建筑力学-第02章 平面汇交力系与平面力偶系
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第2章平面汇交力系与平面力偶系
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的A字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
FR F1 F2 Fn Fi
Fn
FR
F1
说明：力系的合成与力序无关
F3
F2Байду номын сангаас
力 多 边 形
合力为力多边形的 封闭边
矢量方程为：
FR F1 F2 Fn Fi
合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为 该力系的合力。
二、 平面汇交力系的平衡
平衡条件 1）从方程上说：
FBA F2
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B B
P
C
F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos60 0 F2cos30 0 0 FBC F1cos30 0 F2cos60 0 0
B A E
FA
C
P
D
A
FC
B
C
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
第2章平面汇交力系和力偶系
力系简化
■平面力偶系(couple system) 平面力偶系(couple 力偶系
F
F′
大小相等,方向相反, 力偶 : 大小相等,方向相反,不共线的两个 力所组成的力系. 力所组成的力系. (F, F′) 力偶作用面: 力偶作用面: 二力所在平面 力偶臂: 力偶臂:二力作用线间的垂直距离
■平面力偶系(couple system) 平面力偶系(couple 力偶系
＊该定理适用于有合力的任何力系
例题） ■力对点之矩（例题）
例1
已知 : F , l1, l2 , α . 求 : MO(F) 解：使用合力之矩定理 使用合力之矩定理
MO (F) = Mo (Fx ) + Mo (Fy ) =－F l2sin α + F cosα （l1－l3)
例题） ■力对点之矩（例题）
注意： 注意：一般力矩的计算往 往不是用定义式。 往不是用定义式。计算往 往使用合力之矩定理 往使用合力之矩定理 。 F
O
d
■力对点之矩（合力之矩定理 ）
合力之矩定理
MO(FR)= Σ M O(Fi)
合力矩定理 合力矩定理：合力对任一点之矩矢等于
力系中各力对该点之矩矢的矢量和； 力系中各力对该点之矩矢的矢量和；
解析法) ■汇交力系(解析法 解析法
力在直角坐标轴上的投影与分解
矢量式 或
F = Fx +Fy F = Fx i + Fy j
分别为力在 、 轴上 分别为力在x、y轴上 力在 的投影
y
Fy
j i
F
Fx
x
Fx 、Fy
投影符号规定：与轴正向一致时为+，反之，为负。 投影符号规定：与轴正向一致时为+ 反之，为负。
力学基础第2章 平面汇交力系与平面力偶系
解方程得杆AB和BC所受的力:
FBA 0.366G 7.321 kN
x
FAB
FBC
B
F2
60
30
F1
FBC 1.366G 27.32 kN
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例 题 2-6
梯长AB =l ，重G =100 N，重心假设在中点C，梯子的上 端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40°角的光滑 斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以 及梯子和水平面的夹角θ。
a
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例 题 2-4
y
FBC
30°
解：
1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。
x
B
30°
2.画出受力图。
FAB F G
3.列出平衡方程：
F F
联立求解得
x y
0, FBC cos30 FAB F sin30 0 0,
FBC cos60 G Fcos30 0
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN， 方向与梁的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固 定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不 计。
A
B C
a a
30º
(a)
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-2
解：
1.取梁AB作为研究对象。
60º
2.画出受力图。
30º
B C A
lB lA
PA
R
PB
§2.3 平面力偶系
4.两个反向平行力的合成 两个大小不等的反向平行力可以合成为一个合 力，其大小等于两个分力的大小差，且与较大 的分力同向，合力的作用线在较大的分力的作 用线的外侧，且到分力作用线的距离与分力的 大小成反比。 R PB PA PB R PB PA
第 2 章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
例2-1
F Ptg
N
B
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
FR FR2x FR2y ( Fxi )2 ( Fyi )2
cos(FR
,
i)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
y
Fy j Oi
F Fx x
F F x F y Fx i Fy j
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.3 合力投影定理
平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
FRx Fxi FRy Fyi
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
解:1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
例2-1
F Ptg
N
B
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
FR FR2x FR2y ( Fxi )2 ( Fyi )2
cos(FR
,
i)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
y
Fy j Oi
F Fx x
F F x F y Fx i Fy j
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.3 合力投影定理
