2020年衡阳市高三数学(理)第一次联考模拟卷附答案解析
湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考(一模)数学理科试题 含参考答案
A = (x, y) x2 + ( y −1)2 1或x2 + ( y +1)2 1 ，设点 (x, y) A ，则 z = x + y 的取值范
x 0
围是（ ）
A.[1− 2,2 2]
B.[−2 2,2 2] C.[−2 2,1+ 2] D.[−2，1+ 2]
9.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘. 某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员 工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y（单位：万元）随经营利润 x（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%. 下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）
（参考数据：1.015100 4.432，lg11 1.041）
A. y = 0.04x B. y =1.015x −1
C. y = tan( x −1) 19
D. y = log 11(3x −10)
10.已知 F1，F2 分别为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的左、右焦点，过点 F1 与双曲线的一
条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M，若 MF1 MF2 0 ，则该双曲线离心
率的取值范围是（ ）
A. (1, 2)
B. ( 3,+)
C. (1,2)
D. (2,+)
2
11.已知
A
是函数
f
(x)
=
sin( 2020
x
+
6
)
+
cos(2020
x
−
) 3
的最大值，若存在实数
2020年湖南省衡阳市高考(理科)数学一模检测试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x（x+1）＜0}，B＝{x|＞1}，则∁B A＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，0]2．复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），则的实部与虚部的和是（）A．B．0C．D．﹣i3．若“∃x∈R，使得sin x﹣cos x＝a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）4．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知向量，满足：||＝，||＝2，（﹣）⊥，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．C．D．16．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A．B．C．D．7．二项式（mx﹣1）3（m＞0）展开式的第二项的系数为﹣3，则e x dx的值为（）A．e﹣1B．e+1C．1﹣e D．1﹣8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示A＝，设点（x，y）∈A，则z＝x+y的取值范围是（）A．[1﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣2，1] 9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（）（参考数据：1.015100≈4.432，lg11≈1.041）A．y＝0.04x B．y＝1.015x﹣1C．y＝tan（﹣1）D．y＝log11（3x﹣10）10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）11．已知A是函数f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1+x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．如图，矩形中ABCD，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成△B1AN （B1∉平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，下列命题：①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥D﹣ANB1的体积最大时，三棱锥D﹣ANB1外接球表面积是4π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．若曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线与直线x﹣ay+2＝0平行，则实数a的值为．14．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足S＝b2+c2﹣a2，若a＝，则＝．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点M（t，2），满足＝（+）（其中O为坐标原点），则|AB|＝．16．已知m为整数，若对任意x∈（3，+∞），不等式≤恒成立，则m的最大值为．三、解答题（共5小题）17．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n，a3＝9，S9＝135．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜．18．如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，平面DAC⊥平面ABC，BC＝2AC ＝4，AB＝2DE，DA＝DC．（1）若点F为BC的中点，证明：EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．19．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于M，N两点，△MF1N的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过M作与y轴垂直的直线l，点K （，0），试问直线NK与直线l交点的横坐标是否为定值？请说明理由．20．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（a∈R）．（1）若a＝﹣e，求证：f（x）有唯一不动点；（2）若f（x）有两个不动点，求实数a的取值范围．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收人﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税基数每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除税率（%）1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分3 2超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分10 3超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分20 4超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分25 5超过35000元至55000元的部30超过35000元至55000元的部分30分……………随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1：1：1：2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收人？（二）选做题（共10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x（x+1）＜0}，B＝{x|＞1}，则∁B A＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，0]【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜0}，B＝{x|x＜0}，∴∁B A＝（﹣∞，﹣1]．故选：C．2．复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），则的实部与虚部的和是（）A．B．0C．D．﹣i【分析】先根据复数的几何意义求出z，，代入后根据复数的四则运算可求．解：由题意可得，z＝1+i，，则|z|＝，∴＝＝＝，故实部和虚部的和为0．故选：B．3．若“∃x∈R，使得sin x﹣cos x＝a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】存在有解，先求值域，可知a的值．解：若“∃x∈R，使得sin x﹣cos x＝a，则sin x﹣＝2＝a要有解，∵2∈[﹣2，2]，∴a∈[﹣2，2]，故选：A．4．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【分析】根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，则b＞c＞a，故选：B．5．已知向量，满足：||＝，||＝2，（﹣）⊥，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，从而根据投影的计算公式即可求出投影的值．解：∵||＝，||＝2，（﹣）⊥，∴，∴，∴在方向上的投影为．故选：D．6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A．B．C．D．【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，利用对立事件概率计算公式能求出所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率．解：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，P（）＝＝，∴所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：A．7．二项式（mx﹣1）3（m＞0）展开式的第二项的系数为﹣3，则e x dx的值为（）A．e﹣1B．e+1C．1﹣e D．1﹣【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得m的值，再求定积分得到结论．解：二项式（mx﹣1）3（m＞0）展开式的第二项的系数为•（﹣1）•m2＝﹣3，∴m＝1，则e x dx＝e x dx＝e x|＝e1﹣e0＝e﹣1，故选：A．8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示A＝，设点（x，y）∈A，则z＝x+y的取值范围是（）A．[1﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣2，1]【分析】结合图形，平移直线z＝x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+y取最小值；分别求出对应的z值即可．解：由题意可知：z＝x+y与x2+（y﹣1）2＝1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：≤1，解得1﹣≤z≤1+，z＝x+y的最大值为：1+．当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+y取最小值，同理＝2，即z的最小值为：﹣2，所以z∈[﹣2，1+]．故选：C．9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（）（参考数据：1.015100≈4.432，lg11≈1.041）A．y＝0.04x B．y＝1.015x﹣1C．y＝tan（﹣1）D．y＝log11（3x﹣10）【分析】根据题意函数需满足当x∈（6，100]时，是增函数，且y≤3，且y，依此用四个函数逐一检验，只有y函数＝log11（3x﹣10）满足要求．解：对于函数：y＝0.04x，当x＝100时，y＝4＞3，不符合题意；对于函数：y＝1.015x﹣1，当x＝100时，y＝3.432＞3，不符合题意；对于函数：y＝tan（﹣1），不满足递增，不符合题意；对于函数：y＝log11（3x﹣10），满足x∈（6，100]，增函数，且y≤log11（3×100﹣10）＝log11290＜log111331＝3，结合图象，y＝x与y＝log11（3x﹣10）的图象如图所示：符合题意，故选：D．10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】求出交点坐标，利用向量的数量积转化求解即可．解：设过F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线平行的直线bx＝ay﹣ac，与令一条渐近线方程bx+ay＝0的交点为：M（﹣，），•＝（，）•（，﹣）＞0，可得，所以e＝＞2．故选：D．11．已知A是函数f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1+x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1+x2|的最小值，从而可得答案．解：f（x）＝f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣），＝sin2020x+cos2020x+cos2020x+sin2020x，＝sin2020x+cos2020x＝2sin（2020x+），∴A＝f（x）max＝2，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，由图象可知||的最小值为函数f（x）的最大负零点x0的绝对值|x0|，则x0＝﹣＝﹣，|x1+x2|的最小值为T＝＝，又A＝2|（﹣）×2|＝，故最小值为：，故选：C．12．如图，矩形中ABCD，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成△B1AN （B1∉平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，下列命题：①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥D﹣ANB1的体积最大时，三棱锥D﹣ANB1外接球表面积是4π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①CM∥平面B1AN，则可判断，②通过线段相等CM＝NK，可求出线段NK的长，②异面直线CM与NB1所成角为∠KNB1，求出其tan值即可．④找出球心，求出半径．【解答】解：取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM，KN，OB1，ON，显然CM∥平面B1AN，①对；，②错；∠KNB1即为异面直线CN与NB1所成的角，，③错；显然O为三棱锥B1﹣AND外接球球心，且R＝OA＝1，④对，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线与直线x﹣ay+2＝0平行，则实数a的值为．【分析】先对y＝x2+lnx求导，然后求出曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处切线的斜率k＝y'|x＝1，再根据条件得到关于a的方程，进一步求出a的值．