）因为p =3,所以焦点坐标是),0,23(准线方程是.23-=x（2）因为焦点在y 轴的负半轴上，并且,4,22==p p 所以所求抛物线的标准方程是x 2=－8y .说明：此题是抛物线标准方程的直线应用，要求学生熟练掌握.●课堂小结：通过本节学习，掌握抛物线的定义及其标准方程，并掌握抛物线的焦点、准线及方程的相互关系，并能应用它解决一些相关问题.●教学目标1． 掌握抛物线的定义，灵活应用定义求轨迹方程；2． 掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.●教学过程师：这一节，我们主要通过例题分析研究抛物线定义及其标准方程在解题时的具体应用. 例2 点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程. 分析：由已知，点M 属于集合|}.5|1|||{+=+=x MF M P将|MF |用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M 的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐.仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M 的横坐标x 应满足x ＞－5,即点M 应在直线l 的右边，否则点M 到F 的距离大于它到l 的距离；其次，“点M 与点F 的距离比它到直线l ：x +5=0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x +4=0为准线的抛物线.解：如图8—21，设点M 的坐标为（x ，y ）.由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线..8,42=∴=p p 因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2=16x说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强对抛物线定义的理解与认识. 例3 斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长.分析：例3是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线距离，从而达到求解目的.解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0），所以直线AB 的方程为y =x －1. ①将方程①代入抛物线方程y 2=4x ,得（x －1）2=4x 化简得x 2－6x ＋1=0 解之得：.223,22321-=+=x x 将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得 .222,22221-=+=y y即A 、B 坐标分别为)222,223(++、)222,223(--..8)24()24(||22=+=∴AB解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x =－1的距离.1||,1+=''x A A A A 而同理,12+='=x B B BF 于是得|AB |=|AF |+|BF |=x 1＋x 2＋2.由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2=6 于是可以求出|AB |=6+2=8.说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.。
抛物线及其标准方程1
2．抛物线方程的推导：
y
如图所示，建立直角坐标系系， D
M
设|KF|=P（P>0）那么焦点F的
坐标为 F（ P ，0）准线 l的方程为
x p
2
设抛物线上点M（x,y)
OF K
x
2
则有 (x p )2 y 2 | x p |
方程有以下四种形式：
Y2=2px（p>0）、y2=-2px（P>0）
x2=2py（p>0） 、x2=-每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层 面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。 写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。 中国自主设计的 地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，又用黑色大理石嵌了一条边。这样，当乘客走近站台边时，就会有了警惕，会停在安全线以内；而二号线地面全部用同一色的瓷砖，乘客很难意识到已 经靠近了轨道，地铁公司不得不安排专人来提醒乘客注意安全。恰恰是诸如此类的细节，决定了二号线运营成本远远高于一号线，至今尚未实现收支平衡。一号线近乎完美的设计，正是基于德国设计人员的细心观察，科学计算，周密推理，尤其是对于细节与全局关系准确把握的一种理性和自觉， 最终才能从大处着眼，从细节
抛物线及其标准方程1
三、典型例题剖析，知识巩固 典型例题剖析，
到定点F(2,0)的距离与它到直线 的距离与它到直线x+2=0 例3：动点 到定点 ：动点P到定点 的距离与它到直线 的距离相等，求点P的轨迹方程 的轨迹方程？ 的距离相等，求点 的轨迹方程？
三、典型例题剖析，知识巩固 典型例题剖析，
例4： ：
