圆中的计算——构造直角三角形转化三角函数
单位圆上三角函数值的计算
单位圆上三角函数值的计算三角函数是一门与数学有关的学科，也是数学中的一种重要思想工具。
在三角函数中，常常会涉及单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系原点处。
在单位圆上，我们可以用三角函数计算出各种角度的正弦、余弦、正切值等。
一、单位圆上的正弦和余弦我们先来看正弦和余弦。
在单位圆上，任意一点(x,y)都可以表示为(x,√(1-x²))或(√(1-y²),y)的形式。
因为单位圆的方程式为x²+y²=1，所以当我们知道了x或y的值，就能算出另外一个未知的值。
因为正弦和余弦都是关于y和x的函数，所以对于一个三角形ABC，如果我们知道了其内角B的度数，就可以根据三角函数计算出BC与AB的比值，也就是正弦值sin(B)和余弦值cos(B)。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正弦函数值为sin(α)，其余弦函数值为cos(α)。
因为半径为1，所以在单位圆上，正弦和余弦的取值范围都是[-1,1]。
当角度为0度时，终边就在x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为1。
当角度为90度时，终边就在y轴上，此时的正弦函数值为1，余弦函数值为0。
类似地，当角度为180度时，终边就在-x轴上，此时的正弦函数值和余弦函数值都为-1；当角度为270度时，终边就在-y轴上，此时的正弦函数值为-1，余弦函数值为0。
二、单位圆上的正切值类似于正弦和余弦函数，正切函数也是与单位圆有关的。
在单位圆上，如果一个角的终边与x轴正方向之间的夹角为α，则该角的正切函数值为tan(α)。
因为正切值的定义是一个比值，所以正切值没有像正弦或者余弦那样有固定的取值范围。
不过，在单位圆的第一象限和第三象限，正切值是正数，而在第二象限和第四象限，正切值是负数。
举个例子，假设终边角度为45度，则终边上的点为(√2/2,√2/2)。
这个点与x轴正方向之间的夹角为45度，所以其正切值为tan(45)=1。
中考数学复习专题34与圆的有关计算试题(A卷,含解析)
与圆的有关计算一、选择题1. （山东东营，7，3分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是（ ） A ．40cm B ．50cm C ．60cm D ．80cm【答案】A【逐步提示】本题考查弧长公式与圆锥侧面展开图，先计算圆锥的底面周长，再根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出方程求解．【详细解答】解：圆锥的底面周长为：π×60=60πcm，所以扇形的弧长为60πcm．根据扇形的弧长公式可得27060180rππ=，解得r=40cm ．故选A ． 【解后反思】解答本题易出现两处错误：一是公式错误，如把弧长公式与扇形面积公式搞错搞混；二是把直径误以为半径．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的面积等于圆锥的侧面积．【关键词】弧长公式；圆锥的侧面展开图2. （山东东营，17，4分）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__________．【答案】25【逐步提示】本题考查弧长公式及扇形面积公式，【详细解答】解：∵正方形的边长为5，∴弧BD 的弧长=10，∴S 扇形ABD =111052522lr =⨯⨯=．故答案为25.【解后反思】解答本题需掌握：(1)弧长公式：l=180n r π；扇形面积公式：S 扇形=2360n r π=12lr ．【关键词】弧长公式；扇形面积公式 3. 4. ．(山东临沂，10，3分)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D ，C.若∠ACB=30°，3 ）（A ）3 （B ）6π（C ）3－6π （D ）3－6π 【答案】C【逐步提示】本题考查切线的性质及扇形面积公式的应用，连接OB ，先由切线的性质求出圆心角∠AOB 的度数，再分别计算△AOB 和扇形BOD 的面积，相减可得阴影部分面积．【详细解答】解：连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点，∴∠ABO=90°.∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°.在Rt△AOB 中，OB=tan AB AOB ∠=1.∴S 阴影=S △AOB －S 扇形BOD =12·AB ·OB －2601360π⨯⨯=32－6π．故选择C ．【解后反思】计算阴影部分的面积，通常情况下运用转化的思想，将不规则的图形、零散的几个图形面积转化为规则图形之间的和差关系和相对集中形成的规则图形面积． 【关键词】切线的性质；扇形面积公式5. （ 山东青岛，7，3分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面 积为（ ）.A . 175π cm 2B . 350πcm 2C .8003πcm 2 D ． 150πcm 2 【答案】B【逐步提示】先由AB 和BD 的长求出AD 的长，再分别求出扇形BAC 和扇形DAE 的面积，然后根据“贴纸部分的面积等于扇形BAC 的面积减去扇形DAE 的面积”求解.【详细解答】解：∵AB =25cm ，BD =15cm ，∴AD =25-15=10cm ，∴S扇形BAC =2120251250=1803ππ⨯（cm 2），S 扇形DAE =212010200=1803ππ⨯（cm 2），∴贴纸部分的面积＝125020035033πππ-=（cm 2），故选择B . 【解后反思】1.弧长公式：l ＝nπr 180 ，扇形面积公式：S =360n 2r π＝12lr ，其中n 为扇形圆心角的度数，r 为扇形半径．2.扇环的面积等于两个扇形面积之差.