解：由y＝x2+lnx，得，则曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处切线的斜率k＝y'|x＝1＝3，∵曲线在点（1，1）处的切线与直线x﹣ay+2＝0平行，∴，∴．故答案为：．14．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足S＝b2+c2﹣a2，若a＝，则＝2．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求A，然后结合正弦定理可求．解：由余弦定理可得，cos A＝，所以b2+c2﹣a2＝2bc cos A，因为S＝，又因为S＝b2+c2﹣a2＝2bc cos A，所以tan A＝，所以A＝，由正弦定理可得，，∴＝2．故答案为：2．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点M（t，2），满足＝（+）（其中O为坐标原点），则|AB|＝8．【分析】设直线AB方程为：x＝my+1，m∈R，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得m＝1，进而得到t的值，即可求出|AB|解：由条件得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：x＝my+1，m∈R，联立，则y2﹣4my﹣4＝0，且y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由条件可知y1+y2＝4m＝4，解得m＝1，t＝＝＝3，所以|AB|＝2（3+1）＝8，故答案为：8．16．已知m为整数，若对任意x∈（3，+∞），不等式≤恒成立，则m的最大值为1．【分析】法一：对x进行赋值，令x＝e+3，代入可得m≤1，然后只需验证m＝1时，对任意的x＞3，不等式式≤恒成立，构造函数，结合导数研究函数的性质可求；法二：构造f（x）＝，然后对f（x）求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求．【解答】解法一：由对任意x∈（3，+∞），不等式≤恒成立，∴x＝e+3时，即e m≤e+3，m≤1，这是满足题意的一个必要条件，又m为整数，只需验证m＝1时，对任意的x＞3，不等式式≤恒成立，即证，即ln（x﹣3）对任意的x＞3恒成立，令g（x）＝ln（x﹣3）﹣，x＞3，，易得g（x）在（e+3，+∞）上单调递减，在（3，e+3）上单调递增，所以g（x）≤g（e+3）＝﹣＜0，所以ln（x﹣3）对应任意的x＞3时恒成立，故m＝1满足题意，即m的最大值1．故答案为：1．法二：令f（x）＝，则，令t（x）＝，则＜0，所以t（x）在（3，+∞）上单调递减，又t（7）＞0，t（8）＜0，故存在x0∈（7，8）使得t（x0）＝﹣ln（x0﹣3）＝0，当x∈（3，x0）时，t（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）max＝f（x0）＝＝，故，则e m≤4，即m的最大值为1．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）（一）必做题（共60分）17．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n，a3＝9，S9＝135．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差为d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，将通项公式进行转化可发现数列{}是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算出前n项和T n，再应用放缩法即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝3+3（n﹣1）＝3n，n∈N*．（2）证明：由（1），可知＝3•2n，故＝＝•（）n＝•（）n﹣1，∴数列{}是以为首项，为公比的等比数列．∴T n＝＝[1﹣（）n]＜，∵T n≥T n＝，∴≤T n＜．18．如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，平面DAC⊥平面ABC，BC＝2AC ＝4，AB＝2DE，DA＝DC．（1）若点F为BC的中点，证明：EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（1）取AC的中点O，连接EF，OF，推导出DO⊥AC，DO⊥平面ABC，OF ∥AB，且AB＝2OF，DE∥AB，AB＝2DE，且OF＝DE，从而四边形DEFO为平等四边形，进而EF∥DO，由此能证明EF⊥平面ABC．（2）以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．解：（1）证明：取AC的中点O，连接EF，OF，∵在△DAC中，DA＝DC，∴DO⊥AC，∴由平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，得DO⊥平面ABC，∵O，F分别为AC，BC的中点，∴OF∥AB，且AB＝2OF，又DE∥AB，AB＝2DE，且OF＝DE，∴四边形DEFO为平等四边形，∴EF∥DO，∴EF⊥平面ABC．（2）解：∵DO⊥平面ABC，AC⊥BC，∴以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），B（﹣1，4，0），∵EF⊥平面ABC，∴直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，∴DO＝EF＝BF tan60°＝2，∴D（0，0，2），E（﹣1，2，2），取平面ABC的法向量＝（0，0，1），设平面DCE的法向量＝（x，y，z），＝（1，0，2），＝（0，2，2），则，取z＝1，得＝（2，﹣，1），∴cos＜＞＝＝＝，∴平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值为．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于M，N两点，△MF1N的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过M作与y轴垂直的直线l，点K（，0），试问直线NK与直线l交点的横坐标是否为定值？请说明理由．【分析】（1）由离心率和过焦点的三角形的周长及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出NK的方程令y＝y1，求出x的表达式，将两根之和及两根之积代入可得为定值2，．解：（1）三角形MF1N的周长4a＝4，＝，b2＝a2﹣c2，可得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）得F2（1，0），设直线MN的直线为：x＝my+1，联立直线与椭圆的方程：，解得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，直线NK的方程：y＝（x﹣），令y＝y1，可得：x＝+＝＝＝＝2，所以直线NK与直线l交点的横坐标为定值2．20．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（a∈R）．（1）若a＝﹣e，求证：f（x）有唯一不动点；（2）若f（x）有两个不动点，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意，令，利用导数可知F（x）在在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且x＝1时，F（x）取的最小值0，由此即可得出结论；（2）问题等价于函数在（0，+∞）上有两个不同的零点，令，则问题进一步等价为方程在（e，+∞）上有唯一解，再构造函数，利用导数可知，进而得解．解：（1）证明：当a＝﹣e时，由f（x）＝x得，令，则，易知e x﹣1≥x在（0，+∞）上恒成立，故当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）min＝F（1）＝e﹣e+eln1＝0，∴方程有唯一实数根x0＝1，故f（x）有唯一不动点；（2）f（x ）有两个不动点等价于函数在（0，+∞）上有两个不同的零点，令，则有h（x）＝g（t）＝t+alnt，函数h（x）有两个零点等价于函数g（t）在（e，+∞）上有唯一零点，即方程在（e，+∞）上有唯一解，考虑，因，故h（t）在（e，+∞）上单调递增，且，故，∴a＜﹣e．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收人﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税基数每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除税率（%）1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分3 2超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分10 3超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部25超过25000元至35000元的部分25分30超过35000元至55000元的部分305超过35000元至55000元的部分……………随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1：1：1：2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收人？【分析】（1）由题意能求出旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税．（2）分别求出依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群月缴个税、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群月缴个税，由此能求出X的分布列和E（X）．（3）在新政策下该收入层的IT从业者2019年月缴个税为1830，该收入层级IT从业者每个月少缴交的个税为2290，列方程能求出经过11个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入．解：（1）旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税为：1500×0.03+3000×0.1+4500×0.2+11500×0.25＝4120．（2）依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000＝18000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+6000×0.2＝2190，只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应缴纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000﹣1000＝17000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1990，只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000﹣2000＝16000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1790，既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000﹣1000﹣2000＝15000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1590，∴X的分布列为：X2190199017901590P∴E（X）＝+1590×＝1830．（3）∵在新政策下该收入层的IT从业者2019年月缴个税为1830，∴该收入层级IT从业者每个月少缴交的个税为4120﹣1830＝2290，设经过x个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过24000，则2290x＞24000，∵x∈N，∴x≥11，∴经过11个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入．（二）选做题（共10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C2的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）曲线C1与C2相交于A，O，B三点，所以设A（），B（），所以，解得．，解得，则：|AB|＝|ρA﹣ρB|＝2a．23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．【分析】（1）依题意，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，而由绝对值不等式的性质可知|x﹣6|+|x|≥6，由此求得m的取值范围；（2）由（1）可知（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，再利用柯西不等式直接证明即可．解：（1）由题意知，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，又|x﹣6|+|x|≥|x﹣6﹣x|＝6，∴实数m的取值范围为（﹣∞，6]；（2）证明：由（1）可知，t＝6，故a2+b2+c2＝6，则（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，∴，当且仅当“a2＝b2＝c2＝2”时取等号．。
2020届衡阳市高三12月联考数学(理)试题(解析版)
， ，
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积，属于基础题.
14．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．
①若 ，则 的最大值为 ；
②若 ， ， 是等差数列 的前3项，则 ；
③“ ”的一个必要不充分条件是“ ”；
④若 且 ，则 ．
【答案】①④
【解析】逐项判断对错，便能得到答案
10．在直角坐标系xOy中，直线l： 与抛物线C： 相交于A，B两点， ，且 ，则 （）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】联立消y，得 ，设 ， ，则 ， ，因为 ，所以 ，列出等式可得k的值，然后可求得 的值.
【详解】
由 得 ，设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
则
，所以 ．
所以 ．
故选：C
D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】根据空间中线面关系的性质定理，逐项判断，能得到答案.
【详解】
对于A，平面 和 也可能相交，故A不正确；对于B，直线m与n也有可能是异面，故B不正确；对于C，直线m与n有可能平行、异面以及相交但不垂直，故C不正确；对于D，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，故D正确．
因为底面 的边长为a，所以 ，
则正三棱锥 的三条侧棱两两垂直．
易求得正三棱锥 的表面积 ，体积 ．
设正三棱锥 的内切球的半径为r，由 ，得 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查正三棱锥的外接球与内切球的半径问题.
12．设 是定义在 上的奇函数，其导函数为 ，当 时， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，易得 是定义在 上的偶函数，因为 ，可知 在 上单调递减，在 上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.