平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
FRx Fxi FRy Fyi
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
解:1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
2. 解析法：
Fx 0 Fy 0
[例1] 图示杆AB长为l， AC=BC, =45°，F=10N。求：
A、B处反力。 解1: 几何法
O F
研究AB杆，画受力图，并
作力旳三角形
由正弦定理
FA sin 45
sin(180
F 90
1)
FA
A
10 FA 4 F 7.9N
F
1
C
45°
B
FNB
反作用。
28
[例] 画出每个构件旳受力图
C
C
C
OI
B
K
H
D
B
I
D
A
D
Q
B
O
IK
A
29
解：
C
OI K
H D
A Q
FC
FC'
C
FI
B
FT
D
FRD
B
FB
FR' D FOY
FOX O
I
A
Q
C
I
D
SI B
K
S B
NK
30
二、几种注意点 1. 明确画旳是受力图，而不是施力图； 2. 每一种力都要有施力者——不多画力； 3. 每解除一种约束都要画出相应旳约束反力—不错画 力，不漏画力； 4. 刚体系各刚体之间旳力要成对出现——不错画力； 5. 整体受力分析时不出现内力。
定理：平面汇交力系旳合力对平面内任一点旳矩，等于全
部各分力对同一点旳矩旳代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
第二章平面汇交力系与平面力偶系
和力偶矩为m的力偶作用而平衡，下列说法
正确的是（
）
A 力P和力偶矩m相平衡；
B 力P和轴承O的支反力组成的 力偶与轮子上的力偶相平衡；
C 力P对O点之矩和力偶完全等效；
D 力P和力偶虽然不等效，但它们可以使轮子平衡。
5、两正方形板组成的结构，其尺寸和受力情 况如图示，则（ ）。
A.A点约束反力与B点约束 反力等值、反向、共线；
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
各_______对_______之矩的_______和。 6、求力矩时，若力臂不易确定，可将平面力
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
（二）、合力矩定理
平面汇交力系的合力 对于平面内任一点之 矩等于各分力(F i) 对同一点之矩的代数 和。
Mo (R)=∑Mo(Fi)
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础，本章将分别研究两种力系的合成与平衡问题。
§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则如图a 所示，作用在刚体上的四个力1F ，2F ，3F 和4F 汇交于点A 。
连续应用平行四边形法则，即可求出通过汇交点A 的合力R 。
合力R 的大小和方向也可用图(b)所示的力三角形法则或力多边形法则得到。
后者，作出图示首尾相接的开口的力多边形abcde ,封闭边矢量ae 即所求的合力。
通过力多边形求合力的方法称为几何法。
改变分力的作图顺序，力多边形改变，如图(c)所示，但其合力不变。
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。
即∑==+++=n i i 1n 21F F F F R 简写为 ∑=F R （2-1）二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。
其矢量表达式为∑==0F R （2-2）力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。
例2-1 如图所示，钢梁的重量kN 6N 1063=⨯=P ,︒=30θ，试求平衡时钢丝绳的约束力。
解：取钢梁为研究对象。
作用力有：钢梁重力P ，钢绳约束力AF 和B F 。
三力汇交于D 点 ，受力如图a 所示。
作力多边形，求未知量。
首先选择力比例尺，以1cm 长度代表2kN 。
其次，任选一点e ，作矢量ef ，平行且等于重力P ，再从e 和f 两点分别作两条直线，与图(a)中的A F 、B F 平行，相交于h 点，得到封闭的力三角形efh 。
按各力首尾相接的次序，标出fh 和he 的指向，则矢量和he 分别代表力A F 和B F （如图b 所示）。
按比例尺量得和的长度为：45.3=fh cm ， 45.3=he cm即 45.3145.3=⨯=A F kN ，45.3145.3=⨯=B F kN 从力三角形可以看到，在重力P 不变的情况下，刚绳约束力随角θ增加而加大。
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。
本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一 点的力系。
1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系 1F ， 2F ， 3F ， 4F 的作用，各力作用线汇交于点A ，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A ，如图2-la 所示。
为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A 的合力R F ;还可以用更简便的方法求此合力R F 的大小与方向。
任取一点a ，先作力三角形求出1F 与2F 的合力大小与方向R1F ，再作力三角形合成R1F 与3F 得R2F ，最后合成R2F 与4F 得R F ，如图2-lb 所示。
多边形abcde 称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae 称此力多边形的封闭边。
封闭边矢量ae 即表示此平面汇交力系合力R F 的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A ，如图2-la 所示的R F 。
必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。
由此组成的力多边形abcde 有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。
多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。
根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc 所示。
总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。
设平面汇交力系包含n 个力，以R F 表示它们的合力矢，则有RF =1F +2F +…+nF =∑=n1i iF(2-1)合力R F 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