【关键词】 扇形的面积计算6.（ 山东泰安，5，3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B 【逐步提示】本题考查了三视图及圆锥侧面展开图的圆心角的计算，解决问题的关键是把图中的数据与圆锥结合起来．圆锥的主视图和左视图是一样的，数字“6”是底面直径，数字“62”是圆锥的高，由勾股定理可以求出圆锥的母线．然后利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长即2180n Rl r ππ＝＝，可以求得圆心角的度数． 【详细解答】解：圆锥的母线长＝()226239＋＝，∵2180nR l r ππ＝＝∴×923180n ππ⨯＝，解得n ＝120°，故选择B . 【解后反思】了解圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线.弄清楚这些关系才能正确解决问题.另外，左视图看到的两个量要清楚分别代表什么，不要把底面直径和周长混淆，导致解题错误.另外，对于涉及到圆锥的底面圆半径r 、母线长l 与圆锥侧面展开图的圆心角n 三个量之间的关系时，公式360r nl =的合理应用来得快捷得很，其推导过程如下：如图，由扇形ABC 的面积的两种表达形式可知，2123602n l l r ππ=⋅⋅，整理后即得360r nl =． 【关键词】 左视图；圆锥的侧面展开图． 7. (山东威海，16，3)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为____________.O GFED C B A 第16题图【答案】6【逐步提示】先求得⊙O 的半径，再求得内接正三角形EFG 的边长。
第一章 直角三角形的边角关系 第三章 圆 单元整体复习课 课件-北师大版九年级数学下册
∴AC＝AB，
∴∠CBA＝∠BCA＝70°，
分析 画弧操作知AC＝AB， 则∠CBA＝∠BCA＝70°
∵l1∥l2，
∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，
∴∠1＝180°－70°－70°＝40°，
l1∥l2，知∠CBA+∠BCA+∠1＝180°
故答案为：40°．
∠1度数
典例分析2
知识点2--圆的对称性
分析
解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°， 由圆周角定理∠A＝ ∠BOC
∴∠BOC＝180°－40°－40°
＝100°，
∴∠BOC＝180°－2 ∠OBC
∴∠A＝ ∠BOC＝50°．
故选：A．
典例分析4
知识点3--圆周角与圆心角的关系
如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、
运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题；
3.掌握并能运用以下知识解决问题：圆的有关性质：相关概念，对称性，
圆周角与圆心角关系，确定圆的条件，与圆有关的位置关系：点、直线与
圆的位置关系，与圆有关的运算：弧长面积的计算，圆的内接正多边形相
关运算。
复习要求
1.知识建构环节，需要大家暂停屏幕，根据给出的思维导图查阅课本，往
构造直角三角形
分析
锐角三角函数定义
10
5
5
典例分析2
知识点2--特殊的三角函数值
已知a为锐角，且sin（a － 10°）＝
A．50°
B．60°
C．70°
解：∵sin60°＝ ，
∴a － 10°＝60°，
即a＝70°．
反三角函数与三角函数的转化
反三角函数与三角函数的转化1. 引言在数学中，三角函数和反三角函数是基本的数学工具，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着至关重要的作用。
本文将详细解释反三角函数与三角函数之间的转化，包括函数的定义、用途和工作方式等。
2. 三角函数2.1 正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个直角三角形中对边与斜边之比。
正弦函数通常用符号sin来表示。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数可以通过在单位圆上取一个点P(x, y)，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标，并且连接原点O和点P形成一个直线段OP。
那么正弦值sinθ就等于线段OP与单位圆上对应点A之间的垂直距离。
具体而言，sinθ = y。
正弦函数在几何学、物理学和信号处理等领域有广泛应用。
例如，在几何学中，我们可以使用正弦函数来计算任意三角形中的边长或角度。
2.2 余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个基本的三角函数，它表示一个直角三角形中邻边与斜边之比。
余弦函数通常用符号cos来表示。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数可以通过在单位圆上取一个点P(x, y)，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标，并且连接原点O和点P形成一个直线段OP。
那么余弦值cosθ就等于线段OP与单位圆上对应点A之间的水平距离。
具体而言，cosθ = x。
余弦函数在几何学、物理学和信号处理等领域同样有广泛应用。
例如，在物理学中，我们可以使用余弦函数来计算物体在斜面上的摩擦力或加速度。
2.3 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的又一个重要概念，它表示一个直角三角形中对边与邻边之比。
正切函数通常用符号tan来表示。
正切函数的定义域为实数集，但注意到当θ等于90°或270°时，正切无定义。