2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考(一模)数学(理)试卷及答案
2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考（一模）数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)0}A x x x =+<,1|12x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,则B A =ð（ ） A ．(1,0]- B ．(1,0)- C ．(,1]-∞- D ．(,0]-∞2．复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1),则||z z的实部与虚部的和是（ ）A B ．0 C ．2 D ．22-3．若“x R ∃∈,使得sin x x a =”为真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在(,0)-∞上单调递增,若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()1.22b f -=,12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>5．已知向量a r ,b r 满足：||a =r ,||2b =r ,()a b a -⊥r r r ,则a r 在b r 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2C D ．1 6．我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A．79B．29C．49D．597．二项式3(1)(0)mx m->展开式的第二项的系数为3-,则mxe dx⎰的值为（）A．1e-B．1e+C．1e-D．11e-8．太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫等标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组来表示2222224(,)(1)1(1)1x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或,设点(,)x y A∈,则z x y=+的取值范围是（）A．[12,22]-B．[2,22]-C．[22,12]-+D．[2,12]-+9．衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标,拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加二增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中,符合该点要求的是（）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A．0.04y x=B． 1.0151xy=-C．tan119xy⎛⎫=-⎪⎝⎭D．11log(310)y x=-10．已知1F,2F分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点,过点1F与双曲。
[全国百强校]湖南省衡阳市2020届新高三模拟检测-理科数学试题卷+答案
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绝密★启用前衡阳市2020届新高三模拟检测理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q = A.[]3,4B.()3,-+∞C.(],4-∞D.(]3,4-2．设为虚数单位,复数满足 ，则共轭复数的虚部为 A.B.C.D.3．已知， ，，则a ，b ，c 满足 A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a4．函数 的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π6．在OAB ∆中，4OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE OA λ=，OF OB μ=，（λ，0μ>），则λμ+的最小值为A ．B ．C D 7．已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=ππϕωϕω，，＞其中20,sin x x f 的部分图象如图所示，且()x f 在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤712，1312B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，17128．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上，则不同的种植方法有A. 360种B. 432种C. 456种D. 480种9．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是c b a ,,，向量()A C tan ,sin =，()A A sin ,tan =，且C A b a cos cos +=∙，则abc +的取值范围是 A. B.C.D.10．过抛物线 上两点 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 ,则直线 的方程为 A ．B ．C ．D ．11．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n S T 、，且0n a >,()2*63n nn S a a n N =+∈，()()122121nnn a n a a b +=--,若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是A.17B. 149C. 49D.844112．已知函数f (x )＝mx －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n ＋2m ＋1的取值范围为A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++12,122e e e eB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++1,122e e e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,12e eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+12,1e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖南省衡阳市祁东县第一中学高三数学理模拟试题含解析
2020年湖南省衡阳市祁东县第一中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）参考答案：C令。
则，排除A,D.又，所以排除B,选C.2. 如图，梯形中，,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.其中正确命题的序号是（A）①②（B）③④（C）①③（D）②④参考答案：B3. 双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，的中点在轴上，线段的长为，则该双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D4. 已知函数的反函数的图像经过一个定点，这个定点的坐标为（）A. B. C. D.参考答案：C5. 已知命题，命题，且,则()A. 命题是真命题B. 命题是假命题C. 命题是假命题D. 命题是真命题参考答案：A【分析】先分别判断命题与命题的真假，进而可得出结果.【详解】令，则易知在上单调递增，所以当时，，即；因此命题为真命题；由得；所以，当时，；当时，；因此，命题，且为假命题；所以命题是真命题.故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型.6. 已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（）A．B． C．D．参考答案：C7. 已知集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：B8. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C略9. 已知命题p：“?x∈（0，+∞），lnx+4x≥3”；命题q：“?x0∈（0，+∞），8x0+≤4”．则下列命题为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）参考答案：A【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：取x=，可知lnx+4x＜3，故命题p为假命题；当x0＞0时，8x0+≥2=4，当且仅当x0=时等号成立，故命题q为真命题；所以（￢p）∧q为真命题，p∧q、p∨（￢q）、（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：A．10. 执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()．A. 1+++B. 1+++C. 1++++D. 1++++参考答案：B由程序框图依次可得，输入 N ＝4， T ＝1， S ＝1， k ＝2；，， k ＝3；， S ＝， k ＝4；，， k ＝5；输出.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在展开式中的系数为,则实数的值为 .参考答案：1略12. 假设垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出，现有下面四个条件： 1234 AC//EF其中能成为增加条件的是 （把你认为正确的条件序号都填上） 参考答案： 1313. 抛物线的焦点坐标是________.参考答案：14. 对于正项数列，定义,若则数列的通项公式为. 参考答案：15. 已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0），圆M ：．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当取得最小值时，C 的实轴长为________．参考答案：416. 已知，则的值为 ．参考答案：17. 在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生.如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷
湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷一、单选题 1．设集合21{|0}{|3710}x A x B x x x x-=≤=-≤，，则A B =I （ ） A ．()11-， B ．1003⎛⎫⎪⎝⎭，C ．[]01，D ．(]01，2．已知复数z 满足z z ⋅=4且0z z z ++=，则2019z 的值为 A ．﹣1B ．﹣2 2019C ．1D ．2 20193．在ABC V 中，2AC =，D 为AB 的中点，12CD BC =P 为CD 上一点，且13AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，则AP =u u u r （ ）A B C D 4．已知甲植物生长了一天，长度为(0)a a >，乙植物生长了一天，长度为16a .从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg20.3,lg30.48==） A ．第6天B ．第7天C ．第8天D ．第9天5．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =4BC =，侧面PAB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P ABCD -内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为（ ）A 2B 1C ．2D ．16．已知()f x 是定义在[)0,+∞上单调递增且图像连续不断的函数，且有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+，设121x x >>，则下列说法正确的是（ ）A ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()1212122f x f x x x f ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB △的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A ．1B ．34C ．12D ．388．已知函数()3e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．ln 21- B ．ln 2 C ．1ln 2-- D ．1ln 2+二、多选题9．记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A ．()01f =B ．ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线32y x =是曲线()y f x =的切线10．已知数列{}n a 各项均为负数，其前n 项和n S 满足()*16N n n a S n ⋅=∈，则（ ）A ．数列{}n a 的第2项小于3-B ．数列{}n a 不可能是等比数列C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列{}n a 中存在大于1100-的项 11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，若a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -.设BOC α∠=，AOC β∠=，AOB γ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．若平面ABC V 2的等边三角形，则a b c R === B ．若222a b c +=，则222αβγ+=C ．若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积3V > D ．若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +>三、填空题12．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.13．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项是120，则实数a =．14．正四面体ABCD 的棱长为6，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅u u u r u u u r取得最小值时，PAD △的面积为.四、解答题15．若锐角ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ()cos cos sin cos a B C a A B A -+=．(1)求角A 的大小； (2)求22b a b+的取值范围16．已知数列 a n 是等差数列，13a =，0d ≠，且1a ，7a ，25a 构成等比数列， (1)求n a ；(2)设()n f n a =，若存在数列 b n 满足11b =，27b =，325b =，且数列(){}n f b 为等比数列，求{}n n a b 的前n 项和n S ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面ACM ；(2)若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当2 3.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联. 19．已知函数()()ln ,1f x x g x x ==-. (1)证明：()()f x g x ≤；(2)设()()()h x f x g x =-，求证：对任意的0b a <<，都有()()11h a h b a b a b->--+成立.。
