高数1-7

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高等数学上册教材目录

高等数学上册教材目录1. 微积分导论1.1. 实数与数集1.1.1. 实数的概念与性质1.1.2. 数集的分类与运算1.1.3. 上确界与下确界1.2. 极限与连续性1.2.1. 函数极限的定义1.2.2. 极限的性质1.2.3. 无穷小量与无穷大量1.2.4. 连续性的定义与性质2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.1.1. 函数的定义与表示2.1.2. 函数的图像与性质2.2. 函数的极限2.2.1. 函数极限的计算方法2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响2.3. 极限存在与连续性2.3.1. 极限存在的条件2.3.2. 连续函数与间断点3. 导数与微分3.1. 导数的概念与性质3.1.1. 导数的定义3.1.2. 导数的运算法则3.1.3. 高阶导数与导数的应用3.2. 微分的概念与应用3.2.1. 微分的定义与计算3.2.2. 微分中值定理与导数的应用3.3. 函数的凸性与最值3.3.1. 函数的单调性与凸性3.3.2. 最值问题与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2. 柯西中值定理与洛必达法则4.3. 震荡定理与不等式的应用4.4. 张贴问题与曲线追踪5. 积分与不定积分5.1. 积分的概念与性质5.1.1. 不定积分的定义5.1.2. 积分运算法则5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分 5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用 5.2.2. 变限积分的计算5.3. 定积分的概念与性质5.3.1. 定积分的定义5.3.2. 定积分的计算方法5.4. 积分中值定理与上积分5.4.1. 积分中值定理的应用5.4.2. 上积分的概念与计算6. 积分应用与定积分计算6.1. 曲线的长度与平面图形的面积6.1.1. 曲线长度的计算6.1.2. 平面图形面积的计算6.2. 旋转体的体积与平面曲线的求弧长6.2.1. 旋转体的体积计算6.2.2. 平面曲线弧长的计算6.3. 曲线的参数方程与极坐标方程6.3.1. 参数方程与极坐标方程的基本概念6.3.2. 参数方程与极坐标方程的应用7. 微分方程初步7.1. 微分方程的基本概念与解的存在唯一性 7.2. 一阶微分方程的解法7.2.1. 可分离变量的微分方程7.2.2. 齐次与一阶线性微分方程7.2.3. 可降阶的高阶微分方程7.3. 二阶线性齐次微分方程7.3.1. 齐次线性微分方程的基本概念7.3.2. 常系数齐次线性微分方程的解法 7.4. 可降阶的高阶线性微分方程7.4.1. 高阶线性微分方程的基本概念7.4.2. 可降阶的高阶线性微分方程的解法8. 多元函数微分学8.1. 二元函数与偏导数8.1.1. 二元函数的概念与性质8.1.2. 偏导数的定义与计算8.2. 多元函数的微分8.2.1. 多元函数的全微分8.2.2. 隐函数与反函数的微分8.2.3. 多元函数的全微分与偏导数8.3. 多元函数的极值与条件极值8.3.1. 多元函数的极值及其判定条件8.3.2. 多元函数的条件极值及其求解9. 重积分9.1. 二重积分的概念与性质9.1.1. 二重积分的定义9.1.2. 二重积分的计算方法9.2. 二重积分的应用9.2.1. 平面图形的质心与重心 9.2.2. 轴对称曲面的体积计算 9.3. 三重积分的概念与性质9.3.1. 三重积分的定义9.3.2. 三重积分的计算方法9.4. 三重积分的应用9.4.1. 空间图形的体积计算9.4.2. 质量和质心的计算10. 曲线积分与曲面积分10.1. 曲线积分的概念与计算10.1.1. 第一类曲线积分10.1.2. 第二类曲线积分10.2. Green公式与环流量10.2.1. Green公式的推导与应用10.2.2. 曲线的环流量计算10.3. 曲面积分的概念与计算10.3.1. 第一类曲面积分10.3.2. 第二类曲面积分10.4. Stokes公式与散度定理10.4.1. Stokes公式的应用10.4.2. 散度定理的应用11. 序列与级数11.1. 数列的极限与收敛性11.1.1. 数列极限的概念与性质11.1.2. 数列收敛性的判定准则11.2. 函数项级数11.2.1. 函数项级数的收敛性判定11.2.2. 常见函数项级数的性质11.3. 幂级数与Taylor展开11.3.1. 幂级数的概念与收敛半径11.3.2. Taylor级数与Maclaurin级数11.4. 函数的一致收敛性11.4.1. 函数列的逐点收敛与一致收敛11.4.2. 一致收敛的判定条件以上为《高等数学上册》教材目录的简要内容概述，各章节内容详细，适合根据教材目录迅速定位所需知识点并展开学习。