正切函数可以通过在单位圆上取一个点P(x, y)，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标，并且连接原点O和点P形成一个直线段OP。
圆与三角函数线
05
实例分析
三角函数线在几何问题中的应用
确定角度
01
三角函数线可以用来确定几何图形中的角度，例如在三角形中，
通过三角函数线可以找到角的大小。
计算长度
02
利用三角函数线，可以计算出几何图形中某条边的长度，例如
在直角三角形中，可以通过三角函数线计算斜边长度。
解决最值问题
03
通过三角函数线，可以解决几何图形中的最值问题，例如在圆
圆与三角函数线在解析几何问题中的应用
极坐标与直角坐标转换
圆和三角函数线在解析几何中常常用于极坐标与直角坐标之间的转换，例如在求解某些 曲线方程时，可以将极坐标转换为直角坐标，或者将直角坐标转换为极坐标。
解决轨迹问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些轨迹问题，例如在平面内求一个点绕另一个 点做圆周运动的轨迹。
解决最值问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些最值问题，例如在平面内求一个点到另一个 点的距离的最大值或最小值。
06
总结与展望
总结
圆与三角函数线是数学中两个重要的 概念，它们在几何、代数和三角学等 多个领域都有广泛的应用。
三角函数线是三角函数在直角坐标系 中的图像表示，包括正弦线、余弦线 和正切线等。
圆是二维平面上的一个封闭曲线，其 性质包括圆心到圆上任一点的距离相 等、经过圆心的直径将圆分成两个相 等的部分等。
圆与三角函数线在解析几何、微积分、 物理和工程等领域都有广泛的应用， 是数学和科学研究中不可或缺的工具。
未来研究方向
随着数学和科学技术的不断发展， 圆与三角函数线的研究也在不断
深入。
未来研究方向包括探索圆与三角 函数线的更多性质和应用，以及 如何将它们应用于实际问题中， 如物理学、工程学和经济学等。
三角函数和圆
三角函数和圆-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
课题三角函数和圆
一、知识回顾：
1、三角函数的定义：sinα=对边/斜边 cosα=邻边/斜边 tanα=对边/邻边
2、圆的有关性质。
3、圆中常见辅助线。
4、求三角函数的策略：构建直角三角形。
方法：①等角代换②做垂直构造直角三角形
圆中求三角函数的策略：①利用同弧所对的圆周角相等转换②利用直径所对的圆周角是直角或利用垂径定理构造构造直角三角形。
二、例题讲解：
分析：（1）圆中若有切线现，常把切点半径连。
（2）求BD的关键是求半径。
法一：利用（1）的结论找相似，二：作弦心距构造直角三角形用勾股定理。
（3）①等角转换②找直角三角形③做垂直用面积法④等角转换。
分析：（1）垂径定理（知二推三）（2）课本常变形考题先求CD。
根据∠B的正弦值巧设辅助未知数计算，再利用相似。
三、习题分析：
四、课后训练：
五、总结与反思：
1、遇线段的比，常常巧设辅助未知数，帮助理解各线段之间的数量关系。
2、求三角函数的策略：构建直角三角形。
方法：①等角代换②做垂直构造直角三角形。
27.6 正多边形与圆(作业)(解析版)
27.6 正多边形与圆（作业）一、单选题1．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据题意可以求出这个正n 边形的中心角是60°，即可求出边数.【详解】⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则这个正n 边形的中心角是60°，360606¸°=on 的值为6，故选C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.2．（2020·上海）如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（ ）A ．sin 36a°B ．cos36a°C ．2sin18a°D ．2cos18a°【答案】C【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ；∴OA=AM sin OAM Ð=218a sin °故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.3．（2020·上海九年级二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．4．（2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模）（ ）D．A．2B．4C．【答案】A【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．【详解】如图，AOG＝30°，在Rt△AOG中，OG÷2；∴OA＝OG÷cos 30°故选A．【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．5．（2020·上海九年级专题练习）正六边形的半径与边心距之比为（ ）B1C2D．2A．1【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径...正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r，2D．∴R：r＝1【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）下列四个命题中，错误的是（）A．所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补【答案】B【分析】利用正多边形的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．