高中数学北师大版必修5练案：第3章 4 第3课时 简单线性规划的应用

[练案24]A 级 基础巩固一、选择题1．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是( C )A ．80B ．85C ．90D ．95[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，表示的平面区域，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1125x －11y ＝－22，解得A (112，92)．而由题意知x 和y 必须是正整数，直线y ＝－x ＋z10向下平移经过的第一个整点为(5,4)．z ＝10x ＋10y 取得最大值90，故选C ．2．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为( B )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定[解析] 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥1100x ＋160y ≤800，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．3．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －2y ≥0，则z 的最小值为( A )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( B )A ．5B ．4C ．5D ．2[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离． 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x －y －3＝0 ∴A 点坐标为(2,1)，z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即 2a ＋b ＝2 5.a 2＋b 2可看作两点(0,0)(a ，b )的距离的平方，原点到直线2a ＋b ＝25的距离的平方是(255)2＝4. 5．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( B )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元[解析] 设对甲项目投资x 万元，对乙项目投资y 万元，所获利润z ＝0.4x ＋0.6y 万元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60x ≥23y x ≥5y ≥5，画出可行域如图，作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移直线l 0可见，当平移到经过可行域内的点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60x ＝23y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝36.∴z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( C )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元[解析] 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤19x ＋y ≤1210x ＋6y ≥720≤x ≤80≤y ≤7x ，y ∈N.设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值，又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝122x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝5.即A (7,5)． ∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)．故选C ． 二、填空题7．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是[1，32].[解析] 考查线性规划最优解问题． 作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0x －y －1≤0x ≥1所表示区域．由1≤ax ＋y ≤4.∴a ≥0，且在(1,0)点取最小值，在(2,1)取得最大值． 故a ≥1,2a ＋1≤4 ∴a ≤32，故a ∈[1，32]．8．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ．若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是[12，4].[解析] 本小题考查线性规划问题，直线过定点问题. 直线y ＝a (x ＋1)，过定点P (－1,0)， 可行域D 如图A 点坐标为(0,4)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4，∴B 点坐标(1,1)，∴k P A ＝4，k PB ＝1－01－(－1)＝12，∴a ∈[12，4]．三、解答题9．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，求m 的值．[解析] 本题是线性规划问题．先画出可行域，再利用最大值为4求m .由m >1可画出可行域如图所示，则当直线z ＝x ＋5y 过点A 时z 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mxx ＋y ＝1得A (1m ＋1，m m ＋1)，代入得1m ＋1＋5mm ＋1＝4，即解得m ＝3.10．某人承包一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？[解析] 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x＋y )个．由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5x ＋2y ≥4x ≥0y ≥0所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝t 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)，∴最优解为：x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．B 级 素养提升一、选择题1．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( B ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2D ．2，－1[解析] 本题主要考查线性规划问题．不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x ＋2y 的最大值和最小值分别为2，－2，故选B ．2．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0，y ≤1z ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则z 的最小值为( B )A ．322B ．92C ．22D ．12[解析] 画出可行域如图所示．z ＝(x －2)2＋(y －2)2为可行域内的点到定点(2,2)的距离的平方， ∴z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|2＋2－1|12＋122＝92.3．若实数x 、y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥02x －y －3≤0x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( C )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] 如图，作出可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝02x －y －3＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m ＝9.解得m ＝1.4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( C )A ．2 800元B ．2 400元C ．2 200元D ．2 000元[解析] 设调用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，则0≤x ≤4，0≤y ≤8,20x ＋10y ≥100，即2x ＋y ≥10，设运输费用为t ，则t ＝400x ＋300y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤82x ＋y ≥10，作出可行域如图，则当直线y＝－43x ＋t300经过可行域内点A (4,2)时，t 取最小值2 200，故选C ．二、填空题5．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180 t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车为320元，B 型卡车为504元．每天调配A 型卡车5辆，B 型卡车2辆，可使公司所花的成本费用最低．[解析] 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤8y ≤4x ＋y ≤104x ·6＋3y ·10≥180x ≥0，y ≥0x ，y ∈N⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤80≤y ≤4x ＋y ≤104x ＋5y ≥30x ，y ∈N.目标函数z ＝320x ＋504y (其中x ，y ∈N )． 作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域．由图易知，直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(5,2)使z ＝320x ＋504y取得最小值，z 最小值＝320×5＋504×2＝2 608(元)．6．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，共有11种买法．[解析] 设购买8角和2元邮票分别为x 张、y 张，则⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ＋2y ≤10x ，y ∈Nx ≥2，y ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≤25x ≥2y ≥2x ，y ∈N.∴2≤x ≤12,2≤y ≤5，当y ＝2时，2x ≤15，∴2≤x ≤7，有6种； 当y ＝3时，2x ≤10，∴2≤x ≤5，有4种； 当y ＝4时，2x ≤5，∴2≤x ≤2，∴x ＝2有一种；当y ＝5时，由2x ≤0及x ≥0知x ＝0，又∵x ≥2，故不满足题意． 综上可知，不同买法有：6＋4＋1＝11种． 三、解答题7．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1 t 甲产品要用煤9 t ，电力4 kW ，劳动力(按工作日计算)3个；制造1 t 乙产品要用煤4 t ，电力5 kW ，劳动力10个．又知制成甲产品1 t 可获利7万元，制成乙产品1 t 可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t ，电力200 kW ，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少吨能获得最大经济效益？[解析] 设此工厂应分别生产甲、乙产品x t ，y t ，利润z 万元，则依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，利润目标函数为：z ＝7x ＋12y .画出可行域如图所示．作直线l ：7x ＋12y ＝0，把直线l 向右上方平移到l 1位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝7x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得M 点坐标为(20,24)．∴生产甲种产品20 t ，乙种产品24 t ，才能使此工厂获得最大利润．8．某厂有一批长为18 m 的条形钢板，可以割成1.8 m 和1.5 m 长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．[解析] 设割成的1.8 m 和1.5 m 长的零件分别为x 个、y 个，利润为z 元， 则z ＝20x ＋15y －(x ＋0.6y )即z ＝19x ＋14.4y 且 ⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ≤18x ＋0.6y ≤8x 、y ∈N，作出不等式组表示的平面区域如图，又由⎩⎪⎨⎪⎧1.8x ＋1.5y ＝18x ＋0.6y ＝8，解出x ＝207，y ＝607，∴M (207，607)，∵x 、y 为自然数，在可行区域内找出与M 最近的点为(3,8)，此时z ＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z ＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)； 过顶点(8,0)的直线使z ＝19×8＋14.4×0＝152(元)．M (207，607)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z ＝19x ＋14.4y 过点(1,10)时，z ＝163；过点(2,9)时z ＝167.6.∴当x ＝0，y ＝12时，z ＝172.8元为最大值．答：只要截1.5 m 长的零件12个，就能获得最大利润．由Ruize收集整理。