已知F是抛物线y =6x的焦点，点A=（2,1），在抛物线 上找一点P，使得|PA|+|PF|最小，求P点的坐标。
2
d1 d1 : 到 焦 点 的 距 离 ， d 2 : 到 准 线 的 距 离 , = e d2 e=0： 轨 迹 为 圆 0<e<1:轨 迹 为 椭 圆 e=1： 轨 迹 为 抛 物 线 e>1： 轨 迹 为 双 曲 线 这些曲线都可以在一个圆锥上用一张平面截取而获得。
作业
• 课本67页练习，完成到书上； • 课本73页，习题2.4，第4,5,6题做到作业 本上。
方案一 方案 一 y 方案二 y 方案三 y
N Ko F
M
N
x o
M
x
N
M
K
F
Ko F
x
l
y
2=
l
P 2p(x－ 2 )
l
P 2p(x+ 2 )
y
2=
y 2= 2px
二、抛物线标准方程的形成过程
2. 抛物线的标准方程 抛物线的标准 标准方程
y
N Ko F
M
y = 2 px ( p > 0)
2
x
p的几何意义 焦点到准线的距离
抛物线及其标准方程
解：y2 =12x 解：y2 =x 解：y2 =4x或y2 = -4x 或 或x2 =4y或x2 = -4y 或
方法总结： 方法总结：
1、已知抛物线的方程，如何求其焦点坐标和准线方程？ 、已知抛物线的方程，如何求其焦点坐标和准线方程？ 2、已知抛物线的焦点坐标或准线方程，如何求抛物线的 、已知抛物线的焦点坐标或准线方程， 标准方程？ 标准方程？ 抛物线标准方程 焦点坐标或准线方程
(p>0) (0,- /2)
y= /2
x=-p/2
1、相同点： 、相同点：
（1）顶点都为原点 （0，0）; ）顶点都为原点O（ ， ） 轴或Y轴 （2）对称轴都为坐标轴（X轴或 轴）; ）对称轴都为坐标轴（ 轴或 的距离等于顶点到准线L的距离都为 （3）顶点到焦点 的距离等于顶点到准线 的距离都为 ）顶点到焦点F的距离等于顶点到准线 的距离都为p/2.
先定型，后定量 先定型 后定量
五、能力提升： 能力提升：
已知抛物线方程为x=ay a≠0)，试讨论抛物线的开口方向、 已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，试讨论抛物线的开口方向、 焦点坐标和准线方程？ 焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 抛物线的方程化为： 解：抛物线的方程化为：y a
MF
= MK
与定点F和定直线的距离相等 点M与定点 和定直线的距离相等 与定点
一、抛物线的定义
把平面内与一个定点 和一条定直线 把平面内与一个定点F和一条定直线l 定直线l （直线不经过点F）距离相等的点的 直线不经过点F 距离相等的点的
l H
M
轨迹叫做抛物线 轨迹叫做抛物线. 抛物线. 叫做抛物线的焦点 焦点, 定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. 叫做抛物线的准线 准线.
抛物线及其标准方程1
§2.4.1抛物线及其标准方程第1课时班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。
训练案在自习或自主时间完成。
2．重点预习：课本64-66页内容。
3．把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问出”。
【学习目标】1.理解抛物线的定义及标准方程形式2. 掌握抛物线的焦点、准线及四种抛物线方程的特点。
3. 通过抛物线的形成过程，得出抛物线的定义，建系得出抛物线的标准方程。
【学习重点】1.抛物线的定义及标准方程形式2.抛物线的焦点、准线及四种抛物线方程的特点。
【学习难点】由抛物线的形成过程，归纳出抛物线的定义【知识链接】函数2=-+的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．y x x261【预习案】预习一：抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（）的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．预习二：抛物线的标准方程1.若定点F到定直线l的距离为p（0p>）．建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程。
2.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。
【预习自测】1.抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ；2.抛物线212x y=-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．【探究案】探究1：抛物线的定义中限定定点F 不在定直线l 上，定点F 在定直线l ，那么平面内到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的运动轨迹是什么呢？探究2:在抛物线的标准方程的推导过程中建系时能否以l为坐标y轴，以过F且与l垂直的直线为x 轴，或以F为坐标原点？它与课本中的建系方法得到的标准方程哪个更简单、合理？探究3：标准方程中p的几何意义是什么？探究4：有抛物线的标准方程如何确定焦点位置？焦点坐标？准线方程？规律是什么？典型例题：例：（1）已知抛物线的标准方程是26，求它的焦点坐标和准线方程；y x（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F-，求它的标准方程．