高数第1章第7节——闭区间上连续函数的性质

f (2 )分别称为f ( x)在[a, b]上的最大值和最小值 .
y
oa
bx
注记此定理是闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性定理，后面会给出具体的最大值最小值的求法. 在最大值最小值定理中，函数连续和区间是闭的是定理成立的重要条件，缺一不可，即：
(1)f(x)在(a,b)内连续，定理的结论不一定成立. 例如：f(x) 1 在(0,1)内连续，但在(0,1)内不能
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
1
如
:
f
(x)
x
1
y
x1 1 x2 x2
在(1,2)连续, 但没有零点.
y
1
ao
o
12
x
-1
bx
定理 1.7.4 设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续 , 且 f(a)
f(b) 那么对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任何数 , 在开区
间(a,b)内至少存在一点，使 f() = .
1.7 闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理
一、最大值和最小值定理
定理1.7.1 设 f ( x)在[a, b]上连续 , 则 f ( x)在[a, b] 上
一定能取到最大值和最小值, 即存在1 ,2 [a, b], 使对一切 x [a, b], 有f (2 ) f ( x) f (1), 其中f (1)和
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)与
水平直线y 至少有
一个交点.
y
M f(b)
a
o
f(a)
mHale Waihona Puke bx推论1.7.1 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必取得介于最大值与最小值之间的任何值.

高等数学进阶教材目录

高等数学进阶教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 极限的概念与性质1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限存在准则1.5 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数与导数的应用2.4 已知导数求原函数2.5 隐函数与参数方程的导数第三章：定积分3.1 定积分的概念与性质3.2 反常积分与定积分的应用3.3 定积分的计算方法3.4 微积分基本定理3.5 定积分的几何应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 可分离变量的微分方程4.3 齐次微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 高阶线性微分方程第五章：多元函数与偏导数5.1 多元函数的定义与性质5.2 偏导数的概念与计算5.3 隐函数与参数方程的偏导数5.4 多元函数的极值与条件极值5.5 多元函数的泰勒展开第六章：多重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法6.5 曲线与曲面的面积、体积计算第七章：向量与矩阵7.1 向量的概念与性质7.2 向量的运算与线性组合7.3 空间直线与平面7.4 矩阵的定义与性质7.5 矩阵的运算与逆矩阵第八章：多元函数的微分学8.1 多元函数的概念与性质8.2 多元函数的偏导数与全微分8.3 隐函数与参数方程的微分8.4 多元函数的极值与条件极值8.5 多元函数的极值的几何应用第九章：无穷级数与幂级数9.1 无穷级数的概念与性质9.2 收敛级数与发散级数9.3 幂级数的概念与性质9.4 幂级数的收敛半径与收敛域9.5 幂级数的运算与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶常微分方程的解法10.3 高阶常微分方程的解法10.4 常系数线性微分方程10.5 常微分方程的应用以上是《高等数学进阶教材目录》的大致内容。

这本教材以系统全面介绍高等数学的各个领域为主线，包含了函数与极限、导数与微分、定积分、微分方程、多元函数与偏导数、多重积分、向量与矩阵、多元函数的微分学、无穷级数与幂级数以及常微分方程等内容。

高数考试内容

高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。

解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。

2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。

解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。

3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。

解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。

4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。

解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。

5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。

考研高数1

考研高数1【原创版】目录1.考研高数 1 的重要性2.考研高数 1 的主要内容3.考研高数 1 的学习方法4.考研高数 1 的备考策略正文【考研高数 1 的重要性】对于许多准备考研的学生来说，高等数学 1（简称“高数 1”）是一项重要的挑战。

高数 1 作为研究生入学考试数学科目的一部分，占据了相当大的分数比重，因此它在考研中的地位举足轻重。

掌握高数 1 的知识点，不仅能够帮助你在考研中取得好成绩，还能够为将来的研究生生涯打下坚实的数学基础。

【考研高数 1 的主要内容】高数 1 主要包括以下内容：1.一元函数微分学：极限、连续性、导数、微分等；2.一元函数积分学：不定积分、定积分、反常积分等；3.向量代数与空间解析几何：向量及其运算、空间解析几何等；4.多元函数微分学：多元函数的极限、连续性、偏导数、方向导数、梯度等；5.多元函数积分学：重积分、线积分、曲面积分等。