工程力学 第二章 平面汇交力系与平面力偶系
D
1 tg 2
E F
45°
FC
45° F FA
FA
A
C
Fc
B
例2-2
求：
已知： P =20kN，R =0.6m， h =0.08m
1.水平拉力F =5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F 至少多大？ 3.力F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
M O2 F , F F d x2 F x2 ' F d Fd
力偶矩的符号 M
2.4.2 同平面内力偶的等效定理
定理：作用在刚体上同一平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。 两个推论： (1) 力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对 刚体的作用效果。换句话说，力偶对刚体的作用与 它在作用面内的位置无关。
找出平面汇交力系合成的合力 F2 F1 F5 F3 F1 F3 F4 F2
F4
2.1.4 平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件：
合力等于零
n FR Fi 0
i 1
平面汇交力系平衡的几何充要条件： 力多边形自行封闭
应用：
横梁在力的作用下处于平衡，已知中点P=50KN， 求A、B约束反力 P 解： A B 25KN 比例尺 10mm 45°
y
Fy β A a B F Fx
a1
O Fx b x 力的起点垂足指向终点垂足 投影为正，反之为负。 与投影轴正向一致
如图，若F=40KN，α=30°，求力在x、y轴上的投影 Fx= 40cos30° KN y Fy= 40sin30° KN Fx= 40cos30° KN Fy= -40sin30° KN
二章理论力学平面汇交力系与平面力偶理论知识讲解
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
F
r
NA
7
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
FPtg
NBcoPs
又由几何关系：
tg
r2(rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos ; Y=Fy=F·sin = F ·cos
F Fx2Fy2
cosXFx
FF
cosY Fy
FF
10
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x 轴和在y 轴投影的和分别为：
RxX1X2X4X
即：
RyY1Y2Y3Y4 Y
Rx X
Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
1
引言
力系分为：平面力系、空间力系
①平面汇交力系 平面力系 ②平面 力偶系
③平面一般力系(平面任意力系)
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
例：起重机的挂钩。
T
研究方法：几何法，解析法。
T1
T2
2
第二章 平面汇交力系与平面力偶理论 §2–1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 §2–2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 §2–3 力矩 、力偶的概念及其性质 §2–4 平面力偶系的合成与平衡
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
tgE AB B1 0..2 41 3 解得： SCD si4 n05 cPo4s05 tg 4.2k 4N ；
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
建筑力学 第二章 平面汇交力系
11
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
第2章 平面汇交力系和平面力偶系
9
例题 1
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
F
R O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
qP
B
由已知条件可求得
A
h
cos q R h 0.866
(a)
R
q 30
FO
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
解得
FB sin q F FA FB cosq P
（2）应用合力矩定理
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy )
F cosq l cosj F sinq l sinj Fl cos(q j)
22
§2—4 平面力偶 1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶。如图所示，记作（F，F'）。力偶的两力之间
如图轧路碾子自重P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心O处作用一
水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
R
FO
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
q
过障碍物，水平拉力至少应为多
B
大；(3)力F 沿什么方向拉动碾
A
h
子最省力，此时力F为多大。
大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一 个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正， 反之为负。
F对矩心点O之矩
MO(F) r
ห้องสมุดไป่ตู้Oh
B F A
M O (F ) Fh 2 AOAB
式中 AOAB为三角形OAB 的 面积，如图所示。单位为 N•m或kN •m。
第2章：平面汇交力系和平面力偶系
力和力偶是静力学的两个基本要素， 也就是说任何力系都是由力和力偶组成的。 力偶只改变物体的转动状态。因此，力偶对刚体 的转动效应，可用力偶矩来度量。
26
三、力偶和力偶矩
力偶矩：力偶中两个力对其 作用面内某点的矩的代数和。
M o ( F , F ) F (d x ) F x F d
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FR FR2x FR2y 171.3N
M1 FA r sin 0
36
取杆BC，画受力图。
M 0
r F M2 0 sin
' A
37
33
例2-7：已知:
