高等数学部分内部讲义

x −1
=0
x→1 x −1
x→1
x −1
（5）设
f
(x)
=
x 2
sin
1 x
x > 0 在 x = 0 可导，则 a, b 满足[ A ]
ax + b x ≤ 0
（A） a = 0,b = 0 。
（B） a = 1, b = 1 。
（C） a为任意常数, b = 0 。 （D） a为任意常数, b = 1。
所以 a = 1 .
5． 有关导数概念的问题
（1） lim
h→0
f
(x0
+ h) − f (x0 2h
− h)
。
f ′(x0 )
（2）设 f (x) 在 x = 0 点某邻域内可导，且当 x ≠ 0 时 f (x) ≠ 0 ，已知 f (0) = 0, f ′(0) = 2 ，
1
求极限 lim (1 − 2 f (x)) sin x 。
x ≠ 0, ，求 f ′′(0) = lim f ′(x) − f ′(0) 。 0
x=0
x→0
x
（ 4 ） 已 知 f (x) ∈ C[a,b] ， 且 f ′(a) > 0, f ′(b) < 0 ， 证 明 ： 存 在 ξ ∈ (a,b) ， 使 得
f (ξ ) ≥ f (x) (x ∈[a,b]) 。
7． 求不定式极限的问题
（1）求极限值，
∫ 设 f (x) = x et2 dt ，求 lim f (x + h) − f (x − h) 。 2 f ′(x) = 2e x2
0
h→0
h
（2）求待定参数值。
8． 研究函数单调性、求函数极值的问题
（1）单调性、极值问题，
求函数
y
=
2x 1+ x2
的单调区间和极值点。
x (x 2 −1)
x = −1，第二类。
（3）已知函数 f (x) = lim x2n−1 + ax 2 + bx 在 (−∞,+∞) 上连续，求 a, b 的值。
n→∞
x2n +1
f
(
x)
=

1 2
(a
1, x −b
−
1),

1 2
(a + b + 1), ax2 + bx,
(−∞, − 1)，单减；(−1,1)单增；(1,+∞)，单减；x = −1，极小；x = 1，极大
（2）最值问题， （3）证明不等式问题，
x
< arctan(x + 1) − π < x (x > 0) ，
x2 + 2x + 2
42
ab > ba (e < a < b) ，（考虑函数 f (x) = ln x ） x
)dt
=
lim
x→0
2
x
ln(1 + x akxk −1
2
)
=
lim
x→0
2x3 akxk −1
∫ （3） 确定 a, b 的值，使 lim 1
x t 2 dt = −2 。
x→0 sin x − ax b 1+ t 2
去 梦 想 ，去 实 现 。。。
∫ 解 因为 lim (sin x − ax) = 0 ， lim 1
简证
由于
f +′
(a)
=
lim
x→a+
f (x) − f (a) x−a
> 0,
f−′ (b) =
lim
x→b−
f (x) − f (b) x−b
<0
，所以存在
x1 < x2 ∈ (a, b) ，使得 f (x1) > f (a), f (x2 ) > f (b) ，故 f (a), f (b) 均不是函数 f (x) 在闭区间
联系地址：北京大学资源西楼三层 2313 室 邮编：100080 学校网址： 信息资料： 第 4 页，共 14 页
北京安通学校
去 梦 想 ，去 实 现 。。。
[a,b] 上的最大值。因此存在ξ ∈ (a,b) ，使得 f (ξ ) ≥ f (x) (x ∈[a,b]) 。
x ≤ 1, x > 1,
f
(
x)
=
4
−
x
2
,
2,
x x
≤ 2, > 2.
3, 求 f (g(x))（ = 4,
x ≤ 1,
）。x >1源自（ 3 ） f ′(e x ) = a sin x + b cos x (a,b是不同时为零的常数）, 求 f (x) 。
a = b, axsin(ln x) + C
是[ C ]
A x2 。 B x3 。 C x4 。 D x4 。 2
联系地址：北京大学资源西楼三层 2313 室 邮编：100080 学校网址： 信息资料： 第 3 页，共 14 页
北京安通学校
1=
lim
x→0
∫0x
2
ln(1 + axk
t
分法 三、几个应用 1．单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根） 2．凹凸性、拐点问题 3．平面图形的面积问题
[一元微积分中的常见问题] 1． 求函数表达式的问题
（1）已知 f (x +1) = x2 +1, 求 f (x) 的表达式。 f (x) = x2 − 2x + 2
1, （2）已知 g(x) = 0,
值为 f (1) = A − 2 。
由于 lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, 所以
x > 1, x = −1, x = 1, x <1
a = 0,b = 1
（4）讨论函数
f
(x)
=
( x
− 1) 2
sin
1 x −1
x ≠ 1在 x = 1处的连续性、可导性。连续，可导，

0
x =1
f ′(1) =
lim
f (x) −
f (1) =
(x −1)2 sin 1 − 0
lim
北京安通学校
去 梦 想 ，去 实 现 。。。
北京安通学校 05 年 gct 串讲高数内部资料
[考试要求] 函数及其图形：集合，映射，函数，函数的应用；极限与连续：数列的极限，函数的极限，极
限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，连续函数，无穷小与无穷大。 导数与微分：导数的概念，求导法则及导数基本公式，高阶导数，微分。 微 分 中 值 定 理
常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、 洛必达法则等
2．求导运算 需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函
数的导数公式 3．积分运算 （1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法 （2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积
6． 求简单复合函数、简单隐函数、简单参数方程确定的函数的导数和微分的问题
11 （1） y = ln(arctan x) 。 arctan x 1 + x2
（2）已知函数 y = y(x) 由 e y − e−x + xy = 0 确定，求曲线 y = y(x) 在 x = 0 处的切线方程与
法线方程。 y = −x, y = x
x→0
1
1
−2 f ( x)
lim (1 − 2 f (x))sin x = lim [(1 − 2 f (x))−2 f (x) ] sin x
x →0
x→0
=
lim
[(1
−
2
f
(
x))
−2
1 f
(x
)
]
−
2
f
(x)− x
f
(0)
= e−4。
x→0
（3）已知
f
(x)
=
x 4
sin
1 x
,
0,
北京安通学校
= e x sin x + C 因此 f (x) = x sin(ln x) + C
去 梦 想 ，去 实 现 。。。
∫ （4）设 xf (x)dx
=
arctan x + C ，求 ∫
1 dx 。 f (x)
∫ 解 因为 xf (x)dx = arctan x + C ，
所以 xf (x) = 1 ． 1+ x2
4． 有关无穷小比较的问题
（1）
若 lim e1−cos x −1 = a ≠ 0 ，求 k 与 a 的值。 x→0 tan(xkπ )
lim
x→0
e1−cos x − 1 tan(xkπ )
=
lim
x→0
1
− cos xkπ
x
=
lim
x→0
1 x2 2 xkπ
=
a
≠
0
k
=
2, a
=
1 2π
（2） 已知 f (x) = ∫0x2 ln(1 + t)dt ，则当 x → 0 时，下列函数中与 f (x) 是等价无穷小的
与导数应用：中值定理，导数的应用。 积分：不定积分和定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式， 不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。 [一元微积分内容总结]
一、两类概念 1．反映函数局部性质的概念