【考研高数 1 的学习方法】学习高数 1 需要掌握一定的方法和技巧，以下是一些建议：1.扎实基础：在学习高数 1 之前，要确保你的初等数学、几何和代数知识扎实。

这些基础知识将为学习高数 1 提供有力支持。

2.理解概念：高数 1 中的概念和原理非常重要，务必要确保自己理解并掌握。

可以通过查阅教材、参考书籍和网络资源来加深理解。

3.多做练习：高数 1 的学习离不开大量的练习。

通过做题，你可以巩固所学知识，提高解题能力，发现自己的不足之处，并加以改进。

4.分析与总结：每次做题后，都要认真分析解题过程，总结经验教训，以便在考试中迅速找到解题思路。

【考研高数 1 的备考策略】在备考高数 1 时，可以采取以下策略：1.制定学习计划：根据自己的学习进度和实际情况，制定合理的学习计划。

确保每个知识点都能得到充分的复习。

2.做历年真题：通过做历年真题，了解考试题型和难度，提高应试能力。

同时，也要关注相关政策和动态，以便及时调整备考策略。

3.查漏补缺：在备考过程中，要不断检查自己的知识体系，发现并弥补不足之处。

高数一第7章无穷级数作业解答

u

n
的部分和为 sn
3．已知 lim nun 0 ，级数
n
(n 1)(un1 un ) 收敛，证明级数 un 也收敛.
n 1 n 1 n n n i 1 i 1 i 1

证明： sn
(i 1)(ui1 ui ) [(i 1)ui1 iui ] ui (n 1)un1 u1 ui ，
2．若级数
an2 及 bn2 都收敛，证明级数 (an bn )2 也收敛.
n 1 n 1 n 1
证明：因级数
a
n 1

2 n
及
b
n 1

2 n
都收敛，所以级数
(2a
n 1

2 n
2bn2 ) 收敛. 又因
2 2 (an bn ) 2 2an 2bn2 (an bn ) 2 2an 2bn2 ，
i 1 n i 1
n
n ui (n 1)un 1 u1 sn .
因 lim nun 0 ，且 lim sn 存在，所以 lim n 存在，也即级数
n n n
u
n 1
n
收敛.
无穷级数作业 2
1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：
cos 2 n （2）； n2 n 1
解：因
1 cos 2 n 1 ，且收敛，所以原级数也收敛. 2 2 2 n n n 1 n

（3）
sin 2
n 1

n
；
解：因 sin

2
n

考研高数每章总结知识点

考研高数每章总结知识点一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 一元函数的极限3. 函数的连续性4. 导数与微分5. 多元函数的极限6. 多元函数的连续性7. 偏导数与全微分在这一章节中，我们需要深入理解函数的概念与性质，掌握一元函数的极限和导数与微分的计算方法，以及多元函数的极限、连续性、偏导数与全微分的性质和应用。

二、微分学1. 函数的微分学2. 隐函数与参数方程的微分法3. 高阶导数与微分的应用4. 泰勒公式与函数的逼近5. 不定积分6. 定积分与广义积分7. 定积分的应用在这一章节中，我们需要掌握函数的微分学的相关知识，包括隐函数与参数方程的微分法、高阶导数与泰勒公式的应用，以及不定积分、定积分与广义积分的计算方法及其应用。

三、级数与一些其他杂项1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 傅立叶级数5. 常微分方程在这一章节中，我们需要掌握数项级数、幂级数和函数项级数的相关知识，包括傅立叶级数的表示和计算方法，以及常微分方程的解法和应用。

四、空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 空间点、向量和坐标3. 空间中的直线和平面4. 空间中的曲线5. 空间中的曲面6. 空间曲线和曲面的切线与法线在这一章节中，我们需要掌握空间中的点、向量和坐标的表示和计算方法，以及空间中的直线、平面、曲线和曲面的性质和应用，包括曲线和曲面的切线与法线的计算方法。

五、多元函数微分学1. 函数的极值2. 条件极值与 Lagrange 乘数法3. 二重积分4. 三重积分5. 重积分的应用在这一章节中，我们需要掌握多元函数的极值和条件极值的求解方法，包括 Lagrange 乘数法的应用，以及二重积分和三重积分的计算方法及其应用。