【课堂小结】【学习反思】本节课我最大的收获是我还存在的疑问是【训练案】（时间：20分钟成绩：）1．【5分】对抛物线24y x=，下列描述正确的是（）．A．开口向上，焦点为(0,1) B．开口向上，焦点为1(0,)16C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，焦点为1(0,)162．【5分】抛物线280x y+=的准线方程式是（）．A．2x= B．2x=- C．2y= D．2y=-3．【5分】抛物线210y x=的焦点到准线的距离是（）．A. 52 B. 5 C. 152D. 104：【15分】根据下列条件写出抛物线的标准方程：⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是1x=-；4⑶焦点到准线的距离是2．。
2.4.1抛物线及其标准方程(一)
三、拓展延伸（7分钟）
1、已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1，求曲线C的方程。
四、当堂训练（10分钟）
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x = ；（3）焦点到准线的距离是2。
年级：高二学科：数学
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：2.4.1抛物线及其标准方程（一）
制单人：田志龙审核人：高二数学组
班级：_________组名：_________姓名：_________时间：_________
1、若动点p到定点（4，0）的距离与到定直线x =4的距离相等，则p点的轨迹是（）
A.抛物线B.线段C直线D.射线
2、已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程。
3已知抛物线的焦点坐标是（0，-2），求它的标准方程。
二、合作交流（13分钟）
1、已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程。
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2=20x (2) x2= y (3)2y2+5x=0 (4)x2+8y=0
焦点坐标
准线方程
（1）
（2）
（3）
（4）
3、抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a（a>p/2),则点M到准线的距离是，点M的横坐标是。
课堂反思：
准线方程为____________．抛物线开口方向_________．
3．抛物线的标准开口方向还有几种情况？抛物线的标准方程有那些不同的形式？完成下表
高二数学抛物线及其标准方程1
l
N
M
定直线l 叫做抛物线的准线.
· F ·
二、抛物线的标准方程
步骤： （1）Biblioteka 系设点 （2）列式 （3）代入（4）化简 （5）证明
如何建立直角坐标系？
x
√
取过焦点F且垂直于准线l的直线 为x轴，线段KF的中垂线为y轴
设焦点F到准线的距离为 p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， N
l y
M
K o
· · F
x
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）.
二.标准方程:
l y
M
方程 y2 = 2px（p＞0） N 叫做抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是: K o
焦 点 到 准 线 的 距 离.
· · F
x
﹒ ﹒ ﹒
y
； 铂涛旗下
图 形 o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
结论 第一:一次项的变量如为x
（或y） 则焦点就在x轴（或y轴） 上 第二:一次项系数的符号 决定了开口方向 第三: 一次项系数绝对值 的一半(即P )为定点到定直线的 距离.
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
3 解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０） 2 3 准线方程为x=- － 2.
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程．
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y.
高中数学抛物线及其标准方程 优秀课件1
解题感悟
求抛物线标准方程的步骤：
〔1〕确定抛物线的形式. 〔2〕求p值 〔3〕写抛物线方程
练习
类比例1、例2，小组内两人为一组， 互相出题并解决.
知识体系小结
定义
抛
物
线
求标准方程
标准方程 求焦点坐标
求准线方程
待定系数法
将方程化为 标准方程
你能说明二次函数 y ax2 a 0的
图像为什么是抛物线吗？指出它的 焦点坐标、准线方程。
2 y=- p
2
x2=-2py (p>0)
F (0, -
p )
2
p y=
2
典例精讲
【例1】找出抛物线方程，假设是抛物线求出它
的焦点坐标和准线方程
（1）x2 y 0
(2) x2 y2 1 45
(3)x2 y2 4
(4) x2 y2 1 34
(5) y2 4x
(6) y 2x 3
作业：P59练习〔1〕、〔2〕、 〔3〕；p64A组〔1〕、〔2〕
5. 化:化简方程.