【详解】A 、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项不符合题意；B 、正奇数多边形不是中心对称图形，错误，故此选项符合题意；C 、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故此选项不符合题意；D 、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故此选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）若一个正九边形的边长为a ，则这个正九边形的半径是( )A ．cos 20a°B ．sin 20a°C ．2cos 20a°D ．2sin 20a°【答案】D【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．接OA ，则在直角△OAC 中，∠AOB=3609°．OC 是边心距，OA 即半径．根据三角函数即可求解．【详解】解答：如图所示，过O 作OC ⊥AB 于C ，则OC 即为正九边形的边心距，连接OA ，∵此多边形是正九边形，∴∠AOB=3609°=40°，OA=OB ，∴∠AOC=12∠AOB=12×40°=20°，∵AB=a ，∴AC=12a ，∴OA=sin AOCAC Ð=2sin20a °=2sin20a°．故选D ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．8．（2020·上海九年级一模）如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．pB ．p -C ．2pD ．2p -【答案】D 【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，∴△ABC 的面积为12BC•AD=122´，S扇形BAC =2602360p´=23p，∴莱洛三角形的面积S=3×23p﹣﹣，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．二、填空题9．（2019·上海交大附中九年级）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】4p【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=r，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【详解】连接OA、OF，设OA=R，OF=r；Q AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，\90AFOÐ=°，AF=1122AB=\在Rt AFO △中，222AF AO FO =-即2221124R r æö=-=ç÷èø又Q ()22=S R r p -圆环，\1=4S p 圆环．故答案为4p ．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．10．（2020·上海大学附属学校九年级三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．【答案】72【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE 至少旋转的度数为AOB Ð的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【详解】如图，由题意可知，所求的问题为AOB Ð的度数由正五边形的性质得：AOB BOC COD DOE AOEÐ=Ð=Ð=Ð=Ð又360AOB BOC COD DOE AOE Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°Q 1360725AOB \Ð=´°=°故答案为：72．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级二模）已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为________．【答案】【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP ⊥BC ，OP 的长即为边心距，即OP=1，由△ABC 是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP 平分∠ABC ，则∠OBP=30°，∴OB=2OP ，由勾股定理知：，∴BC=，即边长为，故答案为【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．12．（2020·上海九年级二模）如图，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =uuu r r ，AF b =uuu r r ，那么向量AD uuu r 用向量a r ，b r 表示为____．【答案】2a +r 2b r ．【分析】如图，连接BE 交AD 于O ．则AOB D 是等边三角形，OA OD =，根据三角形法则求出AO uuu r即可解决问题．【详解】如图，连接BE 交AD 于O ．∵ABCDEF 是正六边形，∴△AOB 是等边三角形，AO =OD ，∴∠FAO =∠AOB =60°，OB =AB =AF ，∴AF ∥OB ，∴BO AF b ==uuu r uuu r r ，∵AO AB BO a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，∵AD =2AO ，∴AD =uuu r 2a +r 2b r ．故答案为：2a +r 2b r ．【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．三、解答题13．