2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x −4}，B ={x|−1⩽2x −1⩽0}，则C U A ∩B =( )A.B. [0,12]C. (12,4]D. (1,4]2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,−1)，则|z|=( )A. √5B. 5C. 3D. 13. 若命题“∃x ∈R ，x 2+(a −1)x +1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,3]B. (−1,3)C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)4. 已知函数f(x)=lg(|x |+1)，记a =f(50.2)，b =f(log 0.23)，c =f(1)，则a,b,c 的大小关系为( )A. b <c <aB. a <b <cC. c <a <bD. c <b <a5. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. −12B. 12C. −√32 D. √326. 在试验中，若事件A 发生的概率为0.2，则事件A 对立事件发生的概率为( )A. 0.9B. 0.8C. 0.7D. 0.67. 设a =∫ 0πsinxdx ，则二项式(ax x )8的展开式中x 2项的系数是( )A. −1120B. 1120C. −1792D. 17928. 若{0≤x ≤π2sinx ≤y ≤cosx，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (0,π6]B. [0,√3]C. [0,√3−π6]D. [0,√3+π6]9. 某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷，则沙漠增加面积y(公顷)关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A. y =200xB. y =100x 2+100xC. y =100×2xD. y =0.2x +log2x10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x −2y +3=0平行，则双曲线的方程为( )A. x 216−y24=1 B. x 29−y 24=1 C. x 24−y 29=1D. x 28−y 24=111. 已知函数f (x )=sin (2020x +π4)+cos (2020x −π4)的最大值为M ，若存在实数m ，n ，使得对任意实数x 总有f(m)≤f(x)≤f(n)成立，则M ·|m −n|的最小值为A. π2020B. π1010C. π505D. 3π101012. 三棱锥P −ABC 中，PA 、PB 、PC 互相垂直，PA =PB =1，PM 垂直于BC 于M ，且直线AM与平面PBC 所成角的正切值是√62，则三棱锥P −ABC 的外接球表面积是( )A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =3x 2+2x 在点(1,5)处的切线与直线2ax −y −6=0平行，则实数a =________． 14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin 2A +c(sinC −sinA)=2sin 2B ，且△ABC的面积S =14abc.则角B =_________．15. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率为√3的直线l 与该抛物线分别交于A ，B 两点，(点A 在第一象限)，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=______． 16. 已知不等式e x −1≥kx +lnx ，对于任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则k 的最大值______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和S 3=92．(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，求{b n }的公比18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，点A(0,−2)在椭圆上，斜率为k的直线l过点E(0,1)且与椭圆交于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)设k1，k2分别为直线AC，AD的斜率，当k变动时，k1k2是否为定值？说明理由．20.已知函数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x>y>e−1时，证明不等式．21.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．(Ⅰ)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；(Ⅱ)现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E(X)；(Ⅲ)记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．(只需写出结论)22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.(1)设函数f(x)=√的定义域为R，试求a的取值范围；(2)已知实数x，y，z满足x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的运算，求出A和B即得，属基础题．,由C U A得x<4，解：由A知x≥4，由B知0≤x≤12]则C U A∩B=[0,12故选B2.答案：A解析：解：由题意可得z=2−i，∴|z|=√22+(−1)2=√5故选：A由复数的几何意义可得z=2−i，由复数的模长公式可得．本题考查复数求模，涉及复数的几何意义，属基础题．3.答案：D解析：本题考查全称量词命题，属于基础题．结合二次函数图象，得到关于a的不等式，求解即可．解：因为命题“∃x∈R，x2+(a−1)x+1<0”是真命题，所以Δ=(a−1)2−4=a2−2a−3>0，解得a<−1，或a>3．故选D．4.答案：A解析：可以看出，f(x)是偶函数，并且在[0,+∞)上单调递增，从而得出b =f(log 0.213)，并且可以得出0<log 0.213<1<50.2，从而由f(x)在[0,+∞)上的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．解：f(x)是偶函数，在[0,+∞)上单调递增； ∴b =f(log 0.23)=f(−log 0.23)=f(log 0.213)；∵50.2>50=1，0<log 0.213<log 0.20.2=1； ∴0<log 0.213<1<50.2； ∴f(log 0.213)<f(1)<f(50.2)；∴b <c <a ． 故选：A ．5.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12， 故选：A ．根据余弦定理求出角A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可． 本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：∵在试验中，若事件A 发生的概率为0.2， ∴事件A 对立事件发生的概率为： P(A)=1−P(A)=1−0.2=0.8． 故选：B ．利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.答案：B解析：解：由题意a=∫πsinxdx=(−cosx)|0π=2，∴二项式为(2x−1√x)8，设展开式中第r项为T r+1，所以T r+1=C8r(2x)8−r(−√x )r=(−1)r C8r⋅x8−3r2⋅28−r，令8−3r2=2，解得r=4．代入得展开式中x2项的系数为：C84⋅24=1120．故选：B．利用定积分求出a，通过二项式定理的通项公式求出通项，通过x的指数为2求出项数，然后求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8.答案：D解析：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=−12x+z2，平移直线y=−12x+z2，由图象可知当直线经过点O时，直线y=−12x+z2的截距最小，此时z最小，z=0，当直线y=−12x+z2与y=cosx相切时，直线的截距最大，此时z最大，函数y=cosx的导数f′(x)=−sinx，目标函数的斜率k=−12，由−sinx=−12得sinx=12，解得x=π6，此时y=cosπ6=√32，即切点坐标为(π6,√32)，此时z=π6+2×√32=√3+π6，故z的取值范围是[0,√3+π6]，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合导数求出切线斜率，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切点坐标是解决本题的关键．综合性较强．9.答案：C解析：本题考查函数模型的选择方法，考查学生的计算能力，属于基础题．利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论．解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，相差较大，不符合题意；对于B，x=1时，符合题意，x=2，3时，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2，3时，y值都近似符合题意；对于D，x=1，2，3时，相差较大，不符合题意；故选C．10.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．利用焦点到渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x−2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为2，可得b=2，双曲线的一条渐近线与直线x−2y+3=0平行，可得ba =12，解得a=4，所求双曲线方程为：x216−y24=1．故选：A．11.答案：B解析：本题考查了诱导公式以及三角函数的周期性和最值问题，是中档题．根据题意，利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出M·|m−n|的最小值．解：因为=√2(sin2020x+cos2020x)，所以f(x)的最大值M=2．由题意知，f(m)为f(x)的最小值，f(n)为f(x)的最大值，所以，所以M·|m−n|的最小值为，故选B．12.答案：B解析：此题考查三棱锥P−ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM⊥BC时，直线AM与平面PBC所成角的正切值为√62，此时APPM =√62，PM=√2√3，在Rt△PBC中，PB⋅PC=BC⋅PM⇒PC=√11+PC2√2√3⇒PC=√2．三棱锥P−ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为√1+1+2=2，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=1，∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=4π．故选B．13.答案：4解析：本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题． 求导函数确定切线的斜率，利用切线与已知直线平行，即可求得a 的值． 解：求导函数可得y′=6x +2， 令x =1，则y′=6×1+2=8，∵曲线y =3x 2+2x 在点(1,5)处的切线与直线2ax −y −6=0平行， ∴2a =8， ∴a =4， 故答案为4.14.答案：π3解析：根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式求解即可． 解：由S =14abc 得，若2sin 2A +c(sinC −sinA)=2sin 2B ， 则，即a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理得，所以，故答案为π3．15.答案：34解析：本题考查了抛物线的定义与性质，属于中档题．联立方程组，求出A ，B 的横坐标，得出|AF|，|AB|，从而得出λ的值． 解：直线l 的方程为：y =√3(x −p2)，联立方程组{y =√3(x −p2)y 2=2px，消元可得：3x 2−5px +3p 24=0，解得：x1=p6，x2=3p2，∴|AF|=x2+p2=2p，|AB|=x1+x2+p=8p3，∴λ=|AF||AB|=34．故答案为34．16.答案：e−1解析：本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用，求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题．不等式e x−1≥kx+lnx，对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．等价于k≤e x−1−lnxx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立；求得f(x)=e x−1−lnxx(x>0)的最小值即可求得k的取值．解：不等式e x−1≥kx+lnx，对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．等价于k≤e x−1−lnxx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立．令f(x)=e x−1−lnxx，(x>0)，f′(x)=e x(x−1)+lnxx2，令g(x)=e x(x−1)+lnx，(x>0)，则g′(x)=xe x+1x>0，∴g(x)在(0,+∞)单调递增，g(1)=0，∴x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0．∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0．∴x∈(0,1)时，f(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，f(x)单调递增．∴f(x)min=f(1)=e−1∴k≤e−1．则k 的最大值为e −1． 故答案为：e −1．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=2，前3项和S 3=92．∴a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12． ∴a n =1+12(n −1)=n+12；(2)b 1=a 1=1，b 4=a 15=8，可得等比数列{b n }的公比q 满足q 3=8，解得q =2．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=2，前3项和S 3=92.可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1，d.即可得出．(2)b 1=a 1=1，b 4=a 15=8，可得等比数列{b n }的公比q 满足q 3=8，解得q ．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD 是正三角形，E 是AD 中点，∴PE ⊥AD ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴PE ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥CE ， ∵底面ABCD 是矩形且AD =2AB ， ∴AE =DE =AB =CD ， ∴∠AEB =∠DEC =45°， ∴∠AEB +∠DEC =90°， ∴∠BEC =90°，∴BE ⊥CE ， ∵PE ∩BE =E ，∴CE ⊥平面PBE ．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c ．∵椭圆的离心率为e =ca =√33，点A(0,−2)在椭圆上，∴{c a =√33b =2a 2=b 2+c 2, 解得a =√6，b =2，c =√2， ∴椭圆的方程为x 26+y 24=1；(2)当k 变动时，k 1k 2为定值−2， 证明如下：设直线l 的方程为y =kx +1． 由{x 26+y 24=1y =kx +1得(3k 2+2)x 2+6kx −9=0，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6k3k 2+2，x 1x 2=−93k +2， 因为A(0,−2)， 所以k 1=y 1+2x 1，k 2=y 2+2x 2，所以k 1k 2=y 1+2x 1⋅y 2+2x 2=(kx 1+3)(kx 2+3)x 1x 2=k2x1x2+3k(x1+x2)+9x1x2=k2+3k⋅−6k3k2+2+9(2+3k2)2+3k2−92+3k2=k2+9k2+18−9=k2−k2−2=−2．所以当k变动时，k1k2为定值−2．解析：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．(1)由椭圆的离心率及过的点的坐标和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(2)由题意设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线AC，AD的斜率之积的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．20.答案：解：(1)f′(x)=a−1x =ax−1x(x>0).当a≤0时，ax−1<0，从而f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，若0<x<1a，则ax−1<0，从而f′(x)<0，若x>1a ，则ax−1>0，从而f′(x)>0，函数在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．