F , , xB , yB , l; 求：平衡时，CD 杆的拉力。
FR 0
M A ( FR ) 0
M A ( Fi ) 0
F cos yB F sin xB FCD l 0
34
例2-8：已知：q, l; 求：合力及合力作用线位置。 解：取微元如图
第二章：平面汇交力系与平面 力偶系
1
§2-1 平面汇交力系
定义： 各力的作用线都在同一个平面内且汇交于一点。 一、平面汇交力系合成的几何法--力多边形规则
2
FR1 F1 F2 FR 2 FR1 FR 3
i 1
Fi
3
n FR Fi Fi
θ 20 , r 60mm
2平面汇交力系和平面力偶系
F R = F1 + F 2 + L + F n =
∑F
i =1
i
(2-1)
a
b 图2.1
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示， 果用矢量形式表示，即
可以证明，任意改变力的合成的先后次序， 可以证明，任意改变力的合成的先后次序，虽然所得到的力的 多边形形状不同， 完全相同， 多边形形状不同，但是合力 FR 完全相同，即力的合成的多边形 法则合成的合力与各个分力合成的先后次序无关。 法则合成的合力与各个分力合成的先后次序无关。 综上所述，可得到以下结论： 综上所述，可得到以下结论：平面汇交力系的合成结果为一合 其大小和方向由力的多边形的封闭边来表示， 力 FR ，其大小和方向由力的多边形的封闭边来表示，作用线通 过各力的汇交点，即合力等于各个分力的矢量和(或几何和) 过各力的汇交点，即合力等于各个分力的矢量和(或几何和)。矢 量式为: 量式为: n
F
R
=
∑
n
F
i = 1
i
= 0
（2-2）
由力的合成的几何法可知， 由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零， 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合， 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论： 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时， 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形， 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系， 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。 未知量，这种解题方法称为几何法。
∑F
i =1
i
(2-1)
a
b 图2.1
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示， 果用矢量形式表示，即
可以证明，任意改变力的合成的先后次序， 可以证明，任意改变力的合成的先后次序，虽然所得到的力的 多边形形状不同， 完全相同， 多边形形状不同，但是合力 FR 完全相同，即力的合成的多边形 法则合成的合力与各个分力合成的先后次序无关。 法则合成的合力与各个分力合成的先后次序无关。 综上所述，可得到以下结论： 综上所述，可得到以下结论：平面汇交力系的合成结果为一合 其大小和方向由力的多边形的封闭边来表示， 力 FR ，其大小和方向由力的多边形的封闭边来表示，作用线通 过各力的汇交点，即合力等于各个分力的矢量和(或几何和) 过各力的汇交点，即合力等于各个分力的矢量和(或几何和)。矢 量式为: 量式为: n
F
R
=
∑
n
F
i = 1
i
= 0
（2-2）
由力的合成的几何法可知， 由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零， 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合， 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论： 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时， 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形， 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系， 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。 未知量，这种解题方法称为几何法。
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α
d FC d) d
45°
c)
量得： 量得：FC=28.3 kN
2010年9月17日星期五
FA=22.4 kN
李广军 11
佳木斯大学建筑工程学院
图所示的压路机碾子， 例 图所示的压路机碾子 ， 重 FP＝ 20kN，半径 ， 半径r=60cm， ， 若在其中心O作用一个水平拉力 作用一个水平拉力F， 若在其中心 作用一个水平拉力 ，欲将此碾子拉过高 h＝8cm的障碍物， 试求此拉力 的大小和碾子对障碍 的障碍物， ＝ 的障碍物 试求此拉力F的大小和碾子对障碍 物的压力；如果要使越过障碍物的拉力最小，试问应 物的压力； 如果要使越过障碍物的拉力最小， 沿哪个方向拉？并求此最小力的大小。 沿哪个方向拉？并求此最小力的大小。
合力的大小与方向余弦为 :
FRy FRx cos( FR , i ) = , cos( FR , j ) = FR FR FR = F + F
2 Rx 2 Ry
合力F 的方向也可以用它与x轴所夹锐角 轴所夹锐角θ（ 合力 R 的方向也可以用它与 轴所夹锐角 （ 小于 90°）表示，即 ° 表示，
2010年9月17日星期五 佳木斯大学建筑工程学院 李广军 26
解题的步骤： 解题的步骤 (1)选取研究对象 ) (2)画研究对象受力图 ) (3)选投影轴，建立平衡方程 )选投影轴， (4)求解未知量 )
注意：利用平衡方程求解平衡问题时， 注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中 的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正 的未知力的指向可以任意假设。 表示假设的指向就是实际的指向； 值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结 果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。 果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。
y B F
α α
A O Fx x
Fx = F cos α
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17
沿正交轴分解为两个分力F 力F 沿正交轴分解为两个分力 x 和Fy 时，其分 力与力的投影之间有下列关系: 力与力的投影之间有下列关系