总结起来，考研高数的每个章节都包含了大量的知识点，要想取得好成绩就需要对每个章节的知识点有一个深入的了解和掌握。

在备考的过程中，应该注重理论知识的掌握和应用能力的提升，多做习题和模拟题，以增强对知识点的理解和记忆。

高数字母符号读法

高数字母符号读法0 - 零1 - 一2 - 二3 - 三4 - 四5 - 五6 - 六7 - 七8 - 八9 - 九10 - 十11 - 十一（1和1，即十一）12 - 十二（1和2，即十二）13 - 十三（1和3，即十三）14 - 十四（1和4，即十四）15 - 十五（1和5，即十五）16 - 十六（1和6，即十六）17 - 十七（1和7，即十七）18 - 十八（1和8，即十八）19 - 十九（1和9，即十九）20 - 二十（2和0，即二十）22 - 二十二（2和2，即二十二）23 - 二十三（2和3，即二十三）24 - 二十四（2和4，即二十四）25 - 二十五（2和5，即二十五）26 - 二十六（2和6，即二十六）27 - 二十七（2和7，即二十七）28 - 二十八（2和8，即二十八）29 - 二十九（2和9，即二十九）30 - 三十（3和0，即三十）31 - 三十一（3和1，即三十一）32 - 三十二（3和2，即三十二）33 - 三十三（3和3，即三十三）34 - 三十四（3和4，即三十四）35 - 三十五（3和5，即三十五）36 - 三十六（3和6，即三十六）37 - 三十七（3和7，即三十七）38 - 三十八（3和8，即三十八）39 - 三十九（3和9，即三十九）40 - 四十（4和0，即四十）41 - 四十一（4和1，即四十一）42 - 四十二（4和2，即四十二）44 - 四十四（4和4，即四十四）45 - 四十五（4和5，即四十五）46 - 四十六（4和6，即四十六）47 - 四十七（4和7，即四十七）48 - 四十八（4和8，即四十八）49 - 四十九（4和9，即四十九）50 - 五十（5和0，即五十）。

同济高数第七版上册考研数学考纲

习题5-3：
1（4）（7）（10）（18）
（19）（21）（25）（26）
2,5,6,7（10）（11）（13）
5.4反常积分
无穷限的反常积分
了解概念，会计算反常积分
例1~7
习题5-4：
1（4）（8）（10）
2,3（记住结论），4
无界函数的反常积分
5.5反常积分的审敛法
不作要求
总习题五
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
P120习题2-5：
1,3（3）（6），
4（4）（6）（7）
基本初等函数的微分方程
掌握
微分运算的法则
（微分形式不变性）
了解（会求
函数的微分）
微分在近似计算中的应用
不作要求
总习题二
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
P122中习题二：
2，3，6（1），7,11
12（1），13,14
数三不做12,13
掌握
章节
教材内容
考纲要求
必做例题
必做习题
1.6极限存在准则，两个重要极限
极限存在的两个准则（夹逼准则、单调有界数列必有极限）
掌握（数一数二）
了解（数三）
P52习题1-6：
1（4）（6），2,4
利用两个重要极限求极限的方法
掌握【重点】
例1~4
柯西审敛原理
不作要求
1.7无穷小的比较
无穷小阶的定义及无穷小量的比较方法
习题5-2:
3,5（2），6,7,8（3）
（8）（11）（12），
11（2），12,13,14,15,16
牛顿-莱布尼茨共识
掌握【重点】
（定理会证明）