(2)解：证明：∵不等式e x ln(1+y)>e y ln(1+x)等价于，x>y>e−1故我们构造函数，这样等价于g(y)>g(x)只需要证明函数g(t)在(e−1,+∞)上单调递减令，则ℎ,(t)=−1(t+1)2−1t+1=−t+2(t+1)2当t>e−1时，很显然导数小于0所以函数ℎ(t)在(e−1,+∞)上单调递减，ℎ(t)<ℎ(e−1)=1e−1<0故导函数g,(t)=ℎ(t)e t<0，在(e−1,+∞)上恒成立，所以g(t)在(e−1,+∞)上单调递减，g(y)>g(x)∴e x ln(1+y)>e y ln(1+x)．解析：本题考查函数的单调区间和实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用． (1)由已知得f′(x)=a −1x =ax−1x(x >0).由此能求出函数f(x)的单调性．(2)不等式e x ln(1+y)>e y ln(1+x)等价于， x >y >e −1.故我们构造函数，这样等价于g (y )>g (x )只需要证明函数g(t)在(e −1,+∞)上单调递减，利用导数性质能证明不等式e x ln(1+y)>e y ln(1+x)．21.答案：解：(Ⅰ)设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A ，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P(A)=615=25． (Ⅱ)由(Ⅰ)知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为25， 低于8500元的概率为35， ∴X ～B(2,25)，P(X =0)=(35)2=925，P(X =1)=C 21×25×35=1225，P(X =2)=C 22×(25)2=425，∴X 的分布列为： P 0 1 2 X9251225425E(X)=2×25=45．(Ⅲ)S 12>S 22．解析：(Ⅰ)求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．(Ⅱ)推导出X～B(2,25)，由此能求出X的分布列和E(X)．(Ⅲ)S12>S22．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：解：(1)由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x−2|−a≥0，即|x+1|+|x−2|≥a，又|x+1|+|x−2|≥|x+1−(x−2)|=3，∴a≤3．(2)由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1，∴x2+y2+z2≥114，当且仅当x1=y2=z3时，即x=114，y=17，z=314时，x2+y2+z2的最小值为1．14解析：(1)利用绝对值不等式的性质可得：|x+1|+|x−2|≥|x+1−(x−2)|=3，即可得出；(2)利用柯西不等式的性质即可得出．本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020年湖南省衡阳市福田第一中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年湖南省衡阳市福田第一中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则f(x)的图象在点处的切线方程为A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果. 【详解】∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（0）=-1，f（0）=1，即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1，即x+y-1=0．故选：B．【点睛】本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题.2. 执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=A.2B.3C.4D.5 参考答案：B3. 三棱锥D-ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若，则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（）A． B． C. D．参考答案：B设，则三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥,设三棱锥外接球的半径为R，则 , 体积为，选B.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.4. 已知：tan，则等于（）A．3 B．-3 C．2 D．-2参考答案：A5. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．4参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），由中点坐标公式求出M、N坐标关于x1、y1的表达式．根据直径所对的圆周角为直角，得=（4﹣）﹣=0．再由点A在双曲线上且直线AB的斜率为，得到关于x1、y1、a、b的方程组，联解消去x1、y1得到关于a、b的等式，结合b2+a2=c2=4解出a=1，可得离心率e的值．解答：解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式，是解决本题的关键．6. 点在函数的图象上，且角的终边所在直线过点，则（）A． B．C．-3 D．参考答案：C试题分析：因为在函数的图象上，即得，故，故选C.考点：（1）对数函数的性质；（2）正切函数的定义.7. 已知函数则不等式f（x）≤2的解集是( )A．[0，+∞） B．[﹣l，2] C．[0，2] D．[1，+∞）参考答案：A【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由不等式f（x）≤2可得①，或②．分别求出①和②的解集，再取并集即得所求．【解答】解：由不等式f（x）≤2可得①，或②．解①可得0≤x≤1，解②得 x＞1，故不等式的解集为{x|0≤x≤1或 x＞1 }={x|x≥0 }，故选A．【点评】本题主要考查指数不等式对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．8. 命题“，”的否定是（）参考答案：D略9. 给定集合A、B，定义，若，则集合A*B中所有元素之和为（）A．6 B．8 C．10D．18参考答案：答案：C10. 平面向量=（1，x），=（﹣2，3），若∥，则实数x的值为（）A．﹣6 B．C．﹣D．0参考答案：C【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．【解答】解：平面向量=（1，x），=（﹣2，3），且∥，由两个向量共线的性质得1×3﹣x（﹣2）=0，解得x=﹣，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.参考答案：12. 设，，则；．参考答案：，13. 已知函数，则=______．参考答案：【分析】先求内层函数值，再求外层函数值.【详解】根据题意，函数 ，则，则；故答案为：．14. （5分）函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m 的值是 ．参考答案：﹣1考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 运用幂函数的定义，可得m 2﹣m ﹣1=1，解得m ，再由幂函数的单调性即可得到m ． 解答： 由幂函数定义可知：m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，又函数在x∈（0，+∞）上为减函数， 则m=﹣1．故答案为：﹣1．点评： 本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．15. 函数的零点属于区间，则参考答案： 1【知识点】零点存在性定理B9解析：在R 上单调递增且为连续函数，因为，所以，根据零点存在性定理可得。
2020年湖南省衡阳市 县洪市中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省衡阳市县洪市中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面向量与的夹角为60°，，则等于A． B．2 C．4 D．2参考答案：B略2. 过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（）（A）（B）参考答案：D3. 已知A(m，n)是直线l：f(x,y)=0上的一点，B(s，t)是直线l外一点，由方程f(x,y)+ f(m,n)+ f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是（）A．斜交B．垂直C．平行D．重合参考答案：C因为A(m,n)是直线l:f(x,y)=0上的一点,所以f(m,n)=0,B(s,t)是直线l外一点,所以f(s,t)不等于0,所以方程f(x,y)+f(m,n)+f(s,t)=0表示的直线与直线l的位置关系是平行.4. 在等差数列中，若则此数列前11项的和等于（）A．11 B．33 C．66 D．99参考答案：B略5. 已知函数，若，且，则（）A．2 B．4 C．8 D．随值变化参考答案：A6. 设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（A）(-a)7＜(-a)9（B）b- 9＜b- 7（C）（D）参考答案：D略7. 函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，则f （）的值是( )A．﹣B．C．1 D．参考答案：D考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据条件求出函数的周期和ω，即可得到结论．解答：解：∵f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为，∴函数的周期T=，即=，则ω=2，则f（x）=tan2x则f（）=tan（2×）=tan=，故选：D点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据条件求出函数的周期和ω是解决本题的关键．8. 定义在实数集R上的奇函数f(x)满足，且当时，，则下列四个命题：①；②函数f(x)的最小正周期为2；③当时，方程有2018个根；④方程有5个根.其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C. 3 D．4参考答案：C∵∴∴函数的最小正周期为，故②错误.∴∵当时，∴，即，故①正确.∵函数在实数集上为奇函数∴∴，即函数关于直线对称.画出函数的图象如图所示：由图象可得，当时，方程有2个根，故当时，方程有个根，故③正确；画出的图象如图所示，与函数有5个交点，故④正确.故选C.9. 函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度D10. 已知定义在R上的函数满足，时，，则（）A. 6B. 4C. 2D. 0参考答案：D【分析】根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，当时，，则，，又由，则，，所以，所以.故选：D．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值为．2【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3﹣x）知f （x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2【解答】解：∵f（x）=2|x﹣a|；∴f（x）关于x=a对称；又f（2+x）=f（2﹣x）；∴f（x）关于x=2对称；∴a=2；∴f（x）=；∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；又f（x）在[m，+∞）上单调递增；∴实数m的最小值为2．故答案为：212. 已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为_______.参考答案：2【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又由，即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率，显然直线的斜率最大，又由，解得，则，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．13. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t为．参考答案：81是命题（选填000参考答案：真．【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在?x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，故答案为：真．15. 已知函数,则________.参考答案：-2略16. 若函数有且只有2个不同零点，则实数k的取值范围是_____.参考答案：试题分析：当时，；故1是函数的零点；故当时，有且只有1个零点，而故没有零点；若则，故没有零点时，17. 若是直角三角形的三边的长（为斜边），则圆被直线所截得的弦长为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省衡阳市大堡中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省衡阳市大堡中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|＜2x＜4}，则集合M∩(C R N)等于（）A．{0，1，2} B．{2，3} C．D．{0，1，2，3}参考答案：B略2. 设集合，则 ( )A．｛1，3｝ B．｛2，4｝ C．｛1，2，3，5｝ D．｛2，5｝参考答案：A略3. 已知，，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（）A．B．C． D．参考答案：B略4. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直参考答案：答案：C5. 已知数列的值为（）A．—3 B．3 C．2D．—2参考答案：B故所求值为36. 已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*）的取值范围是（）A．[12，16] B．[8，] C．[8，） D．[，]参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】根据已知的由a2和a5的值，利用等比数列的性质即可求出公比q的值，由等比数列的通项公式求出a1的值，进而得到a1a2的值，得到数列{a n a n+1}为等比数列，由首项和公比，利用等比数列的前n项和公式表示出数列的前n项和，即可得到所求式子的取值范围．【解答】解：由a2=2，a5=，得到q3==，解得q=，且a1==4，所以数列{a n a n+1}是以8为首项，为公比的等比数列，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1==（1﹣4﹣n），所以a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*）的取值范围是[8，）．故选C7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为().A.6πB.24πC.48πD.96π参考答案：B由三视图画出三棱锥的直观图，如图，图中矩形的长为4，宽为2，棱锥的高为，所以棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即，所以外接球的表面积为，故选B.8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．9. 一批零件次品率为，连抽4件，抽出的次品数为ξ，则D(ξ)等于（）A. B. C. D.参考答案：C10. 如果函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有（）A． B．C． D．参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，且，则的坐标是．参考答案：或略12. 在半径为3的球面上有A、B、C三点，球心O到平面ABC的距离是，且，，则B、C两点间的球面距离为参考答案：略13. 若是等差数列的前项和,且，则的值为．参考答案：44试题分析：由,解得,又由14. 已知数列{a n}的前n项和公式为，则数列{a n}的通项公式为．参考答案：由可知，当时，．当且时，，则数列的通项公式为．15. 给定集合，映射满足以下条件：①当且时，；②任取，若有k组解，则称映射含k组幸运数。
2019-2020学年湖南省衡阳市鼎兴实验学校高三数学理联考试卷含解析