Fx = Fx i ,
Fy = Fy j
y B Fy
2
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 力对点的矩 2.4 平面力偶理论
2010年9月17日星期五
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3
2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
2010年9月17日星期五
∑
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李广军
24
FRy = ∑ Fiy = F1 sin 45° F2 sin 30° F3 = ( 600 × sin 45° 700 × sin 30° 500 ) N = 426N
合力的大小为: 合力的大小为
FR = F + F
2 Rx
2 Ry
第 2 章 平面汇交力系与平面力偶系
2010年9月17日星期五
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李广军
1
本章将分别用几何法和解析法研 究平面汇交力系的合成与平衡问题； 究平面汇交力系的合成与平衡问题 ； 介绍平面力偶的基本特性以及平面力 偶系合成与平衡问题
2010年9月17日星期五
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李广军
2010年9月17日星期五 佳木斯大学建筑工程学院 李广军
FB = 23.1kN
13
F
O FP FB
α FP
FB F min
α FP
F FB A FA
之值最小。 最小值为 最小值为: 若F与FB垂直，则F之值最小。F最小值为 与 垂直， 之值最小
Fmin = FP sin α = (20 sin 30 )kN = 10kN
y F2 FR
j O i
F1
θ
x F3
Fi = Fix i + Fiy j
2010年9月17日星期五
（i＝1，2，…，n） ＝ ， ， ， ）
李广军 21
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FR = ∑ F i = ∑ Fix i + ∑ Fiy j
y F2 FR
FR = FRx i + FRy j
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
θ = arctan
FRy FRx
李广军 23
的指向需由投影F 的正负号来判定。 力FR的指向需由投影 Rx、FRy的正负号来判定。
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试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力 例 试用解析法求作用在图示支架上点 的三个力 y 的合力的大小和方向。 的合力的大小和方向。
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解题的步骤
(1)选取研究对象 ) (2)画研究对象受力图 ) (3)作力多边形图 ) (4)确定未知量
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9
支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链C相联接 与斜杆DC彼此以铰链 相联接， 例 支架的横梁 与斜杆 彼此以铰链 相联接，并 各以铰链A、 连接于铅直墙上 如图所示。 已知AC 连接于铅直墙上。 各以铰链 、 D连接于铅直墙上 。 如图所示 。 已知 与水平线夹45 荷载F ＝ CB； 杆 DC与水平线夹 45° 角 ； 荷载 p=10kN， 作 ； 与水平线夹 45° ， 用于B处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反 用于 处 梁和杆的重量忽略不计，求铰链 的约束反 力和杆DC所受的力 所受的力。 力和杆 所受的力。 FP
F B
α
r
O
A h
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解：选碾子为研究对象
r
F B
α
F
O FB h
Hale Waihona Puke O FPFBα FP
F A A FA
应用三角公式，求得： 应用三角公式，求得：
FP F = FP tan α , FB = cos α
代入数据，求得： 代入数据，求得： F = 11.5kN,
y
Fy
Fy O Fx Fx
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F
x
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20
2.2.2 平面汇交力系合成的解析法
设平面汇交力系（ 设平面汇交力系 （ F1, F2,…, Fn）作用在刚体上， 作用在刚体上， , 以力系汇交点O为坐标原 F n 以力系汇交点 为坐标原 点，在力系作用面内建立 直角坐标系Oxy， 求出各 直角坐标系 ， 力在x、 轴上的投影 轴上的投影， 力在 、 y轴上的投影， 将 各力用解析式表示: 各力用解析式表示:
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结论： 结论
平面汇交力系可简化为一合力， 平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几何和） 小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合 力的作用线通过力系的汇交点。 力的作用线通过力系的汇交点
FR = F1 + F2 + + Fn = ∑ Fi
y B Fy Fy j O i Fx A
β α
F
Fx x
Fx = F cos α Fy = F cos β
力在某轴上的投影， 力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与 投影轴正向间夹角的余弦
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力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正 力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正 间夹角为锐角时，其值为正； 向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角 其值为负。 时，其值为负。
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必须注意: 必须注意