（2020·上海九年级一模）如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,⊙O 的半径长为rcm,弧AB 的长度为1l cm,弧CD 的长度为2l cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当1l =2l 时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵1l =2l ，∴12180180r r ap bp =∵AB 和CD 在同圆中，r 1=r 2 ，∴α=β，∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.14．（2014·上海）如图，已知AD 既是△ABC 的中线，又是角平分线，请判断：（1）△ABC 的形状；（2）AD 是否过△ABC 外接圆的圆心O ，⊙O 是否是△ABC 的外接圆，并证明你的结论．试题分析：（1）过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ，根据HL 定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD ，可知AD 过圆心O ，故可得出结论．试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．证明：过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ．∵AD是角平分线，∴DE=DF．又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（HL）．∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AD过圆心O．作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，∴⊙O是△ABC的外接圆．考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．。
圆中的基本图形和常见数学思想
圆中的基本图形和常见数学思想圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。
而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。
所以学生遇到圆的综合题往往觉得相当吃力。
针对这种情况，笔者一直在考虑如何突破圆的教学难关，让学生对圆不再望而生畏，并且提高解题能力。
教师有必要把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。
另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。
让他们熟悉圆中常用的数学方法。
笔者归纳了以下几个方面的内容，概述如下。
1 圆中基本图形主要有这个图形中涵盖了：１、垂径定理及其推论；２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系；４、直径所对的圆周角是直角这个图形中涵盖了：１、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角，２、相似关系;３、割线定理这个图形中涵盖了：１、弦切角等于所夹弧所对的圆周角，２、相似关系;３、切割线定理这个图形中涵盖了：１、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍这个图形中涵盖了：１、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。
２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系这个图形中涵盖了：１、同弧所对的圆周角相等，２、相似关系，３、相交弦定理这个图形中涵盖了：１、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径２、相似关系，射影定理，３、直角三角形的外心在斜边的中点４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半这个图形中涵盖了：１、连心线垂直平分公共弦２、圆的对称性这个图形中涵盖了:等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。
这个图形中涵盖了:正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。
初中数学单位圆定义的三角函数公式
初中数学单位圆定义的三角函数公式单位圆定义在实际计算上没有大的价值;事实上对多数角它都依靠于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对全部正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图象，把全部重要的三角函数都包含了。
依据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同 * 轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的 * 和 y 坐标分别等于 cos θ和 sin θ。
图象中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = */1。
单位圆可以被视为是通过转变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
上面的内容为大家带来的是单位圆定义三角函数，相信大家能仔细记忆了吧，接下来还有更多的公式大全营养餐等着同学们来吸取呢。
中学数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，盼望同学们很好的掌控下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