高等数学第I层次教材

高等数学第I层次教材高等数学是大学数学的重要组成部分，它作为一门基础课程，为学生提供了解决实际问题的数学方法和工具。

高等数学第I层次教材是高等数学学习的起点，本文将从教材内容、教学方法和学习建议三个方面来探讨这一教材的特点和重要性。

一、教材内容高等数学第I层次教材通常包括微积分和线性代数两个部分，这些内容是学习高等数学的基础。

微积分部分主要讲述了极限、导数和积分等概念和技巧，对于理解变化率和曲线的性质具有重要作用。

而线性代数部分则介绍了矩阵、向量空间和线性方程组等内容，为学生打下了代数基础。

二、教学方法在高等数学第I层次教学中，教师可以采用多种方法来引导学生进行学习。

首先，应注重理论与实践相结合，通过真实世界中的问题引出数学理论知识，使学生能够将知识应用于实际情境中。

其次，教师应该关注学生的思维习惯和解题方法，帮助他们建立正确的数学思维方式。

此外，合理运用多媒体教学工具和互动性教学形式，可以激发学生的学习兴趣，提高学习效果。

三、学习建议对于学生而言，高等数学第I层次教材的学习是建立后续学习的基础，因此需要充分投入时间和精力。

首先，学生应该摒弃死记硬背的学习方式，而要注重理解和应用。

理解概念和原理的基础上，通过大量的练习来巩固知识点，培养解决问题的能力。

此外，积极参加讨论和课堂互动，与同学和教师共同交流学习心得和问题，也是提高学习效果的重要途径。

总结起来，高等数学第I层次教材对于学生的数学学习具有重要作用。

通过学习这些教材，学生可以建立起数学思维的基础，掌握基本的微积分和线性代数知识。

在教学过程中，教师应注重培养学生的实际应用能力和数学思维方式，提高学习效果。

而学生则应树立正确的学习态度，注重理解和应用，通过练习和讨论来提升自己的数学水平。

只有这样，才能在高等数学学习中奠定坚实的基础，为后续学习打下良好的基础。

高数大一上册知识点笔记

高数大一上册知识点笔记1. 函数与极限:- 函数的概念及基本性质- 极限的定义与性质- 极限运算法则2. 导数与微分:- 导数的定义与计算- 导数的几何意义与物理意义- 微分的概念与计算3. 微分中值定理与高阶导数:- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 高阶导数的概念与计算4. 不定积分与定积分:- 不定积分的定义与基本性质- 基本积分公式与常用积分公式 - 定积分的概念与性质- 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用:- 曲线长度与曲面面积- 物理应用：质量、质心与静力学6. 微分方程:- 高阶导数与高阶线性微分方程 - 一阶线性微分方程- 可分离变量的一阶微分方程- 齐次线性微分方程7. 无穷级数:- 数列极限与数列的收敛性质 - 正项级数与收敛判别法- 收敛级数的性质- 幂级数及其收敛域8. 函数序列与函数级数:- 函数序列的定义与性质- 函数序列的一致收敛性- 麦克劳林级数与泰勒级数9. 空间解析几何:- 空间直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程- 空间直线与平面的位置关系 - 空间曲线与曲面的位置关系10. 多元函数与偏导数:- 多元函数的概念与性质- 偏导数的定义与计算- 高阶偏导数与混合偏导数11. 多元函数的极值与条件极值: - 多元函数的极值与最大最小值 - 条件极值与拉格朗日乘数法12. 重积分:- 二重积分的概念与计算- 二重积分的性质与应用- 三重积分的概念与计算- 三重积分的性质与应用13. 曲线与曲面积分:- 第一类曲线积分的概念与计算 - 第二类曲线积分的概念与计算- 曲面积分的概念与计算14. 广义积分:- 广义积分的概念与收敛性- 参数积分的概念与性质- Gamma函数与Beta函数的定义与性质这些是高数大一上册的主要知识点笔记，对于每个知识点，可以进一步展开，提供详细的定义、定理、公式和实例，以帮助理解和掌握相关内容。

大一上学期的高数课程重点在于奠定基础，熟练掌握这些知识点对于后续的学习和应用都具有重要意义。

高数上册1-7习题答案

高数上册1-7习题答案高等数学是大学本科阶段的一门重要的数学课程，对于理工科学生来说尤为重要。

在高数上册中，1-7习题是其中的一部分，下面将为大家提供这部分习题的答案。

1. 计算题1.1 求解方程x^2 - 4x + 3 = 0解：这是一个二次方程，可以使用求根公式来求解。

根据求根公式，设方程的两个根为x1和x2，则有：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a带入a=1，b=-4，c=3，得到：x1 = (4 + √(16 - 12)) / 2 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - √(16 - 12)) / 2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1所以方程的解为x=1和x=3。

1.2 求解方程sin^2(x) + cos^2(x) = 1解：这是一个三角方程，根据三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，可知方程恒成立，所以方程的解为x为任意实数。

2. 证明题2.1 证明：若a^2 + b^2 = 0，则a=0且b=0。

证明：假设a和b为实数，且满足a^2 + b^2 = 0。

根据平方非负性质，a^2和b^2都大于等于0，所以a^2 + b^2大于等于0。

而题目中给出a^2 + b^2 = 0，所以只有当a^2和b^2都等于0时，等式才成立。

由于平方非负性质，只有当a=0且b=0时，a^2和b^2才等于0。

所以可以得出结论，若a^2 + b^2 = 0，则a=0且b=0。

2.2 证明：对任意实数a和b，有|a + b| <= |a| + |b|。

证明：根据绝对值的定义，对于任意实数x，有以下两种情况：情况一：x >= 0，此时有|x| = x。

情况二：x < 0，此时有|x| = -x。

根据这两种情况，可以得出以下两个结论：结论一：对于任意实数a和b，有|a + b| >= a + b。

成人高考高数1知识点

成人高考高数1知识点成人高考高数1（mathematics 1）是成人高考数学科目中的一门重要课程，主要包括集合论、函数与映射、极限与连续、导数与不定积分等内容。

