高等数学极限方法总结

极限摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、一.引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。

一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。

树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。

求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。

夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。

泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。

还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

二. 研究问题及成果一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xxx （2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。

一定注意两个重要极限 成立的条件。

例如：133sin lim 0=→xxx ，e x xx =--→210)21(lim ，e xxx =+∞→3)31(lim ；等等。

4．洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。

说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。

定理 4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim110x g x f x x →存在时，)()(lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110x g x f xx→，即)()(lim 0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。

5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）)()(limx g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限)()(lim x g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(l i mx g x f =)()(lim x g x f '' 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。

特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。

另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim 00x f x f x x =→ 。

7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1） ),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n （2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim则极限∞→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。

二、求极限方法举例1． 利用函数的连续性（定理6）求极限例4 xx e x 122lim → 解：因为20=x 是函数xe x xf 12)(=的一个连续点， 所以 原式=e e 42212= 。

2． 利用两个重要极限求极限例5 23cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 22022=⋅=→→x xx x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 xx x 20)sin 31(lim -→ 解：原式=6sin 6sin 310sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。

例7 nn n n )12(lim +-∞→ 解：原式=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。

注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x →0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。

第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。

当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。

3． 利用定理2求极限例8 xx x 1sin lim 20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。

4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且limlim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1)1~x x x αα+-．例1 求01cos limarctan x xx x→-．解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时， 故，原式220112lim 2x xx →==例2 求1230(1)1limcos 1x x x →+--．解12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此: 原式202123lim132x xx→==-． 例3 求1limtan x x→．解 0,x →时11~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim2ln(1)x x e x x →-+．解 0,1~,ln(1)~xx e x x x →-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解 330ln(1)lim 1n x x x ax →-+= 而左边225311003331lim lim n n x x x x x x nax nax--→→-+--=，故 15n -=即6n = 0331lim11662x a a a →--∴=∴=∴=-．5.利用洛比达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim()x af x F x →''存在，那么()()limlim ()()x ax a f x f x F x F x →→'=' . [1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]例12 23cos 1lim x xx -→（例4） 解：原式=616sin lim 0=→x x x 。

（最后一步用到了重要极限）例13 12coslim1-→x xx π 解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。

例14 3sin lim xx x x -→ 解：原式=203cos 1limxx x -→=616sin lim 0=→x x x 。

（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 例15 xx xx x x sin cos sin lim 20-→解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 原式例18 ])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→xx x 。