2012届高三数学“三基”练习(十二)

2012届高三数学“三基”练习（十二）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．． 1．若复数z 为3i -+，则z = ．2．全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,3,4,1,3,5A B ==，则()()U U C A C B = ． 3．已知条件:13p x +≤，条件2:56q x x ≥-．则p 是q 的 条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选）4．某高中高一，高二，高三三个年级共有1200名学生，为了调查这些学生课外阅读情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学校高一有380名学生，高二有420名学生，则在该学校高三年级应抽取 名学生． 5．某算法的伪代码如右图，则输出的结果是 ．6．已知向量a 与b 的夹角为60，且1,2a b ==，那么2()a b +=．7．在区间[]0,1上随机地取一个实数x ，使得cos2xπ的值介于0到12的概率为 ．8．已知函数33() 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ．9．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ． 10．设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知11,2,cos 4a b C ===，则cos A = ．11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ， 则该函数的单调减区间为 . 12．已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>与双曲线222:4yC x -2条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好把线段A B 三等分，则2a = ．13．如图，在A B C ∆和AEF ∆中，B 是E F 的中点，2AB EF ==，3C A C B ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC的夹角的余弦值等于 _．14．已知,m n 为正整数，实数,x y满足x y +=，若x y +的最大值为40，则m n +为 ．二.解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．若,s i n ),(s i n ,0)a xx bxωωω==，其中0ω>，记函数1()()2f x a b b =+⋅- ．（1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围；（2）若()f x 的最小正周期为π，3()25f α=，求()2f πα-的值．16．在三棱柱111ABC A B C -中，A B A C =，D 是B C 中点，1B C AD ⊥． （1）求证：1//A B 平面1A D C ； （2）求证：1AD B B ⊥．1B AC C ABD1117．已知(2,0),(2,0)A B -,点,C D 依次满足2AC =，1()2AD AB AC =+ ．（1）求证：点D 在圆221x y +=上；（2）过点A 作直线l 与以,A B 为焦点的椭圆交于,M N 两点，线段M N 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆221x y +=相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆的上顶点C 作直线,m n ，使m n ⊥，直线,m n 分别交椭圆于,P Q ，连接PQ ，求证：PQ 经过定点．18．如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABC D 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）19．在数列{}n a 中，121,411,111-=-==+n n nn a b a a a ，其中n *∈N ．（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设nb nc 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． （3）已知当n *∈N 且6n ≥时，m nn m)21()31(<+-，其中n m ,2,1=，求满足等式 nb n nnnb n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．20．已知正方形A B C D 的中心在原点，四个顶点都在函数()3()0f x ax bxa =+>图象上．（1）若正方形的一个顶点为(2,1)，求a ，b 的值，并求出此时函数的单调增区间； （2）若正方形A B C D 唯一确定，试求出b 的值．12．{}2,4,5,6； 3．充分不必要 ； 4．40； 5．24； 6．7； 7．13；8．1a <； 9．15； 10．78； 11．⎣⎦； 12．112； 13．13； 14．10；15．解：∵,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω==∴sin ,sin )a b x x x ωωω+=+故211()()cos sin sin(2)226f x a b b x x x x πωωωϖ=+⋅-=+-=-………4分（1）由题意知222T ππω=≥， ∴1ω≤又0ω> ∴01ω<≤ ………7分（2）∵==T ππω∴=1ω 故()sin(2)6f x x π=-3()sin()265f απα=-=，27cos(2)12sin ()3625ππαα-=--=57()sin(2)sin (2)262325f ππππααα⎡⎤-=-=--=⎢⎥⎣⎦………14分 16．