盼望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌控，相信同学们会取得很好的成果的哦。
中学数学平行四边形定理公式同学们仔细学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的`对角相等；③平行四边形的对角线相互平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线相互平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌控了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
弦长的十种计算技巧
弦长的十种计算技巧在圆中，弦长的计算是垂径定理的重要应用之一，常作垂直于弦的直径或半径。
但往往只须作出弦心距作为辅助线构成直角三角形，计算弦长。
题目：已知OA 、OB 为⊙O 的半径，OA ⊥OB ，弦AD 经过OB 的中点C ，⊙O 的半径为4cm ，求AD 之长。
一、作弦心距，构造直角三角形，计算弦长 解：如图1所示。
图1过点O 作OE ⊥AD 于点E ，则AD=2AE 。
在Rt △AOC 中，OA=4cm ，OC=12OB =2cm 。
由勾股定理得AC OA OC cm =+=2225，又1212455OA OC AC OE OE OA OC AC cm ···=⇒==， 在Rt △AEO 中，AE OA OE cm =-=22855， 故AD AE cm ==21655。
二、利用正切三角函数计算弦长 题目和图同上。
解：在Rt △AOC 中，tan ∠OAC OC OA ==12， 又在Rt △AEO 中，cot ∠OAE AEOEAE OE =⇒=·cot /tan ∠∠OAE OE OAC = ==2855OE cm 。
因此AD AE cm ==21655。
三、利用射影定理计算弦长解：如图1在Rt △AOC 中，OE ⊥AC ⇒=⇒==AO AE AC AE AO AC cm 22855·（由解一可知AC cm =25），因此AD AE cm ==21655。
四、利用相交弦定理计算弦长解：如图2，延长BCO 交AD ⋂于点F ，图2则CF OF OC cm CB OB cm =+===6122，， 依相交弦定理有BC CF AC CD BC CF AC AD AC AD BC CFACAC cm cm·····×=⇒=-⇒=+=+=()()2625251655五、利用切割线定理计算弦长 解：如图3，图3同解一作OE ⊥AD 于点E ，则AD=2AE 。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版《圆》要点分析
九年级数学专题复习---《圆》要点分析一、关于圆的主干知识点为：垂径定理；圆心角圆周角；切线的性质和判定；圆中线段、角弧长、扇形的计算。
故计划用3个课时完成圆一章的复习：第1课时《圆的有关概念及计算和应用》——包括求边和角的简单计算、弧长、扇形面积、正多边形的简单计算。
第2课时《与圆有关的三种位置关系》——会利用数量关系准确判断三种与圆有关的位置关系。
第3课时《切线性质与判定的应用》——切线的性质和判定定理的应用及归纳判定切线证明的基本方法。
二、关于与圆进行单元间综合的知识点有：等腰、直角三角形的重要性质等。
针对涉及本单元外的知识点，要计划在单元外复习时加强落实，以确保单元复习的延续性和完整性。
【示例】(07年)21、如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，CE AC.【分析】本题在运用切线的有关性质得出线段相等的条件后，若在图形中隐去了圆，则解题过程中所用到的全是关于等腰三角形三线合一、三角函数的相关知识。
因此，在进行《三角形》复习时必须注意落实相关内容的复习，让单元外知识成为本章复习的枝节内容，更好地突出圆复习的重点内容。
三、通性、通法分析“问题是数学的心脏”，可见学习数学不能不解题，九年级数学总复习的最终目标就是学生能顺利解答出试题。
所以提高学生解决问题的能力也就成为数学教学的重要组成部分。
近年来考试命题不仅注重基础知识的覆盖面和主干知识的重点考查，而且更重视数学思想方法的考查，强调淡化特殊技巧、注重通性通法。
所以通性通法成为九年级数学复习的重要内容。
所谓“通性”是处理数学题的共通思维意识和策略，“通法”是一类题的共性特征，有普遍意义，【示例】《切线的性质和判定的应用》：在△ABC中，CA=CB，AB的中点为点D，（1）如图3，当点D恰好在⊙C上时，图3求证：直线AB 是⊙C 的切线。
（2）如图4，当⊙D 恰与CA 相切于E 点，求证：BC 也是⊙D 的切线。
新中考_新备考_新思考——以初中数学微专题“圆背景下有关线段的计算”为例
2023年第24期教育教学SCIENCE FANS新中考 新备考 新思考——以初中数学微专题“圆背景下有关线段的计算”为例赵黄婧（无锡市华庄中学，江苏 无锡 214131）【摘 要】文章以一堂初三复习课“圆背景下有关线段的计算”为例，笔者精心设计教学内容和教学环节，带领学生分析条件，得出结论，从而培养学生的发散性思维。
相关教学设计从易到难，层层递进，遵循“最近发展区”原理，符合学生的实际发展水平，同时渗透几何求解的三大工具——三角形相似、勾股定理、面积法，并通过一题多解的方式渗透选择最优解题方法的路径。
【关键词】初中数学；微专题；复习课【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）24-0018-03在初三数学复习课中，教师需要引导学生夯实基础，注重知识之间的联系，构建知识体系，注重方法的归纳，提升思维能力。
本文笔者就2023年3月在江苏省无锡市经开区初三数学教学研讨中执教的“圆背景下有关线段的计算”这一微专题，分享一下自己的思考。
1 教学过程例1：如图1，直角ΔABC 中，∠C =90°。
请在图1中用无刻度的直尺和圆规作⊙B ，使其恰好经过点C ，在AB 上截取AD =AC ，延长CD 交⊙B 于E （不写作法，保留作图痕迹）。