1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同 力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同 一方向环绕力多边形。 一方向环绕力多边形。 由此组成的力多边形 abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而 有一缺口，故为不封闭的力多边形， 有一缺口 合力矢则沿相反方向连接此缺口， 合力矢则沿相反方向连接此缺口 ，构成力多 边形的封闭边。 边形的封闭边。 2.若改变各分力矢的合成次序 ， 则绘出的 若改变各分力矢的合成次序， 若改变各分力矢的合成次序 力多边形的形状亦会随之改变， 力多边形的形状亦会随之改变 ， 但不会影响 合力FR的大小和方向。 合力 的大小和方向。
力的解析表达式: 力的解析表达式
Fy j O i A
β α
F
F = Fx i + Fy j
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Fx x
18
Fx
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已知力F 在平面内两个正交轴上的投影F 已知力 在平面内两个正交轴上的投影 x 和Fy 时，该力矢的大小和方向余弦分别为: 该力矢的大小和方向余弦分别为
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4
2.1.1平面汇交力系合成的几何法 平面汇交力系合成的几何法
F3 F4 F2 A
FR F4 A
e F3 F2 F1 F4 FR
e F4 d F3 c F2
F1
FR F R2 d d a a F R1 F 3 F1 F1 c b F2 b
多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形 称为此平面汇交力系的力多边形 多边形 称为此平面汇交力系的 称为此力多边形的封闭边 矢量 ae 称为此力多边形的封闭边 求合力矢的几何作图法称为力多边形法则 求合力矢的几何作图法称为力多边形法则
d FC d) d
45°
c)
量得： 量得：FC=28.3 kN
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FA=22.4 kN
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图所示的压路机碾子， 例 图所示的压路机碾子 ， 重 FP＝ 20kN，半径 ， 半径r=60cm， ， 若在其中心O作用一个水平拉力 作用一个水平拉力F， 若在其中心 作用一个水平拉力 ，欲将此碾子拉过高 h＝8cm的障碍物， 试求此拉力 的大小和碾子对障碍 的障碍物， ＝ 的障碍物 试求此拉力F的大小和碾子对障碍 物的压力；如果要使越过障碍物的拉力最小，试问应 物的压力； 如果要使越过障碍物的拉力最小， 沿哪个方向拉？并求此最小力的大小。 沿哪个方向拉？并求此最小力的大小。
合力的大小与方向余弦为 :
FRy FRx cos( FR , i ) = , cos( FR , j ) = FR FR FR = F + F
2 Rx 2 Ry
合力F 的方向也可以用它与x轴所夹锐角 轴所夹锐角θ（ 合力 R 的方向也可以用它与 轴所夹锐角 （ 小于 90°）表示，即 ° 表示，
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解题的步骤： 解题的步骤 (1)选取研究对象 ) (2)画研究对象受力图 ) (3)选投影轴，建立平衡方程 )选投影轴， (4)求解未知量 )
注意：利用平衡方程求解平衡问题时， 注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中 的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正 的未知力的指向可以任意假设。 表示假设的指向就是实际的指向； 值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结 果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。 果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。
y B F
α α
A O Fx x
Fx = F cos α
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17
沿正交轴分解为两个分力F 力F 沿正交轴分解为两个分力 x 和Fy 时，其分 力与力的投影之间有下列关系: 力与力的投影之间有下列关系
Fx = Fx i ,
Fy = Fy j
y B Fy
2
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 力对点的矩 2.4 平面力偶理论
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2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
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∑
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FRy = ∑ Fiy = F1 sin 45° F2 sin 30° F3 = ( 600 × sin 45° 700 × sin 30° 500 ) N = 426N
合力的大小为: 合力的大小为
FR = F + F
2 Rx
2 Ry
第 2 章 平面汇交力系与平面力偶系
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1
本章将分别用几何法和解析法研 究平面汇交力系的合成与平衡问题； 究平面汇交力系的合成与平衡问题 ； 介绍平面力偶的基本特性以及平面力 偶系合成与平衡问题
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FB = 23.1kN
13
F
O FP FB
α FP
FB F min
α FP
F FB A FA
之值最小。 最小值为 最小值为: 若F与FB垂直，则F之值最小。F最小值为 与 垂直， 之值最小
Fmin = FP sin α = (20 sin 30 )kN = 10kN
y F2 FR
j O i
F1
θ
x F3
Fi = Fix i + Fiy j
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（i＝1，2，…，n） ＝ ， ， ， ）
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FR = ∑ F i = ∑ Fix i + ∑ Fiy j
y F2 FR
FR = FRx i + FRy j