证明：（1）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD ，∵四边形11ACC A 为平行四边形，∴O 为1A C 的中点，∵D 是BC 的中点 ∴1//O D A B ∵1A B ⊄平面1A D C ，O D ⊂平面1A D C ，1//A B 平面1A D C ………7分 （2）∵A B A C =，D 是BC 的中点，∴A D B C ⊥, ∵1B C AD ⊥，1BC B C C ⋂=∴AD ⊥平面1B BC ，1B B ⊂平面1B BC ,1AD B B ⊥ ………14分17．解：（1）设0000(,),(,),(2,),(4,0).C x y D x y AC x y AB =+=00002222200=2(3,)(2,),.222(2)4, 1.x x x y AD x y y y AC x y x y -⎛=+=+ =⎝=++=+= 则代入得………4分（2）设直线l 的方程为(2).y k x =+ ① 椭圆的方程222221(4);4x ya aa +=>- ②由l211,.3k ==将①代入②得：0444)4(2422222222=+-++-+a a k a x k a x a k a ，又312=k ，可得0443)3(24222=+-+-aa x a x a ，有)3(2)4(32222,1--±-=a a a a x ，∴54232221⨯-=--=+a ax x ，82=a .221.84xy∴+=椭圆方程为………10分（3）点C(0，2)，直线m ：y =kx +2，代入椭圆方程得：x 2+2(kx +2)2=8， 解出 )2142,218(222kk kk P +-+-；直线n ：y =(-1/k )x +2，同理得：)242,28(222+-+kk kk Q . 直线PQ 的方程：)218(3121422222kkx kkkk y +---=+--.令x =0，32-=y ，直线PQ 经过定点)32,0(-. ………16分18.（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α- ，对菱形ABC D 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，…………………………2分解得tan α=4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60)sin tan S αα=⋅=+⋅=；…6分 （2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形ABC D 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………8分解得sin tan 2cos θαθ=+，………………………………………………………10分所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，…12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． …………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．解（1）证明：11211212112112111=----=---=-++n nn n n n a a a a b b ，∴数列{}n b 为等差数列． ………4分 （2）解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,,q r p q r p <<项，由⑴得n b n =，∴n n c 2=，∴q p r 2222+=⋅，∴p q p r --++=2121又p r -+12为偶数，p q -+21为奇数．故不存在这样的三项，满足条件． ………9分 （3）由（2）得等式nb n n n n b n )3()2(43+=++++ ，可化为n n n n n n )3()2(43+=++++ ，即1)32()34()33(=+++++++nnnn n n n ，∴1)311()311()31(=+-+++--++-nnnn n n n n ．∵当6n ≥时，m nn m)21()31(<+-， ∴,21)311(<+-nn ,)21()321(2<+-nn …，,)21()31(n n n n <+- ∴1)21(1)21()21(21)311()311()31(2<-=++<+-+++--++-nn nnn n n n n n ∴当6n ≥时，n n n n n n )3()2(43+<++++ ． 当5,4,3,2,1=n 时，经验算3,2=n 时等号成立．∴满足等式nb n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有3,2=n ． ………16分20. (1)因为一个顶点为(2,1)，所以必有另三个顶点(2,1)--，(1,2)-，(1,2)-，将(2,1)，(1,2)-代入3y ax bx =+，得65=a ，617-=b ． …………………4分所以3517()66f x x x =-．因为21()(1517)6f x x '=-，令()0f x '>，得x >x <所以函数()f x单调增区间为(,-∞-和)+∞．……………………6分（2）设正方形A B C D 对角线A C 所在的直线方程为(0)y kx k =≠，则对角线B D 所在的直线方程为1y x k =-．由3,,y kx y ax bx =⎧⎨=+⎩解得2k b x a -=， 所以222222(1)(1)k b A O x y k x k a-=+=+=+⋅，同理，22221111[1()]bb k kkBO kaka--++=+-⋅=-⋅，又因为22AO BO =，所以3210k k b b k-++=．……………………………10分即2211()0k b k k k+--=，即211()()20k b k kk---+=．令1k t k-= 得220t bt -+=因为正方形A B C D 唯一确定，则对角线A C 与B D 唯一确定，于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t bt -+=有且只有一个实数根，又1k t k-=∈R ．所以280b ∆=-=，即b =±14分因为20k b x a-=>，0a >，所以b k <；又10bk a -->，所以1b k<-，故0b <．因此b =-反过来b =-t =1k k-=于是2k =12k-=2k =，12k-=于是正方形A B C D 唯一确定．……………………………………………………16分。