BCA 图1问题1：如何作图？圆是如何确定的？问题2：根据图形，你能得到哪些结论？连接BE 呢？问题3：若AC =3，BC =4，请问你能求出哪些线段的长？问题4：请独立思考，再小组讨论，求出线段CD 的长。
问题5：回顾这道题，求线段的长一般有哪些方法？用什么方法比较简单？解法分析：①利用∠ABE =90º构造“K形相似”，再用勾股定理求CE ；②利用面积法求ΔABC 斜边上的高，再构造“8字形相似”；③延长EB ，作出直径，构造“反A形相似”。
题目小结：利用三角形相似、勾股定理和面积法可求线段长度，在直角三角形中可考虑用三角函数相关知识，在比相似步骤上比较简单；在求线段长度时，要把线段放到三角形里，最好是直角三角形，再利用勾股定理、三角形相似等相关知识，列出方程，体现数学中的方程思想。
三角函数
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三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
目录1概述2定义2.1 变化情况2.2 罕见2.3 概念3正弦，余弦3.1 由来3.2 “弦表”问世3.3 60进制4同角关系式4.1 对称性4.2 诱导公式4.3 推导方法5三角恒等式5.1 两角和与差5.2 和差化积5.3 积化和差5.4 倍角公式5.5 三倍角公式5.6 n倍角公式5.7 半角公式5.8 辅助角公式5.9 万能公式5.10 降幂公式5.11 三角和5.12 幂级数6泰勒展开式7傅立叶级数8数值符号9相关概念9.1 定义域和值域9.2 画法9.3 倍半角规律9.4 反函数10高等应用10.1 总体情况10.2 复数性质11性质定理11.1 正弦定理11.2 余弦定理11.3 正切定理12定理口诀1概述三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。
它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
圆中的计算——构造直角三角形转化三角函数
圆中的计算——构造直角三角形转化三角函数构造直角三角形的基本思想是利用圆的性质以及直角三角形的特点来
确定三角形的边长。
在一个已知半径为r的圆上，我们可以利用圆的切线
和切点来构造一个直角三角形。
设圆的半径为r，直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据圆的性质，切线与半径垂直，并且切点到切线的距离等于半径的长度。
因此，在圆上选择一个点作为切点，再通过这个点作圆的切线，可以得到
一个直角三角形。
具体的构造步骤如下：
1.在圆上选择一个点作为切点，记为A；
2.以A为圆心，长度为r的线段作为半径画圆；
3.过A作与圆相切的直线，记为l；
4.l与圆的交点分别记为B和C；
5.连接AB和AC，得到直角三角形ABC。
在构造完成直角三角形ABC之后，我们可以进一步利用三角函数来计
算该三角形的各个边长和角度。
首先，由于ABC是直角三角形，我们可以利用勾股定理来计算斜边c
的长度。
勾股定理指出，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2
其次，我们可以计算三角形ABC的各个角度。
由于是直角三角形，已
知两条直角边，我们可以计算出其中一个角的正弦、余弦和正切值。
在三
角函数的定义中，正弦表示角的对边与斜边的比值，余弦表示角的临边与斜边的比值，正切表示角的对边与临边的比值。
综上所述，通过构造直角三角形，我们可以得到直角三角形的边长和角度，并进行三角函数的计算。
这样，我们可以在圆中进行更深入的计算和分析，进一步应用于解决实际问题。
高中数学论文走进圆中巧解直角三角形
圆中巧解直角三角形在圆的背景条件下解直角三角形，突出解直角三角形，可谓是圆搭台，直角三角形唱戏。
下面就采摘几例，供学习时参考。
1、圆搭台，巧求锐角三角函数值例1、如图1所示的半圆中，AD 是直径，且3AD =，2AC =，则s i n B 的值是 ． （2008乌鲁木齐）．方法解读：遇到锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行。
在圆中寻找直角三角形的最好办法，就是看圆中是否存在直径，然后根据直径所对的圆周角是直角，来完成问题的求解。
另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中，本题就是用的这两种办法。
解：因为，AD 是直径，所以，∠ACD 是直角，因此，三角形ACD 是直角三角形，所以，sin ∠ADC=AD AC =32， 因为，∠ADC ，∠B 同时对着弧AC ，所以，∠ADC=∠B ，所以，sin ∠B= sin ∠ADC=32。
例2、如图2所示，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的值等于（ ）（2008年南京市）A ．ODB ．OAC ．CD D ．AB方法解读：锐角三角函数有一个特点，这就是：同角或者等角的锐角三角函数值相等。
所以，一个角三角函数值就有多种表示方法。
解：因为，AB 与⊙O 相切于点A ，OD OA ⊥，所以， 三角形COD 和三角形AOB 都是直角三角形，并且点O 、D 、A 在一条直线上，点O 、C 、D 在一条直线上，所以，∠AOB=∠DOC ，而在直角三角形COD 中，cos ∠DOC=OCOD ， 因为，⊙O 的半径为1，所以，OC=1，所以，cos ∠DOC=OD ，所以，cos ∠AOB =OD ，所以，选A 。
例3、如图3所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ．（08河南省卷）方法解读：直接求难度很大，所以，在解答时，我们可以利用在同圆中，同弧上的圆周角相等，把∠AED 转接到直角三角形ABC 中的∠ABC 上，在直角三角形ABC 中，完成问题的解答。
三角函数表的来历