2019-2020学年湖南省衡阳市鼎兴实验学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=， =，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．2. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意x∈(0,+∞),都有,则的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8参考答案：B略3. 已知集合,则=（）A． B． C． D．参考答案：C略4. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A．B．C．4πD．参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键．5. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为A．36 B．42 C． 48D．60参考答案：C6. 若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】运用充分必要条件定义判断求解．【解答】解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．8. 已知函数的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：A9. 在实数集R中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①.函数f(x)的最小值为3；②.函数f(x)为偶函数；③.函数f(x)的单调递增区间为(－∞,0]．其中所有正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C，函数f(x)的最小值为3；，函数f(x)为偶函数；函数f(x)的单调递增区间为，所以正确说法的个数为2，选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间，使得函数f(x)满足：①f(x)在上是单调函数；②f(x)在上的值域是，则称区间是函数f(x)的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（）A．函数存在“和谐区间”B．函数不存在“和谐区间”C．函数存在“和谐区间”D．函数不存在“和谐区间”参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=+1，则a2014= ．参考答案：【考点】：数列递推式．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：由题意可知{a n﹣1}为周期数列且周期为2，a1﹣1=2，即可求出答案解：∵，∴{a n﹣1}为周期数列且周期为2，a1﹣1=2，∴a2014﹣1=a2﹣1=，∴．故答案为：．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．12. 若x、y满足约束条件的取值范围是 .参考答案：[2,6]13. 已知f（x）=，则f（f（））的值为．参考答案：3e【考点】对数的运算性质．【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．【解答】解：∵＞3，∴=log3（15﹣6）=2．∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．故答案为：3e．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题．14. 若，则的值是．参考答案：15. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C 的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为．参考答案：x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由C的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，∴=，∵C的一个焦点到l的距离为1，∴=1，∴c=2，∴a=1，b=，∴C的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．16. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.参考答案：略17. 14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________．参考答案：（-7,3）三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷(理科)(附答案解析)
2020年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（理科）（三模）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|3x <1}，则A ∩B =( )A. [−1,0)B. [−1,0]C. (−1,1)D. [0,1) 2. 若复数z 满足|z +1|=|z −i|，且z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. x =1B. y =1C. x +y =0D. x −y =0 3. cos42°cos18°−cos72°sin42°=( )A. √32B. 12C. −12D. −√324. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2=1，2a 9=a 3−a 6，则a 8的值为( )A. 2B. 12C. 14D. 185. 在平行四边形ABCD 中，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −45AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 45AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 已知a =2−1.5，b =log 23，c =32，则这三个数由小到大的顺序为( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c 7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率( )A. 110B. 320C. 15D.3108. 设f(x)，g(x)分别为定义在[−π,π]上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2e x cosx(e 为自然对数的底数)，则函数y =f(x)−g(x)的图象大致为( )A.B. C.D.9. 已知a ，b ∈R +，2a +b =2，则a b +1a 的最小值为( )A. 32B. √2+1C. 52D. 2√210. 设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与C 交于A ，B ，且与l 交于M ，若|MA|=2|MB|，则直线m 的斜率为( )A. ±13B. ±√24 C. ±√23D. ±1411. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的正视图和俯视图分别为矩形和正三角形，该三棱柱各顶点都在球O 的球面上，过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为( )A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π12. 设函数f(x)={2x ,x ≤12x 2−ax −lnx,x >12，若f(x)有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A. [√2,+∞) B. [2,+∞)C. [ln2−14,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x −a)8的展开式中，x 5的系数为7，则a =______．14. 如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是______． 15. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，若(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则该双曲线C 的离心率为______． 16. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n+1=S n +(−1)n−1a n +3n −2，则S 20的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，半圆弧AB⏜所在平面与平面ABCD 垂直，M 是AB ⏜上异于A ，B 的动点，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2DC(1)证明：MB ⊥平面MAD ；(2)当直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°时，求二面角D −MA −C 的正弦值．18.如图平面四边形ABCD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccos2A2−√3asinC=0．(1)求∠CAB；(2)若AB=AC，BD=1，CD=2，求四边形ABCD面积的最大值．19.某新兴环保公司为了确定新开发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x(单位：千元)对月销售量y(单位：t)和月利润z(单位：千元)的影响，收集了2019年12月至2020年5月共6个月的月宣传费x i和月销售量y i(i=1,2，…，6)的数据如表：月份1212345宣传费x1357911月销售量y14.2120.3131.831.1837.8344.67现分别用两种模型①y=bx+a，②y=ae bx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(注残差在数理统计中是指实际观察值与估计值(拟合值)之间的差．)x−y−∑x i6i=1y i∑x i26i=16301284.24286(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；(3)已知该产品的月利润z与x，y的关系为z=23(5y−x2)，根据(2)的结果回答下列问题：(i)若月宜传费x=15时，该模型下月销售量y的预报值为多少？(ii)当月宣传费x为何值时，月利润z的预报值最大？附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=∑(ni=1x i−x−)(y i−y−)∑(ni=1x i−x−)2=∑x ini=1y i−nxy−∑x i2ni=1−nx−2，â=y−−b̂x−．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，斜率为k的直线l过F1且与椭圆E相交于A，B两点，△ABF2的周长为8√2．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设线段AB的中垂线m交x轴于N，在以NA，NB为邻边的平行四边形NAMB中，顶点M恰好在椭圆E上，求直线l的方程．21. 已知函数f(x)=lnx −ax +a ，g(x)=x 2−1．(1)当a =0，x >0且x ≠1时，证明：1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)；(2)定义max{m,n}={m,m ≥nn,m <n ，设函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x >0)，试讨论ℎ(x)零点的个数．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =a +3ty =−2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ≤θ≤π)． (1)写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；(2)若C 上的点到l 的距离的最小值为√13，求实数a 的值23. 已知f(x)=|3x −a|+|x −4|．(1)当a =1时，求不等式f(x)<5的解集；(2)若x ∈[0,3]时，不等式f(x)≥3成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}={x|x<0}=(−∞,0)，∴A∩B=[−1,0)，故选：A．求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，z=x+yi(x,y∈R)，由|z+1|=|z−i|，得√(x+1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：x+y=0，故选：C．由已知可得z=x+yi(x,y∈R)，代入|z+1|=|z−i|，利用复数的模相等列式化简得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：cos42°cos18°−cos72°sin42°=cos42°cos18°−sin18°sin42°=cos(18°+42°)=12，故选：B．由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，求得结果．本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由a9=a3−a6，则2q6=1−q3，又q>0，所以q3=12，∴a8=a2q6=14，故选：C．利用等比数列的通项公式可得q3，再利用其性质即可得出．本题考查了等比数列通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：在平行四边形ABCD中，若CE⃗⃗⃗⃗⃗ =4ED⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE⃗⃗⃗⃗⃗ =45CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45CD⃗⃗⃗⃗⃗ =−45AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：A．直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：因为a=2−1.5∈(0,1)，b=log23>log2232=32=c，所以a<c<b，故选：A．先分析数的大致范围，再进行比较．本题考查比较大小，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，各选一个数，其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7．所以能被5整除的概率P=44×5=15，故选：C．列举出阴数和阳数，利用列举法求出各选一个数，其和能被5整除的所有情况，由此能求出从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：∵f(x)+g(x)=2e x cosx，∴f(−x)+g(−x)=2e−x cos(−x)，即−f(x)+g(x)=2e−x cosx，∴f(x)−g(x)=−2cosxe x，∵y=−2cosxe x，当x=0.01时，y<0，∴可排除选项C，D；又y′=2(sinx+cosx)e x=2√2sin(x+π4)e x，故x=−π4为极值点，即选项B错误；故选：A．依题意，可得f(x)−g(x)=−2cosx e x，当x =0.01时，y <0，可排除选项C ，D ；又x =−π4为极值点，则排除选项B ；由此得出正确答案．本题主要考查函数的性质与图象，考查考生的化归与转化能力和数形结合能力，以及逻辑推理，直观想象和数学运算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由a ，b ∈R +，2a +b =2，∴ab +1a =ab +2a+b 2a=1+a b +b2a ≥1+√2，(当且仅当b =√2a 即a =2−√2，b =2√2−2时取等号)， 故则ab +1a 的最小值为√2+1， 故选：B ．把式子变形，利用基本不等式，求出它的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题，10.【答案】B【解析】解：法1(几何法1)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1， 由|MA|=2|MB|，所以B 为MA 的中点，设|BB 1|=t ，则|AA 1|=2t ， 所以|BF|=t ，|AF|=2，则|MB|=3t.设直线m 的倾斜角为θ， 所以sinθ=|BB 1||MB|=t 3t =13，则tanθ=±√24，故选B ． 法2(几何法2)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 的倾斜角为θ， 所以|AF|=121−sinθ，|BF|=121+sinθ，由|AF|=2|BF|，则121−sinθ=11+sinθ，解得sinθ=13，所以tanθ=±√24，故选B ．法3(代数法)：如图，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|， 由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 方程为y =kx +14，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{y =kx +14y =x 2可得x 2−kx −14=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=−14，由|AF|=2|BF|， 则有x 1=−2x 2，所以−52=x 1x 2+x2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2−2，解得k =±√24，故选：B ．