本文将通过分析其中的一些重要知识点，帮助考生全面理解和掌握高数1的相关知识，以便在考试中取得优异成绩。

一、集合论集合论是现代数学的基础之一，也是高数1中重要的知识点。

集合是指具有某种特定性质的对象的整体，常用大写字母A、B、C等表示。

集合的元素用小写字母a、b、c等表示，当一个元素a属于集合A 时，记为a∈A。

集合的关系有包含关系、相等关系以及集合的运算等。

二、函数与映射函数与映射是高数1中的另一个重要知识点。

函数是一种特殊的关系，指的是对于一个自变量的取值，有唯一对应的因变量的取值。

常用f(x)表示函数。

函数的性质包括定义域、值域、反函数等。

映射是一种从一个集合到另一个集合的“对应关系”。

一个集合中的元素在映射下对应于另一个集合中的唯一元素。

三、极限与连续极限与连续是高数1中的重要概念。

在数学中，极限用于描述一个函数或序列的值在趋于某一点时的行为。

极限的定义包括邻域性定义和ε-δ定义等。

连续是指函数在其定义域上没有断点的性质。

在数学中，连续函数具有许多重要的性质，如介值定理、零点定理等。

四、导数与不定积分导数与不定积分是高数1中的重要内容。

导数是描述函数变化率的概念，用于解决函数的极值、图形的凹凸性等问题。

在实际应用中，导数广泛用于解决相关问题。

不定积分是导数的逆运算，用于求解原函数，在计算面积、体积等问题时具有重要作用。

五、综合运用高数1的知识点之间有着内在的联系和综合运用。

在解决实际问题时，往往需要多个知识点的综合运用。

例如，在求解极限的过程中，可能需要运用集合论、函数与映射、导数等多个知识点，通过综合运用这些知识点可以解决复杂的问题。

总结起来，成人高考高数1涵盖了集合论、函数与映射、极限与连续、导数与不定积分等多个知识点。

通过深入理解这些知识点，并能够灵活运用，考生可以在成人高考数学科目中取得优异的成绩。

高数第七章知识点总结

高数第七章知识点总结
高数第七章主要涵盖了微积分中的一些重要概念和技能,包括定积分、微分方程、导数、微分中值定理、积分中值定理、链式法则、反函数定理等。

以下是这些知识点的总结:
1. 定积分:
- 求函数的原函数:使用函数求导法则和链式法则。

- 求导数和积分:使用微分运算法则和积分基本定理。

- 定积分的计算:使用分部积分法、换元积分法、定积分逼近法等。

2. 微分方程:
- 求解线性微分方程:使用分离变量法、系数法等。

- 求解非线性微分方程:使用数值方法和变分法。

3. 导数:
- 导数的四则运算法则:包括加法、减法、乘法、除法。

- 导数的计算:使用链式法则、高斯消元法、求导逼近法等。

4. 微分中值定理:
- 基本微分中值定理:两个函数的差可以表示为两个函数的导数之和。

- 高阶微分中值定理:利用泰勒公式。

5. 积分中值定理:
- 基本积分中值定理:两个函数的积分可以表示为这两个函数的原函数之差。

- 高阶积分中值定理:利用泰勒公式。

6. 链式法则:
- 链式法则:将一个函数的某次导数等于它的原函数的某次导数。

- 应用:利用链式法则求函数的最值、最谷值等。

7. 反函数定理:
- 反函数定理:将一个函数表示为其导数的函数的逆函数。

- 应用:利用反函数定理求函数的极值、曲线的切线等。

以上是高数第七章的知识点总结,希望对您的学习有所帮助。

高数第七节、方向导数

偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在，则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
f y ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在，则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
( x0 , y0 )
结论2：偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数存在。思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？例1：z x 2 y 2 , P0 (0, 0 ), el (cos , cos ) y x t cos 解： , y t cos
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在，则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (1, 0) :
f l
f x ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
问题1：方向导数与偏导数的关系？假设 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 偏导数存在 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x x 0 y （1）在 x 轴的正方向上， t x P ( x0 x, y0 ) el (cos , cos ) (1, 0) P0 ( x0 , y0 ) el ( 1, 0) t | PP0 | x, 0 x f f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x l ( x0 , y0 ) x 0

大一高数试题及答案

大一高数试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=1处的导数是：A. 0B. 4C. 6D. 82. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 5在点(1, -7)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 23. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/64. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π5. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5在x=2时的值是________。

7. 函数f(x) = e^x的导数是________。

8. 定积分∫(1, e) 1/x dx的值是________。

9. 函数y = ln(x)的反函数是________。

10. 函数f(x) = x^2 + 2x + 3的最小值是________。

三、解答题（共75分）11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

（10分）12. 证明函数f(x) = x^3在R上是单调递增的。

（10分）13. 求定积分∫(0, 2) (2x + 1)^2 d x，并求出其几何意义。

（15分）14. 解不等式：x^2 - 4x + 3 < 0。

（15分）15. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项，并计算其近似值。

（25分）四、附加题（10分）16. 假设你有一个函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 2，求其在区间[0, 1]上的最小值。