三角函数表的来历三角函数是在平面直角坐标系中的定义的，是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
三角函数值就是对一个特定角而言所对应的值，而三角函数表就是包含各种度数的角的三角函数值，包括正弦值、余弦值、正切值、正割值等。
比较详细的三角函数表包含了1°~360°的角，更详细的三角函数表甚至会精确到小数点后几位。
由于几何计算的常用方法是通过构造图形，将未知化为已知。
而三角函数值的计算，则通常是在单位圆中构造三角形解决的。
三角函数表发展到今天，经历了许多变迁。
最初，三角函数的概念是探索天文现象发现的，三角函数的周期性变化可以在一定程度上从数学的角度，解释天文现象的周期性变化。
三角函数表的最早形态，可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”。
托勒密在制作这张弦表时使用的是半径为60单位的圆的圆心角，并且记录了弦长，因此，正弦函数值的变化也是在圆半径不变的基础上，随着弦长的变化而变化。
也就是说，这张弦表也可以视为最早的正弦表。
至此，三角函数值多为弦值，直到中亚细亚天文学家阿尔·巴坦尼通过将一根杆直立在地上/墙上通过阴影测量太阳仰角的时候，得出了余切值与正切值。
杆立在地上时，阳光在地上投射的影子长度即余切值；杆水平插在墙上时，阳光投射杆在墙面上的影子长度即正切值。
后来，14世纪英国三角学者布拉瓦丁正式将切值引入到了三角计算中去。
直到天文学家哥白尼的学生利提克斯认为当时天文观测的精度需要越来越高，对精确三角函数值的计算也越来越迫切，便开始着手于包括正弦、正切和正割的三角函数表的制作。
一直到1956年由他的学生完成并公诸于世。
现在，随着计算机的出现，三角函数值的计算也愈加精密、愈加方便，三角函数表便慢慢消失在我们的视野中了。
本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创，转载时务请注明出处。
作者：李玥 [责任编辑: 李浩]。
三角函数介绍
三角函数（Trigonometric Functions）是一组在数学中广泛使用的函数，通常用于研究三角形的几何关系，尤其是直角三角形。
这些函数包括正弦（sine，sin）、余弦（cosine，cos）和正切（tangent，tan）等。
它们是周期性函数，周期为2π。
1. 正弦函数（Sine）：sin(θ) = y/r，表示直角三角形中，对边（y）与斜边（r）之比。
2. 余弦函数（Cosine）：cos(θ) = x/r，表示直角三角形中，邻边（x）与斜边（r）之比。
3. 正切函数（Tangent）：tan(θ) = y/x = sin(θ)/cos(θ)，表示直角三角形中，对边与邻边之比。
4. 余切函数（Cotangent）：cot(θ) = x/y = cos(θ)/sin(θ)，表示直角三角形中，邻边与对边之比。
5. 正割函数（Secant）：sec(θ) = r/x，表示直角三角形中，斜边与邻边之比。
6. 余割函数（Cosecant）：csc(θ) = r/y，表示直角三角形中，斜边与对边之比。
这些三角函数可以用单位圆来直观理解。
单位圆是一个半径为1的圆，圆上的任意点(x, y)满足x^2 + y^2 = 1。
三角函数值可以通过单位圆上的点的坐标计算得到。
例如，正弦函数sin(θ)等于圆上一点的纵坐标y，余弦函数cos(θ)等于圆上一点的横坐标x。
三角函数在许多实际问题中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、天文学等。
三角函数的导数、积分、级数展开等概念也是高等数学的重要部分。
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专题：圆中的计算——构造直角三角形转化三角函数
学习目标：能运用圆心角、圆周角的转换进行圆中的计算
教学过程 一、知识回顾
如图，在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，∠ACB=75°.
(1) (2) (3) (1)如图(1)，∠ABC= ，∠A=
(2)如图(2)，作直径CD ，连BD ，∠DBC= ，∠D= (3)如图(3)，连AO 并延长交BC 于M ，连OC ，∠AMC= ,∠MOC= 思考：图(2)，图(3)中，能用线段的比表示出sin ∠BAC 、cos ∠BAC 、tan ∠BAC 吗？ 二、例题精练
1.如图，点E 在以AB 为直径的⊙O 上，点C 是⌒BE 的中点，连BE 交AC 于点F 。
若cos ∠CAE=4
5
，BF=15，求AC 的长。
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，CO 的延长线交AB 于点D. (1)求证：AO 平分∠BAC ；(2)若BC=6，sin ∠BAC=3
5，求AC 和CD 的长.
归纳：如何通过转换圆周角或圆心角转化三角函数呢？
A
三、课堂检测
1.如图，⊙O 的直径为5，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AC =2√6，则tan ∠B=
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，若AB=4√3， cos ∠BAC=1
3，则BC=
3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB=10，cos ∠BAC=3
5
，∠BAD=30°，
则线段CD 的长是
四、巩固练习
1.如图，△ABC 内接于⊙O ，E 在⌒AC 上，⌒EC
=⌒AB ，AC=BC ，若AB=4，BE=6，求cos ∠EBC.
2.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC ，点P 是⌒AB
的中点，连接PA 、PB 、PC ，若sin ∠BPC=24
25，求tan ∠PAB.
A
E
A。