建系
yy
H
M
·· K
O
F NO O
y
l
x
K
F
N
标准方程的推导
建：以过点F且垂直于直线 l 的 直线为x轴,垂足为K.以FK的中点
y
p l d ·M
O为坐标原点建立直角坐标系xOy. 设：M〔x，y〕是抛物线上任意一点，
Ko F x
点M到l的距离为d．
设 FK p ,则焦点 F( p ,0) ,准 2
线l:x p 2
限：由抛物线的定义，抛物线就是点的集合
即：P={M||MF|=d}
代：因为|MF|=
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y
B
x
5
A O
x
4 C
（选讲）一辆卡车高 3 米，宽 1.6 米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高 的 4 倍，若拱口宽为 a 米，求使卡车通过的 a 的最小整数值。
解 ： 设 隧 道 顶 点 为 原 点 ， 拱 高 所 在 直 线 为 y轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， a a 则 B 点 的 坐 标 为 （ , ), 如 右 图 所 示 2 4 2 设 隧 道 所 在 抛 物 线 方 程 为 x my a 2 a 则 （ ） m（ ） ， m a 2 4 2 即 抛 物 线 方 程 为 x ay 2 0.8 2 A 将 （ 0 .8， y ) 代 入 抛 物 线 方 程 ， 得 0 . 8 a y， 即 y a a 欲 使 卡 车 通 过 隧 道 ， 应 有 y ( ) 3, 4 2 a 0.8 即 3， 由 于 a 0， 得 上 述 不 等 式 的 截 为 a 1 2 .2 1 4 a a应 取13
y x F 0K x
y F
y K x 0 F x
K 0 F
0 K
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0) p ( , 0) 2
x p 2
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p (p＞0)) (0 , 2
p （P>00 ) ( , 2
x p 2
p (p＞0) (0 , ) 2
07—08 学年度第一学期理科数学集体备课教案
课题 科目 数学 年级
抛物线的标准方程（二）
高二 主备人 程存国 审核人 毛微 1．使学生掌握抛物线的定义、标准方程，并能初步利用它们解决有关问题． 2．使学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、 综合的能力． 3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题． 抛物线标准方程的有关应用 抛物线标准方程的有关应用 过 程 设 计 备 注
教学目标
教学重点 教学难点 主要教具 教 学
一、复习： （1）抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 不在直线上)．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线． （2）抛物线四种不同形式的标准方程、图形、性质：
y
图 形
标准 方程 焦点 坐标 准 线 方程
(p＞0)
y
O
F
x
B
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作者: GMHS
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07—08 学年度第一学期理科数学集体备课教案
例 2：抛物线拱桥如图，水面宽|AB|为 6,拱顶到水面的距离为 3，一货船在水面上部分的横截面 是矩行 CDEG，若矩形长|CD|为 a，则高|DE|为何值时船才能通过？
解 ： 选 坐 标 系 ， 使 点 A 3， 3） ， B 3， 3） ， （ （ 2 设 抛 物 线 方 程 为 x -2 p y ( p 0 ) 3 2 点 B 3, -3) 在 抛 物 线 上 3 -2 p ( 3), 得 p （ 2 2 抛 物 线 方 程 为 x -3 y 3 9 点E （ ， y 0 )在 抛 物 线 上 3 y0 2 4 3 3 9 y 0 | E D | 3 4 4 4 9 高 | E D | 时 ， 船 能 通 过 。 4
y
O G E x
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
D
B
练习：喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶部 A 处，喷出水流的最高点 B 高 5m，且与直线 OA 相距 4m，水流落在以 O 为圆心、半径为 9m 的圆上，求管柱高|OA|的长度？ y
-2 p y , 5 点 C 5， 5） 在 P 上 2 5 2 p ( 5 ) p （ 2 2 抛 物 线 方 程 为 x -5 y , 点 A 4， y 0 ) 在 P 上 （ 16 16 5 y0 y0 5 16 | O A | 5 1 .8 ( m ) 5 解 答 ： 选 坐 标 系 ， 使 抛 物 线 P方 程 为 x
y p 2
y
p 2
二、练习： 1．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形： (1)顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6； （y2=24x 或 y2=-2x） (2)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6，-3)． （x2=-12y） 三、抛物线的应用 现实生活中很多实际问题都能抽象为抛物线的问题，因此抛物线的相关的知识在生产生活实践 中得到了广泛的应用。 例 1：一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的 接受天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径（直径）为 4.8m,深度为 0.5m，试建立 适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标 A
y
x B
四、课堂练习:P67 ：3 五、小结： 求抛物线的标准方程时，应根据题意建立适当的坐标系，把实际问题转化为数学问题， 利用数学模型，通过数学语言表达、分析、从而解决实际问题。 六、作业：P73：3、4、8 B 组 1 教后感：
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