高等数学c1教材目录

高等数学c1教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的特性及分类1.2 极限的概念与性质1.2.1 数列极限的定义与性质1.2.2 函数极限的定义与性质1.3 极限的计算方法1.3.1 无穷小与无穷大1.3.2 极限运算法则1.3.3 夹逼定理与两个重要极限第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的运算法则2.2 微分的概念与性质2.2.1 微分的定义与几何意义2.2.2 微分的运算法则2.3 函数的求导法则2.3.1 基本初等函数的导数2.3.2 复合函数求导法则2.3.3 隐函数求导法则第三章：微分中值定理与应用3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 3.5 曲线的凹凸性与极值问题3.6 泰勒公式与函数的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本初等函数的不定积分4.3 换元积分法4.4 分部积分法4.5 有理函数的积分4.6 特殊函数的积分第五章：定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质与运算法则5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 定积分的计算5.3.1 计算定积分的基本方法5.3.2 反常积分的概念与性质5.4 定积分在几何学与物理学中的应用 5.4.1 面积计算5.4.2 体积计算5.4.3 物理学中的应用第六章：微分方程基础6.1 微分方程的概念与基本形式6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 齐次线性微分方程6.3 高阶线性微分方程6.3.1 齐次线性微分方程的解法6.3.2 非齐次线性微分方程的特解 6.4 常系数线性微分方程6.5 变量可分离的非线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 二元函数的偏导数7.1.1 偏导数的定义与计算7.1.2 偏导数的几何意义与物理意义 7.2 高阶偏导数与混合偏导数7.3 全微分与微分形式7.4 多元函数的极值与条件极值7.5 隐函数与参数方程的微分第八章：多元函数积分学8.1 二重积分的定义与性质8.2 二重积分的计算8.2.1 极坐标下的二重积分8.3 三重积分的定义与性质8.4 三重积分的计算8.4.1 柱坐标与球坐标下的三重积分 8.5 曲线积分的概念与性质8.6 曲线积分的计算8.6.1 第一类曲线积分8.6.2 第二类曲线积分第九章：向量及其应用9.1 向量的基本概念与运算9.2 空间直线与平面9.2.1 直线与平面的定义与性质9.2.2 直线与平面的交角与距离9.3 向量函数及其导数9.4 曲线的切线与法平面9.5 空间曲线与曲面9.5.1 参数方程与曲线方程9.5.2 曲面的切平面与法线9.6 向量场的梯度、散度与旋度第十章：无穷级数10.1 数项级数的收敛与发散10.1.1 数项级数的定义10.1.2 数项级数的审敛法10.2 幂级数的收敛域与收敛半径 10.3 幂级数的运算性质10.4 函数展开为幂级数第十一章：常微分方程11.1 常微分方程的基本概念与分类 11.2 一阶线性常微分方程11.3 二阶线性常微分方程11.4 常系数齐次线性常微分方程 11.5 常系数非齐次线性常微分方程总结以上是《高等数学C1教材目录》的内容安排，其中包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程基础、多元函数微分学、多元函数积分学、向量及其应用、无穷级数、常微分方程等各个章节的内容。

高数(上)第1-7章复习题(含参考答案)

高数上第一章复习题1. 计算下列极限:（1）2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n .(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(3))1311(lim31x x x ---→; 解112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(5)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). (6)145lim1---→x x x x ;解)45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim22x x x x x --++∞→.解)())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xx x sin ln lim 0→;解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→; 解 )1()1)(1(lim)1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x 21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明因为1tan lim arctan lim0==→→yyxxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解(1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx , 0tan lim2=+→xxk x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=00 )(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞,+∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 0, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0,a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根.总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ; 当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x . 8*、证明: 函数xxy 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xxy 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xxy 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2); 解 222212211)1(11xx x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=;解[]22212222121222122)2()(21)()(21)(xa x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(5)xx y 2sin =;解222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.(6)x y arcsin =;解2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=;解])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=.(8)xx y +-=11arcsin .解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)xx y -+=11arctan ;解222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解)(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n xn xn . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxyd .解方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ', ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dxyd :解t tt t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=,t t tt t dx yd 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(tt t t t t dx yd -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dtdh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdVh dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx xx x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2); 解dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx . (3)2211arctan xx y +-=;解)11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-=dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数.第三章复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限:(1)xe e xx x sin lim0-→-;解2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xxx x x x x .4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x xx xx xx x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x ,也就是221)1ln(1x x x x +>+++.5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1); 解122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的,在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e为最大值点.因此所求最大项为333max{ .,2}3第四、五、六章复习题1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3; 解C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(2)⎰+++dx x x x 1133224;解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(3)⎰dt tt sin;解 ⎰⎰+-==C t t d t dt t t cos 2sin2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1; 解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e xx xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(5)⎰--dx xx 2491;解 dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (7)⎰-12x x dx ;解 C xC t dt tdt t t t tx x x dx+=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或 C x x d x dx x x x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解 ⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=xx x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .（10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.（11）⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2,而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2（12）dx x x )1(12+⎰;解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得 xx f y 1)(='=',所以C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xadt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=.由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(2)dx x ⎰-2022; 解 dt t tdt t tx dxx ⎰⎰⎰+=⋅=-2020202)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰.7. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==ba ba dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 20002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V . 9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解用极坐标的弧长公式.θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2 a d a 82cos 40==⎰πθθ.第七章复习题1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j . 2. 设a =3i -j -2k ,b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=---=⨯.(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18, a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k . (3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a .3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0, 于是23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c ); (3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8, (a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132,(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1,1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程. 解过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0. 解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π,|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π.设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。