法1(几何法1)：画出图形，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，设|BB 1|=t ，则|AA 1|=2t ，求出|MB|=3t.设直线m 的倾斜角为θ，然后求解直线的斜率．法2(几何法2)：画出图形，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 的倾斜角为θ，利用|AF|=2|BF|，解得sinθ=13，然后求解即可．法3(代数法)：画出图形，设A ，B 在准线l 上的射影为A 1，B 1，由|MA|=2|MB|，则|AA 1|=2|BB 1|， 由抛物线定义可得|AF|=2|BF|，设直线m 方程为y =kx +14，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由正视图及俯视图可知ABC −A 1B 1C 1为正三棱柱，底面ABC 边长为6，如图，O 2，O 1分别为三棱柱上下底面的中心，则ABC −A 1B 1C 1的外接球球心O 为O 1O 2的中点，其半径R =√32+(2√3)2=√21， 要使AB 中点E 作球O 的截面最小，只须使球心O 到截面的距离d 最大即可． 此时过E 的截面垂直于OE ，截面半径r =√R 2−d 2=√R 2−OE 2=√R 2−(OO 12+O 1E 2)=√21−[32+(√3)2]=3， 所以截面面积S 截面=πr 2=9π，故选：C ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出截面半径，最后求出几何体的截面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：要使f(x)有最小值，只须当x>12时，f min(x)≤0．当x>12时，f′(x)=2x−a −1x，因为2x−1x∈(−1,+∞)若a≤−1时，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)上单调递增，此时f(x)无最小值；若a>−1时，f′(x)=2x2−ax−1x，记2x2−ax−1=0两根分别为x1，x2，则x1<0<x2，∴f(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，此时f min(x)=f(x2)=x22−ax2−lnx2=1−x22−lnx2≤0，则x2≥1，所以a=2x−1x≥1，故选：D．由题意要使f(x)有最小值，只须当x>12时，f min(x)≤0即可．从而求解实数a的取值范围．本题考查了分段函数的最值的求法及导函数的应用，单调性及最值的讨论，属于中档题．13.【答案】−12【解析】解：(x−a)8展开式中第r+1项为：T r+1=C8r x8−r(−a)r，所以x5的系数为C83(−a)3=7，解得a=−12．故答案为：−12．先写出展开式的通项，然后令x的指数为7，解出a的值．本题考查二项式定理，展开式通项的应用，以及学生的运算能力．属于基础题．14.【答案】11【解析】解：要使遇见的行人总人数最小，则此人应从点A处向上或向右走，即不能后退或向左走，一共有96种走法，结合图中数据，在这6种中，根据路上的行人，易知满足条件的路径如图所示，总人数最小值为2+3+3+3=11；或2+4+2+3=11．故答案为：11．由题意，找出从A到B所有路线，依次计算各路线上遇到的人数即可；本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．15.【答案】√3【解析】解：法1(代数法)：因为l与⊙O：x2+y2=a2相切，所以直线斜率k=±ab，由对称性不妨考虑k=ab情形．又双曲线C的渐近线方程为y=±bax，则l垂直其中一条渐近线，故l与一渐近线的交点A，即为该渐近线与⊙O在第二象限的交点，可得A(−a2c,abc)，如图，设AB中点为M，由(F2A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即2F2M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则有F2M⊥l，又OA⊥l，故OA//F2M，且O为F1F2的中点，所以A为F1M的中点，则A，M三等分F1B，由F1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B(3b2c−c,3abc)，由B在另一渐近线y=bax上，即有3abc=ba(3b2c−c)，则c2=3a2，故离心率e=√3．法2(几何法)：设∠BOF2=θ，则∠AOB=π−2θ，由题意易知|AF1|=b，|AB|=2b，在Rt△OAB中，tan∠AOB=tan(π−2θ)=2ba，又tanθ=ba，则有−2ba1−(ba)2=2ba，即b2=c2−a2=2a2，故离心率e=√3．法3(参数方程法)：直线l的参数方程为{x=−c+bcty=act(t为参数)，代入y=bax，可得B对应的参数t B=bc2b2−a2又A对应的参数t A=b，由(F2A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0及l与⊙O：x2+y2=a2相切，可知F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即t B =3t A ， 则bc 2b −a =3b ，则有c 2=3a 2，故离心率e =√3．故答案为：√3．法1(代数法)：设直线斜率k =±ab ，不妨考虑k =ab 情形．双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，求出A 的坐标，设AB 中点为M ，由(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，转化推出A ，M 三等分F 1B ，求出B 的坐标，然后推出c 2=3a 2， 求解离心率即可．法2(几何法)：设∠BOF 2=θ，则∠AOB =π−2θ，求出|AF 1|=b ，|AB|=2b ，通过Rt △OAB 中，得tanθ=ba ， 然后推出离心率．法3(参数方程法)：直线l 的参数方程为{x =−c +bc t y =ac t(t 为参数)，代入y =b a x ，可得B 对应的参数t B =bc 2b 2−a2，A 对应的参数t A =b ，通过(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及l 与⊙O ：x 2+y 2=a 2相切，转化求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及直线与双曲线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．16.【答案】310【解析】解：由条件S n+1=S n +(−1)n−1a n +3n −2，可得a n+1=(−1)n−1a n +3n −2， a 2k+1=−a 2k +6k −2①， a 2k =a 2k−1+6k −5②(k ∈N ∗)，由①②可得：a 2k+1+a 2k−1③，a 2k+3+a 2k+1④ 可得a 2k+3=a 2k−1⑤由①得：a 2k +a 2k+1=6k −2， 由⑤得：a 1=a 5=a 9=⋯=a 21所以S 20=a 1+a 2+a 3+⋯+a 20=a 1+(a 2+a 3)+⋯+(a 18+a 19)+a 20=(a 2+a 3)+⋯+(a 18+a 19)+(a 20+a 21)=∑(10k=16k −2)=10×(4+58)2=310．故答案为：310首先利用数列的递推关系式利用分类讨论思想求出数列的通项公式，进一步利用数列的求和公式求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：因为半圆弧AB⏜所在平面与平面ABCD 垂直，平面MAB ∩平面ABCD =AB ， 由DA ⊥AB ，所以DA ⊥平面MAB ，又MB ⊂平面MAB ，则有DA ⊥MB又AB 为半圆弧所对的直径，所以MB ⊥MA ，而MA ∩DA =A ，所以MB ⊥平面MAD ．(2)法1(空间向量法)：过M 作AO ⊥AB 于O ，因为平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，所以MO ⊥平面ABCD ，∠MBO 即MB 与平面ABCD 所成的角， 由已知条件得∠MBA =45°，MA =MB ，即O 为AB 中点．由∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2DC ，四边形AOCD 为矩形，所以OC ⊥AB 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OM 方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB =AD =2DC =2，所以C(0,2，0)，D(−1,2，0)，A(−1,0，0)，M(0,0，1)，B(1,0，0) 由(1)知，MB ⊥平面MAD ，则平面MAD 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1) 设平面MAC 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0) 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AC =0，得{x +z =0x +2y =0，取y =−1，则n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2) 设二面角D −MA −C 大小为θ， 则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×2+(−1)×(−2)√2×3=2√23所以sinθ=13，即二面角D −MA −C 的正弦值为13．法2(传统几何法)：二面角D −MA −C 的大小即为二面角B −MA −D 的大小与二面角B −MA −C 大小的差，由(1)的证明可得，二面角B −MA −D 的大小为90°，所以二面角D −MA −C 的正弦值即为二面角B −MA −C 的余弦值． 由平面MAB ⊥平面ABCD ，平面MAB ∩平面ABCD =AB ，CO ⊥AB ， 所以CO ⊥平面MAB ，又MA ⊂平面MAB ，则OC ⊥MA ，取MA 中点H ，连HC ，由AB 为半圆弧所对的直径，所以BM ⊥MA ，O ，H 分别为AB ，MA 的中点，所以OH//BM ，则OH ⊥MA ， 又OH ∩OC =O ，所以MA ⊥平面OHC 则∠OHC 即为二面角B −MA −C 的平面角，设AB =AD =2DC =2，在Rt △COH 中，OH =12MB =√22，OC =2，HC =(√22)=√2所以cos∠OHC =OHHC=√223√2=13，故二面角D −MA −C 的正弦值为13．【解析】(1)由DA⊥AB，然后证明DA⊥MB，MB⊥MA，即可推出MB⊥平面MAD．(2)过M作AO⊥AB于O，说明∠MBO即MB与平面ABCD所成的角，以O为坐标原点，OB，OC，OM方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D−MA−C的正弦值．法2(传统几何法)：二面角D−MA−C的大小即为二面角B−MA−D的大小与二面角B−MA−C大小的差，说明二面角D−MA−C的正弦值即为二面角B−MA−C的余弦值．∠OHC即为二面角B−MA−C的平面角，通过求解三角形，推出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)法1：因为2ccos2A2−√3asinC=0，由正弦定理可得2sinCcos2A2−√3sinAsinC=0，即1+cosA−√3sinA=0，即sin(A−π6)=12，又0<A<π，所以A−π6=π6，即∠CAB=∠A=π3．法2：因为2ccos2A2−√3asinC=0，由正弦定理可得2sinCcos2A2−√3sinAsinC=0，由于sinC>0，则2cos2A2−2√3sin A2cos A2=0，又cos A2>0，可得tan A2=√33，又0<A<π，所以A=π3．(2)当AB=AC，又∠A=π3，所以△ABC为正三角形，在△BDC中，令∠CDB=θ(0<θ<π)，由余弦定理可得：BC2=12+22−2×1×2cosθ=5−4cosθ，所以S ABDC=S△ABC+S△BDC=√34BC2+12CD⋅BDsinθ=√34(5−4cosθ)+12×1×2sinθ=5√34+2sin(θ−π3)，由−π3<θ−π3<2π3，所以sin(θ−π3)最大值为1，故当θ=5π6时，(S ABDC)max=5√34+2．【解析】(1)法1：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A−π6)=12，结合范围0<A<π，可求A−π6=π6，即可得解；法2：由正弦定理，结合sinC>0，cos A2>0，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A2=√33，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)由已知可得△ABC为正三角形，在△BDC中，令∠CDB=θ(0<θ<π)，由余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S ABCD=5√34+2sin(θ−π3)，结合范围−π3<θ−π3<2π3，利用正弦函数的性质即可求解其最大值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点一是整体上更接近y=0，二是比较均匀地落在水平的带状区域中，说明该模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(2)剔除异常数据，即2020年2月的数据后，得x−=15(6×6−5)=6.2，y−=15(30×6−31.8)=29.64，∑x i5i=1y i=1284.24−5×31.8=1125.24，∑(5i=1x i)2=286−52=261，b̂=∑x i5i=1y i−nx−y−∑x i25i=1−nx−2=1125.24−5×6.2×29.64261−5×6.22=206.468.8=3，â=y−−b̂x−=29.64−3×6.2=11.04，所以y关于x的线性回归方程为：ŷ=3x+11.04．(3)(ⅰ)把x =15代入回归方程得：y ̂=3×15+8.04=53.04， 故预报值约为53.04(千元)， (ⅰ)z =23(5y −x 2)=103(3x +11.04)−23x 2=−23(x −152)2+74.3，所以当x =152=7.5(千元)时，月利润预报值最大．【解析】(1)从两个方面说明应该选择模型①； (2)利用最小二乘法原理求回归方程；(3)(i)把x =15代入回归方程即得解，(ii)求出z =23(5y −x 2)=−23(x −152)2+74.3，再利用二次函数性质分析得解．本题主要考查残差图，考查回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由△ABF 2的周长为8√2，则有4a =8√2，所以a =2√2，又椭圆E 的离心率e =√22，则c =2，b =2，故椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1．(2)由题意可知，直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0， 显然△>0，x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，则AB 中点Q(−4k 21+2k 2,2k 1+2k 2)，AB 中垂线m 方程为：y −2k 1+2k 2=−1k (x +4k 21+2k 2)， 所以N(−2k21+2k 2,0)，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即(x M +2k 21+2k 2,y M )=(x 1+2k 21+2k 2,y 1)+(x 2+2k 21+2k 2,y 2)，所以x M =x 1+x 2+2k 21+2k2=−6k 21+2k2，y M =y 1+y 2=4k1+2k 2 由M(−6k 21+2k 2,4k1+2k 2)在椭圆E 上，则36k 48(1+2k 2)2+16k 24(1+2k 2)2=1，解得k 4=2，即k =±√24， 故直线l 的方程为y =±√24(x +2)．【解析】(1)由△ABF 2的周长为8√2，以及椭圆的离心率求解a ，b 得到椭圆方程．(2)直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，利用韦达定理，求出中点坐标，得到中垂线方程，结合向量关系，推出M 坐标，代入椭圆方程求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】(1)证明：当a =0时，f(x)=lnx ，要证1+x1−x f(x)<21−x 2g(x)，需证11−x [(1+x)lnx −2(x −1)]<0，即11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0，即证：当x >1时，lnx >2(x−1)x+1；当0<x <1时，lnx <2(x−1)x+1．令φ(x)=lnx −2(x−1)x+1，则φ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增， ∴当0<x <1时，φ(x)<φ(1)=0，此时11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0；当x >1时，φ(x)>φ(1)=0，此时11−x [lnx −2(x−1)x+1]<0．