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
θ = arctan
FRy FRx
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的指向需由投影F 的正负号来判定。 力FR的指向需由投影 Rx、FRy的正负号来判定。
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试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力 例 试用解析法求作用在图示支架上点 的三个力 y 的合力的大小和方向。 的合力的大小和方向。
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解题的步骤
(1)选取研究对象 ) (2)画研究对象受力图 ) (3)作力多边形图 ) (4)确定未知量
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李广军
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支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链C相联接 与斜杆DC彼此以铰链 相联接， 例 支架的横梁 与斜杆 彼此以铰链 相联接，并 各以铰链A、 连接于铅直墙上 如图所示。 已知AC 连接于铅直墙上。 各以铰链 、 D连接于铅直墙上 。 如图所示 。 已知 与水平线夹45 荷载F ＝ CB； 杆 DC与水平线夹 45° 角 ； 荷载 p=10kN， 作 ； 与水平线夹 45° ， 用于B处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反 用于 处 梁和杆的重量忽略不计，求铰链 的约束反 力和杆DC所受的力 所受的力。 力和杆 所受的力。 FP
F B
α
r
O
A h
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解：选碾子为研究对象
r
F B
α
F
O FB h
Hale Waihona Puke O FPFBα FP
F A A FA
应用三角公式，求得： 应用三角公式，求得：
FP F = FP tan α , FB = cos α
代入数据，求得： 代入数据，求得： F = 11.5kN,
y
Fy
Fy O Fx Fx
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F
x
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2.2.2 平面汇交力系合成的解析法
设平面汇交力系（ 设平面汇交力系 （ F1, F2,…, Fn）作用在刚体上， 作用在刚体上， , 以力系汇交点O为坐标原 F n 以力系汇交点 为坐标原 点，在力系作用面内建立 直角坐标系Oxy， 求出各 直角坐标系 ， 力在x、 轴上的投影 轴上的投影， 力在 、 y轴上的投影， 将 各力用解析式表示: 各力用解析式表示:
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结论： 结论
平面汇交力系可简化为一合力， 平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几何和） 小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合 力的作用线通过力系的汇交点。 力的作用线通过力系的汇交点
FR = F1 + F2 + + Fn = ∑ Fi
y B Fy Fy j O i Fx A
β α
F
Fx x
Fx = F cos α Fy = F cos β
力在某轴上的投影， 力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与 投影轴正向间夹角的余弦
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力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正 力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正 间夹角为锐角时，其值为正； 向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角 其值为负。 时，其值为负。
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必须注意: 必须注意
1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同 力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同 一方向环绕力多边形。 一方向环绕力多边形。 由此组成的力多边形 abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而 有一缺口，故为不封闭的力多边形， 有一缺口 合力矢则沿相反方向连接此缺口， 合力矢则沿相反方向连接此缺口 ，构成力多 边形的封闭边。 边形的封闭边。 2.若改变各分力矢的合成次序 ， 则绘出的 若改变各分力矢的合成次序， 若改变各分力矢的合成次序 力多边形的形状亦会随之改变， 力多边形的形状亦会随之改变 ， 但不会影响 合力FR的大小和方向。 合力 的大小和方向。
力的解析表达式: 力的解析表达式
Fy j O i A
β α
F
F = Fx i + Fy j
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Fx x
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Fx
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已知力F 在平面内两个正交轴上的投影F 已知力 在平面内两个正交轴上的投影 x 和Fy 时，该力矢的大小和方向余弦分别为: 该力矢的大小和方向余弦分别为
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2.1.1平面汇交力系合成的几何法 平面汇交力系合成的几何法
F3 F4 F2 A
FR F4 A
e F3 F2 F1 F4 FR
e F4 d F3 c F2
F1
FR F R2 d d a a F R1 F 3 F1 F1 c b F2 b
多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形 称为此平面汇交力系的力多边形 多边形 称为此平面汇交力系的 称为此力多边形的封闭边 矢量 ae 称为此力多边形的封闭边 求合力矢的几何作图法称为力多边形法则 求合力矢的几何作图法称为力多边形法则