高数1-7极限存在准则

1 1 1 lim 2 2 2 0. 2 2 n n 1 n 2 n n
8
sin x 1. 例2 用夹逼准则证明：lim x 0 x 证：先设x 0 , x 0 , 可设0 x .
2
A D
如图：A , C在单位圆周上, AOC x , x OC是半径 ,且AB OC , DC OC , o B AB 于是有sin x AB, AO DC tan x DC , x 弧AC的长, OC 而AOC的面积扇形AOC的面积 DOC的面积 1 1 1 1 S AOC AB OC AB sin x , S扇形AOC x , 2 2 2 2
1
第七节极限存在准则
两个重要极限
sin x 1 x
夹逼准则推出重要极限: lim x 0 单调有界数列必有极限
应
极限存在准则
推出
重要极限:
1 lim 1 e x x
x
用
柯西极限存在准则
2
一、极限存在准则及重要极限
1.极限存在准则 ①夹逼准则（夹逼定理）
lim1 x e
x 0 1 x
lim u x 0
x
lim u x
x
lim u x 0
x
sin u x lim 1 x u x
1 lim 1 x u( x )
u( x )
e
n
1 a xn , ( n 1,2, ). 2 xn
1 a 1 a 由于 x n1 x n 2 x n a , 数列 x n 有下界； 2 xn 2 xn 2 a xn 1 a 0. 又因为 x n1 x n x n x n 2 xn 2xn

1_7高数

即sin x ~ x ( x → 0).
sin ∴ 当 x → 0 时， x 与 x 是等价无穷小．
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例1 证明 : 当x → 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 .
tan x sin x 解 Q lim x→0 x3
1 sin x 1 cos x ) = lim( 2 x → 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 = lim lim lim = , 2 x → 0 cos x x → 0 x x →0 x 2
(6 x )2 原式 = lim x→0 1 2 → x 2
= 72.
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．穷小代换，而不会改变原式的极限．
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( x + 1) sin x . 例４求 lim x → 0 arcsin x
(1 + ax ) 1 6、lim =_________. x→0 x
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1 n
练习题
7、当 x → 0 时， a + x 3 a (a > 0) _______阶无穷小对于 x 是_______阶无穷小 . 等价， 8、当 x → 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 求下列各极限：二、求下列各极限： tan x sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x eα e β 2、 lim ； α →β α β sin αx sin βx ； 3、lim x→0 x tan x tan a 4、lim ； x→a xa

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习题 1-7
1. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？
解因为02lim 2lim 202320=--=--→→x
x x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2). 2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(2
12x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x x
x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.
(2)因为1)1(lim 211)1(2
1lim 1
21=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(2
12x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x →0时, 有:
(1) arctan x ~x ;
(2)2
~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y x
x y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .
(2)因为1)22sin 2(lim 2
2sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-
=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时, 2
~1s e c 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:
(1)x
x x 23tan lim 0→; (2)m
n x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数); (3)x
x x x 30sin sin tan lim -
→; (4))
1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x .
解 (1)2
323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→m
n m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-
→→→→x x x x x x x
x x x x x x x x x . (4)因为
3222
1)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 232322232
31~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1
s i n 1s i n 1s i n 1++=-+(x →0), 所以 33
121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) α ~α (自反性);
(2) 若α ~β, 则β~α(对称性);
(3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性).
证明 (1)1lim =α
α, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =α
β. 因此β~α ; (3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.。