故a =0，x >0且x ≠1时，1+x 1−x f(x)<21−x 2g(x)．(2)解：(i)当x >1时，g(x)>0，ℎ(x)≥g(x)>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上无零点； (ii)当x =1时，g(1)=f(1)=0，则ℎ(1)=0，∴x =1是ℎ(x)的唯一零点； (iii)当0<x <1时，g(x)<0，∴g(x)在(0,1)上无零点， ∴ℎ(x)在(0,1)上的零点个数等价于f(x)在(0,1)上的零点个数． ∵f′(x)=1x −a(0<x <1)，∴①若a ≤1时，f′(x)=1x −a >0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)<f(1)=0，此时f(x)无零点； ②若a >1即0<1a <1时，令f′(x)>0，得0<x <1a ；令f′(x)<0，得1a <x <1，∴f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,1)上单调递减， ∴f(x)max =f(1a )=a −1−lna ，令t(a)=a −1−lna(a >1)，则t′(a)=1−1a >0，t(a)在(1,+∞)上单调递增， ∴t(a)>t(1)=0，即f(1a )=a −1−lna >0，即a −1>lna ， 两边取指数，有e a−1>e lna ，即e a >ae >a ， ∴0<e −a <1a ，又∵f(e −a )=−a +a(1−e −a )=−ae −a <0，由零点存在性定理可知，f(x)在(0,1)上存在唯一的零点x 0，且x 0∈(e −a ,1a )． 综上所述：当a ≤1时，ℎ(x)仅有一个零点； 当a >1时，ℎ(x)有两个零点．【解析】(1)当a =0时，f(x)=lnx ，利用分析法可将原问题转化为证明：当x >1时，lnx >2(x−1)x+1；当0<x <1时，lnx <2(x−1)x+1；然后构造函数φ(x)=lnx −2(x−1)x+1，求导后分0<x <1和x >1两类讨论φ(x)的单调性和最值即可得证．(2)先分三类讨论：(i)当x >1时，有ℎ(x)≥g(x)>0，ℎ(x)在(1,+∞)上无零点；(ii)当x =1时，ℎ(x)有唯一零点x =1；(iii)当0<x <1时，原问题等价于求f(x)在(0,1)上的零点个数，于是再分a ≤1和a >1进行讨论，其中还需要构造函数、运用隐零点的思维来解决问题．本题考查利用导数研究函数的零点个数、证明不等式，运用了分析法、构造函数、隐零点等多种手段，考查学生的分类讨论思想、转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =a +3ty =−2t (t 为参数)，消去t 可得：直线l 直角坐标方程为2x +3y −2a =0依题：ρ2(1+3sin 2θ)=4，由ρ2=x 2+y 2及ρsinθ=y 可得：曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 2=1(y ≥0)(2)令曲线C 上动点P(2cosα,sinα)(0≤α≤π) 则P 到直线l 的距离d =|4cosα+3sinα−2a|√13=|5sin(α+φ)−2a|√13(其中sinφ=45，cosφ=35)， 因为φ≤α+φ≤π+φ， 所以−45≤sin(α+φ)≤1 1°.当a ≥0时，d min =√13=√13，解得a =9或a =−4(舍去) 2°.当a <0时，d min =|5×(−45)−2a|√13=√13，解得a =−172或a =92(舍去) 故所求a 的值为9或−172【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线的极坐标方程转换为普通方程．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)方法1：当a =1时，不等式f(x)<5即|3x −1|+|x −4|<5，1°.当x <13时，则有1−3x +4−x <5，解得x >0，此时0<x <13； 2°.当13≤x ≤4时，则有3x −1+4−x <5，解得x <1，此时13≤x <1； 3°.当x >4时，则有3x −1+x −4<5，解得x <52，此时原不等式的解集为空集．综合1°，2°，3°得，不等式f(x)>5的解集为{x|0<x <1}．方法2：当a =1时，f(x)=|3x −1|+|x −4|={5−4x,x <132x +3,13≤x ≤44x −5,x >4，作出y =f(x)及y =5图象如右：两函数图象交点坐标为(0,5)及(1,5)， 所以由图象知f(x)<5的解集为{x|0<x <1}．(2)方法1：当0≤x ≤3时，f(x)>3即|3x −a|≥x −1，1°.当0≤x ≤1时，|3x −a|≥x −1恒成立，此时a ∈R ；2°.当1≤x ≤3时，|3x −a|≥x −1恒成立，转化为3x −a ≥x −1或3x −a ≤1−x 恒成立；即a ≤2x +1或a ≥4x −1恒成立，则a ≤(2x +1)min =3或a ≥(4x −1)max =11， 故所求a 范围为(−∞,3]∪[11,+∞)．方法2：原问题转化为：|3x −a|≥x −1对∀x ∈[0,3]恒成立问题． 作出y 1=|3x −a|及y 2=x −1的图象，由图象知：a3≤1或a3≥113，故所求a范围为(−∞,3]∪[11,+∞)．【解析】(1)方法1.运用零点分区间法和绝对值的意义、去绝对值，解不等式可得所求解集；方法2.将f(x)化为分段函数的形式，画出图象，求得交点，可得所求解集；(2)方法1.将不等式化为|3x−a|≥x−1，讨论当0≤x≤1时，当1≤x≤3时，结合不等式恒成立可得所求范围；方法2.可得|3x−a|≥x−1对∀x∈[0,3]恒成立问题．作出y1=|3x−a|及y2=x−1的图象，结合图象可得a的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想、数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．第11页，共11页。
湖南省衡阳市2020年高考数学联考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是ห้องสมุดไป่ตู้合题目要求的。
1．若数列 满足 且 ，则使 的 的值为( )
A． B． C． D．
2．已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
附：
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
18．已知函数 ．
(Ⅰ)当 时，讨论函数 的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的 和 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（6分）已知椭圆 的焦距为 ，斜率为 的直线与椭圆交于 两点，若线段 的中点为 ，且直线 的斜率为 .
（1）求椭圆 的方程；
5．A
【解析】
【分析】
对数字 分类讨论，结合数字 中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字 出现在第 位时，数字 中相邻的数字出现在第 位或者 位，
共有 个
数字 出现在第 位时，同理也有 个
数字 出现在第 位时，数字 中相邻的数字出现在第 位或者 位，
（2）若过左焦点 斜率为 的直线 与椭圆交于点 为椭圆上一点，且满足 ，问： 是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.
20．（6分）已知数列 是等差数列，前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
21．（6分）已知 是等腰直角三角形, ． 分别为 的中点,沿 将 折起,得到如图所示的四棱锥 ．
A． B． C． D．
11．若 ， ， ，点C在AB上，且 ，设 ，则 的值为（）
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1
x2 y2 4
鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示 A (x, y) x 2 ( y 1)2 1或x 2 ( y 1)2 1 ，设
x
0
点 (x, y) A ，则 z x y 的取值范围是（ ）
A．[1 2, 2 2] B．[2 2, 2 2] C．[2 2,1 2] D．[2,1 2]
|
a
|
2
，
|
b
|
2
，
(a
b)
a
，则
a
在
b
方向上的投影为（
）
A． 1 B． 2 C． 2 D．1 2
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 《缉古算经》等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中有 5 部产生与魏晋南北朝时期． 某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅读教材则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南 北朝时期的专著的概率为（ ）
①与平面 B1AN 垂直的直线必与直线 CM 垂直；
②线段 CM 的长为 3 ； 2
③异面直线 CM 与 NB1 所成角的正切值为
3； 3
2
④当三棱锥 D ANB1 的体积最大时，三棱锥 D ANB1 外接球表面积是 4 ．正确的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第Ⅱ卷
交于 M ， N 两点， △MF1N 的周长为 4 2 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过
M
作与
y
轴垂直的直线 l
，点
K
3 2
, 0
，试问直线
NK
与直线 l
交点的横坐标是否为定值？请
说明理由．
20．若方程 f (x) x 有实数根 x0 ，则称 x0 为函数 f (x) 的一个不动点．已知函数 f (x) e xln x (a 1)x a ln x(a R)
3
（1）若点 F 为 BC 的中点，证明： EF 平面 ABC ； （2）若直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60°，求平面 DCE 与平面 ABC 所成的角（锐角）的余弦值．
19．已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
2 2
，左、右焦点分别为
F1 ，F2
，过
F2
的直线与 C
试证明：
1 a2
1
1 b2 1
1 c2 1
1．
6
参考答案 1．【答案】C
【解析】依题意， A (1,0) ， B (,0) ，所以 ðB A (, 1]，故选 C．
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题． 2．【答案】B
【解析】 z 1 i ，所以 | z || z |
14．在 △ABC 中，边 a,b, c 所对的角分别为 A, B,C ． △ABC 的面积 S 满足 4 3 S b2 c2 a2 ，若 3
a 3 ，则 a c _________． sin A sin C
15．已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于 A ， B 两点，若第一象限的点
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：
旧个税税率表（个税起征点 3500 元）
新个税税率表（个税起征点 5000 元）
缴税 基数
每月应纳税所得额（含税）=收 入-个税起征点
税率（%）
每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起 征点-专项附加扣除
税率（%）
1
不超过 1500 元的部分
缴纳的个税之和就超过 2019 年的人均月收入？
5
（二）选做题（共 10 分）
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点
的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 a(1 sin )(a 0) 表示的曲线 C1 就是一条 心形线．如图，以极轴 Ox 所在直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参
（参考数据：1.015100 4.432, lg11 1.041 ）
A． y 0.04x B． y 1.015x 1
C．
y
tan
x 19
1
D． y log11(3x 10)
10．已知 F1 ， F2
分别为双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点，过点 F1 与双曲线的一条渐近线
3 cos
x
2 sin
x
3
a
，知
a [2, 2] ，选
A．
【命题意图】此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇、辅助角公式的应用，属于中档题．
4．【答案】B
【解析】∵ f (x) f (x) ，则函数 y f (x) 为偶函数，∵函数 y f (x) 在区间 (,0) 内单调递增，
在该函数在区间 (0, ) 上为减函数，∵ log 1 3 log 1 1 0 ，由换底公式得 log 1 3 log2 3 ，由函数的
A． 7 B． 2 C． 4 D． 5
9
9
9
9
7．二项式 (mx 1)3(m 0) 展开式的第二项的系数为 3 ，则 m exdx 的值为（ ） 0
A． e 1
B． e 1 C．1 e D．1 1 e
8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上， 这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳
9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方
案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y （单位：万元）随经营利润 x （单位：万元）的增
加二增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%．下列函数模型中，符合该点要求的 是（ ）
（1）若 a e ，求证： f x 有唯一不动点；
（2）若 f x 有两个不动点，求实数 a 的取值范围．
4
21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税） 改革迎来了全面实施的阶段．2019 年 1 月 1 日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为 5000 元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、 子女教育和赡养老人等．
M
(t, 2)
，满足 OM
1
(OA
OB)
（其中 O
为坐标原点），则
|
AB
|
________．
2
16．已知
m
为整数，若对任意
x
(3, )
，不等式
ln(x x
3)
1 em
恒成立，则
m
的最大值为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
实数 x ，总有 f x1 f ( x) f x2 成立，则 A x1 x2 的最小值为（ ）
A．
1010
B．
2020
C．
3030
D．
4040
12．如图，矩形中 ABCD ，BC 2 AB 2 ，N 为边 BC 的中点，将 △ABN 沿 AN 翻折成 △B1AN（ B1 平面 ABCD ）， M 为线段 B1D 的中点，则在 △ABN 翻折过程中，下列命题：
数方程为
x
1
3t 3 （ t 为参数）．
y 3 t
（1）求曲线 C2 的极坐标方程 （2）若曲线 C1 与 C2 相交于 A ， O ， B 三点，求线段 AB 的长．
23．已知函数 f ( x) | x 6 | | x | m 的定义域为 R ．
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）设 t 为 m 的最大值，实数 a, b, c 满足 a2 b2 c2 t ．
（一）必做题（共 60 分）
17．已知an 为等差数列，前 n 项和为 Sn ， a3 9 ， S9 135 ．
（1）求数列an 的通项公式；
（2）记数列
1
a2n
前
n
项和为 Tn
，证明：
1 6
Tn
1 3
．
18．如图，在多面体 ABCDE 中， DE∥AB ， AC BC ，平面 DAC 平面 ABC ， BC 2 AC 4 ， AB 2DE ， DA DC
2．复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为 (1,1) ，则 | z | 的实部与虚部的和是（ ） z
A． 2 B．0
C．
2 2
D．
2 2
2i 2
3．若“ x R ，使得 sin x 3 cos x a ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[2, 2]
B． (2, 2)
C． (, 2] [2, ) D． (, 2) (2, )
4．已知 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，且在 (,0) 上单调递增，若 a f log1 3 ， b f
21.2
，
2
c
c 的大小关系为（
）
A． a c b B． b c a C． b a c D． a b c
5．已知向量
a
，
b
满足：